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Abiturprüfung 2008
Physik, Leistungskurs
Aufgabenstellung:
Aufgabe 1: Das Zyklotron
Zur Erforschung von Elementarteilchen und auch zum Einsatz in Medizin und Technik benötigt
man Teilchen, die hohe Energie besitzen. Diese hohen Energien erreicht man in so genannten
Beschleunigern. Eine spezielle Ausführung eines Beschleunigers ist das Zyklotron.
Die prinzipielle Funktionsweise des Zyklotrons kann man den beiden folgenden Abbildungen
1a und 1b entnehmen.
D
1
D
2
Q
B
Abbildung 1a
Abbildung 1b: Ansicht von oben (Draufsicht)
Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum.
Sie besteht hauptsächlich aus zwei innen hohlen D-förmigen Elektroden D 1 und D 2 , deren
Form man sich wie eine in zwei Teile geschnittene flache Dose vorstellen kann.
An diese Elektroden, die so genannten Duanten, wird eine Spannung U angelegt, die ein
elektrisches Feld erzeugt, das nur im Spalt zwischen den Duanten, nicht aber im Inneren
der hohlen Duanten vorhanden ist.
Nur für den Dienstgebrauch!

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Die Breite des Spalts zwischen den Duanten ist klein gegen ihren Durchmesser.
Im Punkt Q befindet sich eine Protonenquelle, die Protonen mit der Anfangsgeschwindigkeit
v = 0 m liefert.
s
Zur Vereinfachung wird angenommen, dass das homogene Magnetfeld nur im Inneren der
Duanten, nicht aber im Bereich des Spaltes zwischen ihnen wirkt.
Vom Einfluss der Schwerkraft soll abgesehen werden.
a) Zunächst sei an die Duanten eine Gleichspannung derart angelegt, dass der linke Duant
D 1 negativ geladen ist. Bei einer bestimmten Stärke des Magnetfeldes B ergibt sich die
in Abbildung 2 dargestellte Bahnkurve eines Protons.
D
1
D
2
P 1
P
2
Q
P
3
B
Abbildung 2
Geben Sie begründet die verschiedenen Bewegungsformen des Protons bis zum Erreichen
des Punktes P 3 an.
Skizzieren Sie in Abbildung 2 die weitere Bahnkurve des Protons, nachdem dieses den
Punkt P 3 erreicht hat, und begründen Sie sie.
(12 Punkte)
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b) Nun wird die zwischen den Elektroden anliegende Spannung umgepolt, sobald sich das
Proton zum ersten Mal im Inneren des Duanten D 1 befindet.
Erläutern und begründen Sie unter diesen Bedingungen die Bewegung eines Protons beginnend
bei der Protonenquelle.
Skizzieren Sie seine Bahn (in Abbildung 2 gestrichelt) bis zum erstmaligen Austritt aus
dem Duanten D 2 .
(8 Punkte)
c) Die Aufenthaltsdauer eines Protons in einem Duanten kann mit folgender Beziehung berechnet
werden: t
D
π⋅mP
= .
q⋅
B
m P
q
B
Masse des Protons
Ladung des Protons
Betrag der magnetischen Feldgröße
Leiten Sie diese Beziehung begründet her.
Begründen Sie, warum die Aufenthaltsdauer nicht vom Radius abhängt und daher der
Radius nicht in der angegebenen Beziehung vorkommt.
(7 Punkte)
d) Die Geschwindigkeit des Protons soll jetzt schrittweise erhöht werden. Dazu wird an die
Duanten eine Wechselspannung mit einer konstanten Frequenz angelegt.
Begründen Sie anhand der oben angegebenen Beziehung für die Aufenthaltsdauer t D ,
dass durch Anlegen einer Wechselspannung mit einer konstanten Frequenz eine schrittweise
Erhöhung der Geschwindigkeit möglich ist.
Hinweis: Da die Breite des Spalts zwischen den Duanten klein gegen ihren Durchmesser
ist, kann die Beschleunigungszeit im Spalt dabei vernachlässigt werden.
Berechnen Sie begründet – unter Einbeziehung der Einheitenumformung – die Frequenz
f der Wechselspannung, wenn die Stärke B des Magnetfeldes 15 , Tbeträgt. (9 Punkte)
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e) Bei den folgenden Berechnungen soll angenommen werden, dass zur Erzielung einer
optimalen Beschleunigung die Protonen den Spalt jeweils dann durchlaufen, wenn die
angelegte Wechselspannung ihren Maximalwert hat.
Der Scheitelwert der Wechselspannung sei
4
U 0 = 210 ⋅ V .
Da die zum Durchlaufen des Spalts benötigte Zeit im Vergleich zur Umlaufszeit sehr
kurz ist, soll zur Vereinfachung der folgenden Berechnungen die angelegte Spannung
während dieser Zeit konstant den Wert U 0 haben. Die Stärke B des Magnetfeldes sei
15 , T.
Berechnen Sie die erreichbare Energie in MeV eines Protons nach 100 Umläufen.
Berechnen Sie klassisch die dann erreichte Geschwindigkeit.
Berechnen Sie den Durchmesser, den ein Zyklotron in diesem Fall mindestens besitzen
muss.
(9 Punkte)
f) Wenn die Protonen sehr hohe Geschwindigkeiten erreichen, muss man relativistische Effekte
berücksichtigen. Diese führen dazu, dass Teilchen mit einem Zyklotron obiger
Bauart (auch bei ggf. vergrößerten Abmessungen) nur auf eine bestimmte maximale
Energie beschleunigt werden können, weil sie, wie man sagt, „aus dem Takt“ geraten.
Erklären Sie, welcher relativistische Effekt in diesem Fall eine entscheidende Rolle
spielt. Erläutern Sie qualitativ, warum die Protonen „aus dem Takt“ geraten und daher
nur auf eine bestimmte maximale Energie beschleunigt werden können. (6 Punkte)
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g) Elektronen können mit einem Zyklotron der bisher behandelten Bauart nur auf relativ
kleine Energien beschleunigt werden. Daher wurde eine Modifikation entwickelt, die
zum so genannten Elektronenzyklotron führte.
Dabei wird zur Beschleunigung von Elektronen der Scheitelwert der angelegten Wechselspannung
auf genau 511 kV eingestellt.
Zeigen Sie, dass die kinetische Energie eines Elektrons bei jedem Durchqueren des
Spalts um die Ruheenergie zunimmt.
Man kann die Masse nach dem n-ten Umlauf durch die Beziehung m= m ⋅( ⋅ n+
)
0 2 1
ausdrücken, d. h., die Umlaufzeit wächst bei jedem Umlauf gemäß der in Teilaufgabe c)
angegebenen Beziehung.
Begründen Sie, warum die Frequenz (bzw. Periodendauer) der Wechselspannung trotzdem
konstant gewählt werden kann.
(6 Punkte)
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Aufgabe 2: Radioaktivität
Insbesondere in der Raumluft von Kellerräumen kann man radioaktives Radon-222 (als ein
Folgeprodukt in der Zerfallsreihe des im Erdboden vorhandenen Uran-238) nachweisen.
Als gasförmiges Element kann Radon-222 aus dem Erdboden austreten und zerfällt anschließend
in der Luft in eine Reihe von Folgeprodukten gemäß folgender Reihe (in der unteren
Zeile ist die jeweilige Halbwertszeit angegeben):
Rn-222
3,8 d
Po-218
3,1 min
Pb-214
26,8 min
Bi-214
19,9 min
Po-214
0,2 s
Pb-210
22,3 a
Bi-210
5,0 d
Po-210
138,4 d
Pb-206
stabil
Mit folgendem einfachen Experiment kann man die Radioaktivität der Folgeprodukte dieses
Rn-222 nachweisen:
Ein aufgeblasener Luftballon wird elektrostatisch
aufgeladen und mittels Bindfaden an der
Decke eines Kellerraumes elektrisch isoliert
aufgehängt. Nach einer gewissen Zeit wird der
Ballon abgenommen, die Luft herausgelassen
und der Ballon eng zusammengerollt unverzüglich
vor ein Geiger-Müller-Zählrohr gebracht,
mit dem die Zählrate (in Impulsen pro
Minute) in Abhängigkeit von der Zeit ermittelt wird.
Bei diesem Experiment wird genutzt, dass sich das beim Rn-222-Zerfall entstehende elektrisch
geladene Zerfallsprodukt Po-218 an dem elektrostatisch aufgeladenen Luftballon als
fester Stoff anlagert.
Abbildung 3 (Anhang) zeigt eine Messkurve, für die ein Ballon ca. 2 Stunden aufgehängt
worden ist. Abbildung 4 (Anhang) zeigt eine Messkurve, bei der der Ballon lediglich ca. 20
Minuten aufgehängt wurde.
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a) Beschreiben Sie die beim α-Zerfall und beim β ˉ-Zerfall im Atomkern stattfindenden
Umwandlungsprozesse und geben Sie allgemein die Umwandlungsgleichungen für den
α-Zerfall und den β ˉ-Zerfall an.
Beschreiben Sie zwei Grundideen für die Entwicklung experimenteller Methoden zur
Unterscheidung von α- und β ˉ-Strahlung und nennen Sie diejenige Eigenschaft beider
Strahlungsarten, die ihren Nachweis mit Detektoren ermöglicht.
Geben Sie die Umwandlungsgleichungen für die ersten fünf Kernumwandlungen in der
oben stehenden Rn-Produktkette Rn-222 → Po-218 → Pb-214 → Bi-214 → Po-214 →
Pb-210 an.
(17 Punkte)
b) Zeichnen Sie in Abbildung 3 eine Ausgleichskurve für den Bereich sinkender Aktivität ein.
Bestimmen Sie anschließend mit Hilfe dieser Ausgleichskurve diejenige Zeitspanne, nach
der die zum Zeitpunkt t 1 = 50 min registrierte Aktivität auf die Hälfte abgenommen hat.
Beschreiben Sie, wie dabei die Nullrate (der Nulleffekt) zu berücksichtigen ist.
Diskutieren Sie qualitativ das Ergebnis der grafischen Auswertung unter Bezug auf die
Halbwertszeiten der Isotope der Zerfallskette.
(10 Punkte)
Im Folgenden wird der oben untersuchte Zerfallsprozess der Folgeprodukte des Rn-222
modellhaft untersucht. Zur Vereinfachung wird dazu lediglich der Zerfall einer Muttersubstanz
MS ( T 12 / MS = 26, 8 min) in eine erste Tochtersubstanz TS 1 und deren Zerfall
( T 12 / TS1 = 19, 9 min) in eine praktisch sofort in das Endprodukt EP weiter zerfallende zweite
Tochtersubstanz betrachtet.
c) Begründen Sie, warum man bei der Modellierung des Realexperimentes Po-218 außer
Betracht lassen und die Modellierung bei Pb-210 abbrechen darf.
(6 Punkte)
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d) Die nebenstehende Tabelle zeigt den Anfang
eines Rechenblatts zur zahlenmäßigen
Erfassung dieses Vorgangs. In den
Zellen B8, C8 und D8 sind (frei gewählte)
Startwerte für die Anzahl der Teilchen
der jeweiligen Substanzen eingetragen;
alle anderen Zellen in Zeile 8 und in den
nachfolgenden Zeilen werden unter Verwendung
der im Kopf der Tabelle angegebenen
Halbwertszeiten errechnet (zur
Beachtung: Die Zahlen sind jeweils auf die
Einerstelle gerundet dargestellt).
Bestätigen Sie mit Hilfe des Zerfallsgesetzes die in den Zellen E8 und F8 ablesbaren
Werte für die Aktivitäten.
Begründen Sie anhand der Zerfallsreihe, warum der Wert in G8 nicht die alleinige
Summe der Werte in den Zellen E8 und F8 ist.
Geben Sie begründet an, wie die Werte in den Zellen B9, C9 und D9 berechnet werden.
(14 Punkte)
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e) Erläutern Sie, warum es für die Modellierung der beiden Realmessungen nicht sinnvoll
ist, in Zelle C8 einen verschwindend kleinen Startwert (oder gar Null) für die Tochtersubstanz
TS 1 zu wählen.
Die grafische Darstellung aller bis
t = 250 min errechneten Zahlenwerte für die Gesamtaktivität
aus der obigen Tabelle zeigt die linke Abbildung; die rechte Abbildung
zeigt die errechneten Zahlenwerte, wenn in C8 für den Anfangswert statt 800 der Wert
1600 gewählt wird:
Abbildung 1: Gesamtaktivität für Wert (C8) = 800 Abbildung 2: Gesamtaktivität für Wert (C8) = 1600
Ordnen Sie (unter Berücksichtigung der Wahl der Startwerte für Mutter- und erste Tochtersubstanz)
die beiden Diagramme den experimentellen Ergebnissen zu, die sich in den
Realexperimenten für die beiden unterschiedlichen „Aufhängezeiten“ zeigten, und begründen
Sie diese Zuordnung.
(9 Punkte)
Zugelassene Hilfsmittel:
• Physikalische Formelsammlung
• Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)
• Nuklidkarte (Auszug)
• Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung
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Anhang
Abbildung 3: Radioaktivität der Radon-Folgeprodukte: „Aufhängezeit“ des Luftballons ca. 2 Stunden
Rechtsachse: Zeit in Minuten
Hochachse: Zählrate in Impulsen pro Minute
Abbildung 4: Radioaktivität der Radon-Folgeprodukte: „Aufhängezeit“ des Luftballons ca. 20 Minuten
Rechtsachse: Zeit in Minuten
Hochachse: Zählrate in Impulsen pro Minute
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