Gedämpfte harmonische Schwingungen

Gedämpfte harmonische Schwingungen
Barbara Herzog und Kim Holm
7. Juni 2013
1 Erinnerung an den ungedämpften harm. Oszillator
Das lineare Kraftgesetz F (x) = −kx mit der Federkonstanten k liefert für den harmonischen
Oszillator:
die lineare homogene Dierentialgleichung:
mẍ = −kx −→ ẍ + ω 2 ox = 0 mit ω 2 o = k m
(1)
die allgemeine Lösung:
x(t) = Ae iω2 o
+ Be −ωot , wobei B = A ∗ (2)
= c 1 cos(ω o t) + c 2 sin(ω o t)
= a cos(ω o t − ϕ o )
= Re{Ae iωot } mit A = ae −iϕo
Die 2 Anfangsbedingungen sind entweder Amplitude a und Phasenverschiebung ϕ 0 oder
Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t = 0. Für Anfangsbedingungen:
x(0) = x 0 , ẋ(0) = v 0 (3)
=⇒ x(t) = x o cos(ω o t) + v o
ω o
sin(ω o t) (4)
Im Ergebnis erhält man die Lösung des Anfangswertproblems.
Die Konstanten c 1 , c 2 und a, ϕ o hängen hier wie folgt zusammen
c 1 = a cos ϕ o c 2 1 + c 2 2 = a 2 (5)
c 2 = a sin ϕ o tan ϕ o = c 2 /c 1
1

2 Gedämpfter harm. Oszillator (Stokes'sche Reibung)
mẍ = −kx
}{{}
−rẋ
F⃗
R =−r⃗v
mit r = 2mβ oder r = mγ
0 = ẍ + 2β ẋ + ω
}{{} ox 2 (7)
γ
=⇒ λ 2 + 2βλ + ωo 2 = 0 charakteristische Gleichung
√
(9)
λ 1/2 = −β ± β 2 − ωo
2 } {{ }
Diskriminante
(10)
−→
2.1 Schwingfall: ω o > 0
Diskriminante macht Fallunterscheidung notwendig
Nebenrechnung:
√
β 2 − ω 2 o = √ (−1) ∗ √ ω 2 o − β 2 = i √ ω 2 o − β 2 (11)
=: i ω −→ Frequenz des gedämpften Systems ω < ω o (12)
(6)
(8)
Merke:
Ein gedämpftes System schwingt immer langsamer als ein ungedämpftes!
x(t) = Ae λ 1t + Be λ 2t , B = A ∗ (13)
= e −βt (Ae iωt + Be −iωt ) mit ω 2 = ω 2 o − β 2
= e −βt (c 1 cos(ωt) + c 2 sin(ωt))
(
= e −βt x 0 cos(ωt) + v )
o + x o β
sin(ωt)
ω
= a} e{{ −βt
} cos(ωt − ϕ o )
exp. abnehmende Amplitude
für Anfangsbed. (3)
Man beachte die Analogie zur Lösung des harmonischen
Oszillators ohne Dämpfung, die sich
im Grenzfall β → 0 ergibt.
Eine gedämpfte Schwingung ist charakterisiert
durch eine exponentiell abnehmende Amplitude
und eine kleinere Frequenz im Vergleich zum
ungedämpften System!
2

Hinweis: Die Fallunterscheidung liefert weitere Lösungen:
• aperiodischer Grenzfall, Diskriminante = 0
• Kriechfall, Diskriminante > 0
Dies sind rein reelle Lösungen.
2.2 Aperiodischer Grenzfall: β = ω o (Diskriminante =0)
Der aperiodischer Grenzfall kennzeichnet die kritische Dämpfung, ab der keine Schwingung
mehr möglich ist. Es ergeben sich entartete Wurzeln λ 1 = λ 2 = −β. Die Theorie
der Dierentialgleichungen liefert dazu die Lösung mit freien Konstanten c 1 , c 2
x(t) = c 1 e −βt + c 2 t e −βt = (c 1 + c 2 t) e −βt (14)
2.3 Kriechfall: β > ω o
Die Lösung besteht aus zwei Exponentialfunktionen mit den reelen Wurzeln λ 1 , λ 2 .
x(t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t
(15)
Hinweis: Es lässt sich zeigen, dass der aperiodische Grenzfall am schnellsten abklingt.
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