Nicht-abelsche Eichtheorien - Physikzentrum der RWTH Aachen

Kapitel 4
Nicht-abelsche Eichtheorien;
Quantisierung von
Eichtheorien
4.1 Eichsymmetrien und eichinvariante Lagrange-
Dichten
Grundlage der folgenden Betrachtungen sind Materiefelder ψ αa (x), mit a,
dem Index bezüglich innerer Symmetrie und dem Lorentz-Index α (Spinor-,
Vektor-,... Index). Letzterer spielt im Folgenden keine Rolle und wird unterdrückt.
Ziel dieses Kapitels ist die Konstruktion einer Lagrange-Dichte, die invariant
unter der Transformation
ψ a (x) → D ab (g −1 ) (x) ψ b (x) (4.1)
ist. Dabei ist D(g) eine Darstellung der Symmetriegruppe G. Man erlaubt
jetzt, dass die Matrix D(g) von x abhängt. Eine solche Symmetrie-Transformation
bezeichnet man als lokale Symmetrie oder Eichsymmetrie.
Wie üblich gehen wir davon aus, dass es sich bei der Symmetriegruppe um
eine Lie-Gruppe handelt, so dass wir zur infinitesimalen Version der Symmetrie
-Transformation übergehen können:
ψ ′ a (x) − ψ a(x) = δψ a (x) = iε A (x)T A ab ψ b(x), A = 1,... ,D , (4.2)
147

wobei D die Dimension der Symmetriegruppe ist. ε A (x) sind reelle Funktionen.
Bei den Erzeugenden oder Generatoren Tab A handelt es sich um D
n × n-Matrizen, wenn n die Dimension der Darstellung ist. Sie hängen von
der gewählten Darstellung ab, erfüllen aber immer die Lie-Algebra
[
T A ,T B] = if CAB T C . (4.3)
Die Strukturkonstanten f CAB sind dagegen unabhängig von der Darstellung
und hängen nur von der Symmetriegruppe G ab, da die Lie-Algebra allein
aus den Gruppeneigenschaften folgt. Die Strukturkonstanten sind reell, da
die ε A reell sind.
Warum betrachtet man lokale Symmetrien?
In der Natur gibt es masselose Vektorteilchen (Photonen) und Wechselwirkungen
(QCD), die zumindest bei hohen Energien gut durch den Austausch
von masselosen Vektorteilchen, den Gluonen, beschrieben werden können,
was nahe legt, dass diese als fundamentale Felder in der Lagrange-Dichte
auftreten. Man benötigt also eine Quantentheorie von masselosen Vektorfeldern.
In der “Relativistischen Quantentheorie” (Kap. 3.3.5) hatten wir festgestellt,
dass man keine Lorentz-kovarianten Felder für masselose Spin-1 Teilchen mit
zwei Helizitätszuständen ±1 konstruieren kann. Stattdessen transformieren
solche Felder unter Lorentz-Transformationen wie folgt:
U(Λ)A µ (x)U −1 (Λ) = ( Λ −1) µν A ν (Λx) + ∂ µ θ Λ (Λx) (4.4)
Der die Kovarianz zerstörende, berechenbare Zusatzterm hat jedoch keine
Konsequenz, wenn:
(a) A µ an einen erhaltenen Strom j µ koppelt, d.h j µ A µ . Dies suggeriert
die Notwendigkeit einer inneren Symmetrie mit j µ als Noetherstrom.
(b) L nicht nur Lorentz-invariant ist, sondern auch invariant unter
für beliebige Funktionen θ(x).
A µ (x) → A µ (x) + ∂ µ θ(x) (4.5)
Wir werden sehen, dass dies genau durch die Eichsymmetrie geleistet wird,
wobei wir gleich die allgemeine Möglichkeit behandeln, dass die innere Symmetrie
G ist und nicht nur U(1) (Phasenrotationen) wie im bisher diskutierten
Fall der Quantenelektrodynamik.
148

4.1.1 Konstruktion der eichinvarianten Lagrange-Dichte
Unter der Transformation
sind Ausdrücke wie
ψ a (x) → ψ a (x) + δψ a (x) = ψ a (x) + iε A (x)T A ab ψ b(x) (4.6)
∂ µ φ † ∂ µ φ − m 2 φ † φ, (4.7)
¯ψ (iγ µ ∂ µ − m)ψ (4.8)
nur invariant, wenn ε A (x) = const (globale Symmetrie). Das Problem liegt
offensichtlich darin, dass ∂ µ ψ a nicht dasselbe Transformationsverhalten wie
ψ a hat:
δ(∂ µ ψ) = ∂ µ
(
iε A T A ψ ) = iε A T A ∂ µ ψ + i(∂ µ ε µ ) T A ψ . (4.9)
Um den unerwünschten Term zu eliminieren, führen wir ein Feld A A µ (d.h. D
reelle Vektorfelder) ein und fordern ein Transformationsverhalten unter der
Symmetrie, so dass sich eine eichinvariante Lagrange-Dichte ergibt. Das Feld
A A µ heißt Eichfeld. Sein Vektor- und Symmetrieindex sind dadurch festgelegt,
dass man aus A A µ die kovariante Ableitung
D µ,ab ≡ δ ab ∂ µ − iA A µ (x)T A ab (4.10)
konstruiert. Das Transformationsverhalten von A A µ ist durch folgende Forderung
festgelegt:
Dann sind
δ(D µ ψ) ! = iε A T A D µ ψ . (4.11)
(D µ φ) † D µ φ − m 2 φ † φ, (4.12)
¯ψ (iγ µ D µ − m)ψ (4.13)
invariant unter der lokalen Symmetrie-Transformation, die durch unitäre
Matrizen U = D(g −1 ) (x) vermittelt wird (später wird gezeigt, dass U unitär
ist, vgl. Kap. 4.1.2).
149

Transformationseigenschaft von A A µ
Wir betrachten zunächst
δ(D µ ψ) = δ(∂ µ ψ) − iδA A µ T A ψ − iA A µ T A iε B T B ψ . (4.14)
Unter Verwendung von (4.9) und (4.10) lässt sich (4.14) in folgender Form
schreiben:
Daraus folgt
δ(D µ ψ) = iε A T A D µ ψ − iδA A µ T A ψ + i ( ∂ µ ε A) T A ψ
+ iε A T A iA B µ T B ψ − iA A µT A iε B T B ψ
!
= iε A T A D µ ψ . (4.15)
δA A µ T A = ( ∂ µ ε A) T A + iε A [ T A ,T B] A B µ
= ( ∂ µ ε A + f ABC ε C A B µ
)
T A , (4.16)
wobei verwendet wurde, dass f CAB = −f CBA . Für das (infinitesimale)
Transformationsverhalten von A A µ erhält man somit
A A µ → A A µ + ∂ µ ε A + f ABC ε C A B µ . (4.17)
Der letzte Term verschwindet für eine abelsche Eichsymmetrie (U(1)), da
dann nur ein Generator existiert, so dass [T,T] = 0 und f ABC = 0.
Große (d.h nicht-infinitesimale) Eichtransformationen generiert man wie
üblich durch Exponentieren, so dass
womit gilt
ψ → D ( g −1) (x) ψ ≡ Uψ mit U = eiεA (x) T A , (4.18)
A µ ≡ A A µT A → UA µ U † + iU∂ µ U † , (4.19)
D µ → UD µ U † , (4.20)
D µ ψ → UD µ ψ . (4.21)
150

Feldstärke-Tensor
Die Lagrange-Dichte muss auch Ableitungen von A A µ enthalten, wenn A A µ ein
dynamisches Feld sein soll (→ Teilchen mit Spin 1). In der Elektrodynamik
ist
F µν ≡ ∂ µ A ν − ∂ ν A µ = i[D µ ,D ν ] (4.22)
eichinvariant. [D µ ,D ν ] sieht wie ein Differentialoperator aus, ist aber eine
Funktion, da [∂ µ ,∂ ν ] = 0. Für den allgemeinen Fall definiert man
G µν = G A µν T A ≡ i[D µ ,D ν ]
= ∂ µ A ν − ∂ ν A µ − i[A µ ,A ν ]
= ( ∂ µ A A ν − ∂ νA A µ + fABC A B )
µ AC ν T
A
(4.23)
mit dem Transformationsverhalten
G µν → UG µν U † , (4.24)
bzw. G A µν → fABC ε C G B µν (4.25)
für infinitesimale Transformationen. Aus diesen Eigenschaften folgt, dass
Größen wie tr (G µν G µν ) eichinvariant sind.
Anmerkung: ∂ µ ist ein Vektor unter Lorentz-Transformationen. Folglich
fordern wir dies auch für A µ , d.h.
A µ (x) → ( Λ −1) µν
Aν (Λx). (4.26)
Wir wissen schon, dass dann ein Problem auftreten muss, wenn man versucht
A µ als Feld für die Helizitätszustände eines Spin-1 Teilchens mit Masse 0
zu interpretieren. Dieses Problem wird uns später bei der Quantisierung
beschäftigen.
Die allgemeine eichinvariante Lagrange-Dichte setzt sich zusammen aus
und dem jeweiligen Adjungierten, sowie
ψ, D µ ψ, D µ1 D µ2 ψ,... (4.27)
G A µν , D ρG A µν , D ρ 1
D ρ2 G A µν ,... (4.28)
und Produkten davon. Das Eichfeld A A µ selbst tritt nicht auf, da es kein
homogenes, kovariantes Transformationsverhalten hat.
151

Beschränkt man sich auf die Terme mit den niedrigsten Massendimensionen
(die Rechtfertigung hierfür erfolgt aus der Renormierungstheorie) erhält man
mit [A µ ] = 1 (wegen [D µ ] = 1) und [G µν ] = 2:
L = − 1 4 g ABG A µνG B,µν − 1 2 θ AB ǫ µνρσ G A,µν G B,ρσ + L M
+ [Terme höherer Dimension], (4.29)
mit einer symmetrischen und konstanten Matrix g AB . L M enthält die jeweiligen
Beiträge der Materiefelder, z.B.
L M = (D µ φ) † D µ φ − m 2 φ † φ für das skalare Feld, (4.30)
L M = ¯ψ (i ̸D − m)ψ für das Dirac-Feld. (4.31)
Der θ AB -Term verletzt die Paritätssymmetrie, von der man experimentell
weiß, dass sie in reinen Eichwechselwirkungen in guter Näherung erhalten
ist. Dieser Term wird deshalb nicht betrachtet, d.h. θ AB ≡ 0. (Der θ AB -Term
ist außerdem eine totale Ableitung und spielt deshalb nur bei gewissen nicht
perturbativen, topologischen Effekten eine Rolle.)
4.1.2 Gruppentheoretische Ergänzung
Bisher wurde nichts darüber gesagt, welche Lie-Gruppen bzw. -Algebren für
eine nicht-abelsche Eichtheorie in Frage kommen. An dieser Stelle können
wir diese durch zwei physikalische Forderungen einschränken:
(1) Die symmetrische Matrix g AB muss positiv definit sein (damit die
kinetische Energie im Hamilton-Operator positiv ist).
(b) Es muss
g AB f BCD + g CB f BAC = 0 (4.32)
gelten. Anderenfalls ist g AB G A µν GB µν nicht eichinvariant, denn unter
einer infinitesimalen Transformation gilt nach (4.25):
δ ( g AB G A µν GB,µν) = g AB f ACD ε D G C µν GB,µν + g AB f BCD ε D G A µν GC,µν
= ( g AB f BCD + g CB f BAD) ε D G A µν GC,µν
!
= 0 (4.33)
152

Diese zwei Forderungen haben weitreichende Konsequenzen (Beweis, siehe
Weinberg Kap. 15, App. A):
(a) Es existiert eine Basis der Lie-Algebra, so dass f ABC vollständig antisymmetrisch
ist (und nicht nur in B ↔ C). Dies gilt dann für alle
Darstellungen.
(b) Die Lie-Gruppe (Lie-Algebra) ist ein direktes Produkt (direkte Summe)
von kompakten und einfachen und U(1) Untergruppen (Unteralgebren),
d.h.
mit G i kompakt und einfach.
G = G 1 ⊗ ... ⊗ G m ⊗ U(1) ⊗ ... ⊗ U(1), (4.34)
Anmerkung: Eine Gruppe heißt einfach, wenn keine invariante Untergruppe
H existiert, d.h. eine Untergruppe für die
ghg −1 ∈ H, ∀ h ∈ H, g ∈ G . (4.35)
Eine Gruppe heißt kompakt, wenn sie eine kompakte Gruppenmannigfaltigkeit
besitzt.
(c) Die endlich-dimensionalen Darstellungen von kompakten Lie-Gruppen
sind unitär, d.h. die Operatoren U sind unitäre Matrizen. In diesem
Fall sind die Generatoren hermitesch, denn
U = e iεA T A unitär ⇒ T A = T A† . (4.36)
(d) Durch eine weitere Basistransformation kann g AB in die Form
⎛ ⎫
⎞
1
g1
2 ⎪⎬
g AB =
⎜
⎝
. ..
1
g 2 1
⎪⎭
G 1
. ..
1
g 2 m
...
1
g 2 m
U(1)-Faktoren
⎫
⎪⎬
⎪⎭ G m
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1
g ′ 1 2 1
g ′ 2 2 . ..
1
g ′ n 2
⎟
⎠
(4.37)
153

gebracht werden.
Daraus folgt, dass die Gruppe G und die Lagrange-Dichte L in unabhängige
Teile zerfallen, welche den Gruppenfaktoren entsprechen.
O.B.d.A. können wir also im Folgenden annehmen, dass entweder
und damit
G = einfach, kompakt oder G = U(1) (4.38)
− 1 4 g ABG A µνG B,µν → − 1
4g 2 GA µνG A,µν . (4.39)
Falls G ein direktes Produkt ist, führt man für jeden Faktor die ihm
entsprechenden Eichfelder ein (→ Gluonen, Photonen, W-Bosonen,
...).
Klassifikation von kompakten, einfachen Lie-Gruppen (Cartan)
(a) SU(N): unitäre N × N-Matrizen U mit det U = 1 (N ≥ 2).
Die Generatoren T A sind hermitesch und es gilt tr T A = 0, denn
detU = e tr log U = e tr iεA T A !
= 1 ∀ ε A . (4.40)
Eine hermitesche, spurfreie N × N-Matrix hat N − 1 unabhängige
reelle Diagonalelemente und N(N−1)
2
komplexe Elemente oberhalb der
Diagonalen. Die Elemente unterhalb der Diagonalen sind dann fixiert,
so dass für die Dimension D der Gruppe folgt:
D = 2 ·
N(N − 1)
2
+ N − 1 = N 2 − 1. (4.41)
(b) SO(N): unitäre N × N-Matrizen mit det U = 1, die das euklidische
Skalarprodukt x a δ ab y b invariant lassen (x,y reelle N-
komponentige Vektoren).
Die Invarianz des euklidischen Skalarprodukts ist gerade die Eigenschaft
von Rotationen im N-dimensionalen Raum. Die Matrizen U
sind also reell. Die Generatoren T A müssen dann hermitesche, spurfreie
Matrizen sein, die die Gleichung
T A∗ = −T A , (wegen U = 1 + iε A T A ) (4.42)
erfüllen. Die Dimension der Gruppe ist N(N−1)
2
.
154

(c) Sp(2N): unitäre 2N ×2N-Matrizen U, die das Skalarprodukt x a ε ab y b
invariant lassen, wobei
( )
½N×N
ε ab =
. (4.43)
−½N×N
Die Gruppe hat die Dimension D = 2N(2N+1)
2
.
(d) Es gibt weitere spezielle Gruppen, die hier allerdings nicht benötigt
werden, beispielsweise
G 2 (D = 14), F 4 (D = 52), E 6 (D = 78), E 7 (D = 133), E 8 (D = 248).
Da wir in der Regel komplexwertige Felder betrachten, sind für uns die
Gruppen SU(N) und U(1) am wichtigsten.
Darstellungen
Ordnet man jedem Gruppenelement g (z.B. SU(N), SO(N),... Matrix) eine
n × n-Matrix D(g) zu, d.h.
g → D(g) = e iεA (g) T A R , (4.44)
so spricht man von einer Darstellung. Der Index R der Generatoren T A R
zeigt die jeweilige Darstellung an. Die Matrizen D(g) respektieren das Verknüpfungsgesetz
der Gruppe, d.h.
D(g 1 g 2 ) = D(g 1 )D(g 2 ). (4.45)
n bezeichnet man dann als die Dimension der Darstellung. D(g) wirkt auf einem
Vektorraum und heißt irreduzibel, wenn es keinen invarianten Teilraum
gibt.
In der Feldtheorie sind die Vektoren die Feldoperatoren ψ a , und wir betrachten
irreduzible Darstellungen. Reduzible Darstellungen können immer
in irreduzible zerlegt werden. Die kleinsten invarianten Unterräume bilden
dann den Raum für Feldoperatoren, auf denen die Darstellungen irreduzibel
sind. Für die SO(3) bzw. SU(2) Gruppe entspricht diese Zerlegung dem
Verfahren der Drehimpulsaddition (Produktdarstellung) und anschließender
Zerlegung in Teilräume mit festem Gesamtspin (irreduzible Darstellungen).
155

Fundamentale Darstellung
Bei der fundamentalen Darstellung ist die Darstellungsmatrix D(g) gleich
dem Gruppenelement g selbst, d.h.
g = U → D(U) = U . (4.46)
Für SU(N) und SO(N) ist diese Darstellung N-dimensional.
Da die Generatoren TF A (F steht für “Fundamentale Darstellung”) hermitesch
sind, ist die Matrix tr TF AT F B symmetrisch und positiv definit und kann
somit diagonalisiert und anschließend reskaliert werden, so dass wir schreiben
können
tr T A F T B F = 1 2 δAB . (4.47)
Der Faktor 1 2 ist Konvention. Die Basis, die tr T A T B diagonalisiert, ist genau
dieselbe, die auch g AB diagonalisiert. Es gilt dann
tr T A R T B R = T R δ AB (4.48)
in jeder irreduziblen Darstellung R. T R heißt Dynkin-Index der Darstellung.
Adjungierte Darstellung
Ausgehend von der Jacobi-Identität
[[
T A ,T B] ,T C] + [[ T C ,T A] ,T B] + [[ T B ,T C] ,T A] = 0 (4.49)
erhält man unter Verwendung der Lie-Algebra (4.3) unabhängig von der
Darstellung
f DAB f EDC + f DCA f EDB + f DBC f EDA = 0. (4.50)
Daraus folgt, dass die Generatoren
(
T
A
ad
)
BC ≡ −ifBCA (4.51)
die Lie-Algebra erfüllen, denn diese liefert dann gerade die Jacobi-Identität
(4.50). Tad A sind die Generatoren der adjungierten Darstellung
[ ]
g → D(g) = e iεA (g)Tad
A . (4.52)
BC
156

Die Dimension dieser Darstellung ist gleich der Dimension D der Gruppe.
Bei der adjungierten Darstellung handelt es sich um eine reelle Darstellung,
da iε A Tad A reell ist.
Wir betrachten nun D Felder φ B , die sich gemäß der adjungierten Darstellung
transformieren, d.h.
[ ]
φ B → e iεA Tad
A BC φC , (4.53)
und eine beliebige Darstellung mit Generatoren Tab A
definieren die n × n-Matrix
der Dimension n. Wir
Dann transformiert sich φ ab gemäß
φ ab = φ A T A ab . (4.54)
φ ab → U aa ′φ a ′ b ′U † b ′ b , (4.55)
mit U = e iεA T A und T A den Generatoren der beliebigen Darstellung.
Beweis:
e iεA T A φ A T A e −iεA T A = φ A T A + iε A [ T A ,T B] φ B + ...
= φ A T A + iε A if CAB T C φ B + ... = ( δ CB + iε A ( Tad
A )
CB)
φ B T C + ...
[ ]
= e iεA Tad
A CB φB T C = φ C ′ T C = φ ′ ab (4.56)
G A µν transformiert sich also gemäß der adjungierten Darstellung (vgl. (4.24)),
nicht aber A A µ wegen des inhomogenen Terms. Dies ist konsistent mit der
Annahme, dass A A µ und G A µν reelle Felder sind (→ hermitesche Operatoren).
✷
157

Resultate für SU(N)
Man benötigt selten explizite Ausdrücke für die Generatoren. Für SU(2)
sind diese proportional zu den Pauli-Matrizen σ A :
T A = σA 2 , A = 1,2,3 und fABC = ε ABC , (4.57)
mit dem total antisymmetrischen ε-Symbol. Wichtiger dagegen sind Summen
und Spuren. Für die fundamentale Darstellung der SU(N) findet man
tr T A T B = 1 2 δAB , (4.58)
und
(
T A T B) ab = N2 − 1
2N δ ab , (4.59)
tr Tad A T ad B = ( Tad
A ) (
CD T
B
ad
)DC = −fCDA f DCB
= f ACD f BCD = N δ AB , (4.60)
(
T
A
ad Tad)
A BC = ( Tad
A ) (
T
A
ad
)DC = −fBDA f DCA
BD
= f BDA f CDA = N δ BC (4.61)
für die adjungierte Darstellung.
4.1.3 Endgültige Form der Lagrange-Dichte und Bewegungsgleichungen
In Kap. 4.1.1 hatten wir den Ausdruck
L = − 1
4g 2 GA µν GA,µν + L(Materiefelder) (4.62)
für die eichinvarante Lagrange-Dichte abgeleitet. Wir führen nun eine Feldreskalierung
A A µ ≡ gÃA µ durch und verwenden anschließend wieder die Bezeichnung
A A µ für ÃA µ . Mit dieser Konvention gilt:
L = − 1 4 GA µν GA,µν + L(Materiefelder), (4.63)
158

D µ = ∂ µ − igA A µ T A , (4.64)
G µν = i g [D µ,D ν ] , (4.65)
bzw. G A µν = ∂ µ A A ν − ∂ µ A A µ + gf ABC A B µ A C ν (4.66)
und für die Transformation des Eichfeldes
bzw. infinitesimal
A µ → UA µ U † + i g U∂ µ U † , (4.67)
A A µ → AA µ + 1 g ∂ µ ε A + f ABC ε C A B µ . (4.68)
Für einfache, nicht-abelsche Gruppen ist T A für alle Darstellungen durch
die Normierung tr TF AT F
B = 1 2 δAB fixiert, bzw. durch die Basis, die f ABC
festlegt. Wegen [ T A ,T B] = if ABC T C besteht keine Reskalierungsfreiheit
mehr, d.h. der Parameter g ist für alle Darstellungen derselbe. Es gibt für
jeden einfachen, nicht-abelschen Faktor G nur eine Kopplungskonstante g.
Für U(1)-Gruppen (mit [T,T] = 0) ist T = −e ψ mit e ψ einer beliebigen
Konstanten möglich, so dass U = e −iεe ψ
auf einem Feld ψ. e ψ ist dann die
entsprechende Ladung des ψ-Feldes bezüglich der U(1)-Symmetrie.
Beispiele für Eichtheorien
U(1) em
Quantenelektrodynamik (QED)
Das relevante Materienfeld ist das Fermionfeld ψ mit
ψ(x) → e −iε(x)e ψ
ψ(x) (4.69)
SU(3) c
und dem Photon als Eichboson.
Quantenchromodynamik (QCD)
Die Materiefelder sind hier die Quarkfelder q a (x) in der fundamentalen
Darstellung, welche wie folgt transformieren:
(
q a (x) → e iεA (x)T A) q b(x). (4.70)
ab
(A = 1,... ,8) bezeichnet man als Gluo-
Die Eichbosonen A A µ
nen.
159

SU(2)
Schwache Wechselwirkung
In die schwache Wechselwirkung sind nur linkshändige Quarkund
Leptonfelder, sowie das Higgsboson (falls es existiert) in der
fundamentalen Darstellung involviert. Rechtshändige Quarkund
Leptonfelder transformieren nicht.
Die Eichbosonen W A µ A = 1,2,3 sind die W-Bosonen.
Dies ist im wesentlichen schon das Standardmodell der Elementarteilchen.
Die spezifischen Eigenschaften des Standardmodells werden in der “Quantenfeldtheorie
II” behandelt.
Feynman-Regeln (QED und QCD)
Im Folgenden sei die zugrundeliegende Eichsymmetrie U(1) oder SU(N).
Das Materiefeld sei ein Dirac-Feld. Für die Lagrange-Dichte gilt:
L = − 1 4 GA µν GA,µν + ¯ψ (i̸D − m) ψ
= − 1 (
∂µ A A ν ∂ µ A A,ν − ∂ µ A A ν ∂ ν A A,µ) +
2
¯ψ (i̸∂ − m) ψ
+ g ¯ψγ µ T A ψA A µ − gf ABC ( ∂ µ A A )
ν A B,µ A C,ν
− 1 4 g2 f ABC f ADE A B µ AC ν AD,µ A E,ν .
}
L 0
⎫
⎪⎬
⎪⎭ L int
(4.71)
Das Fermionfeld ψ αa (x) trägt den Spinorindex α = 1,... ,4 und den SU(N)-
Index a = 1,... ,N.
Wegen f ABC ≠ 0 gibt es für nicht-abelsche Theorien eine Eichboson-Selbstwechselwirkung.
Diese ist durch die Eichsymmetrie vollständig festgelegt.
Man beachte, dass ein Term der Form 1 2 m2 A A µ AA,µ in der Lagrange-Dichte
nicht erlaubt ist, d.h. die Eichbosonen sind masselos. Später werden wir
zeigen, dass auch die Selbstwechselwirkung daran nichts ändert, zumindest
in der Störungstheorie.
Eine nicht-abelsche Eichtheorie enthält zunächst drei Vertizes. Die den Vertizes
entsprechenden Feynman-Regeln im Impulsraum erhält man durch Einsetzen
in die geeigneten n-Punkt-Funktionen (vgl. Kap. 2.2.3):
160

A,µ
= igT A ab γµ αβ
b,β
a,α
k,A,µ
p,B,ν
q,C,ρ
Impulse p,q, k einlaufend
=
gf ABC[ (k − p) ρ g µν
+ (p − q) µ g νρ + (q − k) ν g ρµ
]
A,µ
D,σ
B,ν
C,ρ
=
−ig 2[ f ABE f CDE (g µρ g νσ − g µσ g νρ )
+ f ACE f BDE (g µν g ρσ − g µσ g νρ )
+ f ADE f BCE (g µν g ρσ − g µρ g νσ ) ]
Für den Fermionpropagator erhält man
ψ αa (x) ¯ψ βb (y) Impulsraum
−→
i(̸p + m) αβ
p 2 − m 2 + iε δ ab . (4.72)
Versucht man den Eichboson-Propagator zu bestimmen, so führt L 0 auf
ein unsinniges Resultat, da der Koeffizient der quadratischen Terme nicht
invertierbar ist. Die Eichung muss noch fixiert werden, damit die Dynamik
von A A µ bestimmt ist (vgl. Kap. 4.2). Dies führt zu weiteren Vertizes.
Euler-Lagrange-Gleichungen
Ausgehend von der Lagrange-Dichte
L = − 1 4 GA µν GA,µν + L M (ψ,D µ ψ) (4.73)
wollen wir nun die Euler-Lagrange-Gleichungen (ohne Eichfixierung) ableiten.
Dabei können wir annehmen, dass L M neben ψ von D µ ψ statt von ∂ µ ψ
abhängt, da ∂ µ ψ wegen der Eichinvarianz nur als D µ ψ auftreten kann.
161

Es ist
Somit folgt:
∂L
∂ (∂ µ A A ν ) = −1 2 GB ρσ
∂ (∂ µ A A ν ) = −GA,µν . (4.74)
∂G B,ρσ
∂ µ G A,µν = − ∂L
∂A A ν
= 1 ∂G B,ρσ
2 GB ρσ
∂A A ν
− ∂L M
∂A A ν
= 1 ∂G B,ρσ
2 GB ρσ
∂A A ν
−
∂L M ∂ (D ρ ψ)
∂ (D ρ ψ) ∂A A ν
= g G B,νρ f BAC A C ρ + ig ∂L M
∂ (D ν ψ) T A ψ
≡ −gj Aν . (4.75)
−j A,ν ist in der Tat der Noether-Strom zur zugehörigen globalen Eichtransformation
denn nach (1.189) gilt für den Noether-Strom
δψ = iε A T A ψ , (4.76)
δA C µ = fCBA ε A A B µ , (4.77)
−j A,ν =
∂L
∂ ( ∂ ν A C µ
) f CBA A B µ + ∂L
∂ (∂ ν ψ) iT A ψ
= −G C,νµ f CBA A B ∂L M
µ + i
∂ (D ν ψ) T A ψ . (4.78)
Mit der Umbenennung B ↔ C und der Vertauschung von A,C in f stimmt
(4.78) mit dem durch (4.75) definiert Ausdruck für j A,ν überein. Für Felder,
die den Bewegungsgleichungen genügen, gilt somit
∂ µ j A,µ = 0. (4.79)
Weder j A,µ noch ∂ µ noch ∂ µ G A,µν sind eichinvariant oder haben ein kovariantes
Transformationsverhalten. Dies liegt daran, dass die nicht-abelschen
Eichbosonen wechselwirken und selbst zum Strom beitragen.
Um eine eichinvariante Bewegungsgleichung zu erhalten, definieren wir den
Materiestrom
j A,µ
M
≡ −i ∂L M
∂ (D µ ψ) T A ψ . (4.80)
162

Dann gelten folgenden Gleichungen:
D AB
µ GB,µν = −g j A,ν
M , (4.81)
D AB
µ j A,µ
M
= 0. (4.82)
Beweis:
Aus Gleichung (4.75) folgt
−g j A,µ
M = ( ∂ µ δ AB + gf BAC A C )
µ G
B,µν
(
= ∂ µ δ AB − ig ( Tad
C ) AB
)
A
C
µ G B,µν (4.83)
(
∂ µ δ AB − ig ( Tad
C ) ) AB A
C
µ ist die kovariante Ableitung in der adjungierten
Darstellung, wenn D µ auf G µν wirkt. Man erhält also
−g j A,µ
M
= DAB µ G B,µν . (4.84)
Zum Beweis von (4.82) verwenden wir zunächst (4.81):
Dµ AB j A,µ
M
= −1 g DAB µ Dν BC G C,νµ = − 1
2g [D µ,D ν ] AC
G C,νµ , (4.85)
da G C,νµ anitsymmetrisch in den Indizes µ,ν ist. Weiter gilt:
(4.85) = i (
2 GB µν T
B ) AC GC,νµ = 1 2 fACB G B µν GC,νµ
= 1 2 fABC G B µν GC,µν = 0. (4.86)
Der letzte Ausdruck verschwindet, da f ABC anitsymmetrisch in den Indizes
B,C ist und G B µνG C,µν symmetrisch.
Für eine abelsche (U(1)) Symmetrie ist f ABC = 0 und die Gleichungen
reduzieren sich auf die bekannten Maxwellgleichungen.
Für L M = ¯ψ (i̸D − m) ψ ist der Materiestrom
j A,µ
M = ¯ψ a T A ab γµ ψ b . (4.87)
Mit T = −e ψ liefert diese Gleichung den Ladungsstrom in der QED.
✷
163

4.2 Quantisierung von Eichtheorien mit der Faddeev-Popov-Methode
4.2.1 Pfadintegral in axialer Eichung
Wir verfolgen dieselbe Strategie wie bei der Quantisierung eines massiven
Vektorfeldes (vgl. Kap. 2.1.4). Ausgehend von der Lagrange-Dichte L
der Theorie, identifiziert man die kanonischen Variablen und berechnet die
Hamilton-Dichte H mittels einer Legendre-Transformation. Mit der Hamilton-Dichte
kann man nun das Hamiltonsche Pfadintegral angeben, in dem
sowohl über die Koordinaten selbst als auch über die konjugierten Koordinaten
integriert wird. Genau wie im Fall des massiven Vektorfelds führt
man dann das Feld A A,0 , welches keiner kanonischen Koordinate entspricht,
wieder als Hilfsvariable ein. Durch Integration über die konjugierten Felder
gelangt man letztendlich zur Lagrange-Version des Pfadintegrals.
Allerdings ergibt sich für das masselose Vektorfeld (Eichfeld) eine mit der
Eichsymmetrie verknüpfte zusätzliche Komplikation, die dazu führt, dass
man weitere Terme zur Lagrange-Dichte hinzufügen muss.
Identifikation der kanonischen Variablen und Eichfixierung
Ausgangspunkt der folgenden Überlegungen ist die in Kap. 4.1.3 abgeleitete
Lagrange-Dichte
L = − 1 4 GA µνG A,µν + L M (ψ,D µ ψ) . (4.88)
Daraus erhält man für das kanonisch konjugierte Feld des Eichfelds
Π A µ =
∂L
∂ (∂ 0 A µ ) = GA µ0 . (4.89)
Analog zum massiven Vektorfeld folgt aus der Antisymmetrie des Feldstärketensors
G A µν die Nebenbedingung Π A 0 = 0 (4.90)
164

d.h. A A 0 kann nicht als kanonische Variable verwendet werden. Damit dies
konsistent ist, muss Π A 0 = 0 für alle Zeiten gelten. Die Euler-Lagrange-
Gleichung für A A 0 lautet (vgl. (4.75))
wobei ∂ 0 Π A,0 = 0 damit Π A 0
∂ 0 Π A,0 − ∂ i Π A,i + g Π B,i f ABC A C,i + gj A,0
m = 0, (4.91)
= 0 für alle Zeiten gilt.
Für das massive Vektorfeld konnte die Gleichung (4.91) aufgrund des Massenterms
verwendet werden, um A 0 durch A i und Π i auszudrücken. Hier ist
die Gleichung jedoch von A 0 unabhängig, wenn man A i und Π i als kanonische
Variablen und ihre Konjugierten betrachtet. Man erhält die weitere
Nebenbedingung
C A ≡ ⃗ ∇ · ⃗Π A + gf ABC ⃗ ΠB · ⃗A C + gj A,0
M
= 0. (4.92)
In der Elektrodynamik (f ABC = 0) entspricht dies gerade dem Gauß-Gesetz
mit ⃗ E = ⃗ Π und gj A,0
M → −ej 0 .
div ⃗ E = ̺, (4.93)
Die Dynamik der Felder A A,0 ist also nicht festgelegt. Diese Situation tritt
bei Eichsymmetrien immer auf, insofern als die Eichsymmetrie erlaubt, die
Felder um ein beliebiges Feld zu verschieben, also
A A µ → AA µ + 1 g ∂ µε A + f ABC ε C A B µ , (4.94)
d.h. es liegt eine Feldredundanz vor. Die Umkehrung gilt ebenfalls: liegt eine
nicht auflösbare Nebenbedingung vor (Nebenbedingung 1. Klasse im Gegensatz
zu 2. Klasse), dann besitzt das dynamische System eine Eichsymmetrie.
Die Lösung des Problems besteht in der Eichfixierung. Man wählt zusätzliche
Nebenbedingungen, welche die Eichinvarianz brechen, so dass das System
aller Nebenbedingungen auflösbar wird. Wir werden später sehen, dass
physikalische Größen von der Wahl der Eichfixierung nicht abhängen.
Die Quantisierung der Elektrodynamik in der “Relativistischen Quantentheorie”
hat uns automatisch zur Coulomb-Eichung A 0 = 0, ⃗ ∇ · ⃗ A = 0
geführt. In diesem Fall hätte man die drei Koordinaten A i , die noch einer
zusätzlichen Bedingung genügen.
165

Einfacher ist es, die axiale Eichung A 3 ≡ 0 zu wählen (allgemeiner n · A =
0). Diese Eichung ist nicht kovariant, doch ist die Lorentz-Kovarianz im
Hamilton-Formalismus ohnehin nicht manifest.
Bemerkung: Die Bedingung A 3 (x) ≡ 0 kann immer gestellt werden. Sei
zunächst A 3 (x) ≠ 0 und U = e iεA (x) T A . Wir suchen nun dasjenige ε A (x), so
dass
UA 3 U † + i g U∂3 U † = A 3 ′
= 0
⇒ ∂ 3 e −iεA (x) T A = ig A 3 (x)e −iεA (x) T A . (4.95)
Diese Gleichung kann immer gelöst werden (wenn A 3 (x) nicht zu pathologisch
ist).
Im Folgenden werden wir also nur noch
A A,µ , µ = 1,2 (4.96)
als kanonische Variablen betrachten. Dies stimmt mit der erwarteten Zahl
von zwei Helizitätszuständen überein. Da Π A,3 jetzt kein kanonischer Impuls
mehr ist, kann A A,0 aus dem Gauß-Gesetz bestimmt werden, denn mit
folgt aus (4.92):
Π A,3 = G A,30 A 3 ≡0
= ∂ 3 A A,0 (4.97)
− ( ∇ 3) 2
A A,0 + ∇ i Π A,i + gf ABC Π B,i A C,i + g j A,0
M
= 0, (4.98)
wobei über i = 1,2 summiert wird. Diese Gleichung kann nach A A,0 aufgelöst
werden.
Einführung von A A,0 als Hilfsfeld
Die weitere Prozedur ist ähnlich wie beim massiven Vektorfeld. Zunächst
bestimmt man den Hamilton-Operator bzw. die Hamilton-Dichte H:
H = −Π i ∂ 0 A i + Π ψ ∂ 0 ψ + 1 4 G µνG µν − L M
= −Π A,i ( G A,0i + ∂ i A A,0 − gf ABC A B,0 A C,i) + H M
166

+ 1 2 GA 0iG A,0i + 1 2 GA 03G A,03 + 1 2 GA i3G A,i3 + 1 4 GA ijG A,ij
= H M + 1 2 ΠA,i Π A,i − Π A,i ( ∂ i A A,0 − gf ABC A B,0 A i,C)
+ 1 4 GA ij GA,ij + 1 2 ∂3 A A,i ∂ 3 A A,i − 1 2 ∂3 A A,0 ∂ 3 A A,0 . (4.99)
H hängt somit von A 0 und A 3 ab, wobei A 3 = 0 und A 0 aus dem Gauß-
Gesetz bestimmt wird. Dieses folgt wiederum aus der Bewegungsgleichung
für A 0 .
Übergangsmatrixelemente und Green-Funktionen werden aus dem Hamilton-Pfadintegral
∫
〈Ω|T(O(x 1 )...O(x n )) |Ω〉 = N D [ A A,i] D [ Π A,i] D [ ]
ψ, Π ψ
( ∫
× exp i
d 4 x ( −Π i ∂ 0 A i + Π ψ ∂ 0 ψ − H + iε-Terme ))
× O(x 1 )...O(x n ) (4.100)
gewonnen, wobei stets über i = 1,2 summiert wird. Wir führen nun A 0
wieder als eine Integrationsvariable ein, d.h. A A,0 in H ist nicht mehr durch
das Gauß-Gesetz festgelegt. Dann geht (4.100) über in
∫
〈Ω|T(O(x 1 )...O(x n )) |Ω〉 = N D [ A A,0 , A A,i] D [ Π A,i] D [ ]
ψ, Π ψ
( ∫
× exp i
d 4 x ( −Π i ∂ 0 A i + Π ψ ∂ 0 ψ − H + iε-Terme ))
× O(x 1 )...O(x n ). (4.101)
Gleichung (4.100) und (4.101) sind äquivalent, denn die Integration über
A A,0 setzt A A,0 gleich dem stationären Punkt des Exponenten, d.h.
0 ! =
δ
∂H
(Exponent) = −
δAA,0 ∂A A,0
= ∂ i Π A,i + gf BAC Π B,i A C,i + ( ∂ 3) 2
A A,0 − gj A,0
M
= −∇ i Π A,i − gf ABC Π B,i A C,i + ( ∇ 3) 2
A A,0 − gj A,0
M
= C A . (4.102)
167

Dies ist gerade das Gauß-Gesetz (4.92). Außerdem ist der Koeffizient der
quadratischen Terme, ( ∂ 3) 2 δ (3) (⃗x − ⃗y), feldunabhängig, so dass die Determinate
beim Ausführen des Gauß-Integrals eine irrelevante Konstante ergibt.
Wir nehmen an, dass H M quadratisch in Π ψ ist und führen das Integral über
Π A,i und Π ψ aus. (Für fermionisches ψ erübrigt sich die Integration über
Π ψ .) Außerdem nehmen wir an, dass der Koeffizient der quadratischen Terme
feldunabhängig ist, so dass auch die Determinante bei der Π-Integration
irrelevant ist. Der Exponent wird dann auf seinen stationären Punkt bzgl.
Π ψ bzw. Π A,i gesetzt:
0 = δ
δΠ ψ
(Exponent) = ∂ 0 ψ − ∂H M
∂Π ψ
(4.103)
0 = δ
δΠ A,i (Exponent) = −∂0 A i − Π A,i + ∂ i A 0,A − gf ABC A B,0 A C,i
= G A,i0 − Π A,i , (4.104)
so dass im Exponenten schließlich die ursprüngliche Lagrange-Dichte (mit
A A,3 = 0) steht. Folglich erhält man für die Pfadintegral-Formel:
〈Ω|T(O(x 1 )... O(x n )) |Ω〉
∫
= N D [ A A,µ] D [ ψ ] δ ( A A,3) e i R d 4 x L O(x 1 )... O(x n ). (4.105)
Hier wird nun über alle A µ integriert. Die Eichbedingung A 3 = 0 wird durch
die δ-Funktion implementiert, wobei die δ-Funktion wie folgt zu verstehen
ist:
δ ( A A,3) = ∏ ∏
δ ( A A,3 (x) ) . (4.106)
A Raumpunkte x
Für Fermionen ist D [ ψ ] durch D [ ψ, ¯ψ ] zu ersetzen.
4.2.2 Faddeev-Popov-Methode und Geister
Die nicht kovariante axiale Eichung ist für praktische Rechnungen nicht
günstig. Im Folgenden nehmen wir eine Umeichung vor. Dabei werden einige
Subtilitäten (Gribov-Kopien), die für nicht störungstheoretisch beschreibbare
Phänomene eine Rolle spielen und die noch Gegenstand der aktiven
Forschung sind, übergangen. Die folgenden Resultate sind jedoch störungstheoretisch
anwendbar.
168

Wir nehmen an, dass das Integrationsmaß D[ψ] der Materiefelder eichinvariant
ist, d.h. die Jacobi-Determinante einer Eichtransformation ist 1. (Anderenfalls
hätte man es mit einer Anomalie der Eichtheorie zu tun.)
Für die Eichfelder ist das Maß eichinvariant, denn unter einer infinitesimalen
Eichtransformation geht das Eichfeld A A µ in
A A ′
µ = A
A
µ + 1 g ∂ µε A + f ABC ε C A B µ (4.107)
über, und für die Jacobi-Matrix der Transformation folgt
δA A ′
µ (x)
δA B ν (y) = δAB δµ ν δ (4) (x − y) + δµ ν δ (4) (x − y)f ABC ε C (x). (4.108)
Um die Jacobi-Determinante zu berechnen schreiben wir
∣ ∣ det δAA ′
µ (x) ∣∣∣∣ (
)
δA B ν (y) = exp tr ln δ AB δµ ν δ (4) (x − y) + δµ ν δ (4) (x − y)f ABC ε C (x)
(
)
≈ exp tr δµ ν δ(4) (x − y)f ABC ε C (x)
= 1 (4.109)
Hier wurde zunächst der Logarithmus für kleine ε C entwickelt und dann
ausgenutzt, dass die Spur µ = ν, A = B, x = y setzt und dass f AAC = 0
ist, aufgrund der totalen Antisymmetrie.
Behauptung: Sind die Operatoren O 1 (x 1 ), O 2 (x 2 ),... eichinvariant (d.h.,
dass sie sich bei Eichtransformationen nicht ändern), dann gilt:
∫
〈Ω|T(O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )...) |Ω〉 = N D [ A A,µ] D [ ψ ]
× G [ f[A] ] det M[A] e i R d 4 x L O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )... , (4.110)
wobei f A [A] ein nicht-eichinvariantes Eichfixierungsfunktional ist, G[f] ein
Funktional von Funktionen f A (x) und
M[A] AB
(x,y) ≡ δfA [A λ (x)]
δλ B ∣ , (4.111)
(y) λ=0
wobei A A λ (x) das Feld ist, welches aus AA (x) durch eine infinitesimale Eichtransformation
mit Parameter λ B (x) hervorgeht. f A [A] und G[f] können
nahezu beliebig gewählt werden.
169

Beweis:
Wir zeigen dies in drei Schritten:
1. (4.105) ist ein Spezialfall von (4.110).
Man wähle f A [A(x)] = A A,3 (x) und G[f] = δ(f) (im Sinne eines δ-Funktionals,
d.h. δ(f) = ∏ A,x δ(fA (x))). Dann stimmt (4.105) mit (4.110) überein
bis auf die Determinante der Matrix M[A] AB
(x,y). Für diese gilt aber:
(
)
δ A A,3 (x) + 1
M[A] AB
(x,y) = g ∂3 λ A (x) + f ADC λ C (x)A D,3 (x)
δλ B (y)
= 1 g ∂3 (x) δAB δ (4) (x − y) + f ADB δ (4) (x − y)A D,3 (x). (4.112)
Da A A,3 = 0, ist M[A] feldunabhängig. detM[A] stellt somit eine irrelevante
Konstante dar, die sich mit dem Normierungsfaktor N des Pfadintegrals
heraushebt.
2. (4.110) ist mit der Ersetzung G[f[A]] → δ(f[A] − g) unabhängig von
der Wahl von f[A] und g, d.h. der Ausdruck
∫
N D [ A A,µ] D [ ψ ] δ(f[A] − g) detM[A]e iS[A,ψ] O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )... (4.113)
ist unabhängig von der Wahl von f[A] und g. Wegen 1. ist die Behauptung
(4.110) dann für den speziellen Fall G[f[A]] = δ(f[A] − g) gültig.
Zunächst wählen wir ein festes λ(x) und ersetzen
A,ψ → A λ ,ψ λ (4.114)
in (4.113). Dabei handelt es sich nur um eine Umbenennung der Integrationsvariablen
im Pfadintegral. Nun führen wir eine Variablentransformation
A λ ,ψ λ → A,ψ (4.115)
durch. Aufgrund der Eichinvarianz des Maßes, der Wirkung (S [ ]
A λ ,ψ λ =
S [ A,ψ ] ) und der Operatoren O i (x i ) erhält man
∫
(4.113) = N D [ A A,µ] D [ ψ ]
× δ(f[A λ ] − g) det M[A λ ] e iS[A,ψ] O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )... . (4.116)
170

Da die linke Seite offensichtlich unabhängig von λ ist, muss dies auch für die
rechte gelten. Deshalb kann man Zähler und Nenner (versteckt in N) des
Pfadintegrals mit
∫
const = D [ λ ] (4.117)
erweitern und die λ-Integration in das Pfadintegral hineinziehen. Dies ergibt
∫
(4.113) = N D [ A A,µ] D [ ψ ] e iS[A,ψ] O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )
∫
×
D [ λ ] δ(f[A λ ] − g) det δfA [A λ+ε (x)]
δε B (y)
∣ ... . (4.118)
ε=0
Man kann dieses Resultat wie folgt interpretieren. Für jede Konfiguration
(A,ψ) bildet die Menge aller Konfigurationen (A λ ,ψ λ ), die durch eine
Eichtransformation mit einem (beliebigen) Parameter λ aus (A,ψ) hervorgehen,
den sogenannten Eichorbit im Raum der Feldkonfigurationen. Die
Eichfixierungsfunktion wählt aus jedem Eichorbit einen Repräsentanten aus.
(Mit der Ein- bzw. Mehrdeutigkeit des Repräsentanten verbinden sich einige
subtile Fragestellungen, auf die wir hier nicht eingehen können.) Die Integration
über λ fügt die Integration über den Eichorbit wieder zum Pfadintegral
hinzu. Wie immer stellt sich die Frage nach der Wohldefiniertheit einer Konstanten
der Form ∫ D [ λ ] , die in der Tat nur garantiert ist, wenn die Zahl der
Raumzeitpunkte durch Diskretisierung endlich gemacht wird. Die Endlichkeit
der Integration über die Eichgruppe ist dagegen für kompakte Gruppen
gegeben.
Um zu zeigen, dass (4.118) unabhängig von f und g ist, führen wir das
λ-Integral aus. Dazu führen wir zunächst die Variablentransformation
durch, so dass
∫
λ A (x) → f A (x) = f A[ A λ
]
(x) (4.119)
D [ λ ] δ ( f [ ] ) δf A[ A λ+ε (x) ]
A λ − g det
δε B ∣
(y) ε=0
∫
= D [ f A] det δλA (x)
δf B (y) δ( f A (x) − g ) det δfA (x)
δλ B (y)
∫
= D [ f A] δ ( f A (x) − g ) = 1. (4.120)
171

Eingesetzt in die zweite Zeile von (4.118) ergibt sich, dass (4.118) und damit
(4.113) unabhängig von der Wahl von f[A] und g ist.
3. (4.110) ist unabhängig von der Wahl von G[f].
Die Unabhängigkeit von der Wahl von G sieht man wie folgt. Wir haben
oben gezeigt, dass (4.110) unabhängig von f[A] und g ist, wenn man
G[f[A]] → δ(f[A] − g) setzt. Man multipliziere nun Zähler und Nenner des
Pfadintegrals (4.113) mit
∫
const = D[g] G[g]. (4.121)
Da (4.113) unabhängig von g ist, kann man (4.121) unter das Pfadintegral
schreiben und die Integration über g ausführen:
∫
D[g] δ(f[A] − g) G[g] = G[f[A]]. (4.122)
Damit erhält man die allgemeine Gleichung (4.110). Bis auf die Konstante
∫
D[λ] (die gekürzt werden kann) ist (4.110) gerade gleich dem Pfadintegral
über alle Eichkonfigurationen einschließlich der Integration über die Eichorbits.
✷
Im Folgenden verwenden wir
G[f] ≡ exp
( ∫
i
d 4 x
(
− 1 ) )f A f A
2ξ
(4.123)
mit einem beliebigen Parameter ξ, so dass
∫
〈Ω|T(O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )...) |Ω〉 = N D [ A A,µ] D [ ψ ] det δfA [A λ (x)]
δλ B ∣
(y) λ=0
( ∫
× exp i d 4 x
(L − 1 ))
2ξ fA f A · O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )... . (4.124)
In dieser Form kann man den Eichfixierungsterm als zusätzlichen Beitrag
L GF = − 1 2ξ fA f A zur Lagrange-Dichte interpretieren.
Schließlich soll die Determinante ebenfalls so geschrieben werden, dass sie
als zusätzlicher Term zur Lagrange-Dichte interpretiert werden kann. Dazu
172

verwenden wir das Gauß-Pfadintegral von Grassmann-Feldern (vgl. Kap.
2.3.1):
det δfA [A λ (x)]
∫
δλ B ∣ = D [ c A , ¯c A]
(y) λ=0
(∫
× exp d 4 xd 4 y ¯c A (x) δfA [A λ (x)]
)
δλ B ∣ c B (y) (4.125)
(y) λ=0
mit dem “Geistfeld” c A und dem “Anti-Geistfeld” ¯c A . Wir betrachten c A , ¯c A
als unabhängige, reelle Grassmannfelder, d.h. c A∗ = c A , ¯c A∗ = ¯c A . Es besteht
keinerlei Verbindung zwischen c A und ¯c A . Das Geistfeld und das Anti-
Geistfeld sind skalare Felder unter Lorentz-Transformation und tragen einen
Index A = 1,... ,D = dim(G).
Wir verlangen stets eine lokale Eichfixierung, d.h. die Eichfixierung am Ort
x soll nicht von irgendeinem anderen Raumpunkt y abhängen, so dass
δf A [A λ (x)]
δλ B (y)
∣ = M(x) AB δ(4) (x − y). (4.126)
λ=0
Die δ-Funktion eliminiert eine Integration in (4.125), so dass (4.125) als
Lagrange-Dichte der Faddeev-Popov-Geister L FP geschrieben werden kann.
Insgesamt erhält man
L → L + L GF + L FP = L − 1 2ξ fA f A + ¯c A ( −iM AB) c B (4.127)
Im Pfadintegral (4.124) muss nun auch über die Geist-Felder integriert werden,
d.h.
D [ A,ψ ] → D [ A,ψ,c, ¯c ] . (4.128)
Allgemeine kovariante Eichung
Für die Störungsentwicklung ist die folgende Eichfixierung besonders günstig,
weil die Lorentz-Invarianz manifest bleibt:
f A (x) ≡ ∂ µ A A,µ . (4.129)
In dieser Eichung erhält man für die Matrix M[A] AB
(x,y)
( ))
(∂ 1 µ g ∂µ λ A + f ADC λ C A D,µ
δf A [A λ (x)]
δλ B (y)
δ
∣ =
λ=0
δλ B (y)
173
∣
λ=0

(
= ∂ µ ∂ µ 1
(x) δAB + gf ACB ∂ µ(x) A (x)) C,µ g δ(4) (x − y), (4.130)
so dass der Faddeev-Popov-Term in der Lagrange-Dichte die Form
∫
∫
i d 4 x L FP ≡ −i d 4 xd 4 y ¯c A (x)M AB (x,y)c B (y)
= 1 g
∫
= i g · i ∫
(
d 4 xd 4 y ¯c A (x) ∂(x) 2 δ(4) (x − y)δ AB
) )
+ gf ACB ∂ µ(x)
(A C,µ (x)δ (4) (x − y) c B (y)
(
d 4 x
(∂µ¯c A (x) ) ( ∂ µ c A (x) )
− gf ABC ( ∂ µ¯c A (x) ) )
c B (x)A C,µ (x) . (4.131)
annimmt. Der erste Term von L FP hat bis auf den Faktor i g
dieselbe Form
wie der kinetische Term eines komplexen skalaren Feldes. Um die übliche
kanonische Normierung des kinetischen Terms zu erhalten, führen wir eine
Redefinition des Geistfeldes
c A → −igc A . (4.132)
durch. Das zunächst hermitesch gewählte Geistfeld ist jetzt antihermitesch,
d.h.
c A† = −c A . (4.133)
Da das Anti-Geistfeld nicht redefiniert wurde, bleibt es hermitesch (¯c A† =
¯c A ), so dass der kinetische Term in (4.131) insgesamt hermitesch ist:
[
∂µ¯c A ∂ µ c A] †
= −∂ µ c A ∂ µ¯c A = ∂ µ¯c A ∂ µ c A . (4.134)
Man erhält somit den folgenden expliziten Ausdruck für die Lagrange-Dichte
in der kovarianten Eichung:
˜L = − 1 4 GA µν GA,µν − 1 2ξ
(
∂µ A A,µ) ( ∂ ν A A,ν)
+ ∂ µ¯c A ∂ µ c A − gf ABC ( ∂ µ¯c A) c B A C,µ + L M (ψ,D µ ψ). (4.135)
174

Vervollständigung der Feynman-Regeln
Neben den Vertizes der Eichboson-Selbstwechselwirkung
und dem Eichboson-Materiefeld-Vertex, der in L M enthalten ist (vgl. Kap.
4.1.3), enthält eine Theorie mit der Lagrange-Dichte (4.135) einen Eichboson-Geist-Vertex
µ,C
Geist c
¯c Antigeist
= +gf ABC p µ
Anitgeist ¯c
B
p
c Geist
A
wobei p µ den Impuls der auslaufenden Antigeistlinie bezeichnet.
In Kapitel 4.1.3 konnten wir keinen Ausdruck für den Eichboson-Propagator
angeben, da die Koeffizienten der in den Eichfeldern quadratischen Terme
in der Lagrange-Dichte nicht invertierbar waren. Durch die Eichfixierung ist
dies nun möglich, und man erhält (vgl. Übungsaufgabe)
k
B, ν A, µ
= δ AB ·
i
k 2 + iε
(
−g µν + (1 − ξ) k )
µk ν
k 2 . (4.136)
Die Ableitung des Geist-Propagators verläuft analog zu den Überlegungen
für den Dirac-Propagator in Kap. 2.3.3. Dazu führt man im erzeugenden
Funktional einer freien Geist-Theorie
∫
[
Z 0 η
A
c , ¯η c
A ]
∝ D [ (
c A , ¯c A] ∫
exp i d 4 x ( ∂ µ¯c A ∂ µ c A + ¯η c A cA + ¯c A ηc
A ) )
∝
∫
D [ c A , ¯c A] ( ∫
exp i
d 4 x ( −¯c A ∂ 2 c A + ¯η c A c A + ¯c A ηc
A ) )
(4.137)
175

die Variablentransformation
durch, so dass
∫
[
Z 0 η
A
c , ¯η c
A ]
∝
c A = c A′ + ( ∂ 2) −1
η
A
c (4.138)
¯c A = ¯c A′ + ( ∂ 2) −1
¯η
A
c (4.139)
D [ ∫
]
c A′ , ¯c A′ exp
(i
d 4 x
(
−¯c A′ ∂ 2 c A′ + ¯η A c
[
∂
2 ] −1
η
A
c
) ) .
(4.140)
Nun kann das Gaußsche Pfadintegral ausgeführt werden, und man erhält
( ∫
)
[
Z 0 η
A
c , ¯η c
A ]
∝ exp − d 4 xd 4 y ¯η c A (x)∆ AB
F (x − y)ηc B (y) , (4.141)
wobei
(−i) [ ∂ 2] ∫
−1
(x) ηA c (x) =
d 4 y ∆ AB
F (x − y)η B c (y). (4.142)
Diese Gleichung wird offensichtlich gelöst, wenn ∆ AB
F
der Gleichung
i∂ 2 (x) ∆AB F (x − y) = δ (4) (x − y)δ AB (4.143)
genügt, woraus mittels Fourier-Transformation folgt
i(−1) 2 (ik µ ) 2 ˜∆AB F (k) = 1 · δ AB . (4.144)
Somit erhält man für den Geist-Propagator im Impulsraum:
B
k
A
= c A ¯c B = − ¯c B c A = δ AB i
k 2 + iε . (4.145)
Zur Berechnung von Green-Funktionen und Streumatrixelementen benötigt
man das erzeugende Funktional der Theorie. Dieses lautet für eine reine
Eichtheorie (L M ≡ 0):
Z [ ∫
Jµ A ,ηc A , ¯η c
A ]
≡ N D [ A A,µ ,c A , ¯c A]
( ∫
× exp i
d 4 x ( L + L GF + L FP + Jµ A AA,µ + ¯η c A cA + ¯c A ηc
A ) ) . (4.146)
Die damit erzeugten n-Punkt-Funktionen von Eichboson- und Geistfeldern
sind nicht eichinvariant, da A A,µ dies nicht ist. (Bei der Vertauschung von
Geistern sind wie bei Dirac-Fermionen Vorzeichen zu beachten.)
176

4.2.3 Quantenelektrodynamik in kovarianter Eichung
In Kapitel 4.2.2 haben wir gezeigt, dass Green-Funktionen von eichinvarianten
Operatoren (diese enthalten keine Geistfelder) unabhängig von der Eichfixierung
sind. Streumatrixelemente werden aber aus n-Punkt-Funktionen
von A µ und ψ-Feldern berechnet, die nicht eichinvariant sind. Die Eichinvarianz
der Streumatrix S ist also noch zu klären.
Wir betrachten zunächst den einfachen Fall der U(1)-Eichsymmetrie (QED)
in der Feynman-Eichung ξ ≡ 1.
Für eine U(1)-Eichgruppe ist f ABC = 0, so dass A A,µ → A µ . Dann gibt es
auch keine Photon-Geist-Kopplung. Die Geister sind also frei und können
weggelassen werden, da sie mit nichts wechselwirken. Die Lagrange-Dichte
in der Feynman-Eichung lautet somit
L = − 1 2 g µν (∂ ρ A µ ) (∂ ρ A ν ) + L M (ψ,D µ ψ) . (4.147)
Der erste Term hat eine ähnliche Form wie der kinetische Term von vier
unabhängigen skalaren Feldern, jedoch mit der Metrik −g µν . Dies bedeutet,
dass A 0 einen negativen Beitrag zur kinetischen Energiedichte liefert.
Ausgehend von der Theorie (4.147) untersucht man nun die Zerlegung der
freien Felder in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Da die Theorie
vier Felder A µ enthält, ist der allgemeine Ansatz eine Linearkombination
der Form
A µ (x) =
3∑
∫
λ=0
d 3 ⃗ k
(
)
(2π) 3 2k 0 e −ikx ε µ (k,λ)a(k,λ) + e +ikx ε µ∗ (k,λ)a † (k,λ)
(4.148)
mit vier möglichen Polarisationszuständen ε µ (k,λ). Wie üblich bestimmt
man nun aus der freien Theorie die allgemeine Lösung für ε µ (k,λ), so dass
A µ und Ȧµ den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.
Die vier Polarisationszustände spalten auf in zwei transversale Polarisationen
(z.B. λ = 1,2, falls ⃗ k ∝ ⃗e z ), eine longitudinale (λ = 3) und eine skalare
Polarisation (λ = 0). Die letzten beiden Polarisationszustände sind offensichtlich
nicht physikalisch, denn aus der Quantisierung in der Coulomb-
Eichung ist bekannt, dass nur zwei transversale Polarisationen, entsprechend
177

den zwei Helizitätszuständen, für das masselose Vektorfeld existieren. Trotzdem
enthält die Feldtheorie zunächst alle vier Polarisationzustände, die man
orthogonal wählt, d.h.
〈k ′ ,λ ′ |k,λ〉 = 2k 0 (2π) 3 δ (3)( ⃗ k − ⃗ k
′ ) (−g λλ ′) , (4.149)
mit der Metrik −g λλ ′ (vgl. 4.147). Dies bedeutet aber, dass die skalare Polarisation
eine negative Norm hat (→ unphysikalisch).
Um die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantentheorie aufrechtzuerhalten,
muss man einen physikalischen Hilbertraum auszeichnen, in dem alle
Zustände außer dem Nullvektor positive Norm haben. Wir definieren für die
QED:
Physikalischer Hilbertraum =
Fockraum aus den in-Zuständen
von transversalen Photonen
Diese Definition ist aber nur konsistent, wenn die unphysikalischen Zustände
(λ = 0,3) in einem Streuprozess von physikalischen Zuständen nie produziert
werden können, bzw. keinen Beitrag zum Streumatrixelement liefern.
In diesem Fall ist der Streuoperator S, eingeschränkt auf den physikalischen
Hilbertraum, ebenfalls unitär, da (tr = transversal)
〈f,tr| [ S † S ] eingeschränkt |i,tr〉 = ∑ n,tr〈f,tr|S † |n,tr〉〈n,tr|S|i,tr〉
= ∑
〈f,tr|S † |n〉〈n|S|i,tr〉 = 〈f,tr|S † S|i,tr〉 = 〈f,tr|i,tr〉, (4.150)
alle n
d.h. S † S| eingeschränkt =½| eingeschränkt .
Im Folgenden wollen wir eine Bedingung für S-Matrixelemente ableiten, so
dass die Einschränkung auf den Raum der transversalen Photonen im oben
beschriebenen Sinne konsistent ist. Dazu betrachten wir einen beliebigen
Streuprozess mit mindestens einem Photon im Endzustand, z.B. e − e + → γγ
(siehe Übungsaufgabe):
.
ε µ∗ (k,λ)
178

Das zugehörige Streumatrixelement (bzw. die Streuamplitude) muss proportional
zum Polarisationsvektor ε µ∗ (k,λ) sein, d.h.
M(k) µ ε µ∗ (k,λ). (4.151)
Um den unpolarisierten Wirkungsquerschnitt zu erhalten, muss man das
S-Matrixelement quadrieren und über die Polarisationszustände des Photons
im Endzustand summieren. Im Fall der kovarianten Eichung lautet die
Polarisationssumme
3∑
(−1) δ λ0
ε µ (k,λ)ε ν∗ (k,λ) = −g µν . (4.152)
λ=0
Die skalare Polarisation (λ = 0) erhält ein negatives Gewicht wegen seiner
negativen Norm. Man vergleiche dies mit der Polarisationssumme in
der Coulomb-Eichung, bei der allein über die transversalen Polarisationen
summiert wird:
∑
λ=1,2
ε µ (k,λ)ε ν∗ (k,λ) = −g µν + k · n (kµ n ν + k ν n µ ) − k µ k ν
| ⃗ k| 2
= −g µν + kµ¯kν + k ν¯kµ
k · ¯k
(4.153)
mit n = (1,⃗0) und ¯k µ = (k 0 , − ⃗ k) = 2n · k n µ − k µ . Aus der Differenz von
(4.152) und (4.153) erhält man, dass
− kµ¯kν + k ν¯kµ
k · ¯k
= ∑
λ=0,3
(−1) δ λ0
ε µ (k,λ)ε ν∗ (k,λ) (4.154)
der Beitrag der unphysikalischen Photonen zur Polarisationssumme ist.
Die unphysikalischen Polarisationen tragen also nicht bei, wenn gilt:
k µ M(k) µ = 0. (4.155)
Genau dieselbe Bedingung erhält man aus der Forderung, dass die S-Matrix
eichinvariant ist. Die S-Matrix mit einem externen Photon erhält man aus
einer (amputierten) Green-Funktion mit einem Photonfeld. Unter einer Eichtransformation
geht das Photonfeld in
A µ → A µ + ∂ µ θ (4.156)
179

über. In der Darstellung des asymptotischen Feldes durch Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren bedeutet dies
ε µ (k,λ) → ε µ (k,λ) + const · k µ . (4.157)
Damit das S-Matrixelement (4.151) unverändert bleibt, d.h. eichinvariant
ist, muss folglich k µ M(k) µ = 0 gelten. (Dies gilt damit für jede Photonlinie.)
Den formalen Beweis für die Bedingung k µ M(k) µ = 0 geben wir hier nicht
im Detail an. Siehe hierfür z.B.
• Peskin, Schröder, Kap. 7.4 für einen kombinatorischen Beweis
• Böhm, Denner, Joos, S. 173-175 für einen formalen Beweis mit Hilfe
der Ward-Takahashi-Identität für das Erzeugende Funktional der
zusammenhängenden Green-Funktionen W[J] (siehe auch Übungsaufgabe).
Aus diesem Beweis folgt auch die Gültigkeit von (4.155) für
k 2 ≠ 0 (off-shell).
• “Relativistische Quantentheorie”, Kap. 3.3.5 (einfaches Beispiel).
Physikalisch entscheidend ist die Erhaltung des elektromagnetischen Stroms,
die natürlich mit der Eichsymmetrie verknüpft ist. Die Erhaltung des Stroms
ist wiederum verknüpft mit einer Ward-Identität, die k µ M(k) µ = 0 impliziert,
woraus letztlich die Eichinvarianz der S-Matrix folgt, so dass alle physikalisch
relevanten Größen unabhängig von der Eichung sind.
In der QED heben sich die skalaren und longitudinalen Polarisationen gegeneinander
weg (da ε µ (k,0) + ε ν (k,3) ∝ k µ für ⃗ k ∝ ⃗e z ). Dies gilt auch für
virtuelle Photonen im Inneren von Diagrammen, da die Identität (4.155)
auch für k 2 ≠ 0 gilt. In einer nicht-abelschen Theorie ist das nicht der
Fall, die unphysikalischen Polarisationen heben sich nur zusammen mit den
Geistzuständen weg. Eine elegante Behandlung des Problems ist mit Hilfe
der BRST-Symmetrie möglich.
180

4.3 BRST-Symmetrie und Quantisierung
4.3.1 B(ecchi)-R(ouet)-S(tora)-T(yutin)-Transformation
Ausgangspunkt der folgenden Betrachtungen ist die in Kapitel 4.2.2 abgeleitete
Form der Lagrange-Dichte
˜L ≡ L − 1 2ξ fA f A + ¯c A ∆ A , (4.158)
mit
∫
∆ A (x) ≡ −g α
d 4 y δfA [A λ (x)]
δλ B (y)
∣ c B (y). (4.159)
λ=0
α ist eine beliebige Konstante, die in (4.135) so gewählt ist, dass der kinetische
Term die Form
(
∂µ¯c A) ( ∂ µ c A) (4.160)
hat, d.h. α = 1 (kanonische Normierung).
Nach Konstruktion ist die Lagrange-Dichte ˜L nicht mehr eichinvariant. Statt
dessen ist ˜L invariant unter einer globalen, fermionischen Symmetrietransformation.
Diese lässt sich am einfachsten definieren, indem man ein bosonisches
Hilfsfeld B A (x) (Nakanishi-Lautrup-Feld) einführt. Dazu ersetzt
man
G[f] ≡ exp
( ∫
i
d 4 x
(
− 1 ) )
f A (x)f A (x)
2ξ
(4.161)
durch
∫
G[f] ≡
D [ B A] ( ∫
exp i
(
d 4 x B A (x) f A (x) + ξ ))
2 BA (x) . (4.162)
Integriert man über B A , so wird im Exponenten von (4.162) B A (x) =
− 1 ξ fA (x) gesetzt, und man erhält die ursprüngliche Form von G[f] zurück
(bis auf eine irrelevante Konstante). Die Lagrange-Dichte hat dann folgende
Form:
˜L ≡ L + B A f A + 1 2 ξBA B A + ¯c A ∆ A . (4.163)
Im Pfadintegral wird nun auch über B A (x) integriert.
181

Definition der infinitesimalen BRS-Transformation
Sei λ der infinitesimale Grassmann-Parameter der BRS-Transformation. Die
Variation eines beliebigen Feldes φ(x) unter dieser Transformation definieren
wir durch
δ λ φ(x) ≡ λsφ(x), (4.164)
mit dem BRS-Operator s.
Auf Materiefeldern ψ(x) und Eichfeldern A A µ (x) soll die BRS-Transformation
wie eine Eichtransformation mit ε A (x) ≡ gλc A (x) wirken, so dass δ λ L = 0,
da L eichinvariant ist. Auf den übrigen Feldern definiert man die Variation
δ λ so, dass sich δ λ ˜L = 0 ergibt. Wie unten gezeigt wird, wird dies durch
δ λ ψ = igλc A T A ψ (4.165)
δ λ A A µ = λ ( ∂ µ δ AC + gf ABC A B )
µ c C = λDµ AC c C (4.166)
δ λ c A = − 1 2 gλfABC c B c C (4.167)
δ λ¯c A = 1 α λBA (4.168)
δ λ B A = 0 (4.169)
erreicht. Diese Definitionen sind konsistent mit der Antihermitizität von
c A . Bei der BRS-Transformation handelt es sich also um eine nicht-lineare
Transformation (da auf der rechten Seite Produkte von Feldern auftreten)
mit den folgenden Eigenschaften:
(1) Die BRS-Transformation ist nilpotent, d.h.
für einen beliebigen Operator.
s 2 O(x) = 0 (4.170)
(2) Die Lagrange-Dichte (4.163) ist invariant unter der BRS-Transformation:
δ λ ˜L = 0. (4.171)
182

Beweis:
(1) Wir zeigen dies zunächst für die elementaren Felder ψ,A,c, ¯c,B.
Für das Materiefeld ψ ergibt sich
δ λ (sψ) = ig T A δ λ
(
c A ψ )
= − 1 2 ig2 λf ABC T A c B c C ψ + g 2 λT A c A c B T B ψ , (4.172)
wobei verwendet wurde, dass c A λc B = −λc A c B . Da außerdem c A c B =
−c B c A , gilt
T A c A c B T B = 1 2
[
T A ,T B] c A c B = i 2 fABC T C c A c B (4.173)
und somit folgt
δ λ (sψ) = 0. (4.174)
Nun betrachten wir das Eichfeld A A µ:
δ λ
(
sA
A
µ
)
= δλ
(
D
AB
µ c B) = ∂ µ δ λ c A + gf ACB δ λ
(
A
C
µ c B)
= − 1 2 gλfABC ∂ µ
(
c B c C) − gf CAB λ ( D CD
µ c D) c B
− gf CAB A C µ
(− 1 2 g )
λf BDE c D c E . (4.175)
Der erste Term in (4.175) hebt sich mit dem ∂ µ c C -Term aus
weg, so dass folgt
δ λ
(
sA
A
µ
)
= λg
2
D CD
µ cD = ∂ µ c C − gf CDE c D A E µ (4.176)
(
f CAB f CDE c D c B A E µ + 1 )
2 fCAB f BDE c D c E A C µ
= 1 2 λg2 A C µ c D c E ( 2f BAE f BDC + f CAB f BDE)
denn
= 1 2 λg2 A C µ c D c E ( f BAE f BDC − f BAD f BEC + f CAB f BDE) , (4.177)
c D c E f BAE f BDC = −c E c D f BAE f BDC = −c D c E f BAD f BEC . (4.178)
183

Unter der Verwendung der Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten f
folgt dann aus (4.177)
δ λ
(
sA
A
µ
)
= 0. (4.179)
Schließlich zeigen wir noch die Nilpotenz von s auf dem Geistfeld c A :
δ λ
(
sc
A ) = − 1 2 gfABC δ λ
(
c B c C)
= 1 4 g2 f ABC ( λf BDE c D c E c C + c B λf CDE c D c E)
= 1 2 g2 f ABC f BDE λc D c E c C . (4.180)
Verwendet man erneut die Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten und
berücksichtigt die totale Antisymmetrie von c D c E c C , so folgt auch hier
δ λ
(
sc
A ) = 0. (4.181)
Die Nilpotenz auf ¯c A und B A ist wegen δ λ B A = 0 trivial.
Aus der Nilpotenz der elementaren Felder folgt dann auch die Nilpotenz
auf beliebigen Produkten von Feldern (nicht notwendigerweise am selben
Punkt), denn
)
δ λ (s (φ 1 φ 2 )) = δ λ
(s (φ 1 )φ 2 + (−1) |φ1| φ 1 s (φ 2 )
wobei
= (−1) |φ 1|+1 s (φ 1 )s(φ 2 ) + (−1) |φ 1| s (φ 1 ) s (φ 2 )
= 0, (4.182)
|φ 1 | =
{
0, falls φ1 bosonisch
1, falls φ 2 fermionisch .
(4.183)
Den zusätzlichen Faktor (−1) im ersten Term von (4.183) erhält man, da
s (φ 1 ) bosonisch bzw. fermionisch ist, wenn φ 1 fermionisch bzw. bosonisch
ist. Die Verallgemeinerung auf Produkte mehrerer Felder ist trivial.
(2) Zu zeigen ist, dass ˜L im Kern des BRS-Operators liegt, d.h.
δ λ ˜L = δλ
(
L + B A f A + 1 2 ξ BA B A + ¯c A ∆ A )
= δ λ
(
B A f A + 1 2 ξ BA B A + ¯c A ∆ A )
?
= 0. (4.184)
184

Da δ λ auf A A µ und ψ eine Eichtransformation ist, gilt
∫
δ λ f A [A] =
Folglich ist
δ λ
(
¯c A f A + ξ 2 ¯cA B A )
d 4 y δfA [A ω (x)]
δω B (y)
∣ gλc A (y) = − 1
ω=0 α λ∆A . (4.185)
= ( δ λ¯c A) ( f A + ξ 2 BA )
+ ¯c A δ λ f A
(4.185)
= + 1 α λ (
B A f A + 1 2 ξ BA B A + ¯c A ∆ A )
. (4.186)
Beim Vorzeichen des dritten Terms ist zu beachten, dass δ λ = λs bosonisch
ist, aber s fermionisch.
Mit (4.186) folgt dann aus (4.158)
˜L = L + αs
(¯c A f A + ξ )
2 ¯cA B A
(4.187)
und wegen der Nilpotenz des BRS-Operators erhält man unmittelbar
˜L liegt also im Kern des BRS-Operators.
δ λ ˜L = 0. (4.188)
Damit lässt sich eine noch allgemeinere Form der Lagrange-Dichte ˜L angeben:
˜L = L [ A,ψ ] + sF [ A,ψ,c, ¯c,B ] , (4.189)
wobei sF im Bild des BRS-Operators liegt. Die Physik der Theorie darf
also nicht davon abhängen, ob man zu L einen beliebigen Term im Bild
von s hinzufügt. Damit dies gewährleistet ist, muss man eine Bedingung an
Zustände im physikalischen Hilbertraum stellen (siehe Kap. 4.4).
✷
185

BRST-Quantisierung
Die Quantisierung einer Theorie mit Hilfe der BRST-Symmetrie gliedert sich
in folgende Schritte. Zunächst addiere man zu L einen beliebigen Term der
Form sF, welcher alle Symmetrien von L respektiert außer der Eichsymmetrie.
Anschließend führe man die kanonische Quantisierung in bekannter
Weise durch. Zum Schluss wähle man den physikalischen Hilbertraum aus
(wie unten diskutiert) und zeige, dass dieser keine Zustände mit negativer
Norm enthält, sowie dass die S-Matrix auf dem physikalischen Hilbertraum
unitär ist.
Die BRST-Symmetrie ist entscheidend für:
• Auswahl der physikalischen Zustände
• Ward-Slavnov-Taylor-Identitäten, die bei der Renormierung eine Rolle
spielen.
4.3.2 BRS-Ladung und Ward-Takahashi-Identitäten
Für den Rest dieses Kapitels verwenden wir die kovariante Eichung
so dass
f A (x) ≡ ∂ µ A A µ , (4.190)
˜L = − 1 4 GA µν GA,µν + L M
(
ψ,Dµ ψ ) + B A (
∂ µ A A µ + ξ 2 BA )
+ ( ∂ µ¯c A) D AB
µ cB .
(4.191)
In Kap. 4.3.1 haben wir gezeigt, dass es sich bei der BRS-Transformation
δ λ φ = λsφ (4.192)
um eine Symmetrie handelt. Nach dem Noether-Theorem existiert dann ein
erhaltener Noether-Strom jµ BRS und die erhaltene BRS-Ladung Q BRS . Diese
sollen im Folgenden bestimmt werden.
Zunächst betrachten wir die Maxwell-Gleichung, die aus ˜L folgt. Es ist
∂ ˜L
∂ (∂ µ A A ν ) = −GA,µν . (4.193)
186

Um dieses Resultat zu erhalten muss der B A ∂ µ A A ν Term aus (4.191) als
− ( ∂ µ B A) A A µ geschrieben werden. Mit analogen Rechnungen wie in Kap.
4.1.3 erhält man die Maxwell-Gleichung
D AB
µ GB,µν + g j A,ν
M = ∂ν B A + gf ABC ( ∂ ν¯c B) c C , (4.194)
mit dem durch (4.80) definierten Materiestrom j A,ν
M .
Noether-Strom
Nach (1.189) gilt für den Noether-Strom:
λj BRS
µ =
∂L
∂ (∂ µ A A ν ) λDAB ν c B + ∂L
+ ∂L
∂ (∂ µ c A )
∂ (∂ µ ψ) igλcA T A ψ +
(− 1 2 g )
λf ABC c B c C +
∂L
∂ (∂ µ¯c A )
1
α λBA
∂L
∂ (∂ µ B A · 0. (4.195)
)
Damit δ λ ˜L = 0, so dass keine totale Divergenz der Form ∂µ K zum Noetherstrom
addiert werden muss, muss man in ˜L den Term B A ∂ µ A A µ in der Form
− ( ∂ µ B A) A A µ schreiben. Tauscht man λ nach links durch, erhält man
j BRS
µ = −G A,ν
µ DAB ν
c B − g j A Mµ cA + 1 2 g ( ∂ µ¯c A) f ABC c B c C + ( D AB
µ cB) B A .
(4.196)
Das Pluszeichen des letzten Terms rührt von der Definition der Ableitung
als Rechtsableitung her. Weiter folgt mit
−g j A Mµc A = ( D AB
ν G B,ν µ)
c A − ( ∂ µ B A) c A − g f ABC( ∂ µ¯c B) c C c A (4.197)
aus (4.196):
j BRS
µ = − ( D AB
µ cB) B A − ( ∂ µ B A) c A − 1 2 g fABC( ∂ µ¯c A) c B c C − G A,ν
µ ∂ νc A
+ g f ABC G A,ν
µ A C ν c B + ( ∂ ν G A,ν )
µ c A − g f ABC A C ν G B,ν µc A
= B A (D µ c) A − ( ∂ µ B A) c A − 1 2 g fABC( ∂ µ¯c A) c B c C − ∂ ν( G A µνc A)
Für die BRS-Ladung erhält man somit
∫
Q BRS = d 3 ⃗x j 0,BRS 187
(4.198)

∫
=
d 3 ⃗x
(B A ( D 0 c ) A (
+ ∂ 0 B A) c A − 1 ( )
2 gfABC ∂ 0¯c A) c B c C .(4.199)
Der Term −∂ ν ( G A 0ν cA) = ⃗ ∂ · (G A 0i cA) ist eine totale Divergenz und trägt
nicht zum Raum-Integral bei.
Die Ladung Q BRS erzeugt die BRS-Transformation (vgl. Kap. 1.4), d.h.
woraus wegen der Nilpotenz folgt, dass
δ λ φ = λsφ = i [ λQ BRS ,φ ] , (4.200)
(
Q
BRS ) 2
= 0. (4.201)
Aus der globalen BRS-Symmetrie und den Bewegungsgleichungen folgen
Identitäten zwischen Green-Funktionen der Felder A A µ,ψ,c A , ¯c A und B A
analog zum Vorgehen in Kap. 2.4, z.B.
m∑
〈Ω|T ( φ n1 (x 1 )... φ nk−1 (x k−1 )λs (φ nk (x k ))φ nk+1 (x k+1 )... φ nm (x m ) ) |Ω〉
k=1
= 0, (4.202)
wobei φ ni ∈ { ψ α ,A A µ ,cA , ¯c A ,B A} .
Hier wird vorausgesetzt, dass das Integralmaß BRS-invariant ist, was man
zeigen kann, falls das Maß der Materiefelder invariant ist, was wiederum
gewährleistet ist, wenn nicht schon L M eine Eich-Anomalie hat.
Bei der Renormierung verwendet man die entsprechenden Identitäten für
das erzeugende Funktional (vgl. Übungsaufgabe für die QED).
Bewegungsgleichungen
Wir hatten bereits in Kap. 2.4 Bewegungsgleichungen für Green-Funktionen
abgeleitet:
( )
δS[φn ′]
〈Ω|T
δφ n (x) φ n 1
(x 1 )... φ nm (x m ) |Ω〉
=
m∑
i=1,
φn i
vom Typ φn
(
iδ (4) (x − x i ) 〈Ω|T φ n1 (x 1 )... ̂φ
)
ni (x i )... φ nm (x m ) |Ω〉. (4.203)
188

Das Feld ̂φ ni (x i ) ist jeweils wegzulassen. Für Fermionen sind wie üblich
Vorzeichen zu beachten.
Der Zusatz, dass nur über diejenigen i summiert wird, für die φ ni vom selben
Feldtyp wie φ n ist, trat in Kap. 2.4 nicht auf. Bei verschiedenen Feldtypen
hat man verschiedene Quellen und nur das J n für das Feld φ n tritt in der
Formel (2.297) auf.
Anwendung
Wir betrachten die Zweipunkt-Funktion des Eichfeldes in der wechselwirkenden
Theorie:
〈Ω|T ( A A µ(x)A B ν (y) ) ∫ d 4 k
|Ω〉 ≡
(2π) 4 e−ik(x−y) G AB
µν (k) (4.204)
mit
G AB
µν (k) =
=
([
i
k 2 −g µν + k µk ν
+ iε
i
k 2 + iε
]
k 2 A(k 2 ) − k )
µk ν
k 2 B(k 2 ) δ AB
(
−g µν + (1 − ξ) k )
µk ν
k 2 δ AB + O(g 2 ). (4.205)
Die zwei Funktionen A(k), B(k) können nur von g und von k 2 abhängen
(aufgrund der Lorentz-Invarianz). Durch Vergleich mit dem freien Propagator
liest man ab, dass in niedrigster Ordnung
A(k 2 ) = 1 + O(g 2 ) (4.206)
B(k 2 ) = ξ + O(g 2 ) (4.207)
gelten muss. Wir zeigen jetzt, dass B(k 2 ) = ξ exakt ist, d.h., dass der longitudinale
Anteil des Eichbosonpropagators keine Korrekturen in der Störungstheorie
erfährt. Ausgehend von (4.203) erhält man
( )
δS
0 = 〈Ω|T
δB A (x) ∂µ A B µ (y) |Ω〉
woraus folgt
= 〈Ω|T (( ∂ ν A A ν (x) + ξB A (x) ) ∂ µ A B µ (y) ) |Ω〉, (4.208)
∂ ν (x) ∂µ (y) 〈Ω|T( A A ν (x)AB µ (y)) |Ω〉 = −ξ 〈Ω|T ( s (¯c A (x) ) ∂ µ A B µ (y)) |Ω〉.
(4.209)
189

Um diese Gleichung weiter umzuformen, verwenden wir (4.202) in der Form
0 = 〈Ω|T ( s (¯c A (x) ) ∂ µ A B µ (y)) |Ω〉 − 〈Ω|T (¯c A (x)s ( ∂ µ A B µ (y))) |Ω〉, (4.210)
wobei man das Minuszeichen wegen des Durchtauschens von λ erhält. Damit
geht (4.209) über in
∂ ν (x) ∂µ (y) 〈Ω|T( A A ν (x)AB µ (y)) |Ω〉 = −ξ 〈Ω|T (¯c A (x)s ( ∂ µ A B µ (y))) |Ω〉
= −ξ 〈Ω|T (¯c A (x)∂ µ( Dµ BC cC (y) )) ( ) δS
|Ω〉 = ξ 〈Ω|T
δ¯c B (y) ¯cA (x) |Ω〉
(4.211)
An dieser Stelle kann man erneut (4.203) verwenden, wobei man ein weiteres
Vorzeichen berücksichtigen muss, da ¯c A fermionisch ist. Man erhält
∂ ν (x) ∂µ (y) 〈Ω|T( A A ν (x)A B µ (y) ) |Ω〉 = −iξ δ AB δ (4) (x − y). (4.212)
Mittels Fourier-Transformation folgt daraus
Außerdem gilt
(−ik µ ) (ik ν )G AB
µν (k) = −iξ δ AB . (4.213)
(−ik µ ) (ik ν )G AB
µν (k) = −iB(k)δAB , (4.214)
woraus aus Vergleich mit (4.213) folgt, dass B(k) = ξ exakt ist, d.h. der
longitudinale Anteil des Eichbosonpropagators erhält keine Korrekturen in
der Störungstheorie.
4.4 Physikalischer Hilbertraum; Unitarität und Eichinvarianz
der S-Matrix
4.4.1 Kanonische Quantisierung
Im Folgenden betrachten wir die Feynman-Eichung ξ = 1, so dass die
Lagrange-Dichte die Form
˜L = − 1 4 GA µνG A,µν + L M (ψ,D µ ψ) − ( ∂ µ B A) A A µ + 1 2 BA B A + ( ∂ µ¯c A) (D µ c) A
(4.215)
190

annimmt. In dieser Eichung ist der Eichbosonpropagator besonders einfach:
k
B, ν A, µ
= −ig µν
k 2 + iε · δAB . (4.216)
Wir verfolgen nun die übliche Strategie der kanonischen Quantisierung von
Feldtheorien. Für die konjugierten Impulse erhält man
Π A,µ = G A,µ0 , (4.217)
Π ψ =
∂L M
∂ (D 0 ψ) , (4.218)
Π A B = −AA 0 , (4.219)
Π A C = ∂ 0¯c A , (4.220)
Π Ā c = − ( D 0 c ) A
. (4.221)
Das Minuszeichen in (4.221) ist eine Folge der Rechtsableitung. Aus (4.217)
folgt die übliche Nebenbedingung
Π A,0 = 0, (4.222)
d.h. A A,0 ist keine kanonische Variable. Jedoch spielt A A,0 die Rolle des zu
B A konjugierten Impulses. Die zugehörigen kanonischen Vertauschungsregeln
lauten dann
[
A
A
i (t,⃗x),G B,j0 (t,⃗y) ] = iδ AB δ i j δ(3) (⃗x − ⃗y) , (4.223)
[
B A (t,⃗x), −A B,0 (t,⃗y) ] = iδ AB δ (3) (⃗x − ⃗y) , (4.224)
{
c A (t,⃗x),∂ 0¯c B (t,⃗y) } = iδ AB δ (3) (⃗x − ⃗y) , (4.225)
{
¯c A (t,⃗x), − ( D 0 c(t,⃗y) ) } B
= iδ AB δ (3) (⃗x − ⃗y) . (4.226)
Diese Vertauschungsregeln sind konsistent damit, dass c A antihermitesch
und ¯c A hermitesch ist.
Wir nehmen nun an, dass wir das System störungstheoretisch behandeln
können, so dass das Spektum des Hamilton-Operators in erster Näherung
durch die freie Theorie gegeben ist. Wir wollen zeigen, dass der Hilbertraum
dann Zustände mit negativer Norm enthält.
Für g = 0 erhält man die Bewegungsgleichungen
∂ 2 A A µ = ∂2 c A = ∂ 2¯c A = 0, (4.227)
191

B A = −∂ µ A A µ . (4.228)
Mit (4.228) folgt aus (4.224)
[
∂ µ A A µ (t,⃗x),A B,0 (t,⃗y) ] = iδ AB δ (3) (⃗x − ⃗y) , (4.229)
wobei nur der Summand für µ = 0 beiträgt, da A A i und A B j bei gleichen
Zeiten vertauschen. Außerdem vertauscht A A i mit A B 0 , da AB 0 der kanonisch
konjugierte Impuls zu B A ist, so dass (4.223) in
[
A A i (t,⃗x), A ˙
]
B
j (t,⃗y) = iδ AB δ ij δ (3) (⃗x − ⃗y) . (4.230)
übergeht. Die Vertauschungsregeln (4.229) und (4.230) lassen sich dann zu
[
A A µ(t,⃗x), A ˙
]
B
ν (t,⃗y) = −iδ AB g µν δ (3) (⃗x − ⃗y) (4.231)
zusammenfassen. Mit entsprechenden Überlegungen erhält man für die Vertauschungsregeln
der Geistfelder
{
c A (t,⃗x),∂ 0¯c B (t,⃗y) } = − {¯c A (t,⃗x),∂ 0 c B (t,⃗y) } = iδ AB δ (3) (⃗x − ⃗y) .
(4.232)
Der nächste Schritt in der kanonischen Quantisierung (von freien oder asymptotischen
Feldern) besteht in der Zerlegung der Felder in Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren. Für das Vektorfeld benötigt man vier Polarisationsvektoren,
entsprechend den vier unabhängigen Feldkomponenten, d.h.
A A µ (x) =
3∑
∫
λ=0
d 3 ⃗ k
(
)
(2π) 3 2k 0 e −ikx ε µ (k,λ,A)a(k,λ,A) + h.c. . (4.233)
Für Geistfeld ist zu beachten, dass dieses antihermitesch ist, so dass
∫
c A (x) = −i
¯c A (x) =
∫
d 3 ⃗ k
(
)
(2π) 3 2k 0 e −ikx c(k,A) + h.c. , (4.234)
d 3 ⃗ k
(
)
(2π) 3 2k 0 e −ikx ¯c(k,A) + h.c. . (4.235)
Aus den Vertauschungs- bzw. Antivertauschungsregeln der Felder folgen
dann die entsprechenden Vertauschungs- bzw. Antivertauschungsrelationen
der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:
[
]
a(k,λ,A),a † (k ′ ,λ ′ ,B) = −g λλ ′δ AB 2k 0 (2π) 3 δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ), (4.236)
192

{
} {
}
c(k,A), ¯c † (k ′ ,B) = − ¯c(k,A),c † (k ′ ,B) = iδ AB 2k 0 (2π) 3 δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ).
(4.237)
Nun kann man durch Anwenden der Erzeugungsoperatoren auf das Vakuum
Zustände definieren und deren Norm mit Hilfe der Vertauschungsrelationen
berechnen. Es zeigt sich, dass Zustände wie
a(k,0,A)|0〉, (4.238)
(
)
c † (k,A) + i¯c † (k,A) |0〉 (4.239)
eine negative Norm haben. Dies verdeutlicht die Notwendigkeit der Einschränkung
auf einen physikalischen Hilbertraum. Wir erwarten, dass nur
transversal polarisierte Eichbosonzustände und keine Geistzustände Teil des
physikalischen Hilbertraums sind.
Beispiel: Wir betrachten den Streuprozess q¯q → gg in niedrigster Ordnung
der Störungstheorie. Die relevanten Feynman-Diagramme sind
+ +
p 1
B, k 2
p 2
A, k 1
Um den unpolarisierten Wirkungsquerschnitt zu berechnen, muss man die
Streumatrixelemente zunächst quadrieren und anschließend über die Polarisationszustände
der Gluonen im Endzustand summieren. In der konvarianten
Eichung ist die Eichboson-Polarisationssumme
∑
(−1) δ λ0
ε ∗ µ(k,λ)ε ν (k,λ) = −g µν , (4.240)
λ,λ ′ =0,...,3
alle λ=0,...,3
und das Resultat lässt sich in folgender Form darstellen:
∑
∣ T(q¯q → g(λ)g(λ ′ )) ∣ 2 = ∑ ∣ T(q¯q → g(λ)g(λ ′ )) ∣ 2
λ,λ ′ =
[
+ 2 · ig ¯v(p 2 )γ α T C u(p 1 )
[
× −ig ū(p 1 )γ β T D v(p 2 )
193
transvers
]
−i
(p 1 + p 2 ) 2 gfABC k 1α
]
i
(p 1 + p 2 ) 2 gfABD k 1β . (4.241)

In einer nicht-abelschen Eichtheorie kann man neben unphysikalischen Eich-
Bosonen auch Geist-Zustände produzieren. Der zusätzliche Term in (4.241)
hat dieselbe Struktur wie
p 1
∣ ∣∣∣∣∣∣
2
= (−1) · [... ][ ... ] . (4.242)
∣
B, k 2
p 2
A, k 1
Dies ist ein anderer Endzustand, der inkohärent zu (4.231) addiert werden
muss. Bei der Phasenraumintegration erhält der Eichbosonterm einen Symmetriefaktor
1 2
für identische Teilchen im Endzustand. Folglich erhält man
1
2 |T(q¯q → gg)|2 alle + ∣ ∣T(q¯q → ghgh ) ∣ 2 = 1
Polarisationen
2 |T(q¯q → gg)|2 nur transverse .
Polarisationen
(4.243)
Das negative Gewicht des Geistdiagramms in (4.242) erklärt sich aus der
Metrik auf dem Fockraum. Wenn 〈n|n ′ 〉 = G nn ′ (üblicherweise G nn ′ = δ nn ′),
dann lautet die Vollständigkeitsrelation
∑
|n〉 ( G −1) 〈n ′ |. (4.244)
nn ′
n,n ′
Mit der Metrik G λλ ′ = −g λλ ′
erhält man beispielsweise für Eichbosonen
3∑
(−1) δ λ0
ε ∗ (k,λ) µ ε(k,λ) ν . (4.245)
λ=0
Für Geister ist die Metrik durch
( ) (
〈gh|gh〉 〈gh| gh〉 ¯ 0 (−i)i
〈 gh|gh〉 ¯ 〈 gh| ¯ gh〉 ¯ =
(−i)(−i) 0
)
=
( )
0 1
−1 0
(4.246)
gegeben, so dass man in ghgh-Produktion ein Gewicht 1 ·(−1) = −1 erhält.
4.4.2 Eichinvarianz der S-Matrix und die Bedingung an den
physikalischen Hilbertraum
Die Streumatrix darf nicht von der Wahl der Eichfixierung abhängen. Dies
soll nun verwendet werden, um den physikalischen Hilbertraum festzulegen.
Nach (4.189) ist die eichfixierte Lagrange-Dichte von der Form
˜L = L + sF , (4.247)
194

mit dem BRS-Operator s, wobei
s ˜L = 0. (4.248)
Wir fordern, dass die S-Matrix von physikalischen Zuständen bei einer Variation
δ F des Eichfixierungsterms F unverändert bleibt, d.h.
δ F 〈β;out|α;in〉 = 0. (4.249)
Die folgende Ableitung ist etwas heuristisch. Die Variation F → F + δF
impliziert eine Änderung des Hamilton-Operators H → H + δ F H, die wir
als Änderung von H int auffassen. Die in/out-Zustände sind als Lösungen
der Lippmann-Schwinger-Gleichung (3.8) definiert. In erster Ordnung gilt
deshalb
1
δ F |α;in/out〉 =
E α − H 0 ± iε δ FH |α;in/out〉. (4.250)
Multipliziert man diese Gleichung mit einem beliebigen in-Zustand 〈β;in|,
so erhält man
〈β;in|δ F |α;in/out〉 =
= ∓i
= ∓i
∫ ∞/t
t/−∞
∫ ∞/t
t/−∞
1
E α − E β ± iε 〈β;in|δ F H|α;in/out〉
dt e i(Eα−E β±iε)t 〈β;in|δ F H|α;in/out〉
dt 〈β;in|e −iHt δ F He iHt |α;in/out〉. (4.251)
Somit folgt für die Änderung der in/out-Zustände in erster Ordnung
δ F |α;in/out〉 = ∓i
∫ ∞/t
t/−∞
dt e −iHt δ F He iHt |α;in/out〉. (4.252)
Diese Gleichung kann man nun verwenden, um die Änderung der S-Matrix
bei einer Variation des Eichfixierungsfunktionals F zu berechnen:
δ F (〈β;out|α;in〉) = (δ F 〈β;out|) |α;in〉 + 〈β;out|(δ F |α;in〉)
= −i
∫ t
∞
dt 〈β;out|e −iHt δ F H e iHt |α;in〉
− i
∫ ∞
t
dt 〈β;out|e −iHt δ F H e iHt |α;in〉. (4.253)
195

Im nächsten Schritt verwenden wir zunächst, dass |α;in/out〉 Energieeigenzustände
von H sind, und anschließend die Energieerhaltung, d.h. E α = E β ,
so dass
δ F (〈β;out|α;in) = −i
∫
= i
∫ ∞
−∞
dt 〈β;out|δ F H |α;in〉
d 4 x 〈β;out|δ F ˜L |α;in〉 = i〈β;out|δF S |α;in〉, (4.254)
wobei δ F S = ∫ d 4 xsδ F F ≡ sδ F ψ die Änderung der Wirkung ist. Da die BRS-
Transformation von der BRS-Ladung Q BRS erzeugt wird (vgl. (4.200)), folgt
letztlich
δ F (〈β;out|α;in〉) = i〈β;out|sδ F ψ |α;in〉
= −〈β;out| [ Q BRS ,δ F ψ ] |α;in〉
!
= 0. (4.255)
Das Eichfixierungsfunktional F ist beliebig, weshalb auch δ F ψ ein beliebiger
Operator ist. Somit liefert (4.255) eine hinreichende Bedingung an die
Zustände des physikalischen Hilbertraums:
Q BRS |α;in〉 = 0. (4.256)
Da Q BRS eine erhaltene Ladung ist, d.h. mit dem Hamilton-Operator vertauscht,
verschwindet ebenfalls der Kommutator von Q BRS mit der Streumatrix
S. Deshalb folgt auch
Q BRS |β;out〉 = 0 (4.257)
für die out-Zustände des physikalischen Hilbertraums.
Die physikalischen Zustände liegen also im Kern ker Q BRS der BRS-Ladung.
Der Kern ist aber noch nicht der physikalische Hilbertraum, da er viele
Nullnormzustände enthält, nämlich alle Zustände der Form Q BRS |ψ〉 = 0
für beliebiges ψ, da Q BRS nilpotent ist.
Sei nun V 0 die Menge aller Nullnormzustände in ker Q BRS . Dann gilt
〈f|ψ〉 = 0 ∀f ∈ ker Q BRS und |ψ〉 ∈ V 0 , (4.258)
falls ker Q BRS positiv semidefinit ist, d.h. keine Zustände mit negativer Norm
enthält. (Dies ist zu beweisen; siehe hierfür Kugo Kap. 5.8/5.9.)
196

Beweis:
Wir wählen eine beliebige Linearkombination der Form
|f〉 + α |ψ〉 ∈ ker Q BRS , α ∈ C . (4.259)
Da ker Q BRS positiv semidefinit ist, hat dieser Zustand eine nicht negative
Norm, so dass
0 ≤ (〈f| + α 〈ψ|) (|f〉 + α |ψ〉) = 〈f|f〉 + 2Re (α〈ψ|f〉) (4.260)
was für beliebiges komplexes α nur möglich ist, wenn 〈ψ|f〉 = 0.
Wir definieren als physikalische Zustände die Äquivalenzklassen
| ̂f 〉 ≡ { |f ′ 〉 ∣ ∣ |f ′ 〉 − |f〉 ∈ V 0 , |f ′ 〉 ∈ ker Q BRS} (4.261)
und den physikalischen Hilbertraum als den Quotientenraum ker Q BRS /V 0
mit dem Skalarprodukt
〈 ̂f |ĝ 〉 ≡ 〈f|g〉, (4.262)
welches wegen (4.258) wohldefiniert ist, d.h. unabhängig von der Wahl des
Repräsentanten ist. Die Metrik ist nach Konstruktion positiv definit, denn
alle Nullnormzustände sind nun äquivalent zum Null-Vektor.
Wir überzeugen uns an zwei weiteren Argumenten, dass Q BRS |ψ〉 = 0 die
richtige Auswahlbedingung ist.
✷
Bewegungsgleichung
Im Folgenden soll gezeigt werden, dass das Auswahlkriterium (4.256) dazu
führt, dass die Feldgleichung für das Eichboson die Form einer verallgemeinerten
Maxwell-Gleichung annimmt.
In Kap. 4.3.2 hatten wir bereits die aus der eichfixierten Lagrange-Dichte ˜L
folgende Maxwell-Gleichung
D AB
µ GB,µν + gj A,ν
M = ∂ν B A + gf ABC ( ∂ ν¯c B) c C . (4.263)
abgeleitet (vgl. (4.194)). Die Terme auf der rechten Seite dieser Gleichung
sind eine Folge der Eichfixierung und treten deshalb in (4.81) nicht auf. Unter
197

globalen Eichtransformationen transformieren B A ,c A , ¯c A in der adjungierten
Darstellung. ˜L ist invariant, und man erhält den vollen Noether-Strom
−j A,ν = f ABC A C µ G B,µν − j A,ν
M + ∂L
∂ (∂ ν B B ) fABC B C
+ ∂L
∂ (∂ ν c B ) fABC c C +
∂L
∂ (∂ ν¯c B ) fABC¯c C
= f ABC A C ν G B,µν − j A,ν
M
− fABC A B,ν B C
+ f ABC¯c C (D ν c) B + f ABC ( ∂ ν¯c B) c C . (4.264)
Verwendet man diese Gleichung in (4.263), so folgt
∂ µ G A,µν + gj A,ν = ∂ ν B A + gf ABC A B,ν B C + gf ABC¯c B (D ν c) C
= s ∂ ν¯c A + gf ABC A B,ν s ¯c C + gf ABC¯c B sA C,ν
= s ∂ ν¯c A + gf ABC s ( A B,ν¯c C) = s (D ν c) A
{
= i Q BRS ,(D ν c) A} (4.265)
Im Vergleich zu (4.200) muss hier der Antikommutator verwendet werden,
um den BRS-Operator durch die BRS-Ladung auszudrücken, da der
Grassmann-Parameter λ herausgezogen wurde.
Der Term auf der rechten Seite von (4.265) verschwindet zwischen physikalischen
Zuständen, so dass die Bewegungsgleichung die Form der Maxwell-
Gleichung mit dem vollen Noether-Strom j A,ν bezüglich der globalen Eichsymmetrie
annimmt.
Asymptotische Zustände
Wir wollen nun zeigen, dass das Kriterium (4.256) für die aysmptotischen
Zustände tatsächlich dazu führt, dass nur transversale Eichboson-Zustände
und keine Geister als physikalisch bezeichnet werden.
Dazu betrachten wir die BRS-Transformation der Felder für den Fall g = 0:
δ λ ψ = 0, (4.266)
δ λ A A µ = λ∂ µ c A , (4.267)
198

wobei aufgrund der Bewegungsgleichung gilt
δ λ c A = 0, (4.268)
δ λ¯c A = λB A , (4.269)
δ λ B A = 0, (4.270)
B A = −∂ µ A A,µ . (4.271)
Aus (4.269) folgt, dass ein Antigeistzustand nicht im Kern der BRS-Ladung
liegt und somit keinen physikalischen Zustand darstellt.
Weiter betrachten wir (4.267). Um zu erkennen welche der vier Polarisationszustände
des Eichfeldes A A,µ nicht im Kern des BRS-Operators liegen,
wählen wir die Polarisationsvektoren wie folgt:
ε µ (k,λ), λ = 1,2 (transvers), (4.272)
(
ε ± µ (k) = √ 1 (ε µ (k,0) ∓ ε µ (k,3)) = √ 1 1, ∓ ⃗ )
k ∣ ∣ . (4.273)
2 2 ∣⃗ k Im Impulsraum geht (4.267) in
über, so dass
δ λ A A µ = −iλk µ c A (4.274)
δ λ
(
ε µ (k,λ)A A µ (k)) = −iλε µ (k,λ)k µ c A . (4.275)
Das Skalarprodukt ε − µ (k)k µ ist ungleich Null, so dass die BRS-Variation für
Eichbosonen mit A A µ ∝ ε+ µ (k) nicht verschwindet. Der Polarisationszustand
ε + µ (k) liegt also nicht in ker QBRS und ist somit nicht physikalisch.
Umgekehrt können (4.267) und (4.269) verwendet werden, um Nullnormzustände
zu identifizieren. Wegen der Bewegungsgleichung (4.271) gilt
B A ∝ ∂ µ A A,µ
Impulsraum
−→ k µ ε µ (k,λ). (4.276)
Da das Skalarprodukt für ε −µ nicht verschwindet, folgt aus (4.269), dass der
ε − µ -Zustand als Variation eines Anitgeist-Zustandes darstellbar ist, d.h.
ε − µ (k) ∝ Q BRS |Antigeist〉. (4.277)
Aufgrund der Nilpotenz von Q BRS folgt, dass ε − µ (k) ein Nullnormzustand
ist.
199

Entsprechend folgt aus (4.269), dass sich der Geistzustand als BRS-Variation
eines ε + µ (k)-Zustands darstellen lässt. ε − µ und der Geist-Zustand sind also
äquivalent zum Nullzustand und werden deshalb bei Äquivalenzklassen-
Bildung eliminiert.
Wie erwartet, sind also die physikalischen Zustände die transversalen Eichbosonen
und die ψ-Zustände, bzw. die entsprechenden Äquivalenzklassen.
4.4.3 Unitarität der S-Matrix auf dem physikalischen Hilbertraum
Für eine sinnvolle Theorie ist es offensichtlich notwendig zu fordern, dass
ein Streuprozess physikalische Zustände nur in physikalische Zustände überführt.
Dazu muss der Streuoperator S auf dem physikalischen Hilbertraum
unitär sein.
Die eichfixierte Lagrange-Dichte
˜L = L + sF (4.278)
ist nach Konstruktion hermitesch (bzw. reell), woraus folgt, dass auch der
zugehörige Hamilton-Operator ˜H hermitesch ist. Der Zeitentwicklungsoperator
der Quantenmechanik ist dann unitär, so dass auch der Streuoperator
auf dem gesamten Fockraum von ˜H, welcher auch unphysikalische Zustände
einschließt, unitär ist.
Der physikalische Hilbertraum sei definiert durch
V phys ≡ ker Q BRS /V 0 . (4.279)
Wir nehmen wie oben ohne Beweis an, dass ker Q BRS positiv semidefinit ist,
so dass V phys positiv definit ist. Der Streuoperator S bildet ker Q BRS wieder
in sich selbst ab, d.h.
S ker Q BRS ⊂ ker Q BRS , (4.280)
denn da Q BRS eine erhaltene Ladung ist vertauscht diese mit dem Streuoperator,
so dass
Q BRS (S |f〉) = S Q BRS |f〉 = 0 ∀ |f〉 ∈ ker Q BRS . (4.281)
Folglich gilt auch
S V 0 ⊂ V 0 , (4.282)
200

denn für beliebige Zustände |f〉 aus ker Q BRS und |ψ〉 aus V 0 folgt
〈f|(S |ψ〉) = 〈f|S|ψ〉 = (〈f|S) |ψ〉 = 0, (4.283)
da S|f〉 ∈ ker Q BRS . Der Zustand S|ψ〉 hat somit Norm Null.
Damit kann man die physikalische S-Matrix wie folgt definieren:
S phys | ̂f 〉 ≡ Ŝ |f〉. (4.284)
Wegen (4.282) ist die rechte Seite wohldefiniert, denn für jeden Repräsentanten
|f〉 von | ̂f 〉 liegt S|f〉 in derselben Äquivalenzklasse.
Der durch (4.284) definierte Operator ist tatsächlich unitär, d.h. S † phys S phys
wirkt zwischen zwei beliebigen Äquivalenzklassen | ̂f 〉, |ĝ 〉 wie der Einheitsoperator,
denn
〈 ̂f |S † phys S phys |ĝ 〉 = 〈Ŝf|Ŝg〉 = 〈Sf|Sg〉 = 〈f|S† S|g〉 = 〈f|g〉 = 〈 ̂f |ĝ 〉.
(4.285)
4.4.4 Zusammenfassung
Ausgangspunkt der Überlegungen dieses Kapitels war eine Lagrange-Dichte
L, welche eine lokale Eichsymmetrie besitzt. Die Eichfixierung mittels der
Fadeev-Popov-Methode und die BRST-Quantisierung führten auf eine erweiterte
Lagrange-Dichte der Form
˜L = L + sF , (4.286)
wobei ˜L eine mit der BRS-Symmetrie verknüpfte Noether-Ladung Q BRS besitzt.
Bei der Quantisierung haben wir festgestellt, dass eine Theorie mit der
Lagrange-Dichte ˜L unphysikalische Eichboson- und Geist-Zustände enthält
und auf einen Fockraum mit indefiniter Metrik führt. Dies machte die Einschränkung
auf einen physikalischen Hilbertraum notwendig, welcher durch
V phys ≡ ker Q BRS /V 0 (4.287)
definiert wurde. Der Streuoperator S, eingeschränkt auf V phys ist unitär, und
seine Matrixelemente in V phys sind unabhängig von der beliebigen Eichfixierung
F.
201