Kapitel 14 - Fakultät für Mathematik und Informatik

14.5. PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 211sg(x) ={0 falls x = 0,1 falls x > 0Signum, Vorzeichensg(x) ={1 falls x = 0,0 falls x > 0Antisignum, negiertes VorzeichenBeweis: Addition, Multiplikation und die Potenz sind offenbar primitiv-rekursiv.Für die übrigen Fälle benötigt zeigt man zuerst, daß die Vorgängerfunktion x ˙−1primitiv-rekursiv ist, und zwar wegen0 ˙−1 = 0(x + 1) ˙−1 = xund definiert dann ˙− durch primitive Rekursionx ˙−0 = xx ˙−(y + 1) = (x ˙−y) ˙−1Die übrigen Funktionen kann man direkt mittels + und ˙− definieren:Abschlußeigenschaften|x − y| = (x ˙−y) + (y ˙−x)max(x,y) = x + (y ˙−x)min(x,y) = max(x,y) ˙−|x − y|sg(x) = 1 ˙−xsg(x) = 1 ˙−sg(x)Primitiv-rekursive Funktionen sind abgeschlossen unter(i) Fallunterscheidung:Sind g, f 0 , f 1 ,..., f k primitiv-rekursiv, so auch f mit⎧f 0 (⃗x) f alls g(⃗x) = 0,⎪⎨ f 1 ⃗x) f alls g(⃗x) = 1,f (⃗x) =. .⎪⎩ f k (⃗x) f alls g(⃗x) ≥ k.□