Kapitel 14 - Fakultät für Mathematik und Informatik

14.7. PARTIELLE ENTSCHEIDBARKEIT 214Somit sind z. B. die Prädikate x = y, x ≠ y, x ≤ y, x < y primitiv-rekursiv.14.7 Partielle EntscheidbarkeitEine Relation R ⊆ N k heißt partiell- (oder positiv-) entscheidbar bzw. r.e. gdw.sie Definitionsbereich einer berechenbaren Funktion ist:R r.e. : ⇐⇒ R = {⃗x | f (⃗x) ↓} für eine berechenbare Funktion f .In diesem Fall kann man für f auch die partielle charakteristische Funktion vonR wählen:R r.e. ⇐⇒ pc R ist rekursiv,{1 falls ⃗x ∈ R,wobei pc R (⃗x) =undefiniertsonst.Während es also für eine entscheidbare Relation R ein effektives Verfahrengibt, welches die Frage beantwortet, ob R zutrifft oder nicht, kann man für einepartiell-entscheidbare Relation somit nur den Fall bestätigen, daß die Relationzutrifft. Die Bezeichnung r.e. = recursively enumerable = rekursiv-aufzählbar,in der neueren Literatur auch c.e. = computably enumerable, erklärt sich aus derfolgenden Charakterisierung:Eine nicht-leere Teilmenge A ⊆ N ist partiell entscheidbar gdw sie Wertebereicheiner rekursiven Funktion ist, also von einer rekursiven Funktion aufgezähltwird:A r.e. ⇐⇒ A = /0 ∨ A = { f (x) | x ∈ N}für eine rekursive Funktion f : N → N.Jede rekursive Relation ist auch r.e.; die Umkehrung gilt, wenn auch das Komplementr.e. ist:A ⊆ N k ist entscheidbar gdw A und N k − A sind r.e.Ist wieder ϕ n die n-te berechenbare Funktion (in einer geeigneten effektivenAufzählung), so sind die Mengen{n | ϕ n (n) ↓} r.e., aber nicht rekursiv, während{n | ϕ n (n) ↑} nicht einmal r.e. ist.Von besonderer Bedeutung wird später sein, daß für Theorien T mit einer rekursivenMenge von Axiomen die Folgerungsmenge C(T) = {σ | T ⊢ σ} r.e. ist. Insbesondereist also eine rekursiv-axiomatisierbare vollständige Theorie entscheidbar!