Formelsammlung zur Vorlesung Physik für Chemiker, Biochemiker ...

Formelsammlung zur Vorlesung
Physik für Chemiker, Biochemiker, Geowissenschaftler
für Verwendung bei der Klausur zugelassen, Prof. Hägele, Bochum
Mechanik, Strömungslehre, Wärmelehre, Elektrizitätslehre, Optik
Version 1.1 (12. Juli 2010, Fehler und Ergänzungswünsche bitte an Jörg Rudolph)
MECHANIK
beschleunigte Bewegung
konstante Beschleunigung ⃗a 0
⃗s(t) = ⃗s 0 + ⃗v 0 t + 1 2 ⃗a 0t 2 (1)
Spezialfall eindimensional, ⃗v 0 = 0 und ⃗s 0 = 0
s(t) = 1 √
2s
2 at2 ; t =
a
Wurfparabel
Impuls:
(2)
y(x) = x tan(α) − x 2 1 g
2 v0 2 (3)
(cos(α))2
2. Newton’sches Axiom:
⃗p = m⃗v (4)
Erdbeschleunigung
Erddrehung
g = 9.81 m s 2 (13)
−5 rad
ω = 7.29 × 10
s
(14)
Dynamisches Kräftegleichgewicht
∑
⃗F j − m⃗a = 0 (15)
Drehbewegung
Winkelgeschwindigkeit
j
ω = ˙ϕ (16)
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ω 0
ϕ(t) = ω 0 t + ϕ 0 (17)
⃗F = m⃗a (5)
= ˙⃗p (6)
Ohne äußere Kräfte folgt Impulserhaltung
p gesamt = ∑ m i ⃗v i = konst. (7)
i
Federkraft (rücktreibende Kraft)
Zentrifugalkraft
Drehimpuls:
F = mv2
r
(18)
= mω 2 r (19)
⃗L = ⃗r × ⃗p (20)
Hangabtriebskraft
Elastizitätsmodul E
Gravitationsgesetz
Gravitationskonstante γ
F = −Ds (8)
F = mg sin(α) (9)
∆l = F l 1
A E
(10)
F = γ m 1m 2
r 2 (11)
Massenträgheitsmoment J (oftmals auch Θ)
J z = ∑ j
m j (r 2 x + r 2 y) (21)
Massenträgheitsmoment Vollzylinder: J = 1 2 MR2 ,
dünnwandiger Hohlzylinder: J = MR 2 ; Vollkugel: J =
2
5 MR2
Drehmoment
⃗M = ⃗r × ⃗ F (22)
= |⃗r|| ⃗ F | sin(α) (23)
Ohne äußeres Drehmoment folgt Drehimpulserhaltung
m3
γ = 6.674 × 10 −11
kg s 2 (12)
⃗L gesamt = ∑ j
⃗r j × ⃗p j = konst. (24)

2
Rotation um Hauptträgheitsachse z
Steiner’scher Satz
L z = J z ω z (25)
J z = M(x 2 + y 2 ) + J Schwerpunkt,z (26)
Arbeit und Leistung
Kinetische Energie
Potentielle Lageenergie
Federenergie
Rotationsenergie
Leistung
∆W = ⃗ F ∆⃗s = | ⃗ F ||∆⃗s| cos(α) (27)
W kin = 1 2 m⃗v2 (28)
W pot = mgh (29)
W Feder = 1 2 Ds2 (30)
W Rot = 1 2 Jω2 (31)
P = Ẇ (32)
Leistung bei Kraft ⃗ F auf Massenpunkt mit
Geschwindigkeit ⃗v
Schwingungen: Federpendel
√
D
ω 0 =
m
Frequenz
P = ⃗ F⃗v (33)
f = ω 2π
(34)
(35)
Bernoulli-Gleichung
Auftrieb
STRÖMUNGSLEHRE
p statisch + 1 2 ρv2 + ρgh = konst. (42)
F = V ρ verdraengteFluessigkeit g Erdbeschleunigung (43)
Oberflächenspannung
σ =
Kraft
Kantenlaenge
Spezifische Oberflächenenergie
ε = ∆W
∆A
Es gilt σ = ε. Überdruck in Seifenblase
∆p = 4ε
r
Spezifische Oberflächenenergie von Wasser
Absolute Temperaturskala
(44)
(45)
(46)
ε = 7.3 × 10 −2 J m 2 (47)
WÄRMELEHRE
T = (θ C / ◦ C + 273.15) K (48)
Periodendauer
T = 1 f
Physikalisches Pendel:
√
lmg
ω 0 =
J
Fadenpendel
(36)
(37)
Zustandsgleichung ideales Gas
pV = νRT = νN A k B T = Nk B T (49)
Zusammenhang von p und V bei adiabatischer Zustandsänderung
pV κ = konst. (50)
√ g
ω 0 =
l
Resonanzamplitude einer getriebenen Schwingung
A S =
Elastischer zentraler Stoß:
(38)
F E /m
√(ω 2 0 − ω2 ) 2 + 4γ 2 ω 2 (39)
v ′ 1 = m 1 − m 2
m 1 + m 2
v 1 + 2m 2
m 1 + m 2
v 2 (40)
v ′ 2 = m 2 − m 1
m 1 + m 2
v 2 + 2m 1
m 1 + m 2
v 1 (41)
Avogadrokonstante
Boltzmannkonstante
molare Gaskonstante
N A = 6.022 × 10 23 1
mol
k B = 1.381 × 10 −23 J K
J
R = N A k B = 8.314
mol K
(51)
(52)
(53)

3
Maxwell-Verteilung des Betrags der Geschwindigkeit in
idealem Gas
f(v) dv = √ 4 ( ) 3/2 m
v 2 e − mv2
2k BT dv (54)
π 2k B T
Maximum der Maxwell-Verteilung
√
2kB T
v max =
m
(55)
Zusammenhang von mittlerer Geschwindigkeit und Maximum
der Maxwell-Verteilung
Isochore Entropieänderung
∆S = c V ln
(
TB
)
; c V = f Rν (67)
T A 2
Im idealen Gas gilt für die Wärmekapazität c p bei konstantem
Druck
c p = c V + νR (68)
v max =
√
2
3 〈⃗v2 〉 1/2 (56)
Mittlere kinetische Energie eines Teilchens im idealen
Gas
〈 1
2 mv2 〉
= 3 2 k BT (57)
spezifische Wärmekapazität c
∆Q = cM∆T (58)
Schmelzwärme Wasser
c Wasser = 4.19 × 10 3 J
kg
λ S = 3.34 × 10 5 J
kg
thermische Längenausdehnung Festkörper
(59)
(60)
∆l = αl∆T (61)
Wärmeleitung
I = λA ∆T
∆x
Wärmeleitfähigkeit λ von Eis bei −20 ◦ C
λ = 2.33 W
m K
(62)
(63)
Stefan-Boltzmann Gesetz (Strahlungsleistung eines
Planck’schen Strahlers)
P e = σAT 4 , σ = 5.6703 × 10 −8 W
m 2 K 4 (64)
Wien’sches Verschiebungsgesetz
λ max =
2850 µm K
T
Isotherme Entropieänderung im idealen Gas
∆S =
∫ VB
V A
dQ rev
T
= νR ln
(
VB
V A
)
(65)
(66)

4
ELEKTRIZITÄTSLEHRE
Energiesatz im konstanten elektrischen Feld
Coulomb-Gesetz
Kraft auf Ladung 2 von Ladung 1
⃗F 2 = 1
4πε 0
Q 1 Q 2
r 2 ⃗e r ; r = |⃗r 2 − ⃗r 1 |; ⃗e r = ⃗r 2 − ⃗r 1
|⃗r 2 − ⃗r 1 |
(69)
Kapazität
E kin + qΦ(⃗r) = konst. (82)
C = Q U
(83)
Ladung des Elektrons
C2
ε 0 = 8.85 × 10 −12
Nm 2 (70)
q e = −e = −1.6 × 10 −19 C (71)
Feld einer Punktladung im Koordinatenursprung
Elektrischer Dipol
⃗E(⃗r) =
Q 1
4πε 0 r 2 ⃗e r (72)
⃗p = q⃗r (73)
Drehmoment auf Dipol im elektrischen Feld
⃗M = ⃗p × ⃗ E (74)
Potentielle Energie eines Dipols im elektrischen Feld
Satz von Gauß
W pot = −⃗p ⃗ E (75)
∫ ∫
⃗E d ⃗ A = Q ε 0
(76)
Elektrische Feldstärke im Plattenkondensator
elektrisches Potential
eindimensional:
E =
Q
Aε 0
(77)
F (z) = qE(z) = −qΦ ′ (z) (78)
Berechnung des elektrischen Potentials aus einem rotationsfreien
elekrischen Feld
Φ(⃗r) =
∫ ⃗r
′
Potential einer Punktladung am Punkt ⃗r 1
Φ(⃗r) =
⃗r
⃗E(⃗r ′ ) d⃗r ′ (79)
Q
4πε 0
1
|⃗r − ⃗r 1 |
Zusammenhang elektrisches Feld und Potential
(80)
⃗E = −gradΦ(x, y, z) = −((∂/∂x)Φ, (∂/∂y)Φ y , (∂/∂z)Φ) T
(81)
Energie im Kondensator
Kapazität des Plattenkondensators
W = 1 Q 2
2 C = 1 2 CU 2 (84)
C = Aε 0
d
Spannung und Feld im Plattenkondensator
(85)
E = U/d (86)
Kapazität einer Parallelschaltung von Kondensatoren
C ges = C 1 + C 2 + C 3 + ... (87)
Kapazität einer Serienschaltung von Kondensatoren
Dielektrikum
C −1
ges = C −1
1 + C −1
2 + C −1
3 + ... (88)
ε r = C D (mit Dielektrikum)
C 0 (ohne Dielektrikum) = U 0
U D
bei Ladung Q konst.
Strom
(89)
I = dQ (transportierte Ladung pro Zeit) (90)
dt
Stromdichte
Leitfähigkeit σ
Spezifischer Widerstand
Ohm’sches Gesetz
Leitwert
⃗j = I A ⃗e Drift = nq⃗v Drift (91)
⃗j = σ ⃗ E (92)
ρ = 1 σ
R = U I
G = 1 R
(93)
(94)
(95)

5
Gesamtwiderstand Serienschaltung
R ges = R 1 + R 2 + R 3 + ... (96)
Gesamtwiderstand Parallelschaltung
Kirchhoff’sche Regeln
Am Knoten
R −1
ges = R −1
1 + R −1
2 + R −1
3 + ... (97)
∑
I j = 0 (98)
j
Vorzeichen von I j ist positiv, falls Strom zum Knoten
fließt.
Maschenregel
∑
U j = 0 (99)
j
Für Widerstand gilt U j = −IR. Für Batterie in
Maschenrichtung (von + über Masche nach −) gilt U j =
U Q > 0.
Elektrische Momentanleistung
Leistung eines Widerstandes
P (t) = U(t)I(t) (100)
P = UI = I 2 R = U 2
R
(101)
Magnetfeld im Zentrum einer stromdurchflossenen Leiterschleife
B = µ 0I
2πr
(102)
Feld einer Leiterschleife mit Radius r auf der Symmetrieachse
z.
B z = µ 0I
2
Gesetz von Biot und Savart
r 2
√
r2 + z 23 (103)
d ⃗ B = µ 0
4π I d⃗ l × ⃗e r
|⃗r| 2 µ 0 = 4π10 −7 N A 2 (104)
Magnetfeld einer langen Spule
Lorentzkraft
Faraday’sches Induktionsgesetz
U ind = − d (∫
dt
B = µ 0
N
l I (105)
⃗F = q⃗v × ⃗ B (106)
)
⃗B dA
⃗
(107)
= − ˙Φ m (108)
Im Fall von N Windungen gilt
U ind = −N ˙Φ m (109)
Φ m ist der magnetische Fluss durch die Fläche A, die
von einer geschlossenen Leiterschleife umgrenzt ist.
Induktionsspannung bei Stromänderung
Induktivität einer langen Spule
U ind = −L ˙ I (110)
L = µ 0N 2 A
l
Energie im Magnetfeld einer Spule
(111)
W = 1 2 LI2 (112)
Energiedichte eines statischen Magnetfeldes
Energiedichte im elektrischen Feld
w = 1 B 2
(113)
2 µ 0
w = 1 2 ε 0E 2 (114)
Wechselstromkreise
Periode und Kreisfrequenz im LC- Schwingkreis
T = 2π √ LC; ω 0 = 1 √
LC
(115)
Gedämpfter LC Schwingkreis (LCR)
√
ω ′ = ω0 2 − δ2 ; δ = R 2L
Änderung der Ladung auf Kondensator C
(116)
Q(t) = Q 0 e −δt cos(ω ′ t + ϕ). (117)
Komplexe Widerstände (Ansatz mit U(t) = U 0 e iωt , d.h.
positiver Frequenz ω. Anderenfalls i durch −i ersetzen.)
Getriebener RLC-Kreis.
Spannung
Phasendifferenz
Z C = − i
ωC
(118)
Z L = iωL (119)
Z R = R (120)
Amplitude von Strom und
U
I = √
(121)
R 2 + (ωL − 1
ωC )2
tan ψ = ωL − 1
ωC
R
(122)

6
OPTIK
KONSTANTEN UND EINHEITEN
Brechungsindex
Snellius’sches Brechungsgesetz
n = c 0
c m
= √ µ r ε r (123)
n 1 sin(Θ 1 ) = n 2 sin(Θ 2 ) (124)
Relative Strahlungsintensitätsdichte eines oszillierenden
Dipols
I ∝ (sin(ϕ)) 2 (125)
Winkel ϕ ist zwischen Schingungsachse und Beobachter.
Brewsterwinkel
tan(α B ) = n 2 z.B. Glas
=
n 1 z.B. Luft
(126)
Brennweite f eines sphärischen Spiegels (Kugelradius R)
Elektrische Feldkonstante
ε 0 = 8.8542 × 10 −12
Magnetische Feldkonstante
Lichtgeschwindigkeit
Elementarladung
Ampere:
As
Vm
−7 Vs
µ 0 = 4π × 10
Am
c = 2.9979 × 10 8 m s
(131)
(132)
(133)
|e| = 1.6022 × 10 −19 As (134)
f = R 2
(127)
[I] = A = C s
(135)
Abbildungsgleichung
1
g + 1 b = 1 f
Gegenstandsweite g, Bildweite b, Brennweite f.
Kombination von zwei dünnen Linsen im Abstand d.
Brechkraft
(128)
1
= 1 + 1 −
d
(129)
f ges f 1 f 2 f 1 f 2
Volt:
Tesla:
Henry:
[U] = V = J C = Nm
As
(136)
[B] = T = Vs Nm
m 2 = c
s
m 2 (F = q⃗v × B) ⃗ (137)
D = 1 f
Einheit [D] = Dioptrie = dpt = 1 m −1 .
(130)
[L] = H = Vs
A
(U = −L ˙ I) (138)