Transferionisation in schnellen D -H2 -Stößen - Goethe-Universität
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2.5. DAS WASSERSTOFFMOLEKÜL 25<br />
Diese s<strong>in</strong>d gemäß der getätigten Annahme nur für Rab → ∞ Eigenzustände, werden jedoch<br />
im Heitler-London-Verfahren auch bei endlichen Kernabstand zur Abschätzung der Energie<br />
des Systems verwendet. Das Verfahren berücksichtigt dabei nicht Zustände, bei denen beide<br />
Elektronen sich beim gleichen Atomkern aufhalten.<br />
Die Normierung der Elektronenzustände erfolgt gemäß<br />
mit dem Überlapp<strong>in</strong>tegral<br />
�<br />
φ (±)<br />
�<br />
�<br />
Ort<br />
�φ (±)<br />
Ort<br />
�<br />
Lab =<br />
�<br />
= 1<br />
�<br />
1 ± |Lab|<br />
2<br />
2�<br />
(2.52)<br />
d 3 r φ ∗ a (�r) φb(�r). (2.53)<br />
Man erhält für die Energie des Systems als Erwartungswert des Hamiltonoperators<br />
E± =<br />
�<br />
φ (±)<br />
� �<br />
� �<br />
Ort �H<br />
�<br />
φ (±)<br />
�<br />
�<br />
Ort<br />
�φ (±)<br />
Ort<br />
�φ (±)<br />
Ort<br />
Dabei wurde das Coulomb-Integral abgekürzt, es ist<br />
Cab = e2<br />
4πε0<br />
⎡<br />
⎣ 1<br />
−<br />
Rab<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
� = Ea + Eb + Cab ± Aab<br />
. (2.54)<br />
2<br />
1 ± |Lab|<br />
d 3 |φa(�r1)|<br />
r1<br />
2<br />
� �<br />
� �<br />
��r1 −�Rb �<br />
�<br />
−<br />
d 3 |φb(�r2)|<br />
r2<br />
2<br />
� �<br />
� �<br />
+<br />
��r2 −�Ra �<br />
d 3 r1d 3 |φa(�r1)|<br />
r1<br />
2 |φb(�r2)| 2<br />
�<br />
. (2.55)<br />
|�r1 −�r2|<br />
Weiterh<strong>in</strong> steht die Abkürzung Aab für das so genannte Austausch<strong>in</strong>tegral, es gilt hierfür<br />
Aab = e2<br />
4πε0<br />
⎡<br />
⎣ 1<br />
Rab<br />
⎛<br />
|Lab| 2 − Re⎝L<br />
∗ �<br />
ab d 3 φ<br />
r1<br />
∗ �<br />
a (�r1)φb(�r1)<br />
� � + Lab d 3 φ<br />
r2<br />
∗ b (�r2)φa(�r2)<br />
� �<br />
� �<br />
+ Re<br />
d 3 r1 d 3 r2<br />
� �<br />
��r1 −�Rb �<br />
� �<br />
��r2 −�Ra �<br />
φ ∗ a (�r1)φ ∗ b (�r2)φa(�r2)φb(�r1)<br />
�<br />
. (2.56)<br />
|�r1 −�r2|<br />
⎞<br />
⎠
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