Betrag eines Vektors - Lehrer-Uni-Karlsruhe RAI

LGÖ Ks M 12 06.10.2013
Aufgaben zu: Betrag eines Vektors
2
1) Gegeben ist der Vektor u 6
.
2
Bestimme den Vektor v , für den gilt:
Ein zu v gehörender Pfeil ist parallel zu einem zu u gehörenden Pfeil und gleich gerichtet, und
es gilt v 3.
2) Ein Schwimmer steigt zum Zeitpunkt 0 A 0,5 |1,5 ins Wasser und beginnt, mit
konstanter Geschwindigkeit geradlinig zu schwimmen. Der Weg, den er in einer Stunde
2
zurücklegt, wird durch den Vektor v beschrieben (alle Koordinaten in km).
1
a) Zeichne den Punkt A sowie die Bahn des Schwimmers.
b) Bestimme die Ortsvektoren der Punkte B, C und D, an denen sich der Schwimmer nach
einer, nach zwei und nach drei Stunden befindet. Zeichne diese Punkte ein.
c) Gib eine Gleichung für die Position des Schwimmers in Abhängigkeit von der Zeit t (in h)
an.
d) Bestimme die Position des Schwimmers nach viereinhalb Stunden.
e) Bestimme die Geschwindigkeit des Schwimmers.
t im Punkt
3) Zwei Schiffe S 1
und S
2
begegnen sich auf dem offenen Meer. Beide fahren mit konstanter
Geschwindigkeit und halten einen geradlinigen Kurs. S
1
befindet sich zu Beginn der Beobachtung
auf Position A9| 2
und ist nach drei Stunden auf Position B 15 |16
. S
2
befindet
sich zu Beginn der Beobachtung auf Position C 5|2
und fährt mit einer Geschwindigkeit
3
von 12 km h in Richtung u (alle Koordinaten in km).
4
a) Gib für beide Schiffe eine Gleichung an, auf welcher Position sie sich nach der Zeit t (in h)
befinden.
b) Gib eine Gleichung für die Entfernung d der Schiffe zum Zeitpunkt t an.
Wie weit sind die Schiffe 40 Minuten nach Beginn der Beobachtung voneinander entfernt?
c) Wann kommen sich die Schiffe am nächsten, und wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Hausaufgaben zu: Betrag eines Vektors
1) Untersuche, ob das Dreieck ABC mit A7|0| 1
, B 5| 3| 1
und 4|0|1
C gleichschenklig
oder sogar gleichseitig ist.
2) Zeige, dass das Viereck ABCD mit A3| 2|0
, B 5|2|0
, 1, 5 | 4 | 0
D 2,5 | 2 | 0
ein gleichschenkliges Trapez ist.
3) Für jede reelle Zahl r ist ein Punkt Pr
5|0|
P vom Punkt 4| 2|5
Werte des Parameters r hat der Punkt
r
C und
r gegeben. Für welchen Wert bzw. für welche
A die Entfernung 3?
08a_auf_betrageinesvektors 1/2

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4) Ein Ballon startet im Punkt P 2|5|0. Er bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit
und ist nach einer halben Stunde im Punkt Q 3 | 6,5 | 0,5
. Beim Start des Ballons befindet
sich ein Kleinflugzeug im Punkt R 10 |15 |1
und fliegt geradlinig mit 90 km h in Richtung
1
u
2
(alle Koordinaten in km).
2
Wann kommen sich der Ballon und das Kleinflugzeug am nächsten?
Wie weit sind sie in diesem Augenblick voneinander entfernt?
Übungsaufgaben
Übungsbuch Pflichtteil 2013
6.1 Rechnen mit Vektoren / Addition und Subtraktion von Vektoren g) – i)
6.1 Rechnen mit Vektoren / Verschiedene Aufgaben a), f) II), g)
Übungsbuch Wahlteil 2013
Abitur 2009 Aufgabe B 1.1 a) ohne „Unter welchem Winkel …“, b)
Abitur 2010 Aufgabe B 1.1 a) nur „Zeigen Sie, dass das Dreieck …“ und „Ergänzen Sie das
Dreieck …“
Abitur 2012 Aufgabe B 1.1 b) ohne „Es gibt senkrechte Pyramiden …“
Abitur 2012 Aufgabe B 2.1 a) nur „Wie weit bewegt sich …“, b) , c)
Weg-Zeit-Gesetz eines Körpers, der sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt:
Ein Körper befindet sich zum Zeitpunkt t 0 am Ort A. Von da an bewegt er sich geradlinig mit
konstanter Geschwindigkeit und bewegt sich in einer Zeiteinheit um den Vektor v . Dann befindet
sich der Körper zum Zeitpunkt t am Ort P mit dem Ortsvektor
p atv
.
Die Geschwindigkeit des Körpers ist v v
.
Bestimmung des „Geschwindigkeitsvektors“ v :
Befindet sich der Körper zum Zeitpunkt t 1 am Ort B, dann ist v AB .
1
Befindet sich der Körper zum Zeitpunkt t am Ort C, dann ist v AC .
t
Bewegt sich der Körper mit der Geschwindigkeit v in Richtung des Vektors u , dann ist
1
v vu0
v u.
u
Standardaufgabe (minimale Entfernung zweier Körper):
Zwei Körper bewegen sich gemäß den Weg-Zeit-Gesetzen
p1 a1 tv1
und p2 a2 tv2
.
Wann haben die Körper minimale Entfernung voneinander, und wie groß ist diese minimale
Entfernung?
Lösung:
Die Entfernung der Körper zum Zeitpunkt t ist
d t PP p p .
1 2 2 1
Bestimme (mit dem GTR) das Minimum der Funktion d für 0 t sowie den zugehörigen Zeitpunkt
t.
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