Kapitel 24 Kurvenanpassung

Kapitel 24
Kurvenanpassung
Die Prozedur KURVENANPASSUNG schätzt die Parameter einer Regressionsgleichung
mit einer abhängigen (zu erklärenden) Variablen y und einer unabhängigen
(erklärenden) Variablen x. Anders als bei der multiplen linearen Regression (siehe
hierzu Kapitel 23, Lineare Regression), bei der die Beziehung zwischen der abhängigen
und der unabhängigen Variablen linear sein muß, können Sie hier unterschiedliche
Kurventypen verwenden. So kann zwischen den beiden Variablen zum
Beispiel ein kubischer, exponentieller oder logarithmischer Zusammenhang bestehen.
Dieser Vorteil gegenüber der multiplen linearen Regression wird allerdings
mit der Beschränkung erkauft, daß bei der Prozedur KURVENANPASSUNG nur eine
erklärende Variable herangezogen werden kann. Multiple Erklärungen sind damit
nicht möglich.
24.1 Beispiel 1: Die Phillips-Kurve
Die Aufmerksamkeit von Ökonomen richtet sich immer wieder auf einen möglichen
Zusammenhang zwischen der Höhe des Beschäftigungsniveaus (bzw. dem
Ausmaß der Arbeitslosigkeit) und der Veränderung des Preisniveaus. 1958 hat
Alban W. Phillips den Zusammenhang zwischen der Arbeitslosenquote und dem
Anstieg des Nominallohnes untersucht. 260 Die grafische Darstellung dieses Zusammenhangs
ist als Phillips-Kurve bekannt. Diese deutet an, daß das gesamtwirtschaftliche
Nominallohnniveau um so stärker ansteigt, je geringer die Arbeitslosenquote
ist. Dieser Zusammenhang ist auch recht plausibel, wenn man sich den
Arbeitsmarkt als einen Markt wie andere (zum Beispiel den Markt für Autos oder
für Immobilien) vorstellt: Eine geringe Arbeitslosenquote bedeutet, daß das Angebot
an Arbeit (also die Nachfrage nach Arbeitsplätzen) im Vergleich zur Arbeitsnachfrage
(also zum Angebot an Arbeitsplätzen) relativ gering ist. Wenn aber das
Angebot im Vergleich zur Nachfrage gering ist, liegt es nahe, daß der Preis für
260 Siehe Phillips, A.W. (1958): The Relation Between Unemployment and the Rate of
Change of Money Wage Rates in the United Kingdom, 1861 – 1957, in: Economica, Vol. 25,
S. 283 – 299.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

578 Kapitel 24 Kurvenanpassung
Arbeit (also der Nominallohn) relativ stark ansteigt - dies ist im Prinzip auch auf
anderen Märkten so.
1960 haben Paul A. Samuelson und Robert M. Solow eine modifizierte Form der
Phillips-Kurve vorgelegt 261 , in der die Arbeitslosenquote nicht mehr den Nominallohnänderungen,
sondern den Preisniveauänderungen gegenübergestellt wird.
Auch diese Kurve beschreibt einen negativen Zusammenhang zwischen den beiden
Variablen: Je höher die Inflationsrate, desto niedriger ist die Arbeitslosenquote.
Wenn ein solcher Zusammenhang tatsächlich Gültigkeit besitzt, ergibt sich
daraus unmittelbar ein Dilemma für die Wirtschaftspolitik. Sowohl eine niedrige
Arbeitslosenquote als auch eine geringe Inflationsrate werden im allgemeinen als
erstrebenswerte Ziele angesehen. Gilt jedoch der durch die modifizierte Phillips-
Kurve beschriebene Zusammenhang, lassen sich beide Ziele nicht gleichzeitig erreichen,
sondern die Politik muß gewissermaßen zwischen Skylla und Charybdis
wählen. Allerdings ist die Gültigkeit dieses Zusammenhangs - und insbesondere
seine Stabilität im Zeitablauf - sehr umstritten. Auch seine funktionale Form ist
nicht eindeutig bestimmt. So kann ein negativer Zusammenhang zwischen der Inflationsrate
und der Arbeitslosenquote unter anderem eine lineare, eine quadratische
oder eine logarithmische Form haben. Mit anderen Worten: Die modifizierte
Phillips-Kurve kann grundsätzlich verschiedenen Kurventypen entsprechen.
Auf der Begleit-CD befindet sich die Datei Makrodaten.sav mit verschiedenen
makroökonomischen Zeitreihen für die alten Länder der Bundesrepublik
Deutschland. Unter anderem enthält die Datei die Variablen alq und preise_v, in
denen die Arbeitslosenquoten sowie die Veränderungsraten des Preisindex des
Bruttosozialprodukts für die Jahre 1960 bis 1996 enthalten sind. Um einen ersten
Eindruck von einem möglichen Zusammenhang zwischen den Variablen zu bekommen,
bietet es sich an, die gemeinsame Verteilung in einem Streudiagramm
darzustellen. Um ein solches Diagramm zu erstellen, wählen Sie den Befehl
GRAFIK, STREUDIAGRAMM und anschließend die Option Einfach. Geben Sie in
dem Dialogfeld Einfaches Scatterplot die Variablen preise_v als Y-Variable, alq
als X-Variable und jahr für die Fallbeschriftung an. Mit diesen Einstellungen erhalten
Sie das in Abbildung 24.1 dargestellte Streudiagramm. Das abgebildete
Diagramm wurde im Grafikeditor leicht verändert, insbesondere wurde mit dem
Befehl FORMAT, INTERPOLATION eine Verbindungslinie zwischen den einzelnen
Datenpunkten eingefügt. Die Linie verbindet die Punkte in ihrer historischen Reihenfolge.
Das Streudiagramm läßt folgendes erkennen: Die Annahme eines negativen Zusammenhangs
zwischen der Inflationsrate und der Arbeitslosenquote scheint mit
der im Streudiagramm dargestellten gemeinsamen Verteilung dieser beiden Größen
vereinbar zu sein. Dies gilt in besonderem Maße für die Beobachtungen ab
1970. Werden nur die Daten seit diesem Zeitpunkt betrachtet, weist die zwischen
den Datenpunkten eingezeichnete Verbindungslinie in der Tendenz eindeutig einen
fallenden Verlauf auf. Dies ist gleichbedeutend mit der Beobachtung, daß re-
261 Vgl. Samuelson, P.A., R.M. Solow (1960): Analytical Aspects of Anti-Inflation Policy, in:
American Economic Review, Vol. 50, S. 177-194.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

24.1 Beispiel 1: Die Phillips-Kurve 579
lativ hohe (niedrige) Werte der Arbeitslosenquote in diesem Zeitraum oftmals gemeinsam
mit relativ niedrigen (hohen) Inflationsraten aufgetreten sind. In den 60 er
Jahren scheint dieser Zusammenhang nicht gegolten zu haben. Während für die
Inflationsrate in diesem Jahrzehnt sowohl sehr hohe als auch sehr niedrige Werte
beobachtet werden konnten, lag die höchste beobachtete Arbeitslosenquote nur
etwas mehr als ein Prozentpunkt über ihrem niedrigsten Wert. Die Arbeitslosenquote
scheint somit von den Änderungen der Inflationsrate kaum berührt worden
zu sein. Zu einem ähnlichen Ergebnis kann man gelangen, wenn man die Periode
von 1975 bis 1981 isoliert betrachtet. Auch in dieser Zeit waren die Änderungen
in der Arbeitslosenquote eher gering, obwohl sich die Preise in den einzelnen Jahren
mit deutlich unterschiedlichen Raten veränderten. Insbesondere läßt sich auch
hier - bei isolierter Betrachtung dieses Zeitraums - kein negativer Zusammenhang
zwischen Inflationsrate und Arbeitslosenquote erkennen.
Aufgrund dieser Überlegungen soll im folgenden zunächst eine Kurvenanpassung
für den Zeitraum zwischen 1970 und 1994 - in dem ein negativer Zusammenhang
zwischen Inflationsrate und Arbeitslosenquote zu bestehen scheint - durchgeführt
werden. Es wird also untersucht, durch welchen Kurventyp der Zusammenhang
zwischen den beiden Variablen am geeignetsten abgebildet werden kann. Anschließend
werden die drei Teilperioden 1961-1975, 1975-1981 und 1982-1994
isoliert betrachtet.
8
Veränderungsrate des Preisindex des BSP in %
7
6
5
4
3
2
1
0
1961
1974
2
4
1981
6
8
1994
10
Arbeitslosenquote (Anteil der Erwerbslosen an den Erwerbspersonen)
Abbildung 24.1: Streudiagramm für die Variablen „alq“ und „preise_v“ aus der Datei
Makrodaten.sav
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

580 Kapitel 24 Kurvenanpassung
1970 bis 1994
Soll eine Kurve an die Wertepaare aus dem Zeitraum von 1970 bis 1994 angepaßt
werden, kommen unter anderem eine lineare und eine quadratische Form in Frage.
262 Um eine entsprechende Kurvenanpassung durchzuführen, wählen Sie den
Befehl 263
STATISTIK
REGRESSION
KURVENANPASSUNG...
Geben Sie in dem damit geöffneten Dialogfeld die abhängige Variable preise_v
und die unabhängige Variable alq an, und wählen Sie in der Gruppe Modelle die
Optionen Linear und Quadratisch. Mit diesen Einstellungen wird der in den Abbildungen
24.2 und 24.3 wiedergegebenen Output erzeugt. 264
In der Grafik aus Abbildung 24.3 stellt die weiße Linie die beobachteten Werte für
den Zeitraum von 1970 bis 1994 dar. An diese Werte wurden eine lineare (gestrichelte
Linie) und eine quadratische (durchgezogene schwarze Linie) Funktion angepaßt.
Vom optischen Eindruck her scheinen beide Linien mehr oder weniger
gleich gut oder schlecht geeignet zu sein, den tatsächlichen Zusammenhang zwischen
der Inflationsrate und der Arbeitslosenquote zu beschreiben. Eine etwas
präzisere Aussage ermöglicht der Textoutput in Abbildung 24.2. Dort wird an dem
R 2 (Spalte Rsq) deutlich, daß die quadratische Funktion (unterste Zeile; R 2 =
0,795) eine etwas bessere Anpassung liefert als die lineare (R 2 = 0,789). Allerdings
sind beide Schätzungen hochsignifikant, da die Signifikanz des F-Wertes
jeweils mit 0,000 ausgewiesen ist.
In den Spalten b0, b1 und b2 werden die geschätzten Parameter für die lineare und
die quadratische Funktion angegeben. Danach ergeben sich folgende Schätzgleichungen:
Linear:
alq = 10,3 - 1,3 · preise_v
Quadratisch: alq = 11,37 - 1,85 · preise_v + 0,06 · preise_v 2
Würde die lineare Gleichung tatsächlich den gültigen Zusammenhang zwischen
der Inflationsrate und der Arbeitslosenquote beschreiben, dann würde die Arbeitslosenquote
bei einer Inflationsrate von null 10,3% betragen. Mit jedem Anstieg
der Inflationsrate um einen Prozentpunkt könnte die Arbeitslosenquote um
1,3 Prozentpunkte gesenkt werden. Man müßte also lediglich eine Inflationsrate
von 5% in Kauf nehmen, um die Arbeitslosenquote auf unter 4% zu senken.
262 Bei der quadratischen Funktion käme nur ein Ast des typischen Graphen zur Anwendung,
vgl. auch die Übersicht über die zur Verfügung stehenden Kurventypen in Abbildung 24.8,
S. 588.
263 Zuvor müssen Sie in der Datendatei festlegen, daß nur die Werte ab 1970 berücksichtigt
werden sollen. Hierzu können Sie den Befehl DATEN, FÄLLE AUSWÄHLEN verwenden. Wählen
Sie in dem entsprechenden Dialogfeld die Option Falls Bedingung zutrifft, und geben Sie in dem
Dialogfeld der dazugehörigen Schaltfläche Falls die Bedingung jahr >= 1970 an.
264 Beachten Sie, daß die Achsen in Abbildung 24.3 gegenüber der Grafik in Abbildung 24.1
vertauscht sind.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

24.1 Beispiel 1: Die Phillips-Kurve 581
Hätte dagegen die quadratische Gleichung Gültigkeit, könnte diese folgendermaßen
interpretiert werden: Bei einer Inflationsrate von null würde die Arbeitslosenquote
ungefähr 11,4% betragen. Bei einem Anstieg der Inflationsrate sind zwei
gegenläufige Effekte zu beobachten. Einer dieser Effekte bewirkt, daß die Arbeitslosenquote
jeweils um 1,85 Prozentpunkte sinkt, wenn die Inflationsrate um
einen Prozentpunkt ansteigt. Diesem linearen negativen Effekt wirkt ein quadratischer
positiver Effekt entgegen. Bei geringen Werten der Inflationsrate überwiegt
der negative Einfluß, so daß die Arbeitslosenquote mit zunehmender Inflationsrate
tatsächlich zurückgeht. Bei sehr hoher Inflation kehrt sich das Verhältnis dagegen
um, und die Arbeitslosigkeit nimmt mit ansteigender Inflation ebenfalls zu.
MODEL: MOD_8.
Independent: PREISE_V
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1 b2
ALQ LIN ,789 23 86,21 ,000 10,2990 -1,3041
ALQ QUA ,795 22 42,69 ,000 11,3714 -1,8502 ,0588
Abbildung 24.2: Textoutput der Kurvenanpassung
10
Arbeitslosenquote
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Veränderungsrate des Preisindex des BSP in %
Abbildung 24.3: Grafik der Prozedur KURVENANPASSUNG mit einer linearen und einer
quadratischen Anpassung für den Zeitraum von 1970 bis 1994
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

582 Kapitel 24 Kurvenanpassung
Wahl zwischen den Schätzgleichungen
Die Tatsache, daß für die quadratische Gleichung ein höheres R 2 ausgewiesen
wird, läßt einen möglicherweise zunächst dazu tendieren, der quadratischen Funktion
den Vorzug zu geben. Hierbei sollten Sie allerdings berücksichtigen, daß die
Anpassung einer quadratischen Funktion beinahe immer zu besseren, niemals aber
zu schlechteren Ergebnissen (gemessen am R 2 ) führt als die Anpassung einer linearen
Funktion. Dies ist sehr einleuchtend, wenn man bedenkt, daß die lineare
Funktion lediglich einen Sonderfall der quadratischen Funktion darstellt, bei dem
der Parameter b 2 den Wert null hat. Der Preis für des höhere R 2 einer quadratischen
gegenüber einer linearen Funktion besteht in der höheren Anzahl erklärender
Variablen. Während die lineare Funktion mit einer erklärenden Variablen (x
bzw. im vorliegenden Beispiel alq) auskommt, benötigt die quadratische Funktion
zwei erklärende Variablen (x und x 2 bzw. alq und alq 2 ). Eine weitere Verbesserung
des R 2 läßt sich sehr einfach erreichen, indem anstatt des quadratischen ein
kubischer Kurventyp verwendet wird, der wiederum eine zusätzliche erklärende
Variable (x 3 bzw. alq 3 ) einbezieht.
Allgemein sollte die Entscheidung für oder wider einen Kurventyp niemals ausschließlich
anhand des R 2 erfolgen. Von wesentlich größerer Bedeutung als die
Güte der Anpassung ist die Frage, ob ein bestimmter Kurventyp inhaltlich plausibel
erscheint. So läßt sich das R 2 immer weiter verbessern, indem zusätzliche erklärende
Variablen (wie zum Beispiel x 4 , x 5 , x 6 etc.) einbezogen werden. Es ist jedoch
fraglich, ob auf diese Weise der funktionale Zusammenhang zwischen den
beiden betrachteten Variablen sinnvoll abgebildet werden kann.
Betrachtung der Einzelperioden
Abbildung 24.4 zeigt die Ergebnisse der Kurvenanpassung für die drei Teilperioden.
In allen drei Perioden wurden eine lineare und eine quadratische Funktion
verwendet, wobei sich die angegebenen Statistiken unterhalb der Tabelle ausschließlich
auf die lineare Funktion beziehen.
9
Arbeitslosenquote
1961-1975 1975-1981 1982-1994
9
Arbeitslosenquote
9
Arbeitslosenquote
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
Veränderungsrate des Preisindex des BSP in %
Veränderungsrate des Preisindex des BSP in %
Veränderungsrate des Preisindex des BSP in %
R 2 = 0,019 d.f. 13 R 2 = 0,008 d.f. 6 R 2 = 0,551 d.f 11
F = 0,25 Sig. = 0,623 F = 0,05 Sig. = 0,831 F = 13,51 Sig. = 0,004
alq = 0,8 + 0,07 preise_v alq = 3,5 + 0,14 preise_v alq = 9,2 - 0,7 preise_v
Abbildung 24.4: Lineare und quadratische Kurvenanpassung für die drei Teilperioden;
Schätzstatistik für lineare Funktion
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

24.1 Beispiel 1: Die Phillips-Kurve 583
Die Regressionsgerade verläuft in jeder der drei Teilperioden wesentlich flacher
als in der Schätzung für die Gesamtperiode. In den ersten beiden Teilperioden
werden mit den Koeffizienten 0,07 und 0,14 sogar positive Zusammenhänge zwischen
der Arbeitslosenquote und der Inflationsrate ausgewiesen. Für beide Teilperioden
zeigen jedoch die Werte für R 2 sowie die ausgewiesenen Signifikanzen,
daß tatsächlich kein (oder zumindest kein linearer) Zusammenhang zwischen der
Arbeitslosenquote und der Inflationsrate innerhalb dieser Teilperioden zu bestehen
scheint. Für die dritte Teilperiode ist dagegen durchaus der erwartete negative Zusammenhang
zu erkennen. Der entsprechende Koeffizient (b 1 ) wurde mit 0,7 geschätzt,
das R 2 zeigt mit einem Wert von 0,55, daß durchaus ein gewisser Zusammenhang
zwischen den beiden Variablen besteht, und auch der F-Wert ist mit
0,4% hochsignifikant.
Die abgebildeten Diagramme wurden im Grafikeditor so angepaßt, daß die senkrechte
Achse, auf der die Arbeitslosenquote in Prozent abgetragen wird, jeweils
den Wertebereich von 0 bis 9 darstellt. Dadurch läßt sich an den drei nebeneinander
liegenden Grafiken deutlich erkennen, daß sich die dargestellte Kurve im
Zeitablauf nach oben verschoben hat. Da die Kurve zusätzlich innerhalb jeder Periode
relativ flach verläuft (und damit relativ geringe Schwankungen in der Arbeitslosenquote
anzeigt), wäre eine mögliche Interpretation für diese Beobachtung
die folgende: Tatsächlich besteht der erwartete Zusammenhang zwischen der Inflationsrate
und der Arbeitslosenquote nicht oder nur in geringem Ausmaß. Vielmehr
wird die Höhe der Arbeitslosigkeit im wesentlichen durch andere Faktoren
bestimmt und nicht unmittelbar durch die Inflationsrate beeinflußt. Die tatsächlich
relevanten Bestimmungsfaktoren der Arbeitslosenquote haben bewirkt, daß sich
das Niveau der Arbeitslosigkeit im Zeitablauf nach oben verschoben hat, und zwar
zunächst von einem Niveau bei ungefähr 2% in den 60 er Jahren auf ein Niveau um
die 5% in der zweiten Hälfte der 70 er Jahre, bis nunmehr ein Niveau von ungefähr
7-8% in den 80 er und Anfang der 90 er Jahre erreicht wurde.
Es hat sich gezeigt, daß sich die Hypothese eines Zusammenhangs zwischen der
Inflationsrate und der Arbeitslosenquote je nach Betrachtungsweise sowohl untermauern
als auch entkräften läßt. Dies macht deutlich, daß bei der Verwendung
von Instrumenten wie der Kurvenanpassung - so wie von statistischen Analyseverfahren
im allgemeinen - eine große Sorgfalt erforderlich ist, um nicht zu schnelle
oder falsche Schlüsse zu ziehen. Insbesondere sollte man jedes Ergebnis, das man
gefunden zu haben glaubt, anschließend noch einmal mit etwas Abstand betrachten
und schlicht fragen, ob dieses „nach gesundem Menschenverstand“ plausibel
ist. Auf diese Weise lassen sich bereits zahlreiche Fehlschlüsse vermeiden, wie
zum Beispiel der Übergang von einer linearen auf eine kubische Funktion, die
- wie unter Wahl zwischen den Schätzgleichungen, S. 582 dargestellt - möglicherweise
einen besseren Fit, dafür aber auch eine geringere inhaltliche Plausibilität
aufweist.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

584 Kapitel 24 Kurvenanpassung
24.2 Beispiel 2: Wachstumsrate in der Bundesrepublik
Die Datendatei Makrodaten.sav enthält in der Variablen bip die Werte des Bruttoinlandsprodukts
(BIP) für das alte Gebiet der Bundesrepublik Deutschland. Im
folgenden soll versucht werden, mit Hilfe der Prozedur KURVENANPASSUNG eine
Funktion zu finden, die den Verlauf des BIP möglichst gut beschreibt. Da das
Bruttoinlandsprodukt grundsätzlich einem Wachstumsprozeß folgt, kommt hierfür
der Kurventyp Wachstum in Frage. Dieser paßt eine Kurve mit konstanter
Wachstumsrate an die beobachtete Kurve des BIP an.
Im vorhergehenden Beispiel wurde eine Kurve gesucht, die den Zusammenhang
zwischen der Inflationsrate und der Arbeitslosenquote möglichst gut beschreibt,
wobei die Arbeitslosenquote als abhängige und die Inflationsrate als erklärende
Variable angesehen wurden. In diesem Beispiel bildet nun das BIP die abhängige
Variable. Allerdings soll nicht der Zusammenhang zwischen dem BIP und einer
anderen Größe untersucht, sondern lediglich dessen Entwicklung im Zeitablauf
nachgezeichnet werden. Damit gibt es keine erklärende Variable im eigentlichen
Sinne. Vielmehr stellt die Zeit die unabhängige Größe dar, denn die anzupassende
Kurve soll die Veränderung des BIP bei voranschreitender Zeit abbilden. Für solche
Fälle, in denen eine Kurve an die Entwicklung einer Variablen im Zeitablauf
angepaßt werden soll, ist im Dialogfeld Kurvenanpassung in der Gruppe Unabhängige
Variable die Option Zeit vorgesehen. Kreuzen Sie diese Option an, verschieben
Sie die Variable bip in das Feld Abhängige Variablen, und wählen Sie in
der Gruppe Modell den Kurventyp Wachstum, um den in den Abbildungen 24.5
und 24.6 dargestellten Output zu erhalten.
In der Grafik aus Abbildung 24.6 stellt die weiße Kurve den Verlauf der beobachteten
Werte und die schwarze Kurve die daran angepaßte Wachstumsfunktion
dar. In der langfristigen Tendenz scheint die geschätzte Wachstumsfunktion die
tatsächliche Entwicklung des BIP recht gut nachzubilden. In Abbildung 24.5 wird
für die Anpassungsgüte ein R 2 von 0,971 ausgewiesen. Der F-Wert ist mit 0,000
hochsignifikant.
Die allgemeine Form der geschätzten Wachstumsfunktion lautet:
b0 + b1 · t
y = e
Dabei bezeichnet y die abhängige Variable und t die Zeit. e ist die Eulersche Zahl
(≈ 2,71828). Für den Parameter b 0 wurde der Wert 6,9774 geschätzt, für b 1 der
Wert 0,0278. Damit lautet die geschätzte Wachstumsfunktion:
6,9774 + 0,0278 · t
bip = e
Die Zeitvariable t nimmt dabei Werte zwischen 1 und 35 (und nicht etwa zwischen
1960 und 1994) an. Die Funktion läßt sich auch in der folgenden Form
schreiben, in der sie einfacher interpretiert werden kann:
bip = e 6,9774 · e 0,0278 · t
Im ersten Teil des Ausdrucks auf der rechten Seite (e 6,9774 ) ist die Zeitvariable t
nicht enthalten, so daß dies eine Konstante ist. e 6,9774 ist gleich dem Wert 1072,1.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

24.2 Beispiel 2: Wachstumsrate in der Bundesrepublik 585
Damit kann die geschätzte Wachstumsfunktion auch folgendermaßen geschrieben
werden:
bip = 1072,1 · e 0,0278 · t
Der Wert 1072,1 kann dabei als Ausgangswert des Wachstumsprozesses in dem
beobachteten Zeitraum angesehen werden. Ausgehend von diesem Wert wächst
das BIP - gemäß der angepaßten Kurve - seit 1960 jährlich mit der Rate von
0,0278 bzw. 2,78%. Die langfristige Entwicklung des Bruttoinlandsprodukts zwischen
1960 und 1994 läßt sich damit in stilisierter Form durch eine Funktion mit
konstanter Wachstumsrate von 2,78% abbilden.
MODEL: MOD_9.
Independent: Time
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
BIP GRO ,971 33 1089,48 ,000 6,9774 ,0278
Abbildung 24.5: Textoutput der Anpassung einer Wachstumsfunktion an die Entwicklung
des BIP
3000
Bruttoinlandsprodukt - Alte Bundesländer
(in Preisen von 1991; Mrd. DM)
2000
1000
0
0
10
20
30
40
Sequence
Abbildung 24.6: Entwicklung des BIP in dem früheren Bundesgebiet von 1960 bis 1994
(weiße Kurve) und daran angepaßte Wachstumsfunktion (schwarze Kurve)
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

586 Kapitel 24 Kurvenanpassung
24.3 Kurventypen
Sie können in der Prozedur KURVENANPASSUNG zwischen elf verschiedenen Kurventypen
wählen. Nur ein Kurventyp (Linear) beschreibt unmittelbar einen linearen
Zusammenhang zwischen der abhängigen und der erklärenden Variablen. Allerdings
lassen sich auch alle übrigen zehn Kurventypen in eine lineare Funktion
transformieren. Dies kann sehr hilfreich sein, wenn die Beziehung zwischen den
Variablen mit anderen Verfahren, die eine linearen Zusammenhang voraussetzen,
weiter untersucht werden soll.
Mit dem Kurventyp Linear schätzen Sie eine Funktion der allgemeinen Form: 265
y = b 0 + b 1 · x
Diese Funktion ist damit linear in den Variablen y und x. Der Kurventyp Logarithmisch
schätzt dagegen eine Funktion der allgemeinen Form:
y = b 0 + b 1 · ln(x)
Diese Funktion ist zwar nicht linear in den Variablen y und x, wohl aber in y und
ln(x). Wenn also der wahre Zusammenhang zwischen zwei Variablen durch die
nichtlineare Funktion y = b 0 + b 1 · ln(x) abgebildet wird, können Sie die natürlichen
Logarithmen für die Werte der Variablen x berechnen und erhalten auf diese
Weise eine neue Variable, die einen linearen Zusammenhang zur Variablen y aufweist.
Mit dem Kurventyp Kubisch schätzen Sie eine Funktion der allgemeinen Form:
y = b 0 + b 1 · x + b 2 · x 2 + b 3 · x 3
Auch diese Funktion ist natürlich nicht linear in den Variablen y und x, wohl aber
in den Variablen y, x, x 2 und x 3 .
Der Kurventyp Zusammengesetzt schätzt eine Funktion der allgemeinen Form:
y = b 0 ·
Durch Logarithmierung läßt sich diese Funktion in folgende Form überführen:
ln(y) = ln(b 0 ) + ln(b 1 ) · x
Damit ist die Funktion linear in den Variablen ln(y) und x.
Die Übersicht in Abbildung 24.7 führt alle elf zur Verfügung stehenden Kurventypen
auf und gibt jeweils die durch einen Kurventyp geschätzte Funktion in der
allgemeinen Form an. Zusätzlich wird jeweils dargestellt, in welcher Weise die
Funktion transformiert werden kann, damit sie einen linearen Zusammenhang
zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren erklärenden Variablen beschreibt.
x
b 1
265 Zur Bedeutung der Symbole siehe auch die Erläuterungen in Abbildung 24.7.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

24.3 Kurventypen 587
Kurventyp Funktion Lineare Form
Linear y = b 0 + b 1 · x y = b 0 + b 1 · x
Logarithmisch y = b 0 + b 1 · ln(x) y = b 0 + b 1 · ln(x)
Invers y = b 0 + x
b 1 y = b0 + x
b 1
Quadratisch y = b 0 + b 1 · x + b 2 · x 2 y = b 0 + b 1 · x + b 2 · x 2
Kubisch y = b 0 + b 1 · x + b 2 · x 2 + b 3 · x 3 y = b 0 + b 1 · x + b 2 · x 2 + b 3 · x 3
Exponent
b1
y = b 0 · x
Zusammengesetzt y = b 0 ·
x
b1
ln(y) = ln(b 0 ) + b 1 · ln(x)
ln(y) = ln(b 0 ) + ln(b 1 ) · x
b1
S
b
y = e + b
0 x
ln(y) = b 0 + 1
x
Logistisch
1
y =
⎛ 1 1
1 x
+ b
o 0 ⋅ b
⎟ ⎞
ln
⎜ + = ln(b 0 ) + ln(b 1 ) · x
1
⎝ y o ⎠
Wachstum
b0+ b1⋅x
y = e
ln(y) = b 0 + b 1 · x
Exponentiell
b x
y = b 0 · e ⋅ 1
ln(y) = ln(b 0 ) + b 1 · x
Hierbei ist y die abhängige und x die erklärende Variable. b 0 , b 1 , b 2 und b 3 bezeichnen die
zu schätzenden Regressionskoeffizienten. e ist die Eulersche Zahl (≈ 2,71828) und ln der
natürliche Logarithmus. Bei der logistischen Funktion bezeichnet o eine Obergrenze des
logistischen Modells, die in dem Dialogfeld Kurvenanpassung vorgegeben werden kann.
Abbildung 24.7: Übersicht über die zur Verfügung stehenden Kurventypen
Abbildung 24.8 skizziert die typischen Kurvenverläufe, die mit den einzelnen zur
Verfügung stehenden Kurventypen erstellt werden können. Dabei hängt die konkrete
Form einer Kurve sehr stark von den jeweils verwendeten Parametern ab.
Besonders deutlich wird dies unter anderem bei den Kurventypen Exponent und
Zusammengesetzt, für die jeweils drei Kurven (die mit unterschiedlichen Parametern
erzeugt wurden) dargestellt werden.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

588 Kapitel 24 Kurvenanpassung
Linear Logarithmisch Invers
Quadratisch Kubisch Exponent
11 2
1
3 3
Zusammengesetzt S Logistisch
1
2
3
Wachstum
Exponentiell
Abbildung 24.8: Skizze der typischen Kurvenverläufe der unterschiedlichen Kurventypen
24.4 Einstellungen zur Kurvenanpassung
Um eine oder mehrere Kurvenanpassungen durchzuführen, wählen Sie den Befehl
STATISTIK
REGRESSION
KURVENANPASSUNG...
Dieser Befehl öffnet das in Abbildung 24.9 dargestellte Dialogfeld. Nehmen Sie
dort folgende Einstellungen vor:
¾ Abhängige Variable(n): Fügen Sie in dieses Feld eine oder mehrere abhängige
Variablen ein. Wenn Sie mehrere abhängige Variablen angeben, wird für jede
von ihnen eine eigene Kurvenanpassung durchgeführt. Sie erhalten somit die
gleichen Ergebnisse wie bei zweimaligem Ausführen der Prozedur mit jeweils
einer abhängigen Variablen.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

24.4 Einstellungen zur Kurvenanpassung 589
Abbildung 24.9: Dialogfeld des Befehl STATISTIK, REGRESSION, KURVENANPASSUNG
¾ Unabhängige Variable: Möchten Sie eine erklärende Variable angeben, wählen
Sie in der Gruppe Unabhängige Variable die Option Variable, und verschieben
Sie die erklärende Variable in das entsprechende Feld. Soll dagegen
eine Kurve an die Entwicklung einer Variablen im Zeitablauf angepaßt werden,
wählen Sie die Option Zeit.
¾ Modelle: Kreuzen Sie in dieser Gruppe die Kurventypen an, die für die Kurvenanpassung
verwendet werden sollen (siehe im einzelnen Abschnitt
24.3, Kurventypen, S. 586). Wenn Sie den Kurventyp Logistisch wählen, können
Sie eine Obergrenze des logistischen Modells angeben (siehe auch die
Gleichung in Abbildung 24.7). Dies muß eine positive Zahl sein, die größer ist
als der größte in der abhängigen Variablen vorkommende Wert. Als Voreinstellung
ist die Obergrenze auf unendlich eingestellt, so daß der Term 1/o in
der logistischen Gleichung den Wert null annimmt und damit entfällt.
¾ Konstante in Gleichung einschließen: Diese Option ist per Voreinstellung angekreuzt,
so daß in der Regressionsgleichung ein konstanter Term berücksichtigt
und geschätzt wird. Soll kein konstanter Term berücksichtigt werden,
wählen Sie diese Option ab. Damit entfällt in den Gleichungen jeweils der Parameter
b 0 .
¾ Diagramm der Modelle: Mit dieser ebenfalls voreingestellten Option wird ein
Diagramm mit dem Verlauf der beobachteten Werte und den daran angepaßten
Kurven erstellt (siehe zum Beispiel Abbildung 24.3, S. 581).
¾ ANOVA-Tabelle anzeigen: Kreuzen Sie diese Option an, um für jedes Modell
(also für jede Kombination aus abhängiger Variablen und Kurventyp) eine
Übersicht mit den wichtigsten Kennzahlen einer Varianzanalyse zu erstellen.
¾ Speichern: In dem Dialogfeld dieser Schaltfläche können Sie veranlassen, daß
die Ergebnisse der Kurvenanpassung als Variablen gespeichert werden (s.u.).
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing

590 Kapitel 24 Kurvenanpassung
Speichern
Abbildung 24.10: Dialogfeld der Schaltfläche „Speichern“
Mit der Schaltfläche Speichern öffnen Sie das in Abbildung 24.10 wiedergegebene
Dialogfeld, das folgende Optionen enthält:
¾ Variablen speichern: Sie können veranlassen, daß die vorhergesagten Werte,
die Residuen und/oder die Vorhersageintervalle als neue Variablen in der geöffneten
Datendatei gespeichert werden. Die Vorhersageintervalle werden in
zwei Variablen gespeichert, von denen eine die Werte der unteren und die andere
die Werte der oberen Intervallgrenze aufnimmt. Die Variable für die untere
Intervallgrenze erhält den Namen lcl_1, die für die obere Grenze den Namen
ucl_1 (bzw. entsprechende Namen mit höheren Endziffern). Für die Breite des
Konfidenzintervalls können Sie in der Dropdown-Liste zwischen einem 90%-,
einem 95%- und einem 99%-Konfidenzniveau wählen.
¾ Fälle vorhersagen: Wenn Sie in dem Hauptdialogfeld für die unabhängige
Variable die Option Zeit gewählt haben, können Sie einen Vorhersagezeitraum
festlegen, der über den Beobachtungszeitraum hinausgeht. Hierzu stehen die
folgenden Optionen zur Verfügung:
y Von der Schätzperiode bis zum letzten Fall vorhersagen: Haben Sie die in
der Kurvenanpassung zu berücksichtigenden Fälle mit dem Befehl DATEN,
FÄLLE AUSWÄHLEN und dort mit der Option Nach Zeit- oder Fallbereich
eingeschränkt, werden mit dieser Option Prognosewerte für die gesamte
Schätzperiode und für alle anschließenden Fälle berechnet.
y Vorhersagen bis: Geben Sie in dem Feld Beobachtung an, bis zu welchem
Zeitpunkt (1, 2, 3, ...) Prognosewerte berechnet und gespeichert werden
sollen. Haben Sie in der Datendatei ein Datum definiert 266 , können Sie für
die letzte Vorhersageperiode das Datum angeben. Hierzu stehen dann die
entsprechenden Eingabefelder zur Verfügung.
266 Hierzu steht der Befehl DATEN, DATUM DEFINIEREN zur Verfügung, siehe im einzelnen
Abschnitt 9.8, Datumsvariablen erstellen, S. 246.
Felix Brosius, SPSS 8
International Thomson Publishing