8.8 Windkraftanlagen *

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8.8 Windkraftanlagen *
Windkraftanlagen (WKA) wandeln kinetische Energie der Luft in elektrische Energie um. Zur
Vermeidung eines Staus muss die Luft hinter der Anlage mit einer endlichen Geschwindigkeit
abströmen. Daher können WKA grundsätzlich nur einen Teil der kinetischen Energie der Luft
in Nutzenergie umwandeln; der maximale Wirkungsgrad – weiter unten „Leistungsbeiwert“
genannt – ist daher aus theoretischen Gründen kleiner als Eins.
Wir wollen im Folgenden den theoretisch
maximalen Leistungsbeiwert einer Windkraftanlage
berechnen. Dazu benötigen wir nur den Impulssatz,
die Kontinuitätsgl. und die Bernoulli-Gl.
Die kurze Rechnung fasziniert besonders deshalb,
weil Bauart und Typ der WKA nicht in die
Rechnung eingehen, so dass das Ergebnis ganz
allgemein gilt. Die Theorie, die A. Betz in den
1920-ger Jahren entwickelte, ist die physikalische
Grundlage für das Verständnis und die Berechnung
aller WKA.
Anders als bei der exakten Berechnung des maximalen nimmt der Strömungsquerschnitt zu.
Wirkungsgrades von Wärmekraftmaschinen in Unterkapitel
„14.4 Carnotscher Kreisprozess“ müssen wir hier vereinfachende Vorraussetzungen machen:
• Die Luft ist inkompressibel: ρ = const. Diese Vorraussetzung ist nach Aufgabe 8.1 gut erfüllt.
• Die Energieverluste durch den Strömungswiderstand F W (siehe Gl. (8.8–8) weiter unten) werden
vernachlässigt. Das ist zulässig, da die Auftriebskräfte F A moderner Rotoren (siehe Gl. (8.8–11))
über hundertmal größer sein können als die Strömungswiderstände.
• Die Umströmung an der Rotorspitze von der Druckseite zur Saugseite vermindert den Auftrieb zum
Rotorende hin. Betz konnte auch diesen Verlust nicht berücksichtigen.
• Die Rotorblätter erhalten einen Drehimpuls. Wegen „actio = reactio“ hat auch die abströmende Luft
einen Drehimpuls, den sog. „Nachlaufdrall“. Die Verwirbelungsverluste sind für kleine
Schnelllaufzahlen λ < 4 (siehe Gl. (8.8–9)) erheblich, werden aber von Betz übergangen.
Schmitz hat die Betzsche Theorie erweitert und die Rotationsverluste im Abwind berücksichtigt.
• Die Luftströmung ist stationär. Daher müssen Windräder unendlich viele Rotorblätter haben; die
Rotorblätter müssen also über den ganzen Strömungsquerschnitt „verschmiert“ sein.
• Die Rechnung ist eindimensional, weil sich weit vor und weit hinter den Rotorblättern
Windgeschwindigkeiten und –drücke quer zur Rotorachse nicht ändern.
Die Luftmasse ∆ m , die eine Fläche A in der Zeit ∆ t mit der Windgeschwindigkeit v laminar
und senkrecht durchströmt, beträgt
∆ m = ρ A ∆s
= ρ A v ∆t
mit ρ = Luftdichte = 1 ,2
Die kinetische Energie dieser Luftmasse beträgt
∆m
2 ρ 3
∆E
= v = A v ∆t
2 2
Abb. 8.8–1 Wegen der Kontinuitätsgl.
A =
1 v1
= A2
v 2 A3
v 3
kg
m
3
kg
.... 1,3
3
m

Die Leistung des Windes, der durch die Fläche A strömt, lautet
P
Wind
2
ρ 3
= A v
(8.8–1)
2
Die Windleistung ist proportional zur dritten Potenz der Windgeschwindigkeit v.
Die sog. „Rotorebene“ ist die Ebene, in der die Rotorblätter rotieren. In den weiteren
Rechnungen haben die physikalischen Größen weit vor der Rotorebene, in der Rotorebene
und weit hinter der Rotorebene die Indices 1 , 2, 3 (siehe Abb. 8.8–1).
Offensichtlich gibt der Wind die Leistung
P
WKA
=
P
Wind ,1
−
P
Wind ,3
ρ
=
2
3 3
( A v − A v )
1
an die WKA ab. Mit der Kontinuitätsgl. für den Massenstrom m& der inkompressiblen Luft
1
∆m
m& : = = ρ A1
v1
= ρ A3
v3
(8.8–2)
∆ t
ρ 2 2 m&
2 2
folgt P = A v ( v − v ) = ( v − v )
WKA
2
1
1
1
3
2
1
3
3
3
(8.8–3)
Die erweiterte Bernoulli-Gl. berücksichtigt den Druckverlust ∆ p 1 3 in der Anlage (siehe
Aufgabe 8–15). Sie lautet in unserem Fall:
p
1
ρ
+ v
2
2
1
=
p
3
ρ
+ v
2
2
3
+ ∆ p
13
Die statischen Drücke p 1, p3
weit vor und weit hinter der Rotorebene sind gleich groß:
p = p = . Daraus folgt:
1 3 pAtmosphäre
ρ
2
2 2
( v − v ) = ∆ p13
1
13
Beim Druchströmen der WKA ändert sich der Impuls der Luftmasse
Impulsänderung
=
( v v )
∆m −
Die Zeitableitung des Impulses der strömenden Luft
d
dt
Impuls
1
( v − v ) = m ( v − v )
∆m
= 1 3
&
∆ t
3
1
3
∆ m um
ist laut Impulssatz gleich der horizontalen Kraft F auf die Rotorebene A 2 :
ρ
2
2 2
F m&
( v − v ) = ∆ p = = ( v − v )
1
3
13
ρ
⇒ m & = A ( v + v )
2
2
1
3
A
2
↑
Impulssatz
1
Nach Gl. (8.8–3) gibt der Wind folgende Leistung an die WKA ab:
A
2
1
3
1 Die zwei Gln. m& = ρ/ 2 ⋅ A2 ( v1
+ v 3)
= ρ A2
v 2 liefern die Windgeschwindigkeit in der Rotorebene:

P
WKA
2 2
( v + v ) ( v − v )
3
ρ
= A2
1 3 1 3
(8.8–5)
4
Division durch die Leistung PWind = ρ/ 2⋅
A2
v1
des Windanteiles, der weit vor den Rotoren
auf die Fläche A 2 der Rotorebene zuströmt, ergibt das Verhältnis der entnommenen Leistung
zu der im Wind enthaltenen Leistung 2 . Dieses Verhältnis heißt „Leistungsbeiwert“ c P :
2 2
( v + v ) ( v − v )
3
⎛ v ⎞
⎛ ⎞ ⎛
2
⎞
⎜
3 P
⎟
WKA 1 3 1 3 1 v
= =
= ⎜
3
+ ⎟ ⎜
v 3
c ⎟
P :
1
1 −
3
2
(8.8–6)
⎝
v1
⎠
PWind
2 v
2
⎝
v1
⎠ ⎝ v1
⎠
1
Wenn wir c P nach v 3 ableiten und die Ableitung gleich null setzen, so erhalten wir für
v 3 = v 1 / 3 den maximalen Leistungsbeiwert, den sog. „Betzschen Leistungsbeiwert“
max ⎛ 1 ⎞ 16
c
P
= c P ⎜ ⎟ = ≈ 0,593
(8.8–7)
⎝ 3 ⎠ 27
Theoretisch können maximal 59,3%
der Windenergie in mechanische
Energie umgewandelt werden. In der
Praxis erreichen gute WKA bei
günstiger Windgeschwindigkeit den
Leistungsbeiwert c P ≈ 0, 5 , also fast
85% des theoretischen Maximums.
Die Betzsche Theorie gilt auch für Meeresströmungskraftwerke,
bei denen sich die
Rotoren unter Wasser drehen und das
Wasser nicht durch Rohre geführt wird.
Die Theorie gilt nicht für ummantelte
Laufwasserkraftwerke, weil das Wasser hier
durch Rohre strömt, so dass sich die
Stromröhre seitlich nicht ausweiten kann
wie in Abb. 8.8–1. Laufwasserkraftwerke
haben Wirkungsgrade bis 92%.
Abb. 8.8–2 Leistungsbeiwert als Funktion von v 3 / v1
.
Beispiel 8.8−1 Leistung einer großen Windkraftanlage
Eine große WKA in Küstennähe hat einen Rotorradius von r = 55 m und gibt bei einer
Windgeschwindigkeit von v 1 = 12 m / s (Windstärke 6. Starker Wind; starke Äste werden bewegt)
ihre Nennleistung P (installierte Leistung) ab.
( v v )
1
v 2 = 1 + 3
(8.8–4)
2
2 Wegen der Division durch A 2 wird die Energie der äußeren Randschichten, die weit vor den Rotoren auf die
Querschnittsfläche A 2 zuströmen und kurz vor der Rotorfläche die Rotoren ungenutzt außen herum umfließen,
in der Berechnung berücksichtigt.

a) Wie groß ist die Nennleistung P?
4
b) Wieviele Fußballfelder (mit je 68 m ⋅ 100 m ) benötigt eine Photovoltaikanlage (PVA) mit einem
Wirkungsgrad von 18%, um im Jahr dieselbe elektrische Energie zu erzeugen wie die WKA?
Hinweise: 1) Die Zahl
z VL : =
z VL der Volllaststunden einer Anlage wird wie folgt definiert:
Pro Jahr gelieferte Energie
Nennleistung
Für WKA und Photovoltaikanlagen (PVA) gilt in Küstennähe in Norddeutschland:
WKA
PVA
z = 2500 h z =
VL VL
850 h
2) Rechne mit dem Leistungsbeiwert c P = 0, 5 und der Luftdichte ρ = 1,2 kg / m
3
.
2
2
3) PVA benötigen etwa 2 m Land für 1 m Modulfläche.
4) Bei wolkenlosem Himmel wird eine Sonnenleistung von 1 kW / m eingestrahlt.
Lösung:
ρ 2 3
a) P = 0,5 ⋅ PWind
= 0,5 ⋅ π r v1
≈ 4,93 MW
↑
2
Gl. (8.8−1)
4,93 MW ⋅ 2500 h
b) N =
⋅ 2 ≈ 23, 7
2 kW
6800 m ⋅ 1 ⋅ 0,18 ⋅ 850 h
2
m
2
Im Prinzip gibt es zwei Arten von WKA: Widerstandsläufer (siehe Beispiel 8.8–2) und
Auftriebsläufer (siehe die Abb. 8.8–4/5/6).
Die sog. „Widerstandsläufer“ werden durch den aus Gl. (8.6–1) bekannten
Strömungswiderstand F W
angetrieben:
ρ 2
FW
= c
W
A v
(8.8–8)
2
mit c = dimensionsloser Widerstandsbeiwert A = angeströmte Stirnfläche
W
Das folgende Beispiel zeigt, dass die Leistungsbeiwerte der Widerstandsläufer unter 0,2
liegen und daher deutlich kleiner sind als der theoretisch maximale Leistungsbeiwert 0,593.
Widerstandsläufer spielen daher bei der Energieerzeugung nur eine untergeordnete Rolle.
Beispiel 8.8−2 Schalen-Anemometer
Schalen-Anemometer (siehe Abb. 8.8–3) rotieren aufgrund des Strömungswiderstandes. Sie
werden gerne für die Messung der Windgeschwindigkeit eingesetzt.
a) Berechne die Leistung P WKA des in Abb. 8.8–3 dargestellten Schalen-Anemometers für die
momentane Ausrichtung senkrecht zur Windrichtung.
b) Zeige, dass der theoretisch maximale Leistungsbeiwert von Widerstandsläufern unter 0,2 liegt.
Lösung:
a) Nach Gl. (4.2–3) lautet die Leistung:
= F ω l − F ω l =
P W KA W 1 W 2
ρ
= A ω l
2
2
2
[ c ( v − ωl
) − c ( v + ωl
) ]
W 1
1
W 2
1

Mit der sog. „Schnelllaufzahl“
1
5
Umfangsgeschwindigkeit ωl
λ : =
= (mit λ < 1 aus physikalischen Gründen) (8.8–9)
Windgeschwindigkeit v
ergibt sich der Leistungsbeiwert des Schalen-Anemometers in der gezeigten Stellung zu
P
2
2
[ c ( 1 − λ) − c ( + ) ]
P
c ( λ
(8.8–10)
WKA
P
λ)
=
= = λ
1
↑
W 1
W
P
↑
2
Gl. (8.8−6)
Wind
Gl. (8.8−1)
c ist maximal für λ ≈ 0, 157 :
c
max
P
= c
P (0,157) ≈ 0,074
Wenn die Windgeschwindigkeit v 1 etwa 6,4 mal so groß
ist wie die Umfangsgeschwindigkeit ω l , dann hat das
Schalen-Anemometer einen maximalen Leistungsbeiwert
von etwa 0,074.
Beachte: Die Rechnung gilt nur für die in Abb. 8.8−3 gezeigte
Stellung. Im zeitlichen Mittel ist c P deutlich kleiner.
b) Offene Halbkugeln mit der Öffnung gegen den Wind
(siehe die obere Halbkugel in der Abb. 8.8−3) haben mit
c W = 1,33 den größten c W − Wert. Daher erhält man den
theoretisch maximalen Leistungsbeiwert von
Widerstandsläufern, wenn man c W 2 in Gl. (8.8–10) gleich
null setzt:
max
P
c ≈ 0,193 .
Abb. 8.8–3 Anemometer
Zur Stromerzeugung werden nahezu ausschließlich die sog. „Auftriebsläufer“ mit
horizontalen Drehachsen eingesetzt. Ihre Rotorblätter haben die Form von Flugzeug-
Tragflügeln. Die Strömungsgeschwindigkeit ist über der stärker gewölbten Oberfläche größer
als über der flachen Oberfläche. Die verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten verursachen
laut Bernoulli-Gl. Druckunterschiede und somit einen Auftrieb (siehe die Abbn. 8.2−12 und
8.8–4).
Die Auftriebskraft hat die gleiche Form wie der Strömungswiderstand
F
A
F W in Gl. (8.8–8):
ρ 2
= cA
A⊥
vA
(8.8–11)
2
mit c A = dimensionsloser Auftriebsbeiwert v = Anströmgeschwindigkeit (siehe Abb. 8.8–4)
A = Profilfläche = Spannweite l ⋅ Profiltiefe t (siehe die Abbn. 8.8–5/6)
⊥
Die Anströmgeschwindigkeit v A ist die Vektorsumme der Windgeschwindigkeit v 2 in der
Rotorebene und der negativen Umlaufgeschwindigkeit der Rotoren (siehe Abb. 8.8−4). Die
Windkraft auf den Rotor ist die Vektorsumme der Auftriebskraft F A – sie steht senkrecht auf
der Anströmgeschwindigkeit – und dem (hier vernachlässigten) Strömungswiderstand F W –
er ist parallel zu v A . Die tangentiale Komponente von F A dreht das Windrad.
Für die folgende Diskussion benötigen wir zwei Winkel (siehe Abb. 8.8–5):
A

• Der Anstellwinkel α ist der Winkel zwischen der Anströmgeschwindigkeit
Profilsehne. α gibt die Richtung der Anströmung relativ zum Rotorblatt an.
6
v A und der
• Der Blatteinstellwinkel ϑ ist der Winkel zwischen der Profilsehne und der Rotorebene.
Auftriebsbeiwert und Auftriebskraft hängen stark vom Anstellwinkel α ab. Für α < 10 ° gilt
näherungsweise (ohne Beweis)
π
c A ≈ 5,5 ⋅ α
für α < 10 °
(8.8–12)
180°
Bei zu hohen Anstellwinkeln reißt die Strömung über der gewölbten Oberfläche der
Rotorblätter ab und der Auftrieb fällt um mehr als 10%.
Es gibt zwei Konzepte, um die Leistung ab einer bestimmten Windgeschwindigkeit konstant
zu halten und um die Windräder bei zu starkem Sturm vor Überlastung zu schützen:
1) Stall-Regelung: Die Rotorblätter sind fest mit der Nabe verbunden; der Blatteinstellwinkel
ϑ kann nicht geändert werden. Ein direkt ans Netz gekoppelter Asynchrongenerator hält die
Drehzahl praktisch konstant. Mit steigender Windgeschwindigkeit nimmt der Anstellwinkel α
automatisch zu. Bei zu hohen Anstellwinkeln reißt die Strömung über der gewölbten
Oberfläche der Rotorblätter ab, so dass Auftrieb und Leistung beschränkt werden.
Vorteile: Stall-Regelungen sind technisch einfach und billig zu realisieren.
Nachteile: Beschränkte Regelungsmöglichkeiten. Bei Strömungsabriss fällt die Leistung um mehr als 10%.
2) Pitch-Regelung: Der Blatteinstellwinkel ϑ kann mit Elektromotoren verstellt werden; dabei
ändert sich auch der Anstellwinkel α. Oberhalb der Nennwindgeschwindigkeit – sie liegt je
nach Anlage zwischen 12 m/ s und 16 m/ s – wird die Leistungsabgabe konstant gehalten,
indem das Rotorblatt durch Vergrößerung des Winkels ϑ in den Wind gedreht wird.
Vorteile: Die Leistung kann bei hohen Windgeschwindigkeiten konstant gehalten werden. Bei zu stürmischen
Abb. 8.8–4 Die Anströmgeschwindigkeit v A setzt sich aus
der Windgeschwindigkeit v 2 in der Rotorebene und der negativen
Umfangsgeschwindigkeit ω l (Fahrtwind)
zusammen.
Die Auftriebskraft steht senkrecht auf der Anströmgeschwindigkeit
v A . Die tangentiale Komponente der Auftriebskraft
dreht den Rotor.
Abb. 8.8–5 Der Anstellwinkel α gibt
die Richtung der
Anströmgeschwindigkeit v A an. Für
α = 0 ist F A = 0 .
Der Blatteinstellwinkel ϑ beschreibt die
Ausrichtung der Rotorblätter. Die
Änderung des Winkels ϑ ändert auch
den Winkel α und die
Leistungsaufnahme.

Winden (etwa
v Wind >
20 m/s .... 35 m / s
7
) lässt sich die
Anlage zum Schutz vor mechanischer Überlastung
abschalten, indem die Rotorblätter in Fahnenstellung (α = 0)
gedreht werden.
Nachteile: Hoher technischer und finanzieller Aufwand.
Beim Einbau von Frequenzumrichtern, die die
Frequenz von Wechselströmen ändern, können die
Drehzahlen der Windräder variieren, so dass teuere
und störungsanfällige Getriebe entfallen können;
dann sind die Reibungsverluste gering und die
Anlage kann bei relativ kleinen
Windgeschwindigkeiten anfahren.
Abb. 8.8–6 Da sich die
Umfangsgeschwindigkeit von der Nabe
zur Rotorspitze erhöht, sind die
Rotorblätter in sich verdreht (verwindet).
Deshalb ist der Anstellwinkel α entlang
eines Blattes nahezu konstant.
Dieses Kapitel stammt aus dem Lehrbuch:
Physik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Band 1: Mechanik und Thermodynamik
von Friedhelm Kuypers Wiley-VCH-Verlag
450 Seiten, davon über 70 Seiten Lösungen von Aufgaben
24,95 €