Zum Dualraum 1 Wiederholung: Definition und Beispiel des Kn

Dipl. Math Sauter SS 08
Zum Dualraum
Wiederholung, Korrektur und Ergänzung
1 Wiederholung: Definition und Beispiel des K n
Sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K.
Definition 1. Der Dualraum V ⋆ von V ist die Menge der K-linearen Abbildungen von V nach K
V ⋆ := Hom K (V, K).
Dies ist abelsche Gruppe bezüglich punktweiser Addition von Abbildungen und ein K-Vektorraum bezüglich punktweiser
Skalarmultiplikation, das heißt für a, b ∈ V ⋆ , λ ∈ K sind a + b, λ · a ∈ V ⋆ wie folgt definiert
∀v ∈ V
(a + b)(v) := a(v) + b(v), (λ · a)(v) := λ(a(v)).
Elemente aus V ⋆ heißen Linearformen auf V .
Bemerkung. Ist n = dim V < ∞ und v 1 , . . . , v n eine angeordnete Basis von V , so ist v ∗ 1, . . . , v ∗ n ∈ V ⋆ definiert durch
v ∗ i : V → K, v ∗ i (v j ) = δ ij
eine angeordnete Basis von V ∗ . Insbesondere haben wir nach Wahl einer Basis 1 von V einen Isomorphismus V
V ⋆ , v i ↦→ vi ∗.
→
1.Warnung!
Wir können Basen dualisieren, aber für einen beliebigen Vektor v ≠ 0 aus V ist v ∗ ∈ V ⋆ nicht definiert!
2.Warnung! Wenn man unendlich-dimensionale Vektorräume betrachten will, sollte man sie mit einer Topologie versehen
und dann gilt im allgemeinen nicht mehr, dass V isomorph zu V ⋆ ist. Zum Beispiel kann man sich den Wikipedia-
Artikel über Lp-Räume durchlesen und später eine Vorlesung über Funktionalanalysis hören.
Beispiel. Eine lineare Abbildung a: K n → K ist immer von der Form
⎡ ⎤
⎡ ⎤
x 1
⎢ ⎥
⎣ . ⎦ ↦→ [ x 1
] ⎢ ⎥
n∑
a 1 , · · · , a n ⎣ . ⎦ = a i x i
x n x
i=1
n
Identifizieren wir solche lineare Abbildungen mit den darstellenden Matrizen in den Standardbasen, erhalten wir einen
Isomorphismus (K n ) ∗ → K 1×n , a ↦→ [ a 1 , · · · , a n
]
.
Übung: Machen Sie sich klar, dass die Abbildung K n → (K n ) ∗ , e i ↦→ e ∗ i
Isomorphismus (K n ) ∗ ∼ = K 1×n die folgende Abbildung ist:
verknüpft mit dem gerade beschriebenen
K n → K 1×n , x ↦→ x T .
Definition 2. Sei f : V → W eine lineare Abbildung von Vektorräumen. Dann definiere die duale Abbildung f ∗ : W ∗ →
V ∗ durch
f ∗ : W ∗ → V ∗ , f ∗ (a) := (V f −→ W a −→ K) = a ◦ f ∈ V ∗ .
1 in der linearen Algebra als Merkregel: Lineare Abbildungen, die von der Wahl einer Basis abhängen nennt man nicht-kanonisch und lineare
Abbildungen, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen heißen kanonisch.

Beispiel. A ∈ K n×q definiert eine lineare Abbildung
Per Definition ist die duale Abbildung
K q → K n , x ↦→ Ax.
(K n ) ∗ → (K q ) ∗ , (x ↦→ [a 1 , . . . , a n ]x) ↦→ (y ↦→ [a 1 , . . . , a n ]Ay)
Also mit den Identifikationen (K n ) ∗ ∼ = K 1×n , (K q ) ∗ ∼ = K 1×q ist das die Abbildung
K 1×n → K 1×q , [a 1 , . . . , a n ] ↦→ [a 1 , . . . , a n ]A.
Wie sieht nun die DM dieser linearen Abbildung in den dualen (=transponierten) Standardbasen aus? Das Koordinatendiagramm
sieht wie folgt aus, wobei die vertikalen Pfeile einfach a ↦→ a T sind.
K 1×n
K 1×q
a
aA
K n K q x
A T x
Für die Kommutativität müssen wir sehen: (e T i A)T = A T e i (überlegen Sie sich, dass auf beiden Seiten die transponierte
i-te Zeile von A steht.)
Damit ist die DM in den dualen Standardbasen: A T .
2 Korrektur: Ein Diagramm, das sehr selten kommutiert...
Gegeben: f : V → W eine lineare Abbildung, eine Basis v 1 , . . . , v n von V und w 1 , . . . , w m eine von W und V →
V ⋆ , v i ↦→ vi ∗, W → W ⋆ , w j ↦→ wj ∗ , die Isomorphismen, die die Basen auf die dualen Basen abbilden. Dann ist das
Diagramm
V
f
W
V ⋆
f ∗
W ⋆
sehr selten kommutativ.
Ein einfaches Indiz: Die Kommutativität würde sagen, dass bis auf Verknüpfung mit den Isomorphismen f ∗ das Inverse
von f ist. Viele lineare Abbildungen sind aber gar nicht invertierbar.
(Wann kommutiert das Diagramm? Wenn n = m gilt und für die DM (in den angegebenen Basen) A von f gilt
AA T = E.)
Zu Blatt 19 Aufgabe 2 hat Jan Milan schon alles gesagt. Ich wiederhole sein entscheidendes Argument: Hat man zwei
lineare Abbildungen V −→ f W −→ g X. Dann gilt
Denn für a ∈ X ∗ gilt
(g ◦ f) ∗ = f ∗ ◦ g ∗ .
(g ◦ f) ∗ (a) = a ◦ (g ◦ f) = (a ◦ g) ◦ f = (g ∗ (a)) ◦ f = f ∗ (g ∗ (a)) = f ∗ ◦ g ∗ (a).
Nach Wahl von Basen hat man DM A von f, B von g. Die Gleichheit in dem Kästchen bedeutet für die DM in den dualen
Basen
(BA) T = A T B T .

3 Ergänzung: Bilineare Abbildungen und Dualräume
Bilineare Abbildungen sind zwar erst später Thema der Vorlesung, aber man versteht mehr,wenn man die Isomorphismen
aus Lemma 1 verstanden hat. Da die abstrakten Aufgaben bisher wenig geübt wurden, habe ich in diesem Teil ein paar
eingestreut.
Definition 3. Seien V, W Vektorräume über K. Eine Abbildung
heißt bilinear, falls gilt
β : V × W → K, (v, w) ↦→ β(v, w)
1) Für alle v ∈ V ist die Abbildung β(v, −): W → K, w ↦→ β(v, w) linear.
2) Für alle w ∈ W ist die Abbildung β(−, w): V → K, v ↦→ β(v, w) linear.
Beispiel.
• Die Abbildung Auswertung der Linearformen an Elementen aus V
〈−, −〉: V ⋆ × V → K, 〈a, v〉 := a(v).
ist bilinear.
• (Prototyp einer bilinearen Abbildung) Sei A ∈ K n×m . Dann ist die Abbildung
β A : K n × K m → K, (x, y) ↦→ x T Ay
bilinear.
Lemma 1. (i) Die Menge bilinearer Abbildungen V × W → K bildet einen K-Vektorraum Bil K (V × W, K) 2 .
(ii) Die Abbildungen
Bil(V × W, K) → Hom(V, W ⋆ ), β ↦→ f β
mit f β : V → W ⋆ , v ↦→ β(v, −) und
Hom(V, W ⋆ ) → Bil(V × W, K), f ↦→ β f
mit β f : V × W → K, (v, w) ↦→ (f(v))(w) sind zueinander inverse kanonische Vektorraum-Isomorphismen.
(iii) Analog erhält man einen kanonischen Vektorraum-Isomorphismus
Bil(V × W, K) → Hom(W, V ⋆ ), β ↦→ (w ↦→ β(−, w)).
Übung:
Rechnen Sie in (ii) nach, dass die Abbildungen zueinander invers sind (Linearität ist eher unspannend).
Bemerkung. Es gilt
Bil(V × V, K) ∼ = Hom(V, V ⋆ ).
Das heißt eine lineare Abbildung von V in den Dualraum anzugeben, entspricht nach (ii) eine bilineare Abbildung
V × V → K. Zum Beispiel entspricht die Abbildung V → V ⋆ , v i ↦→ vi ∗ aus der ersten Bemerkung der bilinaeren
Abbildung
n∑ n∑
n∑
V × V → K, ( x i v i , y j v j ) ↦→ x i y i .
i=1
j=i
i=1
2 Später in der VL:
ist ein (nicht-kanonischer) Isomorphismus von Vektorräumen
K n×m ∼ = Bil(K n × K m , K), A ↦→ β A

Übung: Überlegen Sie Sich: Unter dem Isomorphismus in (ii) liefert id: V ⋆ → V ⋆ die bilineare Abbildung 〈−, −〉: V ⋆ ×
V → K, (a, v) ↦→ a(v). Unter dem Isomorphismus in (iii) liefert das wiederum die kanonische lineare Abbildung
V → (V ∗ ) ∗ , v ↦→ (a ↦→ a(v)).
(In der Vorlesung ist gezeigt worden, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist, falls V endlich-dimensional ist.)
Korollar 3.1. Setzt man die Isomorphismen aus (ii) und (iii) zusammen, erhält man kanonische Vektorraum-Isomorphismen
Hom(V, W ⋆ ) → Hom(W, V ⋆ ).
Falls W endlich-dimensional ist, haben wir den kanonischen Isomorphismus W ∼ = (W ∗ ) ∗ und damit impliziert der vorige
kanonische Isomorphismus den folgenden:
(Analoge Aussage, falls V endlich-dimensional ist.)
Hom(V, W ) → Hom(V, W ∗∗ ) → Hom(W ⋆ , V ⋆ ).
Übung:
Überlegen Sie sich, dass das der Isomorphismus von Blatt 19 Aufgabe 3 ist.