Kapitel 14 - Fakultät für Mathematik und Informatik

14.5. PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 210AnfangsfunktionenR1 0(x) = 0R2 S(x) = x + 1R3 Pi n(x1,...,x n ) = x iNullfunktionNachfolgerfunktioni-te ProjektionDurch Einsetzen von Funktionen in bereits vorgegebene Funktionen erhaltenwir eine neue Funktion durchSubstitutionR4f (⃗x) ≃ h(g 1 (⃗x),...,g k (⃗x))Wichtig ist nun das folgende Prinzip - nach diesem Muster werden nämlichdie arithmetischen Operationen Addition, Multiplikation und Potenz gebildet:Primitive RekursionR5 f (⃗x,0) ≃ g(⃗x)f (⃗x,y + 1) ≃ h(⃗x,y, f (⃗x,y))Die Klasse PRIM aller primitiv-rekursiven (abgekürzt: p.r.) Funktionen istdie kleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enthält und abgeschlossenist unter Substitution und primitiver Rekursion. Diese Funktionen sindinsbesondere totale Funktionen.Beispiele primitiv-rekursiver FunktionenDie folgenden Funktionen sind primitiv-rekursiv:x + ySummex · yProduktx yPotenzmax(x,y)Maximummin(x,y)Minimum|x − y| absolute Differenzx ˙−y ={x − y falls x ≥ y,0 sonstDifferenz auf N