Trigonometrie - Ingo-Bartling.de
Trigonometrie - Ingo-Bartling.de
Trigonometrie - Ingo-Bartling.de
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
<strong>Trigonometrie</strong><br />
1 Einleitung................................................................................... 2<br />
2 Winkel....................................................................................... 2<br />
2.1 Definition ............................................................................ 2<br />
2.2 Winkelmaße......................................................................... 3<br />
2.2.1 Winkel in Grad .................................................................. 3<br />
2.2.2 Winkel im Bogenmass......................................................... 3<br />
3 Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck....................... 5<br />
3.1 Definition ............................................................................ 5<br />
3.2 Einige häufig auftreten<strong>de</strong>n Funktionswerte.................................. 7<br />
3.3 Berechnung <strong>de</strong>s rechtwinkligen Dreiecks .................................... 7<br />
4 Definition <strong>de</strong>r trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis ................. 8<br />
5 Graphische Darstellung und Eigenschaften........................................10<br />
5.1 Eigenschaften......................................................................10<br />
5.1.1 Allgemein ........................................................................10<br />
5.1.2 Periodizität ......................................................................11<br />
5.1.3 Symmetrie.......................................................................11<br />
6 Winkelfunktionsgesetze................................................................11<br />
M. Tamburrino<br />
Januar 2004<br />
04-<strong>Trigonometrie</strong>.doc<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 1
1 Einleitung<br />
Die in <strong>de</strong>r Elementargeometrie auftreten<strong>de</strong>n Gleichungen sind algebraisch. Für das Dreieck<br />
enthalten diese Gleichungen entwe<strong>de</strong>r nur Winkel, z.B. im Satz von <strong>de</strong>r Winkelsumme im<br />
Dreieck, o<strong>de</strong>r nur Seiten sowie sonstige Strecken und <strong>de</strong>n Flächeninhalt, z.B. <strong>de</strong>r Satz <strong>de</strong>s<br />
Pythagoras.<br />
Der Zusammenhang zwischen <strong>de</strong>n Seiten und Winkeln <strong>de</strong>s ebenen Dreiecks ist nicht durch<br />
algebraische Gleichungen darstellbar. Hierfür bedarf es eines beson<strong>de</strong>ren Abschnitts <strong>de</strong>r<br />
Geometrie:<br />
Definition<br />
Die <strong>Trigonometrie</strong> <strong>de</strong>r Ebene hat die Aufgabe, die Beziehungen zwischen <strong>de</strong>n Strecken und<br />
Winkeln im ebenen Dreieck und in an<strong>de</strong>ren ebenen, geradlinig begrenzten Figuren<br />
herzustellen. Sie benutzt hierzu die trigonometrischen Funktionen.<br />
Die Lehre von <strong>de</strong>n Eigenschaften und <strong>de</strong>n gegenseitigen Beziehungen <strong>de</strong>r trigonometrischen<br />
Funktionen heisst Goniometrie und ist Teil <strong>de</strong>r <strong>Trigonometrie</strong>. Ebenfalls eine wichtige Rolle<br />
spielen trigonometrische Funktionen bei <strong>de</strong>r Beschreibung periodischer Vorgänge<br />
(Schwingungen und Wellen).<br />
2 Winkel<br />
2.1 Definition<br />
Im Weiteren wer<strong>de</strong>n nur ebene Winkel betrachtet. Je<strong>de</strong>r Winkel in <strong>de</strong>r Ebene wird durch<br />
zwei Halbgera<strong>de</strong>n (Strahlen) gebil<strong>de</strong>t, die man Schenkel <strong>de</strong>s Winkels nennt und die von<br />
einem Punkt, <strong>de</strong>m Scheitel, ausgehen. Es ist üblich, Winkel mit <strong>de</strong>n kleinen Buchstaben <strong>de</strong>s<br />
griechischen Alphabetes zu bezeichnen, also α, β, γ, δ .<br />
Zwei Strahlen a und b, die von <strong>de</strong>m selben Punkt S ausgehen, können durch eine Drehung<br />
ineinan<strong>de</strong>r überführt wer<strong>de</strong>n, durch die <strong>de</strong>r Winkel (a,b) bestimmt wird.<br />
b<br />
B<br />
a<br />
S<br />
A<br />
a<br />
Als Orientierung <strong>de</strong>r Ebene in <strong>de</strong>r a und b liegen, gilt <strong>de</strong>r Drehsinn <strong>de</strong>r Bewegung. Die<br />
positive Drehrichtung in <strong>de</strong>r Mathematik ist Entgegen <strong>de</strong>m Uhrzeigersinn. Es ist <strong>de</strong>mnach zu<br />
unterschei<strong>de</strong>n zwischen <strong>de</strong>n Winkeln (a,b) und (b,a); hier gilt die Beziehung<br />
∠ (a,b) = -∠ (b,a).<br />
Liegt auf <strong>de</strong>m Strahl a ein Punkt A und auf <strong>de</strong>m Strahl b ein Punkt B, so kann <strong>de</strong>r Winkel<br />
auch durch ∠ASB bzw. ∠BSA bezeichnet wer<strong>de</strong>n. S ist <strong>de</strong>r Scheitelpunkt, die Strahlen a und<br />
b die Schenkel. Je<strong>de</strong>r Schenkel gibt als Strahl eine Richtung an; die Größe <strong>de</strong>s Winkels ist<br />
dann <strong>de</strong>r Unterschied dieser bei<strong>de</strong>n Richtungen in einer orientierten Ebene.<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 2
Winkel wer<strong>de</strong>n nach <strong>de</strong>m Richtungsunterschied <strong>de</strong>r Schenkel eingeteilt:<br />
v Spitze Winkel: zwischen 0° und 90°<br />
v Rechte Winkel: genau 90°<br />
v Stumpfe Winkel: zwischen 90° und 180°<br />
v Überstumpfe Winkel: zwischen 180° und 360°<br />
v Vollwinkel: genau 360°, entspricht einer vollen Umdrehung<br />
Ein Winkel ist <strong>de</strong>mnach <strong>de</strong>r bestimmte Teil eines Vollkreises.<br />
2.2 Winkelmaße<br />
2.2.1 Winkel in Grad<br />
Aus <strong>de</strong>r geschichtlichen Entwicklung heraus hat sich die 360-Grad-Einteilung eingebürgert,<br />
nach <strong>de</strong>r einem Vollwinkel 360° entsprechen. Der 360ste Teil eines Vollwinkels entspricht<br />
<strong>de</strong>mnach einem Grad. Die weitere Unterteilung <strong>de</strong>s Gra<strong>de</strong>s geschieht in Minuten (´) und<br />
Sekun<strong>de</strong>n (’’):<br />
1 Grad = 1° = 60´= 3600’’<br />
In <strong>de</strong>r Mathematik kann die Einteilung in Grad, Minuten und Sekun<strong>de</strong>n nicht gebraucht<br />
wer<strong>de</strong>n. Deshalb sind die Minuten und Sekun<strong>de</strong>n immer in Dezimalbrüche von Grad<br />
umzurechnen.<br />
2.2.2 Winkel im Bogenmass<br />
Für viele Gebiete <strong>de</strong>r Mathematik ist die Gra<strong>de</strong>inteilung ungeeignet. Man hat <strong>de</strong>shalb das<br />
Bogenmass eingeführt. Dabei verwen<strong>de</strong>t man einen Kreis vom Radius r und gibt die Länge<br />
<strong>de</strong>s Kreisbogens b an, <strong>de</strong>n <strong>de</strong>r Winkel α (als Zentriwinkel) ausschnei<strong>de</strong>t.<br />
Im Kreis ist die Länge <strong>de</strong>s Kreisbogens b <strong>de</strong>m Zentriwinkel α und <strong>de</strong>m Radius r proportional.<br />
Es gilt:<br />
Kreisumfang : Kreisbogen = Vollwinkel : Zentriwinkel<br />
2πr : b = 360° : α<br />
Daraus folgt, dass das Verhältnis <strong>de</strong>r Längen von Kreisbogen b und Radius r nur von <strong>de</strong>r<br />
Grösse <strong>de</strong>s zum Kreisbogens gehören<strong>de</strong>n Zentriwinkels α abhängt.<br />
b α<br />
= ⋅ 2π<br />
r 360°<br />
π<br />
= ⋅α<br />
180°<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 3
Somit kann <strong>de</strong>r Bogen zum Messen <strong>de</strong>s dazugehören<strong>de</strong>n Zentriwinkels eines Kreises benutzt<br />
wer<strong>de</strong>n. Das geschieht mit Hilfe <strong>de</strong>s Bogenmasses x = arc α von α (arc von lat. arcus,<br />
Bogen), das wie folgt <strong>de</strong>finiert ist:<br />
x = arc α<br />
b<br />
=<br />
r<br />
π<br />
= ⋅ α<br />
180°<br />
Das Bogenmass ist als Quotient zweier Strecken dimensionslos. Da für <strong>de</strong>n Kreis mit <strong>de</strong>m<br />
Radius 1 (Einheitskreis) die Bogenlänge<br />
π<br />
b = ⋅α<br />
180°<br />
ist, also mit <strong>de</strong>m Bogenmass übereinstimmt, sagt man auch: Das Bogenmass ist die<br />
Masszahl <strong>de</strong>r Bogenlänge b im Einheitskreis über <strong>de</strong>m Zentriwinkel α. Die Einheit <strong>de</strong>s<br />
Winkels ist in diesem Fall ein Radiant (1 rad). 1 rad ist <strong>de</strong>r Winkel, für <strong>de</strong>n das Verhältnis<br />
<strong>de</strong>r Längen von Kreisbogen und Radius gleich 1 ist, d.h. 1 rad entspricht einem Winkel von<br />
57.29578° = 57°17'44,8".<br />
π<br />
Umrechnung vom Grad- ins Bogenmass x = arc α = ⋅ α<br />
180°<br />
°<br />
Umrechnung vom Bogen- ins Gradmass α = 180 ⋅ x<br />
π<br />
Einige wichtige Winkel in Grad- und Bogenmass:<br />
Gradmaß 30° 45° 60° 90° 180° 360° 57°17'45"<br />
Bogenmaß π/6 π/4 π/3 π/2 π 2π 1 [rad]<br />
Zur Abkürzung wird die Einheit rad oft weggelassen, man schreibt also anstelle von ϕ rad<br />
nur ϕ.<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 4
3 Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck<br />
3.1 Definition<br />
Ein ebenes Dreieck ist nach Gestalt und Größe durch seine 3 Seiten vollständig und ein<strong>de</strong>utig<br />
bestimmt. Die übrigen Stücke (Winkel, Höhen, Inhalt, Umfang etc.) können als Funktionen<br />
<strong>de</strong>r Seiten aufgefaßt wer<strong>de</strong>n.<br />
A<br />
B<br />
b<br />
B'<br />
c<br />
a<br />
b '<br />
c'<br />
a'<br />
a = a'<br />
g =90°<br />
Die Seitenverhältnisse a/b, a/c, b/c usw. <strong>de</strong>s in C rechtwinkligen Dreiecks ABC sind<br />
Funktionen <strong>de</strong>s spitzen Winkels β und allein durch <strong>de</strong>ssen Größe vollständig bestimmt.<br />
Im 2. Dreieck AB'C' (rechtwinklig in C') ist α' = α, also auch β' = β, d. h. die bei<strong>de</strong>n Dreiecke<br />
sind einan<strong>de</strong>r ähnlich.<br />
Es gilt: a/b = a'/b' , a/c = a'/c' , b/c = b'/c' usw.<br />
Diese Seitenverhältnisse wer<strong>de</strong>n als trigonometrische o<strong>de</strong>r goniometrische Funktionen <strong>de</strong>s<br />
Winkels α bezeichnet. Es erfolgt eine Ordnung in Gruppen, je nach<strong>de</strong>m welche Seiten im<br />
Zähler <strong>de</strong>s Bruches stehen. Die Bezeichnung dieser Seiten, ausgehend vom Winkel α ist wie<br />
folgt:<br />
a ⇒ Gegenkathete<br />
b ⇒ Ankathete<br />
c ⇒ Hypothenuse<br />
C'<br />
b<br />
C<br />
b'<br />
C<br />
g<br />
Hypothenuse b<br />
Gegenkathete a<br />
a<br />
A<br />
Ankathete c<br />
B<br />
a) Sinus und Tangens<br />
a Gegenkathete<br />
sin α = =<br />
tanα<br />
b Hypothenuse<br />
=<br />
a<br />
c<br />
Gegenkathete<br />
=<br />
Ankathete<br />
b) Cosinus und Cotangens<br />
c Ankathete<br />
cos α = =<br />
cotα<br />
b Hypothenuse<br />
c<br />
=<br />
a<br />
Ankathete<br />
=<br />
Gegenkathete<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 5
γ ist das Komplement von α, da gilt γ =90°-α. Hieraus folgen die Komplementsätze:<br />
sin( 90° − α ) = cosα<br />
cos(90° − α ) = sin α<br />
tan( 90° − α ) = cotα<br />
cot(90°<br />
−α<br />
) = tanα<br />
Zwischen <strong>de</strong>n trigonometrischen Funktionen gelten einige weitere Beziehungen, die sich im<br />
rechtwinkligen Dreieck leicht nachrechnen lassen, die aber auch allgemein, d. h. für beliebige<br />
Winkel α gelten:<br />
Bildung <strong>de</strong>r Quadrate für Sinus und Cosinus ergibt:<br />
2<br />
2 a<br />
2 c<br />
sin α = sowie cos α =<br />
2<br />
b<br />
b<br />
für die Quadratsumme folgt<br />
mit<br />
ergibt sich<br />
Weiterhin gelten:<br />
sin α =<br />
sin<br />
2 2<br />
a + c =<br />
(sin<br />
1−<br />
cos<br />
2<br />
b<br />
2<br />
2<br />
α<br />
2<br />
α<br />
+<br />
2<br />
cos α<br />
=<br />
2<br />
a<br />
2 +<br />
b<br />
c<br />
b<br />
(Lehrsatz <strong>de</strong>s Pythagoras )<br />
2<br />
α ) + (cos α)<br />
= 1<br />
sowie<br />
und<br />
cosα<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1−sin<br />
2<br />
α<br />
sin α 1<br />
tan α = =<br />
cosα<br />
cotα<br />
cosα<br />
1<br />
cot α = = tan α *cotα<br />
= 1<br />
sin α tanα<br />
1 + tan =<br />
1<br />
2<br />
α<br />
2<br />
cos<br />
α<br />
2 1<br />
1 + cot α =<br />
2<br />
sin α<br />
Bemerkung<br />
Für die Potenz einer trigonometrischen Funktion schreibt man <strong>de</strong>n Exponenten unmittelbar<br />
hinter die Funktionsvorschrift. Somit ist sin 2 α = (sin α) 2 . Dagegen be<strong>de</strong>utet sinα 2 , dass <strong>de</strong>r<br />
Sinus von α 2 zu bil<strong>de</strong>n ist.<br />
Mit <strong>de</strong>n obenstehen<strong>de</strong>n Gleichungen lässt sich je<strong>de</strong> trigonometrische Funktion durch je<strong>de</strong><br />
an<strong>de</strong>re Funktion <strong>de</strong>sselben Argumentes ausdrücken.<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 6
3.2 Einige häufig auftreten<strong>de</strong>n Funktionswerte<br />
Die Funktionswerte <strong>de</strong>r Winkelfunktionen liegen in Tabellen und Taschenrechnern vor, so<br />
dass man die Funktionswerte für je<strong>de</strong>s beliebige Argument aus <strong>de</strong>m Definitionsbereich<br />
näherungsweise ermitteln kann. Für einige häufig auftreten<strong>de</strong> Winkel sind die exakten Werte<br />
in folgen<strong>de</strong>r Tabelle zusammengefasst.<br />
Funktion j=30° j=45° j=60° j=30° j=45° j=60°<br />
sin j<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
0,5000 0,7071 0,8660<br />
1<br />
cos j 3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0,8660 0,7071 0,5000<br />
1<br />
tan j 3<br />
3<br />
1 3 0,5774 1,000 1,7321<br />
1<br />
cot j 3 1 3<br />
3<br />
1,7321 1,000 0,5774<br />
3.3 Berechnung <strong>de</strong>s rechtwinkligen Dreiecks<br />
Durch die Definition <strong>de</strong>r trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens als die zu<br />
einem Dreieck gehören<strong>de</strong>n Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck sind die Beziehungen<br />
zwischen Seiten und Winkeln hergestellt. Wir haben also mit <strong>de</strong>n trigonometrischen<br />
Funktionen das Hilfsmittel für die vollständige Auflösung <strong>de</strong>s rechtwinkligen Dreiecks erhalten.<br />
Wir unterschei<strong>de</strong>n fünf Grundaufgaben:<br />
1. Gegeben sind die Katheten a und b. Zu berechnen sind<br />
v sind die Winkel α und β<br />
v die Hypothenuse c<br />
2. Gegeben sind die Hypothenuse c und eine Kathete (z.B. a)<br />
v die Winkel α und β<br />
v die an<strong>de</strong>re Kathete b<br />
3. Gegeben sind ein Winkel (z.B. α) und seine Gegenkathete a. Zu berechnen sind<br />
v <strong>de</strong>r zweite Winkel β<br />
v die Ankathete b<br />
v die Hypothenuse c<br />
4. Gegeben sind ein Winkel und seine Ankathete. Zu berechnen sind<br />
v <strong>de</strong>r zweite Winkel β<br />
v die Gegenkathete a<br />
v die Hypothenuse c<br />
5. Gegeben sind ein Winkel und die Hypothenuse. Zu berechnen sind<br />
v <strong>de</strong>r zweite Winkel β<br />
v die bei<strong>de</strong>n Katheten a und b<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 7
4 Definition <strong>de</strong>r trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis<br />
Definition <strong>de</strong>r trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel<br />
Um die trigonometrischen Funktion für Winkel beliebiger Größe zu erklären, ist <strong>de</strong>n<br />
Betrachtungen ein kartesisches Koordinatensystem zu Grun<strong>de</strong> zu legen.<br />
+Y<br />
II<br />
I<br />
+X<br />
III<br />
IV<br />
Das Koordinatensystem teilt die Ebene in vier Quadranten.<br />
Definition am Einheitskreis<br />
In einem ebenen kartesischen Koordinatensystem durchläuft ein Winkel ϕ alle 4 Quadranten.<br />
Sein freier Schenkel schnei<strong>de</strong>t <strong>de</strong>n Kreis mit <strong>de</strong>m Radius r = 1 um <strong>de</strong>n Koordinatenursprung,<br />
<strong>de</strong>n Einheitskreis, in <strong>de</strong>n Punkten B i . Für <strong>de</strong>n Schnittpunkt B 0 <strong>de</strong>r x-Achse mit <strong>de</strong>m<br />
Einheitskreis hat ϕ <strong>de</strong>n Wert 0. Während eines Umlaufs <strong>de</strong>s freien Schenkels nimmt ϕ alle<br />
Werte von 0° - 360° ein.<br />
Die jeweilige Lage <strong>de</strong>s Punktes B i , z. B. B 1 , B 2 o<strong>de</strong>r B 3 wird durch seine Koordinaten<br />
bestimmt:<br />
• Die Abszisse ist die senkrechte Projektion <strong>de</strong>s jeweiligen Radius r=1 auf die x-Achse.<br />
• Die Ordinate die senkrechte Projektion dieses Radius auf die y-Achse.<br />
Die Koordinatenwerte sind z. B. für die Lage B 3 bei<strong>de</strong> negativ:<br />
y<br />
B 3<br />
C 3<br />
B 2<br />
O<br />
r=1<br />
j 1<br />
X<br />
B 1<br />
Y<br />
B 0<br />
x<br />
Im 1. Quadranten gelten die bekannten<br />
Definitionen für die Winkelfunktionen. Es<br />
wird darüberhinaus festgesetzt, daß die<br />
gleichen Definitionen für alle Quadranten<br />
erhalten bleiben, d. h., es soll für je<strong>de</strong><br />
Lage <strong>de</strong>s Punktes Bi gelten:<br />
sin ϕ<br />
=<br />
Ordinate<br />
Radius<br />
cosϕ<br />
=<br />
Abszisse<br />
Radius<br />
B 4<br />
tanϕ<br />
=<br />
Ordinate<br />
Abszisse<br />
cotϕ<br />
=<br />
Abszisse<br />
Ordinate<br />
Abszisse und Ordinate haben in Abhängigkeit von <strong>de</strong>n Quadranten verschie<strong>de</strong>ne Vorzeichen,<br />
<strong>de</strong>r Radius hingegen ist immer positiv.<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 8
Daraus ergeben sich für die 4 trigonometrischen Funktionen unterschiedliche Vorzeichen:<br />
Funktion I II III IV<br />
sin j + + - -<br />
cos j + - - +<br />
tan j + - + -<br />
cot j + - + -<br />
Auch für die Werte 0°, 90°, 180°, 270° und 360° lassen sich die trigonometrischen<br />
Funktionen berechnen. Unstetigkeiten treten jedoch für Tangens- und Kotangensfunktionen<br />
auf (Nenner <strong>de</strong>s Bruchs geht gegen 0), sodass <strong>de</strong>ren Grenzwerte bei ±∞ liegen.<br />
ϕ im I. Quadranten<br />
ϕ im III. Quadranten<br />
+Y<br />
+Y<br />
F<br />
cot j 1<br />
D 1<br />
E 1<br />
F<br />
cot j 3<br />
E 3<br />
B 1<br />
D 3<br />
r=1<br />
sin j 1<br />
tan j 1<br />
j 1<br />
O cos j 1 C 1 B 0<br />
1<br />
+X<br />
sin j 3<br />
C 3<br />
cos j 3<br />
r=1<br />
j 3<br />
O<br />
tan j 3<br />
B 0<br />
1<br />
+X<br />
B 3<br />
ϕ im II. Quadranten<br />
ϕ im IV. Quadranten<br />
E 2<br />
cot j 1<br />
B 2<br />
+Y<br />
F<br />
E 4<br />
cot j 4<br />
+Y<br />
F<br />
1<br />
r=1<br />
1<br />
C 2<br />
sin j 2<br />
cos j 2<br />
O<br />
j 2<br />
B 0<br />
+X<br />
j 4<br />
cos j 4<br />
O sin j 4<br />
C 4<br />
B 0<br />
+X<br />
tan j 2<br />
r=1<br />
tan j 4<br />
B 4<br />
D 4<br />
Winkel 0° 90° 180° 270° 360°<br />
sin ϕ 0 +1 0 -1 0<br />
cos ϕ +1 0 -1 0 +1<br />
tan ϕ 0 ±∞ 0 ±∞ 0<br />
cot ϕ ±∞ 0 ±∞ 0 ±∞<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 9
5 Graphische Darstellung und Eigenschaften<br />
Ein anschauliches Bild von trigonometrischen Funktionen erhält man durch ihre graphische<br />
Darstellung in einem kartesischen Koordinatensystem, in das man auf <strong>de</strong>r waagrechten<br />
Achse die Argumente x in rad und auf <strong>de</strong>r dazu senkrechten Achse die entsprechen<strong>de</strong>n<br />
Funktionswerte einträgt. Die Funktionswerte ergeben sich als Masszahl <strong>de</strong>r im Einheitskreis<br />
eingezeichneten Strecken.<br />
In <strong>de</strong>r folgen<strong>de</strong>n Abbildung ist die Sinusfunktion als Projektion <strong>de</strong>r jeweiligen Position im<br />
Einheitskreis dargestellt:<br />
Aus dieser Abbildung lassen sich einige Eigenschaften <strong>de</strong>r trigonometrischen Funktionen<br />
ablesen.<br />
5.1 Eigenschaften<br />
5.1.1 Allgemein<br />
Sinus- und Cosinusfunktion<br />
v Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind für alle x-Werte <strong>de</strong>finiert<br />
v Ihr Wertebereich liegt zwischen +1 und -1<br />
v Damit sind Sinus- und Cosinusfunktion beschränkte Funktionen<br />
Tangens- und Cotangensfunktion<br />
v Die Tangens- und die Cotangensfunktion sind unbeschränkte Funktionen, ihr<br />
Wertebereich liegt zwischen –∞ und +∞.<br />
v Ihr Definitionsbereich ist eingeschränkt:<br />
o tan(x) ist für x=± ½π, ± 3/2π,± 5/2π, ... nicht <strong>de</strong>finiert<br />
o cot(x) ist für x= 0, ±π, ±2π, ... nicht <strong>de</strong>finiert.<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 10
5.1.2 Periodizität<br />
Wir <strong>de</strong>r Verlauf <strong>de</strong>r Funktionen Sinus und Cosinus nach links und rechts, d.h. für beliebig<br />
große positive und negative Winkel fortgesetzt, so zeigt sich, daß die Sinusse und Cosinusse<br />
für alle Winkel, die sich um 360° (2π) o<strong>de</strong>r ganzzahlige Vielfache davon unterschei<strong>de</strong>n,<br />
gleich sind.<br />
Für Tangens und Cotangens stellen sich bei Winkelunterschie<strong>de</strong>n von ± 180° (π) gleiche<br />
Funktionswerte ein.<br />
Definition<br />
Eine Funktion f(x) <strong>de</strong>s Arguments x heißt periodisch mit <strong>de</strong>r Perio<strong>de</strong> P, wenn sie bei<br />
Än<strong>de</strong>rung <strong>de</strong>s Arguments um P unverän<strong>de</strong>rt bleibt, also f(x+P) = f(x) ist. Das Argument<br />
kann um ein beliebiges ganzzahlig Vielfaches von P geän<strong>de</strong>rt wer<strong>de</strong>n.<br />
sin(ϕ±2π) = sin ϕ<br />
bzw.<br />
sin(ϕ+n*2π) = sin ϕ<br />
sowie<br />
tan(ϕ+n*π) = tan ϕ<br />
cos(ϕ±2π) = cos ϕ<br />
cos(ϕ+n*2π) = cos ϕ<br />
cot(ϕ+n*π) = cot ϕ<br />
wenn n eine ganze Zahl ist.<br />
5.1.3 Symmetrie<br />
Die Cosinusfunktion ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse, also gilt:<br />
cos(-x) = cos(x).<br />
Die Sinus-, Tangens- und Cotangensfunktion sind zentralsymmetrisch zum<br />
Koordinatenursprung, also gilt:<br />
sin(-x) = - sin(x)<br />
tan(-x) = - tan(x)<br />
cot(-x) = - cot(x)<br />
6 Winkelfunktionsgesetze<br />
In diesem Abschnitt wer<strong>de</strong>n eine Reihe von goniometrischen Formeln hergeleitet, <strong>de</strong>ren<br />
Grundlage die sog. Additionstheoreme bil<strong>de</strong>n.<br />
Die Additionstheoreme geben an, wie sich<br />
die trigonometrischen Funktionen einer<br />
Summe o<strong>de</strong>r einer Differenz zweier<br />
Winkelgrößen α und β aus <strong>de</strong>n<br />
trigonometrischen Funktionen <strong>de</strong>r<br />
Einzelwinkel zusammensetzen. Sie sind <strong>de</strong>r<br />
Oberbegriff für Summen von Funktionen,<br />
Produkte und <strong>de</strong>ren Umwandlung. Sie<br />
wer<strong>de</strong>n vorzugsweise in Beweisen<br />
angewandt.<br />
A<br />
a<br />
b<br />
r=1<br />
cos b<br />
r=1<br />
C<br />
a<br />
D<br />
B<br />
sin b<br />
F<br />
E<br />
G<br />
H<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 11
Herleitung <strong>de</strong>s Theorems für sin(α+β) und für cos(α+β). Es gilt:<br />
BC EF + CD<br />
sin( α + β ) = = = EF + CD ( da AC = 1)<br />
AC AC<br />
BC AF − BF<br />
cos( α + β ) = = = AF − DE ( da AC = 1)<br />
AC AC<br />
Zu<strong>de</strong>m gilt:<br />
EF<br />
sin( α ) =<br />
cos( β )<br />
CD<br />
cos( α ) =<br />
sin( β )<br />
AF<br />
cos( α ) =<br />
cos( β )<br />
DE<br />
sin( α ) =<br />
sin( β )<br />
Wer<strong>de</strong>n diese Formeln oben eingesetzt ergibt sich:<br />
Ähnlich kann man herleiten:<br />
sin(α+β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)<br />
cos(α+β) = cos(α) cos(β) - sin(α) sin(β)<br />
sin(α-β) = sin(α) cos(β) - cos(α) sin(β)<br />
cos(α-β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)<br />
tanα<br />
+ tan β<br />
tan( α + β)<br />
=<br />
1−<br />
tanα<br />
* tan β<br />
cotα<br />
* cot β −1<br />
cot( α + β)<br />
=<br />
cotα<br />
+ cot β<br />
tanα<br />
− tan β<br />
tan( α − β)<br />
=<br />
1+<br />
tanα<br />
* tan β<br />
cotα<br />
*cot β + 1<br />
cot( α − β)<br />
=<br />
cotα<br />
− cot β<br />
Diese Formeln sind nur für Winkel α+β < 90° hergeleitet wor<strong>de</strong>n. Sie gelten jedoch ganz<br />
allgemein für alle Winkel!<br />
Ganz ähnlich o<strong>de</strong>r durch zusammensetzen <strong>de</strong>r oben erwähnten Ergebnisse erhält man auch<br />
die Funktionen von Winkelvielfachen (z.B. sin(2α)) o<strong>de</strong>r Winkelteilen (z.B. sin(α/2)).<br />
An dieser Stelle sei nun auf die Formelsammlung (z.B. Papula „Mathematische<br />
Formelsammlung, 7. Auflage, Kapitel 7.6 Trigonometrische Formeln, S. 94ff) hingewiesen.<br />
<strong>Trigonometrie</strong> FHSO – Mathematik (Vorstudium) 12