+U - Institut für Energie- und Automatisierungstechnik, Technische

INSTITUT FÜR ENERGIE- UND AUTOMATISIERUNGSTECHNIK 

Ergänzungen zu Grundlagen der Elektrotechnik (Service) 

Ergänzungen zu Grundlagen der Elektrotechnik WS 07/08 

LV-Nummer: 

Umfang: 

Ort: 

Zeit: 

Dozent / Betreuer: 

Bewertung: 

VL-Link: 

0420 L 120 

2 SWS 

HE101 

Donnerstags 16-18Uhr 

letzte VL dieses Jahr: 20. Dezember 2007 

erste VL nächstes Jahr: 10. Januar 2008 

Rayk Grune 

EN 176, Tel. 24544, rayk.grune@iee.tu-berlin.de 

Klausur � Informationen 

http://www.iee.tu-berlin.de/lehre/service/... 

get_labor/veranstaltungs_info.html 

Hinweise zur Veranstaltung -> 9. Klausuren WS(07/08) 

www.iee.tu-berlin.de � Service 

� Ergänzungen zu Grundlagen der Elektrotechnik (Service Diplom) 

Rayk Grune ◦ EN176 ◦ 314-24544 ◦ rayk.grune@iee.tu-berlin.de 1

Inhalt der VL 

Netzwerkanalyse 

Brückenschaltungen 

Elektrische Felder 

Magnetkreis 

Maxwellsche Gleichungen 

Wechselstromtechnik 

Ortskurven 

Bodediagramm 

Ausgleichsvorgänge 

Filter 

Messtechnik und Sensorik 

Diode 

Bipolartransistor 

Operationsverstärker 

Vierpol 

Signale und Systeme 

Fourier- und Laplace-Transformation 




Charles Coulomb 

1785 

Beschreibung der 

Kraft auf zwei 

Ladungsträger 

Michael Faraday 

1831 

Entdeckung der 

elektromagnetischen 

Induktion 



James Clerk Maxwell 

1864 

Formulierung der 

Grundgleichungen des 

elektromagnetischen 

Feldes 

William Shockley 

1947 

Entdeckung des 

Transistors 


Peter Grünberg 

1988 Entdeckung des Riesenmagneto-Widerstandseffekts 

1997 Erste Festplatte von IBM nutzt den GMR-Effekt 

(heute: 90 Prozent aller Festplatten) 

2007 Physik-Nobelpreis gemeinsam mit Albert Fert 



Quelle: 

http://www.wdr.de/themen/wissen/forschung/forscherland_nrw/gruenberg/index.jhtml#sw02 




Was ist Strom? Was ist Spannung? 

Elektrischer Strom ist die 

gerichtete Bewegung von 

elektrischen 

Ladungsträgern. 

Stromstärke: 

I 

ΔQ 

= 

Δt 

Definition: Definition: 

Einfach 

vorzustellen 

Elektrische Spannung ist 

der Quotient aus der zur 

Verschiebung einer Ladung 

erforderlichen Arbeit und 

dieser Ladung. 

U 

12 

= 

W 

Rayk Grune ◦ EN176 ◦ 314-24544 ◦ rayk.grune@iee.tu-berlin.de 5 

12 

Q 

Nicht so leicht 

vorzustellen

Pumpe 



Strom & Spannung - Einfache Vorstellung 

Spannung U 

Strom I 

Durchflußmenge 

Rohrleitung 

Vergleich mit Wasserleitung 

z.B. 

Kühler 

Druck p 

Volumenstrom 

Spannungsquelle 

U 

Strom 


V ̇ 

I 

El. Leitung 

elektrischer 

Widerstand

Wasserleitung 

Je größer der Druck auf 

der Leitung, desto mehr 

Wasser fließt hindurch. 

Genauere Beschreibung durch 

Bernoullische Energiegleichung 

Ohmsches Gesetz 



Elektrische Schaltung 

Je größer die Spannung U 

am Widerstand R, desto 

größer der Strom I. 

U= R⋅I 


Spannung 

Elektrische Leistung 

Definition 

Strom 

P = U ⋅ I 



Angenommen eine Probeladung Q bewegt sich in einem elektrischen 

Feld. Welche Leistung verrichtet sie? 

U 

12 

W 

= = 

Q 

Arbeit 

Ladung 

I 

ΔQ 

= = 

Δ t 

Ladung 

Zeit 

Leistung 

W 

P = = 

t 

Arbeit 

Zeit 



Netzwerk 

Aktive 

Zweipole 



... ist die beliebige Zusammenschaltung 

von aktiven und passiven Zweipolen. 

Passive 

Zweipole 

z.B. z.B. 

Stromquelle 

Widerstand Kapazität Induktivität 


Widerstände 

Leistungswiderstand 

Metallschichtwiderstand 

Kondensatoren 

Elektrolytkondensator 

Keramikkondensator 



Spulen 

Drosselspule axial 

Drosselspule 


Spannungsquellen 

Elektrochemisch - Bleiakku 

Elektromagnetisch - Generator 



Stromquellen 

Hinter jeder technischen Stromquelle 

verbirgt sich eine Spannungsquelle 

Transistor als Konstantstromquelle 


U 

Knoten: 

Zweig: 

Masche: 

Komponenten eines Netzwerks 

Zweig 

Knoten 

Verbindungspunkt mehrerer Zweige 



Masche 

Kette von Zweipolen, in denen der selbe Strom fließt 

geschlossene Kette von Zweigen, welche sich selbst nicht 

schneidet 


U a 

I 4 

R 2 

Netzwerk – Bsp. 

I 2 

R 4 

M3 

I 1 

R 1 



I 3 

M1 M2 

R 3 

U b 


1. Knotenregel 

I 2 

I 1 

I 2 + I 3 - I 1 = 0 

∑ I k = 

Kirchhoffsche Gesetze 

I 3 

0 

U a 



2. Maschenregel 

U R2 

R 2 

U a – U R2 – U R1 = 0 

∑U 

k = 


I 2 

R 1 

0 

I 1 

U R1




Link zur Vorlesung: 

Benutzername: 

Passwort: 

Vorlesungsfolien 

www.iee.tu-berlin.de � Service 

glet_service 

1let_2ervic3 


Reihenschaltung 

R 1 R 2 R 3 

ges 

R ges 

R = R + R + R 

Schaltung von Widerständen 

1 2 3 



Parallelschaltung 

R 1 R 2 R 3 R ges 

1 1 1 1 

= + + 

R R R R 

ges 

1 2 3 


Spannungs- und Stromteiler 

Spannungsteiler 

R 1 

U 1 

U 12 

R 2 

U 2 

U U U 

1 = 2 = 12 

R R R + R 

1 2 1 2 



Stromteiler 

R 1 

R 2 


I 1 

I 2 

I I 

= 

R R 

1 2 

2 1 

I 3

U 0 

R 

= 

R 1 

+ 

R 2 

1 

2 

1 

0 

x 

Potentiometer 

R L 

3 

U L 



1 


3 

2 

x

Potentiometer - Aufgabe 



1. Bestimmen Sie die Spannung U L an dem mit R L 

belasteten Schleifer in Abhängigkeit seiner 

Position x. 

2. Wie ist R zu wählen, damit U L (x) möglichst linear 

wird? 

U L x 

= 

U 

R 

0 x(1 − x) + 1 

R 

L 

R möglichst klein gegenüber R L 


U L / U 0 

1 

U L~x wenn R L >> R 

1 2 3 



0 

0 x 1 

4 


5 

1 

2 

3 

4 

5 

R 

R 

L 

0.0 

0.33 

1.0 

3.0 

10.0

Ideale Spannungsquelle 

U 0 



Ideale und technische Spannungsquellen 

U immer konstant U 0 

I beliebig groß 

I 

A 

U 

B 

Reale Spannungsquelle 

U 0 

U hat Maximalwert U 0 

im Leerlauf 

I hat Maximalwert U 0 /R i 

im Kurzschluss 


R i 

I 

A 

U 

B

Ideale Spannungsquelle 

U 0 

U 

Spannungsquellen - Quellenkennlinie 

R 

L 

U 

= 

I 

I 



Reale Spannungsquelle 

U 0 

U 


R 

Ri 

L 

I k 

= 

U 

I 

I

Ideale Stromquelle 

I 0 

U beliebig groß 

Ideale und technische Stromquellen 

I immer konstant I 0 

I 

A 

U 

B 

I 0 



Reale Stromquelle 

U hat Maximalwert R i•I 0 

im Leerlauf 

I hat Maximalwert I k =I 0 

im Kurzschluss 


R i 

I 

A 

U 

B

Ideale Stromquelle 

U 

R 

L 

U 

= 

I 

Stromquellen - Quellenkennlinie 

I 0 

I 

U 0 



Reale Stromquelle 

U 


R 

Ri 

L 

I k 

= 

U 

I 

I

U 0 

Dualitätsprinzip 



Die Kennlinien von beliebigen Spannungs- und 

Stromquellen sind in ihrer Form ähnlich. Daher läßt sich 

jede Spannungsquelle in eine Stromquelle mit 

identischem Verhalten umwandeln und umgekehrt. 


R i 

I 

A 

U 

B 

U 0=R i •I 0 

I 0 

Stromquelle 


R i 

I 

A 

U 

B

Ersatzquellenverfahren 



Darstellung eines komplexen Netzwerkes als Spannungsbzw. 

Stromquelle bezüglich zwei beliebiger Punkte A und 

B in diesem Netzwerk. 

R i 

Interne Quellen zu null setzen: 

� Spannungsquellen kurzschließen 

� Stromquellen auftrennen 

Widerstand zwischen A und B bestimmen: R i = R AB 

U0 Leerlaufspannung 

zwischen A und B 

I0 Oder 

Kurzschlussstrom 

zwischen A und B 


U E 

R 1 

R 2 

Brückenschaltungen 

Spannungsteiler 

Brückenzweig 

R5 A B 

I AB 

U AB 

R 3 

R 4 



U AB kann durch Variation 

von R 1 - R 4 in Betrag und 

Polarität verändert 

werden. 

Abgleichbedingung: 

U AB = 0 

Unterschiedlichste 

Verwendung in: 

• Leistungselektronik 

• Messtechnik 

• Nachrichtentechnik 


U E 

R 1 

R 2 

Wheatstone-Brücke 

U A 

R v 

R x 




U 

1 = ⇒ = 

• Probewiderstand R x 

anschließen 

• Brücke mit R v 

abgleichen 

R 

R = R 

x 

2 

R1 

v 


A 

0 

R 

2 

R 

R R 

v 

x

U E 



Schleifdrahtmessbrücke – abgewandelte Wheatstonebrücke 

R 1 

R 2 

x 

G 

R N 

R x 


U 

1 = 0 ⇒ = 

Probewiderstand: 


A 

R 

2 

x 

R = R 

1− 

x 

x N 

R 

R R 

N 

x

Galvanometer (G) 

Wheatstone - Ohmmeter 



Messbereichseinstellung 

(R N ) 

Abgleichrad (x) 




Dehnungsmessstreifen (DMS) in Brückenschaltung 

Abdeckung 

Gitter 

Träger 

DMS - Messrichtung 

Anschluss 

Grundwiderstand: 

R 0 = 100Ω bis 1kΩ 

Widerstandsänderung: 

Δ R 

= k ⋅ε 

R 


0 

k ... k-Faktor 

k ≈ 

2 bei Metallen 

ε ... relative Dehnung




Skript 

Skript Ergänzungen I � 2,50Euro 

Skript Ergänzungen II � 2,50Euro 

Dr. Manfred Filtz 

EN 629 

Sprechstunde: Montags 14Uhr 

http://www-tet.ee.tu-berlin.de/persons.html 


P e 



Leistungsanpassung und Wirkungsgrad 

U 0 

P i 

R i 

Pe … Eingangsleistung 

Pi … Verlustleistung 

Pa … Ausgangsleistung 

Quelle Verbraucher 

I 

Wirkungsgrad: 

R a 

P a 

Pa Pa 

η = = < 1 

P P + P 

e a i 


Energietechnik 

Der Verbraucher 

bekommt den größtmöglichen 

Teil der 

Gesamtleistung. 

Der Wirkungsgrad wird 

maximiert. 

Leistungsanpassung 



Nachrichtentechnik 

Der Verbraucher soll dem 

Stromkreis die größtmögliche 

Leistung 

entnehmen. 

Die Ausgangsleistung 

wird maximiert. 

Ri 

0 

R → R = 

R a i 

a 


1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Leistungsanpassung 

P a = max 

η = 

0.5 

0 

0 1 2 3 4 5 



a,max 


η 

P 

P 

R 

R 

a 

a 

i

Einschwingvorgang 

dynamisch 

Netzwerkanalyse 



stationär 

Bsp: Einschaltvorgang an einer Induktivität 

Eingeschwungener 

Zustand 




Analyse des stationären Verhaltens linearer Netzwerke 

Schleifenanalyse 

Maschenstromverfahren 

z-(k-1) Gleichungen 

Überlagerungsprinzip 

nach Helmholtz 

Graphentheorie 

Zweigstromanalyse 

z Gleichungen 

Schnittmengenanalyse 

Knotenpotentialverfahren 

k-1 Gleichungen 

Ersatzquellenverfahren 


3 Arten von Gleichungen sind nötig: 



• Stromgleichungen Knotenregel 

• Spannungsgleichungen Maschenregel 

• Strom-Spannungsbeziehungen 

lineares Netzwerk Ohmsches Gesetz 

Netzwerk 

k Knoten 

z Zweige 

Analyse linearer Netzwerke 

Zur Analyse notwendig: 

k-1 beliebige Knotengleichungen 

und / oder 

z-(k-1) unabhängige Maschengleichungen 

= Fundamentalschleifen eines Baums 


Gerichteter Graph 



Den Graphen eines Netzwerks erhält man, wenn man 

alle Elemente durch Linien und alle Verzweigungen 

durch Knoten ersetzt. Die Zweige erhalten einen 

Richtungssinn gemäß eingetragenen Strom. 

Graph: 


Baum 



Ein Baum ist ein zusammenhängender Teilgraph, der 

sämtliche Knoten des Graphen, aber keine Schleifen 

enthält. Die Form des Baumes ist nicht 

vorgeschrieben. 

Verbindungszweig 

Baumzweig 


Unabhängige Maschen 



Maschen sind unabhängig, wenn sie genau einen 

Verbindungszweig enthalten, der zu keiner anderen 

Masche gehört. Die Zählrichtung der Masche ist 

durch die Richtung des Verbindungszweigs bestimmt. 

M 1 

M 2 M 3 




Unabhängige Maschen – einfach finden 

Voraussetzung: 

Das Netzwerk ist in der Ebene überschneidungsfrei darstellbar 

Praktisch immer gegeben bei Netzwerkaufgaben !! 

Maschen so wählen, dass: 

• alle Zweige abgedeckt werden 

• sich keine Maschen überschneiden 

M 1 M 2 M 3 M 4 

z = 9, k = 6 

z-(k-1) = 4 

M 2 

M 3 

M 1 

M 4 

M 5 

z = 12, k = 8 

z-(k-1) = 5 


Maschenstromverfahren 



1. Serien- und Parallelschaltungen von passiven 

Elementen erkennen und zusammenfassen 

2. Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln 

3. z-(k-1) unabhängige Maschen bestimmen, 

Maschenströme einzeichnen 

4. Maschengleichungen für die Maschenströme gemäß 

Umlaufsinn aufstellen 

5. Gleichungen bzw. Gleichungssystem auflösen 

6. Zweigströme durch vorzeichenrichtige Überlagerung 

der Maschenströme bestimmen 


I 0 

Maschenstromverfahren - Aufgabe 



Mit Hilfe des Maschenstromverfahrens soll der Strom 

I R3 im Widerstand R 3 berechnet werden. 

R 1 

R 2 

U 1 U 2 

R 3 

I R3 

R 4 

I 0 = 1A 

U 1 = 2V 

U 2 = 3V 

R 1 = 1Ω 

R 2 = 1Ω 

R 3 = 2Ω 

R 4 = 4Ω 




Superpositions- bzw. Überlagerungsprinzip 

Voraussetzung: 

Alle Elemente im Netzwerk sind linear und die Quellen 

voneinander unabhängig. 

Ströme und Spannungen, 

die von allen Quellen gleichzeitig erzeugt werden, 

sind gleich der Summe der Ströme bzw. Spannungen, 

die von jeder einzelnen Quelle hervorgerufen werden, 

wenn dabei die anderen Quellen durch ihre idealen 

Innenwiderstände ersetzt (null gesetzt) werden. 


I 0 

Überlagerungsprinzip - Aufgabe 



Mit Hilfe des Überlagerungsprinzips soll der Strom I R3 

im Widerstand R 3 berechnet werden. 

R 1 

R 2 

U 1 U 2 

R 3 

I R3 

R 4 

I 0 = 1A 

U 1 = 2V 

U 2 = 3V 

R 1 = 1Ω 

R 2 = 1Ω 

R 3 = 2Ω 

R 4 = 4Ω 


Elektrostatisches Feld 



Elektrische Ladungen üben untereinander eine Kraft aus. 

In dem Teil des Raumes, in dem diese Kraftwirkung 

nachzuweisen ist, besteht ein elektrisches Feld! 

Ladungen sind von einem elektrischen Feld umgeben. 

Kraft 

~ Stärke des elektrischen Feldes 

~ Probeladung 

Charakteristische Größe 

Elektrische Feldstärke: 

� 

� 

F 

E = 

Q 


F 

0 

Coulomb‘sches Gesetz 



1 q1 ⋅ q2 

= ⋅ Im Vakuum (~Luft) 

2 

4πε 

r 

Permittivität im Vakuum (Dielektrizitätskonstante): 

ε 0 = 8.854187…10-12 As / Vm 

q 1 

F 

r 

F 

q 2 




Elektrische Ladungen, gleiches Vorzeichen 

E � 

F 


F 

|E|

E � 



Elektrische Ladungen, ungleiches Vorzeichen 

F 

F 

|E| 


Permittivität 

(Dielektrische 

Leitfähigkeit) 

Permittivität 

Permittivität des Vakuums 

ε 0 = 8.854187…10-12 As / Vm 



Die Permittivität ist eine Materialgröße und ein Maß für 

die Durchlässigkeit für elektrische Felder. 

ε = ε ⋅ε 

0 r 

Relative Permittivität 

ε r = 1 … 10.000 




Elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte) 

Die elektrische Flussdichte ist ein materialunabhängige 

Feldgröße. Sie hängt einzig von der 

Ladungsverteilung ab. 

Plattenkondensator: Q = konst. D = konst. 

� � 

D = ε ⋅ E 

ε r = 1 ε r = 10 ε r = 20 ε r = 30 ε r = 40 

|E|, U 


Gauß‘scher Satz 



Der elektrische Fluss durch die Oberfläche eines 

Volumens ist gleich der eingeschlossenen Ladung. 

Ψ 

� 

D 

Q 

ε 

0 

∂V 

� 

dA 

� � 

Ψ = �∫ 

D ⋅ dA = Q 

ges ges 

∂V 

… Elektr. Fluss (Verschiebungsfluss) [C] 

… Elektr. Flussdichte [As/m 2 ] 

… Elektr. Ladung [C] 

… Permittivität des Vakuums [As/Vm] 

… Oberfläche (Rand) eines Volumens 

… Flächenelement auf dem Volumen [m 2 ] 


1. Maxwellsche Gleichung 



Der Gauß‘sche Satz gilt auch für beliebige Ladungsverteilungen. 

� � 

�∫ 

∫ 

D ⋅ dA = ρ ⋅ dV 

∂V 

V 

ρ … Raumladungsdichte [C/m 3 ] am Ort r � 


Kapazität 



Die Kapazität von Leiteroberflächen gibt das 

Verhältnis der zugeführten Gesamtladung zu der 

dazu notwendigen Spannung an. 

Q 

C = = 

U 

∫ 

[C] = 1F 

AB 

� 

∂V 

B 

∫ 

A 

� � 

DdA 

� � 

Eds 

E � 


ε

Q 

C U 



Ausgleichsvorgänge an einer Kapazität 

Dynamische Beschreibung: 

= q( t) C u( t) 

S 

= ⋅ i( t) 

R 

& 

i C (t) 

U 0 C u C(t) 

( ) 

dq t 

= ( ) 

dt 

du( t) 

i t = C 

dt 

Im Zeitpunkt t = 0 

• S wird geschlossen 

• Spannung u c (t) = 0 


u c (t) [V] 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

U 0 = 10V R = 10kΩ 

C = 1µF 

( ) 0 1 

t 

− ⎛ ⎞ 

uc t U e τ = ⎜ − ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 

0 0.02 0.04 

t [s] 

0.06 0.08 

i c (t) [mA] 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 



τ = RC = 

10ms 

t 

− 

( ) 0 τ 

ic t = e 

0 

0 0.02 0.04 

t [s] 

0.06 0.08 


U 

R

Magnetostatisches Feld 

Betrag: 



Elektrische Ströme üben untereinander und auf 

Magneten bzw. magnetisierbare Körper eine Kraft aus. 

In dem Teil des Raumes, in dem diese Kraftwirkung 

nachzuweisen ist, besteht ein magnetisches Feld! 

Ströme sind von einem magnetischen Feld umgeben. 

Kraft 

~ Stärke des magnetischen Feldes 

~ Stromstärke 

Charakteristische Größe 

Magnetische Induktion: 

Richtung: 

1 2 

( ) 

B I 


1 

= 

F 

I ⋅l 

� � � 

I I ⇒ B ⊥ I ⊥ F 

2

F 

μ 



Permeabilität des Vakuums (magn. Feldkonstante): 

µ 0 = 4π • 10 -7 H / m 

Ampère‘sches Gesetz 

0 1 2 = ⋅ Im Vakuum (~Luft) 

2π 

I 1 

I ⋅ I ⋅l 

r 

F 

r 

F 

I 2 


l

B � 

Elektrische Ströme, gleiche Richtung 

F 

F 



|B| 




Elektrische Ströme, gegensätzliche Richtung 

B � 

F 

|B| 


F

Permeabilität 

(magnetische 

Leitfähigkeit) 

μ = μ ⋅ μ 

0 r 

Permeabilität 



Die Permeabilität ist eine Materialgröße und ein Maß 

für die Durchlässigkeit für magnetische Felder. 

Permeabilität des Vakuums 

µ 0 = 4π • 10 -7 H / m 

Relative Permeabilität 

diamagnetisch µ r < 1 

paramagnetisch µ r > 1 

ferromagnetisch µ r » 1 




Die magnetische Feldstärke H ist eine 

materialunabhängige Feldgröße. Sie hängt einzig 

von der Anordnung der Ströme und Magneten ab. 

� � 

B = μ ⋅ H 

Magnetische Feldstärke 

Linienleiter: I = konst. 

H = konst. 

µ r = 1 µ r = 10 µ r = 20 

µ r = 30 

|B| 


Magnetischer Fluss 



Der magnetische Fluss durch eine Fläche ist gleich dem 

Integral der Flussdichte über diese Fläche. 

B � 

A 

φ 

� 

B 

A 

� 

dA 

� � 

φ = ∫ B ⋅ dA 


A 

… Magn. Fluss [Wb] 

… Magn. Flussdichte [Wb/m 2 ] 

… beliebige Fläche im Magnetfeld 

… Flächenelement auf der Fläche [m 2 ]

2. Maxwellsche Gleichung 

�∫ 

∂V 

� � 

B ⋅ dA = 



Die Feldlinien des Magnetfeldes bilden immer einen 

geschlossenen Umlauf. Das Feld ist quellenfrei. 

Der magnetische Fluß, der in einen Körper hineinfließt, 

fließt an anderer Stelle auch wieder heraus. 

Daher ist das Integral der Flussdichte über die 

Oberfläche eines geschlossenen Körpers null. 

0 


Induktivität 



Die Induktivität von Leiteranordnungen gibt das 

Verhältnis des gesamten erzeugten magnetischen 

Flusses zu dem dazu notwendigen Strom an. 

L 

= 

φ 

I 

Bsp: lange Luftspule 

0 

2 

L = μ ⋅ n ⋅ 

A 

l 

L 

μ 

n 

0 

A 

l 

… Induktivität [H] 

… Permeabilität des Vakuums 

… Windungszahl 

… Querschnittsfläche [m 2 ] 

… Länge der Spule [m] 


L 

φ 

I 



Ausgleichsvorgänge an einer Induktivität 

Dynamische Beschreibung: 

= ( t) L i( t) 

S 

φ = ⋅ & u( t) 

R 

i L (t) 

U 0 L u L(t) 

( ) 

dφ t 

= ( ) 

dt 

di( t) 

u t = L 

dt 

Im Zeitpunkt t = 0 

• S wird geschlossen 

• Strom i L (t) = 0 


u L (t) [V] 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

U 0 = 10V R = 10Ω 

L = 100mH 

( ) 0 

t 

− 

u t U e τ 

L 

0 

0 0.02 0.04 

t [s] 

0.06 0.08 

i L (t) [A] 

L 

τ = = 

R 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 



10ms 

t 

U ⎛ − ⎞ τ 

i t = ⎜ − e ⎟ 

R ⎝ ⎠ 

= ⋅ ( ) 0 

L 1 

0 

0 0.02 0.04 

t [s] 

0.06 0.08 


Magnetische Kreise 



Ein magnetischer Kreis ist eine Anordnung, die den 

magnetischen Fluss entlang seiner ferromagnetischen 

Teile auf vorgeschriebene Wege lenkt. 

I 

N 

|B| 


Näherungsannahmen: 

Berechnung magnetischer Kreise 

ΦE 

δ 

l 

E 

ΦL 



1. Der magnetische Fluss verläßt das Eisen nur an den 

Stirnseiten des Luftspaltes. 

2. Das Magnetfeld ist in jedem Abschnitt homogen 

I 

N 

Φ 

Φ 

E 

E 

L 

A 

l 

δ 

… Strom [A] 

… Windungszahl 

… Fluss im Eisen [Wb] 

… Fluss im Luftspalt [Wb] 

… Querschnitt [m 2 ] 

… Eisenlänge [m] 

… Luftspaltbreite [m] 


Durchflutungssatz 

Bestimmungsgleichung 

für 

Flußdichte 

Berechnung magnetischer Kreise 

A 

Fluss 

E 

E L 



H ⋅ ds = H l + H δ = Θ = I 

∫ � � 

� 

B B 

⋅ l + ⋅ δ = Θ 

μ μ 

⎝ E L ⎠ 

E E L N 

⎛ l δ ⎞ 

⋅ B E 

⎜ + ⎟ = Θ 

μ ⋅ A μ ⋅ A 

Widerstand 

Spannung 


Θ = N ⋅ I 



0hmsches Gesetz magnetischer Kreise 

θ 

magn. Spannung 

Φ= 

magn. Fluss = 

R magn. Widerstand 

m 

R m,E 

H ElE Φ = B ⋅ 

H Lδ 

A 

R m,L 


Φ = 

μ 

BA 

B 

Θ = Hl = l 

μ 

Magnetischer Widerstand 

l 



R 

B � 


m 

Θ 

= = 

Φ 

μ 

l 

A

Verketteter Fluß: 

Selbstinduktivität 



Die Selbstinduktivität einer Spule gibt den 

verketteten Fluß in den eigenen Windungen 

bezogen auf den dazu nötigen Strom an. 

L 

Ψ = N ⋅ Φ 

Ψ NΦ N Θ N NI 

= = = = 

I I I R I R 

m m 

N 

L = 

R 


2 

m

Spule 1 

Magnetisch gekoppelte Spulen 

Spule 2 

I2=0 INSTITUT FÜR ENERGIE- UND AUTOMATISIERUNGSTECHNIK 


Φ1 21 Φ 12 

2 

In Spule 1 von I 1 erzeugt: 

Ф 1 … Spulenfluss 

Ф 21 … Hauptfluss (Koppelfluss) 

Ф 1S … Streufluss 

Φ 

Spule 1 Spule 2 

I1 =0 


Φ 

In Spule 2 von I 2 erzeugt: 

Ф 2 … Spulenfluss 

Ф 12 … Hauptfluss (Koppelfluss) 

Ф 2S … Streufluss

I 1 ≠ 0 

und 

I 2 ≠ 0 

Φ1S 

Magnetisch gekoppelte Spulen 

Streuflüsse: 

Ф 1S ,Ф 2S 

Φm 

Φ1 2 Φ 

Koppelfluss: Ф m = Ф 21 + Ф 12 



Φ2S 

Hauptflüsse: Ф 21 = Ф 1 - Ф 1S 

Ф 12 = Ф 2 - Ф 2S 


Gegeninduktivität gekoppelter Spulen 



Die Gegeninduktivität zweier Spulen gibt das 

Verhältnis des verketteten Flusses der einen Spule zu 

dem verursachenden Strom der anderen Spule an. 

Verketteter Fluss in 

Spule 2, verursacht 

vom Strom I 1 

N Φ N Φ 

= M = M = 

2 21 1 12 

I1 21 12 

I 2 

Gegeninduktivität M 

Koppelfaktor k 

Φ Φ 

k = k = k = k k M = k L L 

21 12 

1 

Φ1 2 

Φ2 

1 2 1 2 

Verketteter Fluss in 

Spule 1, verursacht 

vom Strom I 2 


Kräfte bestimmen – Virtuelle Arbeit 

μE → ∞ 

δ − 

dδ 



δ 

μ0AN 

= − 

2 

2 2 


F 

F 

∂W 

= 

∂δ 

mag 

∂Wmag 1 2 ∂L 

= I ⋅ 

∂δ 2 ∂δ 

I 

2 

δ

u(t) [V] 

400 

300 

200 

100 

0 

-100 

-200 

-300 

Wechselspannung aus der Steckdose 

-400 

0 5 10 15 

t [ms] 

20 25 30 



Frequenz: 

f = 50Hz 

Effektivwert: 

U = 230V 


V

Definition: 

Gleichrichtmittelwert: 

Mittelwert 

0 



Einzelwerte zusammenzählen und durch die Anzahl teilen. 

Bzw: Über die Periode Integrieren und dadurch teilen. 

Der Mittelwert einer gleichgerichteten Wechselspannung wird 

als Gleichrichtmittelwert bezeichnet. 

T 

1 

i = ∫i 

( t) dt 

T 

0 

π 

uˆ 

2 

u = ∫sin 

x ⋅ dx = uˆ 

π π 


Definition: 

Effektivwert 



Der Effektivwert I eff eines periodischen 

Stromverlaufs i(t) gibt den äquivalenten Gleichstrom 

an, der an einem ohmschen Widerstand die gleiche 

Verlustleistung bewirken würde. 

Ieff = 

T 

∫ 

2 

i ( t) dt 

T 0 

Der Effektivwert einer Wechselspannung 

berechnet sich zu: 

2 π 

ˆ 2 ˆ 

u u 

Ueff = ∫sin 

( x) dx = 

π 

2 

0 

1 

u t = uˆ ⋅sin 

ωt 

( ) ( ) 


u( t) = uˆ ⋅ sin( ωt + ϕ ) 

i( t) = iˆ ⋅ sin( ωt + ϕ ) 

Der Schaltung 

zugeführte 

Energie 

Mittlere 

zugeführte 


Der Schaltung 

entnommene 




Zeitlicher Verlauf der Leistung 

uˆ ⋅iˆ 

u p( t) = u( t) ⋅ i( t) = (cos( ϕu − ϕi ) + cos(2 ωt + ϕu + ϕi 

)) 

2 

i 

Phase: φu-φi Leistung 

Wirkleistung 

Strom 

Spannung 


Eine vernünftige 

Erklärung zu 

Wirkleistung, 

Blindleistung und 

Scheinleistung 

auch für Nicht- 

Elektrotechniker 



Blindl. 

(VAr) 

Wirkleistung (kW) 

Scheinleistung (VA) 


Fourierreihen 



Periodische Funktionen lassen sich durch eine 

Überlagerung von Sinus- und Cosinusfunktionen mit 

vielfachen der Grundfrequenz darstellen. 

c+ 

T 

∞ a 

f t = + ∑ an n t + bn n t 

2 

0 ( ) cos( ω ) sin( 

ω ) 

n= 

1 

2 

an = ∫ f ( t) ⋅ cos( nωt ) dt 

T 

c 

c+ 

T 

2 

bn = ∫ f ( t) ⋅sin 

( nωt ) dt 

T 

c 

( ) 

T 

2π 

ω= 

T 

c 

… Periode von f(t) 

… Winkelgeschw. 

… beliebige Konst. 


a 

n 

bn 

T ⎧ 

2 

⎪ 

4 

= f ( t) cos( nωt ) d t ... falls f gerade 

⎨ ∫ T 0 

⎪⎪⎩ 0 ... falls f ungerade 

⎧ 0 ... falls f gerade 

⎪ T 

= ⎨ 2 

4 

⎪⎪⎩ 

f ( t) sin( nωt ) d t 

T 

... falls f ungerade 

∫ 

0 

Fourierkoeffizienten 



Ungerade Funktion 

Gerade Funktion 


( ) 

u t 

Fourierreihenentwicklung - Beispiel 



⎧ 2uˆ ⎛ 1 ⎞ 

⎪ ( t − kT ) ... für kT 

≤ t< ⎜ k+ ⎟T 

⎪ T ⎝ 2 ⎠ 

= ⎨ 

⎪ 2uˆ ⎛ 1 ⎞ 

− ( t − ( k+1) T ) ... für k+ T ≤ t< ( k+1) T 

⎪ ⎜ ⎟ 

⎩ T ⎝ 2 ⎠ 

⎧ 4uˆ 

⎪− 

... n ungerade 

2 2 an = ⎨ π n 

⎪⎩ 0 ... n gerade 

a 

u t a n t 

a = 

k 

0 ( ) = + ∑ 

n cos( ω ) 

2 n= 

1 


0 

uˆ 

2

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

k=1 

0 0.5 1 1.5 2 

Fourierreihenentwicklung - Beispiel 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

k=3 

0 0.5 1 1.5 2 



0 0.5 1 1.5 2 

Mit steigender Anzahl an Reihengliedern, entspricht 

die Fourierreihe immer besser dem Original. 


2 

1.5 

1 

0.5 

0 

k=5

• Komplexe Zeiger 

• Ortskurven der Impedanzen von RLC-Gliedern 

• Übertragungsfunktion 

Frequenzabhängigkeit im 

Wechselstromnetzwerk 

• Bodediagram (Betrags- und Phasengang) 

• Logarithmisches Verhältnis, Dezibel 



• Passive Filter, Hoch-, Band-, Tiefpass bzw. -sperre 

• RLC - Reihenresonanzkreis 


2 

j = −1 



Komplexe Zahlen - Darstellungsweisen 

Kartesische Form 

Exponentialform 

{ } { } 

⎛ Im{ 

x} 

⎞ 

{ x} 

2 2 

X = Re x + Im x 

x = Re x + j⋅ Im x 

j 

x X e ϕ 

= ⋅ 

{ } { } 

ϕ = arctan ⎜ ⎟ 

⎝ Re 

x = X cos( ϕ ) + j⋅ X sin ( ϕ ) 

⎠ 


Im{ x} 

x 

π 

−π 

Re{ x} 

Komplexe Zahlen - Phasenwinkel 

ϕ 



j 

x e ϕ 

= 


I 

II 

III 

IV 

ϕ = α 

ϕ = π −α 

ϕ = − π + α 

ϕ = −α 

α … Winkel zur Re-Achse 

{ x} 

{ x} 

⎛ Im ⎞ 

α = arctan ⎜ 

⎟ 

Re ⎟ 

⎝ ⎠ 

Betrag!!

Im 

Phase (deg) Magnitude (dB) 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

0 

-45 

10 -1 

-90 

10 0 

Frequency (rad/sec) 

10 1 



Übertragungsverhalten von Wechselgrößen 

Zeigerdiagramm 

i 

Re 

Ortskurve 

Bodediagramm Übertragungsfunktion 

Im 


e 

u 

ω 

ω = 

0 

Re 

jϕa 

ua ⋅ e 

H ( ω) = = H j ( ω) 

⋅ e 

ϕe 

u ⋅ 

e 

( ) 

jϕ 

ω

Ortskurven 



Die Ortskurve, entpricht der Bahnkurve der 

Endpunkte eines Zeigers in der komplexen Ebene 

bei Variation eines Parameters des Zeigers. 

Darstellung von: 

Impedanzen, Admittanzen, Spannungen, Ströme, 

Übertragungsfunktionen 

In Abhängigkeit von: 

z.B. Widerstand, Kapazität, Induktivität, Frequenz 


Im 

Z 



Ortskurven von Impedanzen 

R L R C 

Z = R + jωL 

ω 

ω = 

0 

Re 

Im 

Z 

Z = R + 

ω → ∞ 

ω 


1 

jωC 

Re

ue 

Übertragungsfunktion 



Die Übertragungsfunktion eines Vierpols gibt an, wie 

ein sinusförmiges Eingangssignal, abhängig von der 

Frequenz, in Amplitude und Phase verändert wird. 

ua 

H 

( ω) 

= 

u = u ⋅ 

a e 

u 

u 

( ω) 

( ω) 

1+ 

( u ) = ( u ) + ( −ωτ 

) 

arg arg arctan 

a e 

( ) 2 

ωτ 


a 

e 

1 

Amplitudengang 

Phasengang

Amplitude [dB] 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 

-35 

-40 

-45 

10 0 

Bodediagramm 



Das Bodediagramm ist eine graphische Darstellung von 

Amplituden- und Phasengang über der Kreisfrequenz. 

Grenzfrequenz 

10 1 

10 2 

ω [rad/s] 

-3dB 

20dB/Dekade 

10 3 

10 4 

Phase [deg] 

0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

-70 

-80 

-90 

10 0 


10 1 

10 2 

ω [rad/s] 

-45° 

10 3 

10 4

Logarithmisches Verhältnis - Dezibel 

⎛ u ⎞ a 

dB-Zahl = 20 ⋅ log⎜ ⎟ = 20 ⋅log 

H 

⎝ ue 

⎠ 



Die logarithmische Darstellung des Verhältnisses zweier Spannungen: 

H 

dB 

10 -3 

-60 

10 -2 

-40 

10 -1 

-20 

1 

2 

-6 

1 

2 

-3 

1 

0 

2 

3 

ω 

( ) 


2 

6 

10 1 

20 

10 2 

40 

10 3 

60



Hochpass 

ω [rad/s] 

Bandpass 

ω [rad/s] 

Passive Filter 

1. Ordnung 

� RC oder LC 

2. Ordnung 

� RLC 



ω [rad/s] 




Tiefpass 

Bandsperre 

ω [rad/s]

I 



Passive Filter: RLC-Reihenschwingkreis 

R L C 

U R 

L U 

Resonanzfrequenz: 

Güte: 

Dämpfung: 

UC 

{ ( ) } 

Im Z ω : = 0 ⇒ ω = 

P 

Q 

P 

0 0 

ω L 1 

Blind 0 = = = 

1 

d = 

Q 

Wirk 

Impedanz: 

R ω RC 

0 

⎛ 1 ⎞ 

Z = R + j⎜ωL − ⎟ 

⎝ ωC 

⎠ 


1 

LC

I [A] 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

10 2 

L= 1mH 

C=100µF 

f 0=503.3Hz 

10 3 

ω 0 

[ rad/s] 

Bandbreite, Güte 

R L C 

I 

10 4 

j0 

U 10V 

e ° 

= ⋅ 

10 5 

ω Güte: 



R=2Ω Q=1.5811 ∆f=318Hz 

R=5Ω Q=0.6325 ∆f=796Hz 

R=10Ω Q=0.3162 ∆f=1592Hz 

Grenzfrequenzen: 

ω 

1/ 2 

R ⎛ R ⎞ 1 

= ± + ⎜ ⎟ + 

2L ⎝ 2L ⎠ LC 

Bandbreite: 

Δω 

ω2 −ω1 

Δ f = = 

2π 2π 

1 

Q = 

Δω 


2

Bachelor 



Klausur – Grundlagen der Elektrotechnik 

� V.W, MB, ITMW, PI, Lehramt 

Diplom 

� Matrix 

Neuer Zyklus 

Alter Zyklus 

Diplom (mit Ergänzungen) 

GET I+II 

Ergänzungen I+II 

UE, PR, Rep bzw. M&W-Labor 

Diplom (ohne Ergänzungen) 

GET I+II 

UE, PR, Rep bzw. M&W-Labor 

Vorraussichtlicher Termin: 8.3.2008 


• Drehspulmessinstrument 

• Dreheisenmessinstrument 

• Digitalmultimeter 

Messtechnik, Sensorik 

• Strom- und spannungsrichtiges Messen 

• Messbereichserweiterung 

• Prinzip eines Sensors 

(Bsp: Kompensationswandler, optischer Sensor) 

• Grundbegriffe der Messtechnik 




Digital-Multimeter 

Elektrische Messtechnik 



Analogmultimeter 


Drehspulmessinstrument 



• Zeigerausschlag ist 

polaritätsabhängig 

• Zeigt den arithmetischen 

Mittelwert an 

• Lineare Skala 


Dreheisenmessinstrument 



• Zeigerausschlag ist 

nicht polaritätsabhängig 

• Zeigt den Effektivwert an 

• Nichtlineare Skala 


• Nicht mechanisch 

• benötigt Batterie 

• Eingangswiderstand: 1..10MΩ 

Digital-Multimeter 

A/D- 

Wandler 



Misst Strom & Spannung 

je nach Ausführung: 

+ Widerstand 

+ Kapazität 

+ Induktivität 

+ Frequenz 


U 

I mess 

A 

U V 

Spannungs- und Strommessung 

V 

I V 

R V 

U 



V 

U mess 

Spannungsrichtige Messung Stromrichtige Messung 

UV 

I = I − 

V 

mess 

U 

V 

R iV 

IV 


A 

I V 

U = U − I 

R V 

R 

V mess V iA

Messbereichserweiterung 



Die zu messenden Spannungen oder Ströme müssen schaltungstechnisch 

auf Bereiche abgebildet werden, die für das Messwerk zulässig sind. 

Spannungen oberhalb 

des Messbereichs 

RM V 

U M 

U ges 

R V 

I ges 

Ströme oberhalb des 

Messbereichs 

RM A 

R Shunt 


I M

Sensorik 



Ein Sensor wandelt eine Messgröße mit Hilfe eines 

physikalischen Effekts in ein elektrisches Signal um. 

Messgröße 

(physikalische, 

biologische, 

chemische) 

Sensor: 

Physikalischer 

Effekt 

Aufnehmer 

(berührend, berührungslos) 

Signalaufbereitung 

(Wandlung, Verstärkung) 

Sensorsignal 

(Strom, Spannung, 

digital, analog) 

Auswertung 


Kompensationsstromwandler 




Physikalische 

Effekte: 

• Reflexion 

• Linsenoptik 

• lateraler Fotoeffekt 

Messgröße 

= Abstand 

Optischer Sensor - Triangulation 

Aufnehmer 

Signalaufbereitung 



Sensorsignal 

4..20mA 

PC-Auswertung 


Übersicht 

Typ 1 

Typ 2 

Typ 3 

Typ 4 

Typ 5 

Typ 6 

Mögliche 

Konfiguration: 

2 ... 200 mm 

2 ... 200 mm 

100mm 

0,0015 % d.M. 

0,0015 % d.M. 

0,15mm 



Kenngrößen optischer Distanzsensoren 

Messbereich 

20 ... 200 mm 

5 ... 250 mm 

0,5 ... 200 mm 

2 … 750 mm 

Auflösung 

0,02 % d.M. 

0,01 % d.M. 

0,03 % d.M. 

0,005 % d.M. 

Linearität 

Messfehler 

Ansprechzeit 

Ansprechschwelle 

Linearitätsabweichung 

Messbereich 

Grundbegriffe 



Genauigkeit 

Auflösung 

Empfindlichkeit 

Querempfindlichkeit 


• PN-Übergang 

Halbleiterbauelemente 

• Kennlinie einer Diode 

• Kennlinie einer Zener-Diode 

• Spannungsstabilisierung mit Z-Dioden 

• Bipolartransistor 




RG2 

P-N-Halbleiter vor Kontaktierung 



Durch Einbringen von Fremdatomen in das homogene 

Kristallgitter (Si, Ge, GaAs) entstehen dotierte Halbleiter. 

Elektron Loch 

n-Halbleiter 

Donator (Phosphor) 

Fremdatome 

Akzeptor (Bor) 

p-Halbleiter 


Folie 114 

RG2 Grundmaterial: Silizium, regelmäßiges Kristallgitter, 4-wertig 

Donator: Phosphor, 5-wertig, ein Aussenelektron zu viel für das regelmäßige Gitter 

Akzeptor: Bor, 3-wertig, ein Aussenelektron zu wenig für das regelmäßige Gitter 

n,p-Halbleiter für sich neutral! 

--> Elektronen, Löcher: Ladungsträgergradient 

Grune; 10.12.2007

PN-Übergang: Sperrschicht 



Durch Ladungsträger-Diffusion bildet sich eine hochohmige 

Raumladungzone bzw. Sperrschicht aus. Diffusionskraft 

und elektrische Feldkraft sind im Gleichgewicht. 

Konzentrationsgradient der Majoritätsladungsträger 

Sperrichtung: Sperrichtung: 

+U -U 

Durchlass: Durchlass: 

-U +U 

Kathode Elektrisches Feld 

Anode 


Diodenkennlinie 



Schaltzeichen: 

Anode Kathode 

I fm … maximal zulässiger Dauerstrom 

in Vorwärtsrichtung 

U fm …maximale Diodenspannung 

(in Vorwärtsrichtung) 

U S …Schwellspannung, ab der ein 

signifikater Stromflus einsetzt 

U rrm …maximale Sperrspannung 

(in Rückwärtsrichtung) 


42mm 

I fm (A) 

U rrm (V) 

U fm (V) 

I fsm (A) 

Diode (kleine Leistung) 

Einsatz: 

z.B. Freilaufdiode einer 

Relaisspule auf Leiterplatte 

Markierungsring 

für die Kathode 

Halbleiterdioden 

640 

2400 

2,1 

6050 

5mm 



Leistungsdiode 

Einsatz: 

z.B. in Drehstrom-Brückengleichrichtern 

für Gleichstrombahnen 

I fm (A) 

U rrm (V) 

U fm (V) 

I fsm (A) 

60,0 

0,57 

75,0 


1,0

Schaltzeichen: 

Anode Kathode 

Arbeitsbereich 

Z-Diode 



Eine dünne Sperrschicht führt schon bei geringen 

Spannungen zum Durchbruch gemäß dem sog. 

Zener-Effekt. 

Dieser Durchbruch ist reversibel, solange der Strom 

dabei ausreichend begrenzt wird. 

Betrieb in 

Rückwärtsrichtung! 

180° 

gedreht 


r 

Z 

ΔU 

= 

ΔI 

Z 

Z


mit Schwankungen 

U 0 +∆U 



Schaltung zur Spannungsstabilisierung 

R V 

Vorwiderstand zur 

Strombegrenzung 

in der Z-Diode 

Z-Diode 

Versorgungsspannung: Stabilisierung: Last: 

U0 + ∆U = 30V +- 20% UZ0 = 10V RL = 600Ω 

rZ = 50Ω 

RV = 600Ω 

Stabilisierte 

Ausgangsspannung 

U A 

U L,N = ? ∆U L = ? 


1904 entwickelte der 

englische Physiker John 

Ambrose Fleming die 

Elektronenröhre 

Von der Röhre zum Transistor 

1948 entwickelten 

J. Bardeen, W.H. Brattein 

und W. Shockley den 1. 

Transistor 



Produktion 

2005-2008 

Intel Pentium D 

230 Mio Transistoren 

15 x 15mm 


E 

E 

Bipolartransistor 

npn – Transistor Schaltzeichen: 

B 

n p n 

pnp – Transistor Schaltzeichen: 

B 

p n p 

C 

C 

B 

B 

C 

E 

C 

E 



U CB 

I B 

U BE 

E ... Emitter 

B ... Basis 

C ... Kollektor 


B 

I C 

C 

E 

I E 

U CE

npn – Transistor I B = 0, U CE > 0 



Der Bipolartransistor besteht aus zwei entgegengesetzten pn-Übergängen. Bei 

Anlegen einer Kollektor-Emitter Spannung wird eine Sperrschicht vergrößert, 

die andere verkleinert. Es fließt lediglich ein sehr geringer Sperrstrom. 

C 

B 

+ - 


E

npn – Transistor I B > 0 



Der Basisstrom macht die Basis-Emitter-Diode leitend. Es gelangen Elektronen 

in die dünne Basisschicht, die aufgrund der hohen Kollektor-Emitter Spannung 

zum größten Teil zum Kollektor hin abfließen. � Stromverstärkung 

C 

B 

+ - 

+ - 


E

Der Effekt der Stromverstärkung 

ist nahezu linear: 

I C = B•I B ; B … Stromverstärkung 

Stromverstärkungskennlinie 

Transistorkennlinien 



Differentieller Eingangswiderstand: 

ΔU 

B E 

rB 

E = 

ΔI 

Eingangskennlinie I B = f(U BE ) 

(Diodenkennlinie) 


I B 

B 

Emitterschaltung 

B 

I C 

C 

E 

U CE

Der Effekt der Stromverstärkung 

ist nahezu linear: 

I C = B•I B ; B … Stromverstärkung 

Transistorkennlinien 

Ausgangskennlinien 

I = f U 

( ) B 

C CE I 



Differentieller Ausgangswiderstand: 

ΔU 

C E 

rC 

E = 

ΔI 

U BE 


I B 

B 

C 

Emitterschaltung 

I C 

C 

E 

U CE

+U B 

u e 

0V 

R 1 

R 2 

Transistorverstärker - Arbeitspunkt 

I q +I BA 

I q 

I BA 

R C 

U BEA 

I CA 

U CEA 

u a 




Kennlinienfeld 




Kennlinienfeld mit Arbeitspunkt 

U 

R 

B 

C 




MOSFET 

• Aufbau, Wirkungsweise 

• Ausgangs-, Übertragungskennlinie 

• FET als steuerbarer Widerstand 

• Linearisierung des ohmschen Bereichs 

• Schalterbetrieb 

• Source-Schaltung 




MOSFET, n-Kanal, selbstsperrend 



Beim Feldeffekttransistor wird mit einer Gate-Source Steuerspannung 

die Leitfähigkeit der Drain-Source-Strecke beeinflußt, ohne daß ein 

Steuerstrom fließt, d.h. die Steuerung erfolgt leistungslos. 

Bei U GS >U th bildet 

sich unter dem 

Gatekontakt ein nleitender 

Kanal aus! 


MOSFET- Ausgangskennlinienfeld 



Die Ausgangskennlinien zeigen I D in Abhängigkeit von U DS 

für verschiedene (jeweils konstante U GS). 


MOSFET- Übertragungskennlinienfeld 



Im Abschnürbereich ist I D im wesentlichen nur von U GS abhängig. 

( ) 2 

K 

ID = UGS −U 

th 

2 

... Steilheitskoeffizient 2 

A ⎡ ⎤ 

K 

⎢ 

⎣V ⎥ 

⎦ 


Ausgangskennlinie – eine Näherung 



Ohmscher Bereich: 

⎛ UDS 

⎞ 

ID = K⋅UDS ⎜UGS −Uth − ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Abschnürbereich: 

I = const 

D 


R 

∂U 

DS = ≠ 

∂I 

D 

FET als steuerbarer Widerstand 

const 

Linearisierung 




R 

DS 

1 

= 

⎛U st ⎞ 

K⎜ −U 

th ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

FET als steuerbarer Widerstand 

[ Ω] 



RDS ( UGS 

) 

( U −U −U 

) 


R 

RDS ( Ust 

) 

DS 

= 

K 

1 

GS th DS

Schalterbetrieb 

R 

DS,on 



Im Schalterbetrieb ist der Einschaltwiderstand R DS,on von 

Interesse. Er sollte möglichst klein sein, damit wenig 

Verluste im Schalter (FET) entstehen. 

[ Ω] 

U GS = 5V 

U th = 2V 

∂U 

A 

K = 0.01 2 

V 

DS = = 

( ) 

D U = 0 GS th 


DS 

1 

∂I K U −U 

RDS,on = 33Ω



Sourceschaltung - Spannungsverstärkung 


∂I 

S = 

∂U 

Arbeitspunkteinstellung 



Übertragungskennlinie Ausgangskennlinienfeld 

D 

GS 


Kleinsignalverstärker 

iD = S ⋅uGS 



Arbeitspunktgrößen: 

U = 5V 

= = Ω 

B RD 200 

ID,A=25mA 

U 

1 

GS,A =3V ⎨ 

R2 300k 

Kleinsignalparameter: 

Eingangswid.: 

Ausgangswid.: 

⎧R 

= 200kΩ 

= Ω 


⎩ 

A 

v = −S ⋅ RD 

= −0.02 ⋅200Ω V 

v = −4 

r ~ R R 

r R 

e 1 2 

a ~ D

Inhalt 

• Vierpole 

Bsp: Transformator, Transistor 

• Operationsverstärker 

Rückkopplungen, Bsp: Hochpassfilter 




Vierpol 



Vierpole sind Netzwerke mit zwei Eingangs- und zwei Ausgangsklemmen. 

Lineare Vierpole lassen sich durch Vierpolgleichungen und 

–parameter gemäß der Vierpoltheorie beschreiben. 

Eingang Ausgang Charakterisierung nach: 

ie ia 

• Linearität 

• passiv / aktiv 

• (Symmetrie) 

ue 

ua 

• (Umkehrbarkeit) 

• (Rückwirkung) 

ie 

ia 


Nichtlinearer - Vierpol 



Die Spannungsverstärkung ist in diesem Bsp. alternierend. Der 

Zusammenhang zwischen den Spannungen und Strömen an Eingang 

und Ausgang ist somit nichtlinear. 

ue 

ie a i 

ua 

ue 

ua 

u 

a 

⎧ue 

für ue 

> 0 

= ⎨ 

⎩− 

ue für ue 

< 0 


t 

t

Linearer Vierpol 



Die Spannung am Ausgang ist direkt proportional zur Spannung am 

Eingang. Der Zusammenhang zwischen Spannungen und Strömen an 

Eingang und Ausgang ist somit linear. 

ue 

ie a i 

ua 

ue 

ua 

ua = −v ⋅ue 


t 

t

Vierpolmatrizen 



Vierpolmatrizen dienen zur Beschreibung des Verhaltens von 

Vierpolen. Dabei werden jeweils zwei der Größen u 1 , u 2 , i 1 , i 2 als 

unabhängig angenommen und die zwei anderen als Funktion dieser. 

Z-Matrix (stromgesteuert) 

⎡u1 ⎤ ⎡Z11 Z12 ⎤ ⎡i1 ⎤ 

⎢ 

u 

⎥ = ⎢ ⋅ 

Z Z 

⎥ ⎢ 

i 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 

Bsp: Transformator 

Hybrid 1-Matrix 

⎡u1 ⎤ ⎡H11 H12 ⎤ ⎡ i1 

⎤ 

⎢ 

i 

⎥ = ⎢ ⋅ 

H H 

⎥ ⎢ 

u 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 

Bsp: Bipolartransistor 

Y-Matrix (spannungsgesteuert) 

⎡i1 ⎤ ⎡Y11 Y12 ⎤ ⎡u1 ⎤ 

⎢ 

i 

⎥ = ⎢ ⋅ 

Y Y 

⎥ ⎢ 

u 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 

Hybrid 2-Matrix 

' ' 

⎡ i1 ⎤ ⎡H11 H ⎤ 12 ⎡u1 ⎤ 

⎢ ' ' 

u 

⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ 

2 H i 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ 21 H 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 


di di 

u1 = R1i1 + L1 + M 

dt dt 

Vierpolmatrix eines Transformators 

Φ1σ 

ΦM 

Φ2σ 

1 2 

di di 

u2 = R2i2 + L2 + M 

dt dt 

2 1 



Primärseite 

R 1 , L 1 

Vierpol Z-Matrix: 

Sekundärseite 

R 2 , L 2 

Koppelinduktivität M 

⎡u1 ⎤ ⎡R1 + jωL1 jωM 

⎤ ⎡i1 ⎤ 

⎢ 

u 

⎥ = ⎢ ⋅ 

jωM R + jωL 

⎥ ⎢ 

i 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 


B 

Transistor als Vierpol (h-Parameter) 

E 

C 



Unabhängige Größen: iB, uCE 

Abhängige Größen: 

Vierpol H-Matrix: 

⎡u1 ⎤ ⎡H11 H12 ⎤ ⎡ i1 

⎤ 

⎢ 

i 

⎥ = ⎢ ⋅ 

H H 

⎥ ⎢ 

u 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 

⎡uBE ⎤ ⎡H11 H12 

⎤ ⎡ iB 

⎤ 

⎢ 

i 

⎥ = ⎢ ⋅ 

H H 

⎥ ⎢ 

u 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎣ C ⎦ 21 22 ⎣ CE 

⎦ 

( , ) 

( , ) 

u = U i u 

BE BE B CE 

i = I i u 

C C B CE 


∂I 

∂i 

∂U 

∂i 

C 

B u 

BE 

B u 

CE,A 

CE,A 

= β 

= r 

BE 

Linearisierung im Arbeitspunkt 



∂IC 

1 

= 

∂u 

r 

CE i CE 

∂U 

∂u 

BE 

B,A 

CE i 

B,A 

= v 


r 

H 11 = rBE 

H 12 = vr 

H 21 = β 

H 

22 

= 

1 

r 

CE

ie 

ue = uD 

re 

Operationsverstärker (OPV) 

Ein OPV ist ein Gleichspannungsverstärker mit sehr hoher 

Verstärkung, der als integrierte Schaltung hergestellt wird. 

v ⋅uD 

a r 

ia 

ua 



ue 

U B 

ua 

−U 

B 

Ohne Beschaltung: 

u 

a 

⎧ U wenn u > 0 

B D 

= ⎨ 

− U B uD 

< 

wenn 0 


⎩ 

t 

t

Gegenkopplung 

OPV - Rückkopplungen 

Verstärker, Filter 



Mit einer Rückkopplung am OPV kann gezielt ein bestimmtes 

Übertragungsverhalten eingestellt werden. 

Z1 2 Z 

ue a u 

Z 

u = − ⋅u 

a 

2 

Z1 

e 

Mitkopplung 

R1 2 R 

ue a u 

R 

u = ⋅U 

e,kipp 

2 

R1 

B 

Komparator mit 

Hysterese 


ie ia 

C R 

i = 0 

ue a u 

OPV - Hochpass 

u 

H jω = = − jωRC u 

Übertragungsfunktion: ( ) a 

Betragsgang: 

( ) 

H jω = ωRC 

e 

Phasengang: 



ie = −ia 

ue ua 

= 

1 R 

jωC π 

arg{ H ( jω 

) } = − = − 90° 

2 


Signale & Systeme 

• Signalklassen 

• Signaleigenschaften 

• Elementarsignale 

• Systembegriff 

• Systemeigenschaften 

• Darstellung durch Faltung 




Bsp – Digitale Signalverarbeitung 



Gaspedal Steuergerät Einspritzanlage 

Sensorausgang Abtasten AD-Wandeln Verarbeiten DA-Wandeln Halten 

zeitkontinuierlich 

wertkontinuierlich 

Zeitdiskret 

Signalklassen 

wertdiskret 

zeitkontinuierlich 


4 

2 

0 

-2 

-4 

0 2 4 6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

0 2 4 6 

Signalklassen 

Wertkontinuierlich 



-4 

0 2 4 6 

Zeitkontinuierlich Zeitdiskret 

Wertdiskret 


4 

2 

0 

-2 

4 

2 

0 

-2 

-4 

0 2 4 6

Determiniert 

mathematisch beschreibar 

Beschränkt 

Es gibt keine Signalwerte im 

Unendlichen |s(t)|

T 

2 

Elementarsignale - Rechteckfunktion 

T (t) 

1 

T 

2 

t 



Mit der Rechteckfunktion können Impulse beschrieben werden. Sie 

ermöglicht die Eingrenzung (Ausblendung) eines Signals im Bereich T. 

( t) 

⎧ 

0 für 

⎪ 

Π T = ⎨ 

⎪1 für t ≤ 

T 

> 

2 

T 


⎪⎩ 

t 

2

1 

Δ 

Δ 

1 

Δ 

Elementarsignale - Deltaimpuls 

Δ 

(t) 

t 

Flächeneigenschaft: 

Ausblendeigenschaft: 



Der Deltaimpuls (Dirac-Fkt) ist eine Testfunktion. Der Ausgang eines 

Systems reagiert auf den Deltaimpuls δ(t) mit der Impulsantwort g(t). 

Δ → 

0 

∞ 

∫ 

−∞ 

δ(t) 


∞ 

∫ 

−∞ 

1 

δ( t) dt = 

1 

u( t) δ ( t) dt = u( 

0) 

t

Elementarsignale - Sprung 



Der Einheitssprung ist eine Testfunktion. Der Ausgang eines Systems 

reagiert auf den Einheitssprung σ(t) mit der Sprungantwort h(t). 

σ(t) 

1 

0 

t 

( t) 

⎧0 

für t < 0 

= ⎨ 

⎩1 

für t ≥ 0 


σ 

U = 1 

t = 

0 

σ ( t)

Im j t 

e ω 

Elementarsignale - Cosinus 



Sinusförmige Signale spielen eine große Rolle in der Technik, weil sie 

beim Durchlaufen linearer Systeme (zB. Differentiation) ihre Form nicht 

ändern. Zudem sind sie einfach zu erzeugen. 

t 

ωt 

− ωt 

Re 

1 

( ) ( jωt − jωt sin ) Im{ 

jωt ωt 

= e − e = e } 

2 j 

j t 

e ω − 

sin( ωt 

) 

cos( ωt 

) 

1 

cos Re 

2 

( ) ( jωt − jωt ) { jωt ωt 

= e + e = e } 


akustisch 

System 



Die Beschreibung eines Systems hat zum Ziel vorherzusagen, wie sich 

Signale ändern, wenn sie das System durchlaufen. (T: Systemoperator) 

Anregungssignal Systemantwort 

u( t ) 

System 

y( t) 

Teilsystem 2 

{ ( ) } = 

( ) 

T u t y t 

elektrisch 

akustisch 


Linearität 

Eine Überlagerung von Eingangs-signalen 

führt am Ausgang zu einer Überlagerung der 

Einzelantworten 

Superpositionsprinzip 

Kausalität 

Die Systemantwort tritt zeitgleich oder 

verzögert zum Eingangssignal auf 

Systemeigenschaften 

{ ⋅ 1 ( ) + ⋅ 2 ( ) } = ⋅ 1 ( ) + ⋅ 2 ( ) 

T a u t b u t a y t b y t 

( ) = < 0 

( ) = < 

0 

Für u t 0 mit t t 

gilt y t 0 mit t t 



Zeitinvarianz 

Die Systemantwort hängt nicht vom 

Zeitpunkt des Anlegens des Eingangssignals 

ab 

{ u( t) } = u( t + t0 

) 

T T 

Stabilität 

Das System antwortet auf jedes 

beschränkte Eingangssignal mit einem 

beschränkten Ausgangssignal 

BIBO-stabil: 

{ } 

bounded input – bounded output 


Beispiel: 



Darstellung von Systemen im Zeitbereich 

u( t) 

Differentialgleichung 

Sprungantwort 

Impulsantwort ? 

Faltung ? 

y( t) 

u c (t) [V] 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


( ) 

dy t 

u( t) = RC + y t 

dt 

( ) 

y t 1 e − 

= − 

( ) 

RCt 

0 

0 0.02 0.04 0.06 0.08 

t [s]

Die Faltung 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

y t = u t ∗ g t = ∫ u τ ⋅ g t −τ 

dτ 

+∞ 

−∞ 



Mit dem Faltungsintegral kann y(t) für beliebige Eingangssignale u(t) 

als Faltung von u(t) mit der Impulsantwort g(t) angegeben werden. 

u( kT) 

y( t) 

kT T t 

kT 

t 


Transformationen 



• Fourier-Transformation 

Definition, Bedeutung, Anwendung 

Modulationssatz, Faltung 

• Laplace-Transformation 

Lösen von Differentialgleichungen 

Pol-, Nullstellendarstellung 


Beispiel: 



Darstellung von Systemen im Zeitbereich 

u( t) 

Differentialgleichung 

Sprungantwort 

Impulsantwort 

Faltung 

Vierpol 

y( t) 

( ) 

dy t 

u( t) = RC + y t 

dt 

( ) 

g t 

dy( t ) 

dt 

⎡ jωC 

1 ⎤ 

⎡ i1 ⎤ 

⎢1+ jωRC 1+ jωRC 

⎥ 

⎡u1 ⎤ 

⎢ 

u 

⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ 

2 1 R 

⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 

⎢1+ jωRC 1+ jωRC 

⎥ 

⎣ ⎦ 

= 

( ) 

0 

0 0.02 0.04 

t [s] 

0.06 0.08 


h(t) 

g(t) [V] 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.12 

0.1 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 

( ) 

h t 1 e − 

= − 

1 

t 

RC 

1 

g ( t) e 

RC 

− 

= 

1 

t 

RC 

0 

0 0.02 0.04 

t [s] 

0.06 0.08

Zeitbereich 

f(t) 

Fourier-Transformation 

(Jean Baptiste Joseph Fourier 1822) 



Mit der Fourier-Transformation wird ein Zeitsignal f(t) in ein Signal F(jω) 

im Frequenzbereich umkehrbar eindeutig abgebildet. 

+∞ 

− jωt ( ω) 

( ) 

F j = ∫ f t ⋅e 

dt 

−∞ 

Fouriertransformation 

Inverse 


+∞ 

1 

− jωt f ( t) = F ( jω ) ⋅ e dω 

2π 

∫ 

−∞ 

Frequenzbereich 

F(jω) 


2 

1 

0 

-1 

Signal f(t) im Zeitbereich 

1 = 2 ⋅3Hz 

ω π 

-2 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

( ) = 0.4⋅ 

cos( 

1ω 

) 

+ 1.0 ⋅ cos( 

3ωt 

) 

+ 0.2 ⋅ cos( 

5ωt 

) 

+ 0. 1⋅ cos( 

7ωt 

) 

y t t 

Fourier-Transformation 

t 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 



1 

f ( t) 

F ( jω ) 

Signal |F(jω)| im Frequenzbereich 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 


F 

ω 

ω 

1

1 

0.5 

0 

-0.5 



Frequenzverschiebung - Modulationssatz 

Modulation mit ω 0 

Nutzsignal 

( ) = cos( 

ω ) 

u t t 

-1 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

f t ⋅e F jω − jω 

( ) 

jω ( ) 

0t 

Moduliertes Trägersignal 

( ) = cos( ω ) ⋅ cos( 

ω ) 

y t t t 

t 

ω = 

6ω 

0 

0 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Verschiebung des 

Spektrums um ω 0 

0 

-10 -5 0 5 10 


0 

ω 

ω 

1



Besondere Eigenschaften der Fourier-T. 

Differentiationssatz Integrationssatz 

d 

f t j F j 

dt 

( ) ω ⋅ ( ω ) 

f ( τ ) dτ ⋅ F ( jω) 

Anwendungs-Bsp: RC-Tiefpass 

( ) 

dy t 

u( t) = RC + y t 

dt 

( ) 

U ( ω) = RC ⋅ jωY ( ω) + Y ( ω) 

H 

( ω) 


( ω) 

( ) 

Y 1 

= = 

U ω 1+ jωRC 

t 

∫ 

−∞ 

1 

jω 

Zeitverschiebung 

f t t F j e ω 

− ⋅ 

( ) ( ) 

j t0 

0 

ω − 

Amplituden der Einzelfrequenzen 

bleiben konstant. Lediglich die 

Phasenwinkel ändern sich! 


Fourier-Transformation und Faltung 

Faltungssatz 

( ) ∗ ( ) ( ω) ⋅ ( ω) 

u t g t U j G j 



Anwendung in der Akustik: 

Einem Tonsignal kann damit eine 

bestimmte Klangfarbe gegeben werden. 


Zeitbereich 

f(t) 

Laplace-Transformation 

(Pierre-Simon Laplace) 



Die Laplace-Transformation ist eine einseitige Integraltransformation. 

Die Laplace-Transformierte existiert noch in vielen Fällen, wenn das 

Fourier-Integral bereits divergiert 

∞ 

( ) ( ) 

−st 

F s = ∫ f t ⋅e dt, s ∈ℂ 

0 

Laplacetransformation 

Inverse 


γ +∞ 

1 

st 

f ( t) = F ( s) ⋅ e ds 

2π 

j ∫ 

γ −∞ 


jω 

Bildbereich 

F(s) 

σ



DGL lösen mit Laplace-Transformation 

Mit der Laplace-Transformation kann eine lineare Differentialgleichung 

im Zeitbereich durch eine algebraische Gleichung im Bildbereich 

dargestellt werden. Nach Lösung im Bildbereich wird zurücktransform. 

Zeitbereich Bildbereich 

dy( t) 

⋅ σ = + ( ) Transformation 1 

uˆ = RC ⋅ sY ( s) + Y ( s) 

uˆ ( t) RC y t 

dt 

( ) 

1 

RC 

t 

y t uˆ (1 e ) 

− 

= ⋅ − 

Rücktransformation 

Lösung 


s 

1 

Y ( s) = RC uˆ 

⎛ 1 ⎞ 

s⎜ s + ⎟ 

⎝ RC ⎠

Pol-Nullstellen Darstellung 



Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion ermöglichen eine 

anschauliche Interpretation der dynamischen Eigenschaften eines Syst. 

Übertragungsfunktion Partialbruchzerlegung 

( ) 

H s 

1 1 

A B C 

= = = + + 

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 

3 2 

s + s + s + 1 s − p1 s − p2 s − p3 s − p1 s − p2 s − p3 

Im 

Re 

p1t p2t g( t) = A⋅ e + B ⋅ e + C ⋅e 

Re 

{ p } 


1 

> 

⎧ 

→ ⎨ < 

⎩ 

0 instabil 

0 stabil 

p t 

3



Darstellung von Systemen im Frequenzbereich 




Pol- und Nullstellen 

( ) 

H s 

1 

= RC 

⎛ 1 ⎞ 

s − ⎜ − ⎟ 

⎝ RC ⎠ 

Anwendungs-Bsp: RC-Tiefpass 

H 

( ω) 

( ω) 

( ) 

( ) 

( ) 

Y 1 

= = 

U ω 1+ jωRC 

Y s 1 

H ( s) = = 

U s 1+ sRC 

1 

− 

RC 


Im 

Re

+U - Institut für Energie- und Automatisierungstechnik, Technische

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