Fakultäten, Binomialkoeffizienten, binomische Reihe
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( ) ( n<br />
0 + n<br />
1<br />
)<br />
+ . . . +<br />
( n<br />
n<br />
)<br />
= 2 n ,<br />
und für a = −b = 1, n ∈ N 1<br />
( ) ( n<br />
0 − n<br />
1<br />
)<br />
+<br />
( n<br />
2<br />
) ( )<br />
− + . . . + (−1)<br />
n n<br />
n = 0.<br />
Man prüft leicht nach, dass für alle x ∈ R 1 gilt<br />
( x<br />
k<br />
) ( ) ( )<br />
+<br />
x<br />
k+1 = x+1<br />
k+1 , k ∈ N0 ,<br />
und für alle x > 0 die Gleichungen<br />
( −x<br />
k<br />
( x<br />
k<br />
)<br />
= (−1)<br />
k ( x+k−1<br />
k<br />
)<br />
−<br />
( x<br />
k−1<br />
erfüllt sind.<br />
)<br />
, k ∈ N0 ,<br />
) ( ) ( ) ( )<br />
+ − . . . (−1)<br />
k−1 x + (−1)<br />
k x = x−1 , k ∈ N0<br />
1<br />
Weitere Eigenschaften von <strong>Binomialkoeffizienten</strong> findet man z. B. in Feller I,<br />
Kap. II, 10-12.<br />
0<br />
k
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