Dechema "Probabilistik"

Der Einzug der Statistik in die 

Leittechnik – Was sagt uns 

eigentlich ein λ-Wert? 

„Es herd awa a net uff zu bassiere!“ 

Pfälzer Mundart - Kabarett „Spitz & Stumpf“ 

05.07.2007 

Dr. Andreas Hildebrandt

Die EN 61508 hilft Unfälle zu vermeiden 

Systematische Fehler 

Zufällige Fehler 

Fehlervermeidung 

Fehlerbeherrschung 

QM – System 

Struktur / Konstruktion 

Sicherheitslebenszyklus 

Probabalistik 

(Ausfallwahrscheinlichkeit PFD) 

05.07.2007 Andreas Hildebrandt Folie 2

Das risikobasierte Konzept der EN 61508 


Grundlegende Forderung der EN 61508 

• Risiken 

– identifizieren (Wo lauert Gefahr?) 

– quantifizieren (Wie groß ist die Gefahr?) 

– qualifizieren (Kann man damit leben?) 

– ggf. reduzieren (Wie beherrsche ich die Gefahr?) 


Risiko – Definition nach EN 61508 

Risiko ist das Produkt aus 

– Schadenspotenzial und 

– Eintrittswahrscheinlichkeit 

Risiko = E(D) • P(D) 

E(D) 

P(D) 

= Schadenspotenzial 

(Extent of Damage) 

= Eintrittswahrscheinlichkeit des Schadens 

(engl.: Probability of Damage) 

Risiko = Erwartungswert des Schadens bzw. der Schadensrate 


„Werkzeug“: Risikograf 

Risiko = S • A • (1 - G) • W 

Tolerierbares Risiko 


Risikoreduzierung 

Risikoreduzierung ist möglich durch 

- Schadensbegrenzung 

- Ereignisverhinderung 

Ereignisverhinderung ist z. B. möglich durch eine 

zusätzliche 

Sicherheitseinrichtung 

„Es passiert“ nur, wenn die normale Funktion der Anlage 

gestört ist und die Sicherheitsfunktion ausfällt 

Hinweis: Die Ausfallwahrscheinlichkeit der Sicherheitsfunktion wird PFD 

(Probability of Failure on Demand) genannt 


Risikoreduzierung 

(Ausgangs) Risiko = P(D) · E(D) 

Restrisiko = PFD · P(D) · E(D) 

Eintrittswahrscheinlichkeit 


PFD und SIL 

Restrisiko = PFD · E(D) · P(D) 

Ausgangsrisiko 

Tol. Risiko 

R R R A1 R A2 R A3 

Risiko 

PFD SIL 1 

PFD SIL 2 

PFD SIL 3 


PFD nach EN 61508 

Safety Integrity Level PFD 

SIL 1 10E-2 ... 10E-1 

SIL 2 10E-3 ... 10E-2 

SIL 3 10E-4 ... 10E-3 

SIL 4 10E-5 ... 10E-4 


Prinzip der PFD-Berechnung 

Sicherheitsfunktion 

ist ausgefallen 

t 

PFD = kumulierte Ausfallzeit / Gesamtbetriebsdauer 

(für t → ∞) 


Prinzip der PFD-Berechnung 

Sicherheitsfunktion 

ist ausgefallen 

T 1 

t 

PFD = rel. Ausfallzeit (bezogen auf T 1 ) • Ausfallwahrscheinlichkeit 


Formel zur PFD - Berechnung nach EN 61508-6 

Formel zur Berechnung der PFD einer zweikanaligen 

Struktur (1oo2) nach EN 61508, Teil 6 

PFD 

mit 

1oo2 

= 2⋅ 

[(1 

−β ) ⋅λ + (1 −β) 

⋅λ ] 

D 

DD 

DU 

2 

⋅ t 

CE 

⋅ t 

GE 

+β 

D 

⋅λ 

DD 

⋅ MTTR+β⋅λ 

DU 

⎛ T1 

⋅⎜ 

⎝ 2 

⎞ 

+ MTTR⎟ 

⎠ 

und 

t 

CE 

= 

λ 

λ 

DU 

D 

⎛ T1 

⋅⎜ 

⎝ 2 

⎞ 

+ MTTR⎟ + 

⎠ 

λ 

λ 

DD 

D 

⋅ MTTR 

t 

GE 

= 

λ 

λ 

DU 

D 

⎛ T1 

⋅⎜ 

⎝ 3 

⎞ 

+ MTTR⎟ + 

⎠ 

λ 

λ 

DD 

D 

⋅MTTR 


Alles purer Zufall 

• Geräteausfälle sind Zufallsereignisse 

• Ausfallverhalten muss mit Hilfe probabilistischer Größen und Methoden beschrieben 

werden 

• Statistische Kenngrößen über das Ausfallverhalten von Geräten werden benötigt 

(Ausfallrate λ) 

Source: iStockphoto 


Badewannenkurve 

Die Ausfallrate λ ist die Ausfallwahrscheinlichkeit pro Zeitintervall 

(Beispiele: 3% pro Jahr; 7 ppm pro Stunde; 50 FIT; 10 -3 pro Jahr) 

Failure Rate versus Time 

@ Room Temperature 

1,60E-04 

1,40E-04 

Failure Rate [1/h] 

1,20E-04 

1,00E-04 

8,00E-05 

6,00E-05 

4,00E-05 

2,00E-05 

0,00E+00 

Verschleiß 

konstante Fehlerrate 

0 2 4 6 8 10 12 14 

Time [years] 


Elektronik vs. Mechanik 

Mechaniker und Elektroniker fokussieren auf unterschiedliche 

Parameter der Badewannenkurve 



1,60E-04 


1,40E-04 

1,20E-04 

1,00E-04 

8,00E-05 

6,00E-05 

4,00E-05 

2,00E-05 

Elektronik 

Mechanik 

0,00E+00 

0 2 4 6 8 10 12 14 

Time [years] 


ACHTUNG!!! - - - Weitverbreiteter Fehler - - - 

MTBF = 1 

λ 

Nonsense! 


Wo liegt das Problem? 

"Badewannenkurve" des Menschen (Deutschland) 

0,07 

0,06 

Ausfallrate [1 / Jahr] 

0,05 

0,04 

0,03 

0,02 

λ≈7,7·10 -4 

1/Jahr 

Männer 

Frauen 

0,01 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 

© Statistisches Bundesamt, Wiesbaden, 2004 

Lebensalter [Jahre] 


Vermeintliche MTBF eines 30 - jährigen 

MTBF = ???? 

MTBF = 1/λ 


MTBF - Werte in Datenblättern sind oft falsch 

MTBF = 1 / (7,73·10 -4 a -1 ) 

MTBF = 1293,7 Jahre 

Es gilt i. a. nicht MTBF = 1 / λ 

Die Interpretation der MTBF als Erwartungswert 

der Lebensdauer ist daher (obwohl eigentlich 

richtig) in der Regel unzulässig. Eine MTBF von 

z. B. 650 Jahren muss vielmehr wie folgt 

interpretiert werden: 

Innerhalb eines Jahres fällt von 650 Geräten 

durchschnittlich ein Gerät aus. 

(Dies gilt allerdings nur, solange die Ausfallrate 

λ konstant ist!) 


Die richtigen Fragen an die richtigen Personen 


0,07 

0,06 

Mechaniker: 

MTBF = 75,6 years λ≈1,3·10 -2 


0,05 

0,04 

0,03 

0,02 

Elektroniker: 

λ≈7,7·10 -4 MTBF = 1300 years 

Männer 

Frauen 

0,01 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 




Lösung: B 10 -Wert 

B 10 

- Wert gibt an, nach welcher Betriebsdauer bzw. nach wie vielen Schaltspielen / 

Betätigungszyklen die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Komponente 10% beträgt. 

Gesucht 

Mit F(t) = 1− 

e 

0,1 = 1- e 

⇒ λ 

λ 

10 

10 

= 

= 

0,1 

B 

10 

ist ein 

−λ 

0,1 

B 

⋅ f 

Zyklus 

(Falls B 

so dass gilt 

erhält man : 

(Falls B 

als 

05.07.2007 Andreas Hildebrandt Folie 22 

10 

10 

⋅B 

10 

λ 

10 

−λ⋅t 

10 

10 

: F(B 

10 

0,1 

Zeit gegeben ist), 

) 

= 

bzw. 

als Zyklenzahl gegeben ist) 

Achtung: Zur Berechnung von Zuverlässigkeitswerten darf λ 10 

nur dann herangezogen 

werden, wenn die berechneten Werte sich auf Zeiten beziehen, die kleiner sind als B 10

B 10 – Wert am Beispiel „Mensch“ 


0,07 

0,06 

Mechaniker: 

MTBF = 75,6 years λ≈1,3·10 -2 


0,05 

0,04 

0,03 

0,02 

Äquivalente konst. Ausfallrate: 

B 10 = 57,1 years λ 10 ≈ 1,75·10 -3 

Elektroniker: 

λ≈7,7·10 -4 MTBF = 1300 years 

Männer 

Frauen 

0,01 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 




Ceterum censeo 

Alle Berechnungen nach EN 61508 gelten nur, solange 

die Ausfallrate λ konstant ist. Bei elektronischen 

Geräten geht man üblicherweise davon aus, dass 

unter „normalen“ Betriebsbedingungen nach 8 bis 12 

Jahren Verschleiß zu beobachten ist, d. h. die 

Ausfallrate dann nicht mehr konstant ist! Die 

berechneten Werte (PFD / PFH) verlieren dann ihre 

Gültigkeit. Je nach Einsatzbedingung kann dies auch 

schon deutlich früher der Fall sein. 

Siehe hierzu auch: 

EN 61508 – 2, Kapitel 7.4.7.4, Anmerkung 3 


Zusammenfassung 

Aufgabe: 

Risiken identifizieren, quantifizieren, qualifizieren und ggf. reduzieren 

Werkzeug: 

Risikograph 

Ggf. Risiko reduzierende Maßnahmen implementieren: 

Implementierung von sicherheitstechnischen Einrichtungen 

Kanal 

1 

Kanal 

2 

2oo2 



1,60E-04 

1,40E-04 

DU 1 

DU 

PFD = ( λ 

DU 

+ λ 

DD 

) ⋅ ⎢ ⋅⎜ 

+ MTTR ⎟ + ⋅ MTTR⎥ 

Neue Forderung der EN 61508: 

⎣ λ 

D ⎝ 2 ⎠ λ 

D ⎦ 

Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit (PFD) der Sicherheitsfunktion 

Ergebnis: 

Unfälle sind sehr unwahrscheinlich 


⎡λ 

⎛ T 

⎞ 

λ 

⎤ 


1,20E-04 

1,00E-04 

8,00E-05 

6,00E-05 

4,00E-05 

2,00E-05 

0,00E+00 

0 2 4 6 8 10 12 14 

Time [years]

Restrisiko 

Aufgabe: 

Risiken identifizieren, quantifizieren, qualifizieren und ggf. reduzieren 

Werkzeug: 

Risikograph 

Ggf. Risiko reduzierende Maßnahmen implementieren: 

Implementierung von sicherheitstechnischen Einrichtungen 

Kanal 

1 

Kanal 

2 

2oo2 



1,60E-04 

1,40E-04 

DU 1 

DU 

PFD = ( λ 

DU 

+ λ 

DD 

) ⋅ ⎢ ⋅⎜ 

+ MTTR ⎟ + ⋅ MTTR⎥ 

Neue Forderung der EN 61508: 

⎣ λ 

D ⎝ 2 ⎠ λ 

D ⎦ 

Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit (PFD) der Sicherheitsfunktion 

Ergebnis: 

Unfälle sind sehr unwahrscheinlich (aber nicht unmöglich) 


⎡λ 

⎛ T 

⎞ 

λ 

⎤ 


1,20E-04 

1,00E-04 

8,00E-05 

6,00E-05 

4,00E-05 

2,00E-05 

0,00E+00 

0 2 4 6 8 10 12 14 

Time [years]

Und die Moral von der Geschicht‘ … 

„Es herd awa a net uff zu bassiere!“ 

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