Kapitel 14 - Fakultät für Mathematik und Informatik

14.6. REKURSIVE UND PARTIELL-REKURSIVE FUNKTIONEN 213sehr schnell wächst. Tatsächlich majorisiert sie jede p.r. Funktion: Ist f eine k-stellige p.r. Funktion, so gibt es eine Zahl n mitf (x 1 ,...,x k ) ≤ F n (max(x 1 ,...,x k ))für alle x 1 ,...,x k . Somit kann die 2-stellige Funktion A nicht p.r. sein (obwohlandererseits alle F n p.r. sind!). Daß die ACKERMANNsche Funktion trotzdem berechenbarist, ersieht man daraus, daß sie aus einer p.r. Funktion erhalten werdenkann mittelsMinimalisierungR6 f (⃗x) ≃ µy (g(⃗x,y) ≃ 0),d. h. ⎧das kleinste y so daß⎪⎨(i) g(⃗x,z) definiert ist für alle z ≤ y undf (⃗x) =(ii) g(⃗x,y) = 0,falls ein derartiges y existiert,⎪⎩undefiniertsonst.Dieses Prinzip kann von totalen zu partiellen Funktionen führen (z. B. fürg(x,y) = |x − y 2 |). Die Klasse R (oder C) aller rekursiven Funktionen ist diekleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enthält und abgeschlossenist unter Substitution, primitiver Rekursion und Minimalisierung. Manspricht mitunter auch von allgemein-rekursiven, µ-rekursiven Funktionen oder(auf Grund der CHURCHschen These) von den berechenbaren Funktionen (C =computable functions). Von rekursiven Funktionen werden wir vorwiegend imFalle totaler berechenbarer Funktionen sprechen.Jede p.r. Funktion ist also auch eine rekursive Funktion (während die ACKER-MANNsche Funktion ein Beispiel für eine rekursive, aber nicht p.r. Funktion ist),und die Abschlußeigenschaften der p.r. Funktionen gelten (geeignet modifiziertfür partielle Funktionen) auch für rekursive Funktionen.DefinitionEine zahlentheoretische Relation R ⊆ N k heißt primitiv-rekursiv bzw. rekursiv(oder auch: entscheidbar) gdw ihre charakteristische Funktion c R primitivrekursivbzw. rekursiv ist, wobei{1 falls R(⃗x),c R (⃗x) =0 sonst.