Kapitel 14 - Fakultät für Mathematik und Informatik

14.6. REKURSIVE UND PARTIELL-REKURSIVE FUNKTIONEN 212(ii) beschränktem µ-Operator:Ist g primitiv-rekursiv, so auch f mitf (⃗x,z) = µy < z (g(⃗x,y) = 0),wobei{das kleinste y < z mit R(⃗x,y) falls ein solches existiertµy < z R(⃗x,y) =zsonst.14.6 Rekursive und partiell-rekursive FunktionenEin Beispiel einer berechenbaren, aber nicht p.r. Funktion ist dieDie Ackermannsche Funktion:Diese ist eine 2-stellige Funktion, die durch die folgenden Gleichungen rekursivbestimmt ist:A(0,y) = y + 1A(x + 1,0) = A(x,1)A(x + 1,y + 1) = A(x,A(x + 1,y))Es handelt sich hier um eine doppelte Rekursion, trotzdem kann man leichtnachprüfen, daß sich jeder Wert A(x,y) von endlich-vielen “früheren” WertenA(u,v) mit u < x oder u = x ∧ v < y bestimmen läßt. Schreiben wir F n (m) fürA(n,m), so erhalten wir:F 0 (m) = m + 1F 1 (m) = m + 2F 2 (m) ≈ 2mF 3 (m) ≈ 2 mF 4 (m) ≈ 2 2...2 (m − mal)Das bedeutet also, daß die ACKERMANNsche Funktion die Grundrechenarteniteriert und insbesondere in der ersten Stelle (die die Anzahl der Iterationen angibt)