VEKTORRECHNUNG

G13_ma_VR2500_uebung
VEKTORRECHNUNG
- Übungsaufgaben -
(1)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(5;1;2), B(2;4;2) und C(-1;1;2)
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist !
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC !
c) Bestimmen Sie den Ortsvektor eines Punktes D so, dass ABCD ein Quadrat ist !
d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes des Quadrats ABCD !
(2)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1;1;-2), B(5;1;-2),C(3;3;-3) und
D(1;2;2) gegeben. Sie bilden die Eckpunkte einer Pyramide.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist !
b) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC !
c) Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCD !
d) Die Kanten AD, BD und CD der Pyramide durchstoßen die x-y-Ebene in den
Punkten E, F bzw. G. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte !
(3)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2;2;-1), B(0;3;1) und C(4;1;1)
gegeben.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Gerade gAB !
b) Ermitteln Sie den Wert für a so, dass der Punkt P(-a;2a;3) auf der Geraden g liegt !
c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q(6;-1;0) von der Gerade g !
d) Die Gleichung einer zweiten Geraden h sei
⎛2
⎞ ⎛− 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OX = ⎜2
⎟ + s ⋅ ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2
⎠ ⎝ 0 ⎠
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h zueinander !
(4)
Gegeben sind die Geraden g und h :
⎛− 2⎞
⎛5
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : OX = ⎜ 2 ⎟ + r ⋅ ⎜3
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝2
⎠
⎛2⎞
⎛ −1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
h : OX = ⎜3⎟
+ s ⋅ ⎜−
2⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎝ 1 ⎠
a) Prüfen Sie, ob der Punkt P(1,75;4,25;2,5) auf g liegt !
b) Bestimmen Sie zwei Punkte auf g, deren Abstand 6 LE beträgt !
c) Berechnen Sie, in welchem Punkt die Gerade g die x-y-Ebene durchstößt.
d) Zeigen Sie, dass sich die Geraden g und h schneiden. Berechnen Sie den
Schnittpunkt und den Schnittwinkel !
© A. Hörning (2008)

Aufgabe 1
⎛−
⎜
AB =
⎜
⎜
⎝
3⎞
⎟
3 ⎟
0 ⎟
⎠
a) AB o BC = 0
;
⎛−
⎜
AC =
⎜
⎜
⎝
6⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎠
;
bG13_ma_VR2500_uebung
Lösungsvorschläge
⎛−
3⎞
⎜ ⎟
BC = ⎜−
3⎟
⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
b)
1
A = ⋅ AB ⋅ BC = 9 FE
2
c)
⎛5⎞
⎛−
3⎞
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OD = OA + BC = ⎜1
⎟ + ⎜−
3⎟
= ⎜ − 2⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛5⎞
⎛− 6⎞
1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟
OM = OA + AC = ⎜1
⎟ + ⋅⎜
0 ⎟ ⇒ M 2;
1;
2
2 ⎜ 2
2⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
d) ( )
Aufgabe 2
⎛4⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛ − 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
AB = ⎜0⎟
; AC = ⎜ 2 ⎟ ; BC = ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0⎠
⎝−
1⎠
⎝ −1
⎠
a) AC = BC = 3 LE
b)
d)
CB o CA 1
cosγ
= = ⇒ γ ≈ 83,
6°
CB ⋅ CA 9
© A. Hörning (2008)
AB = BC =
18
180°
− γ
α = β = ≈ 48,
2°
2
⎛0⎞
⎜ ⎟
AD = ⎜1
⎟ ;
⎜ ⎟
⎝4⎠
⎛− 4⎞
⎜ ⎟
BD = ⎜ 1 ⎟ ;
⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
⎛−
2⎞
⎜ ⎟
CD = ⎜ −1
⎟
⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
z-Koordinate : z = 0
→ E(x;y;0)
⎛ 1 ⎞ ⎛0
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OE = OA + k ⋅ AD = ⎜ 1 ⎟ + k ⋅ ⎜1
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
2⎠
⎝4⎠
z = 0 → k = 0,5 → E ( 1 ; 1,5 ; 0 )
⎛ 5 ⎞ ⎛− 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OF = OB + k ⋅ BD = ⎜ 1 ⎟ + k ⋅ ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
2⎠
⎝ 4 ⎠
z = 0 → k = 0,5 → F ( 3 ; 1,5 ; 0 )
⎛ 3 ⎞ ⎛−
2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OG = OC + k ⋅ CD = ⎜ 3 ⎟ + k ⋅ ⎜ −1
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
3⎠
⎝ 5 ⎠
z = 0 → k = 0,6 → G ( 1,8 ; 2,4 ; 0 )

Aufgabe 3
bG13_ma_VR2500_uebung
a)
⎛ 2 ⎞ ⎛− 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g AB : OX = ⎜ 2 ⎟ + k ⋅ ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
1⎠
⎝ 2 ⎠
b)
⎛− a⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛− 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OP = ⎜ 2a
⎟ = ⎜ 2 ⎟ + k ⋅ ⎜ 1 ⎟ ⇒ k = 2
⎜ 3 ⎟ ⎜ 1⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝−
⎠ ⎝ ⎠
⎛− 2⎞
⎜ ⎟
OP = ⎜ 4 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
d.h.: a = 2
c) Wir fällen das Lot von Q (6; -1; 0) auf die Gerade g und erhalten den Lotfußpunkt X.
Der Lotfußpunkt habe die Koordinaten X (x; y; z). Dann gilt:
⎛ x − 6⎞
⎜ ⎟
QX = ⎜ y + 1⎟
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
sowie:
⎛ x⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛− 2⎞
x = 2 − 2k
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OX = ⎜ y⎟
= ⎜ 2 ⎟ + k ⋅ ⎜ 1 ⎟ ⇒ y = 2 + k
⎜ z ⎟ ⎜ 1⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝−
⎠ ⎝ ⎠ z = −1
+ 2k
⎛(
2 − 2k)
− 6⎞
⎛−
4 − 2k⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
QX = ⎜ ( 2 + k)
+ 1 ⎟ = ⎜ 3 + k ⎟
⎜ 1 2k
⎟ ⎜ 1 2k
⎟
⎝ − + ⎠ ⎝ − + ⎠
d)
QX
=
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
2
2 2
− 4 − 2k
+ 3 + k + −1
+ 2k
= 9k
+ 18k
+ 26
Das Lot ist die kürzeste Verbindung zwischen Q und der Gerade.
Wir berechnen nun den Minimalwert:
′ 1
1 2
−
QX = ( 9k
+ 18k
+ 26)
2 ⋅ ( 18k
+ 18)
2
′
QX = 0 ⇒ k = −1
⇒ QX = 17
⎛ 2 ⎞ ⎛− 2⎞
⎛ 2⎞
⎛− 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟ + k ⋅ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 2⎟
+ s ⋅⎜
1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
1⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 0 ⎠
⎛III⎞
−1
+ 2k
= 2
⎜ ⎟
3
⎜ I ⎟ 2 + ( − 2)
⋅ 2 = 2 − s
⎜ ⎟
3
⎝ II ⎠
2 + 2 = 2 + 3
⎛ I ⎞
⎜ ⎟
⎜ II ⎟
⎜ ⎟
⎝III⎠
⇒
3 k = 2
⇒ s = 3
Widerspruch
Die Geraden g und h schneiden sich somit nicht.
Ebenso ist offensichtlich (nach Betrachtung der Richtungsvektoren):
Die Geraden g und h verlaufen nicht parallel.
→ g und h sind windschief zueinander.
© A. Hörning (2008)
1

Aufgabe 4
a)
⎛1,
75 ⎞ ⎛− 2⎞
⎛5⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜4,
25⎟
= ⎜ 2 ⎟ + r ⋅⎜
3⎟
⎜ 2,
5 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ r =
⇒ r =
⇒ r =
bG13_ma_VR2500_uebung
( 1,75 + 2)
÷
( 4,25 - 2)
÷
( 2,5 -1)
÷ 2
5
3
© A. Hörning (2008)
stets gilt: r = 0,75 , somit ist P ∈ g
b) Wir legen zwei Punkte auf g beliebig fest:
⎛5⎞
⎜ ⎟
A(
− 2;
+ 2;
+ 1)
∈ g [ r1
= 0]
AB = ⎜3⎟
= 25 + 9 + 4 = 38 ≈ 6,
2
B(
+ 3;
+ 5;
+ 3)
∈ g [ r2
= 1]
⎜2⎟
⎝ ⎠
Offensichtlich ist die gewählte Strecke AB zu lang. Durch Multiplikation mit dem
Verkürzungsfaktor r3 erhalten wir eine Strecke mit der gewünschten Länge 6 LE.
⎛− 2⎞
⎛5⎞
⎛ 30 18
6 ⎜ ⎟ 6 ⎜ ⎟
⇒ X⎜−
2 + ; 2 + ; 1+
r3 = ⇒ OX = ⎜ 2 ⎟ + ⋅ ⎜3⎟
⎝ 38 38
38 ⎜ ⎟ 38 ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝2⎠
mit AX = 6 LE
c)
1
z = 0 ⇒ r = −
2
⎛− 2⎞
⎛5⎞
⎛− 4,
5⎞
⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OP = ⎜ 2 ⎟ − ⋅⎜
3⎟
= ⎜ 0,
5 ⎟ ⇒ P
⎜ 2
1 ⎟ ⎜2⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
d) ⎛− 2⎞
⎛5
⎞ ⎛2⎞
⎛ −1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟ + r ⋅⎜
3⎟
= ⎜3⎟
+ s ⋅ ⎜−
2⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝2
⎠ ⎝4⎠
⎝ 1 ⎠
( − 4,
5;
0,
5;
0)
⎛− 2⎞
⎛5⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OS = ⎜ 2 ⎟ + 1⋅
⎜3⎟
⇒ S(
3;
5;
3)
⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛5⎞
⎛ −1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜3⎟
o
⎜−
2⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 1 ⎠
cosα =
=
38 ⋅ 6
− 9
⇒ α1
38⋅
6
≈ 126,
6°
α 2 ≈ 53,
4°
( )
12 ⎞
⎟
38 ⎠
wahre Aussage für r = 1 und s = -1