1 Klausur

Dr. Reimund Albers
Wintersemester 2012/13
Mathematisches Denken (und Lehren) 1
Klausur
Modulabschlussklausur großes Fach: oder Teilprüfung kleines Fach:
Name:_________________________________ Mat.Nr.:__________________
Aufgabe 1 2 3 4 5 Summe
maximal 8 10 9 10 10 47
erreicht
Zugelassene Hilfsmittel:
4 Seiten (einseitige Blätter) eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner
Bitte weisen Sie sich durch einen Lichtbildausweis aus.

Grundsätzliches: Eine Klausur ist eine Gelegenheit, dem Prüfer zu zeigen, was Sie alles
wissen. Es ist also in Ihrem Interesse, dass Ihre Ausführungen lesbar, verständlich
und logisch nachvollziehbar sind. Für Studierende des Lehramts ist eine Klausur
immer auch eine Prüfung für die Fähigkeit, mathematische Dinge klar und
verständlich darzustellen.
1. Logik
a. Wir betrachten Spielmarken, die auf der einen Seite einen Buchstaben haben
und auf der anderen Seite eine Ziffer. Welche der Spielmarken müssen Sie
umdrehen, um zu testen, ob sie der Regel entsprechen: „Wenn der Buchstabe A
ist, dann ist die Ziffer 1 oder 2.“ Was muss dann auf der anderen Seite zu sehen
sein?
A B 1 2 3
b. Zeigen Sie mit einer Wahrheitstafel die logische Äquivalenz der Aussageform
(
! A ⇒C )!oder!( B ⇒C) und der Aussageform ¬C ⇒ ¬A!oder!¬B
!
( ).
2. Stellenwertsystem
a. Lösen Sie folgende Subtraktionsaufgabe im 12er-­‐System.
1023A12 – 439B12
Wandeln Sie beide Zahlen in das 10er-­‐System um, führen dort die Subtraktion
durch und wandeln das Ergebnis in das 12er-­‐System zurück.
b. Stellen Sie eine Regel zur Teilbarkeit durch 8 im Dezimalsystem auf bzw.
begründen Sie sie. Arbeiten Sie in jedem Fall mit der gewichteten Quersumme.
Begründen mit dieser Regel, dass 1601704 durch 8 teilbar ist.
c. Untersuchen Sie die folgenden Teilbarkeitsregeln im 7er-­‐System auf ihre
Wahrheit und begründen Sie Ihre Vermutung:
• Im 7er-­‐System ist eine Zahl durch 2 teilbar, wenn die Quersumme durch 2
teilbar ist.
• Im 7er-­‐System ist eine Zahl durch 107 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
3. Vollständige Induktion/Fibonacci-­‐Zahlen
Wir betrachten die Fibonacci-­‐Zahlen !
f n
mit der bekannten Definition
! f = f + f und n+1 n n−1 ! f = f = 1 .
1 2
n
Für alle !n ∈ gilt: ∑ ( f k
−1) f k
= f n
f n+1
− f n+2
+1
! k=1
a. Zeigen Sie die Gültigkeit der Summenformel für n = 6.
b. Beweisen Sie die Formel mit vollständiger Induktion.

4. Platonische Körper
In einem großen schwedischen Möbelhaus werden derzeit Spiegelelemente in Form
von regelmäßigen Sechsecken verkauft. 10 Stück sollen rund 13.-­‐ Euro kosten. Als
Maß wird 18 x 20,8 Zentimeter angegeben.
a. Zeichnen Sie auf dem beiliegenden Arbeitsblatt in die Spiegelskizze ein, um
welche Maße es sich handelt.
(1 Punkt)
b. Bestimmen Sie die Länge a der Kante eines Spiegelelements. (3 Punkte)
c. Begründen Sie: Warum kann man aus diesen Spiegelelementen keinen Körper
bauen?
(1 Punkt)
d. Welche Oberfläche hat ein platonischer Körper, der aus regelmäßigen Fünfecken
mit der Kantenlänge b = 12,7 cm hergestellt wird?
Großes Fach: Berechnen Sie die Fläche eines Fünfecks durch Zerlegung in
Teilflächen, für die Sie die Flächenformel kennen.
Kleines Fach: Verwenden Sie für das regelmäßige Fünfeck die fertige
Flächenformel A 5
= b2
! 4
25+10 5 (3 Punkte)
e. In einen Dodekaeder, der bekannter Maßen 20 Ecken hat (siehe dazu die
Abbildung auf dem Arbeitsblatt), kann man 8 Ecken so wählen, dass sie einen
Würfel bilden. Berechnen Sie die Kantenlänge dieses einbeschriebenen Würfels,
wobei die Kantenlänge des Dodekaeders b = 12,7 cm beträgt.
(2 Punkte)
5. Goldener Schnitt und Pascalsches Dreieck: Zahlenfolgen
a) Im Pascal-­‐Dreieck finden sich in der Spalte 2 die Dreieckszahlen.
Schreiben Sie die ersten fünf Dreieckszahlen auf und stellen Sie die Erzeugung
dieser Zahlenfolge dar.
b) Berechnen Sie
4 – 1 = 9 – 4 + 1 = 16 – 9 + 4 – 1 =
Welches ist die nächste Rechnung entsprechend der begonnenen Systematik?
c) Bringen Sie nun die Dreieckszahlen mit der Rechnung in b) in Zusammenhang
und formulieren Sie, was Ihnen auffällt..
d) Schreiben Sie den Zusammenhang allgemein auf.
• Verwenden Sie Qn für die n-­‐te Quadratzahl und Dn für die n-­‐te
Dreieckszahl.
• Schreiben Sie den Zusammenhang zwischen den Quadratzahlen und
Dreieckszahlen auch auf unter Verwendung des Summenzeichens.
e) Begründen Sie die Gesetzmäßigkeit allgemein am Punktemuster. Berücksichtigen
Sie dazu die helle und dunkle Färbung der Punkte.

Name: ______________________________
Arbeitsblatt zur Aufgabe 4
zu a.
zu e.