Nichtparametrische Statistik

Nichtparametrische Statistik
Übungsblatt 6
Aufgabe 1) (alte Klausuraufgabe)
a) Definieren Sie allgemein einen Nadaraya-Watson Kernschätzer einer
Regressionsfunktion.
b) Im nichtparametrischen Regressionsmodell Y i = m(X i ) + ɛ i , i =
1, . . . , n mit äquidistantem Design auf [a, b] = [0, 1] und i.i.d. Fehlertermen,
σ 2 = V ar(ɛ i ), betrachte man die beiden Fälle, dass
bzw.
m(x) = 0.5 + 3x − 20x 3 (0.1)
m(x) = cos(2πx) (0.2)
Nehmen Sie an, dass ein Kernschätzer mit Kernfunktion K und Bandbreite
h zur Schätzung von m verwendet wird. In welchem der beiden
Fälle (1) oder (2) erhält man den kleineren mittleren quadratischen
Fehler MSE( ˆm h (x)) bei der Schätzung am Punkt x = 0.5? Begründen
Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2) (alte Klausuraufgabe)
Gegeben seien i.i.d Beobachtungen (Y 1 , X 1 ), . . . , (Y n , X n ) einer Zielvariable
Y und einer (univariaten) erklärenden Variablen X. Betrachten Sie nun
lokal lineare Schätzer der unbekannten Regressionsfunktion m(x).
a) Wie berechnet man einen lokal linearen Schätzer ˆm h (x) von m(x)?
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) Beschreiben Sie qualitativ auf welche Weise die optimale Bandbreite
h opt von der Struktur von m, der Stichprobengröße n und der Fehlervarianz
σ 2 abhängt.
c) Nehmen Sie nun an, dass die wahre Rgeressionsfunktion m die spezielle
Struktur m(x) = 1+0.5·x besitzt. Skizzieren Sie (qualitativ) den zugehörigen
Verlauf von MISE( ˆm h ). Wie sollte man in diesem Spezialfall
die Bandbreite h optimal wählen?
d) Im allgemeinen Fall lässt sich mathematisch herleiten, dass bei Verwendung
einer optimalen Bandbreite | ˆm hopt − m(x)| = O P (n −2/5 ) gilt.
Lässt sich aus diesem Resultat direkt schließen, dass ˆm hopt ein schwach
konsistenter Schätzer von m(x) ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
e) Zeigen Sie (mathematisch exakt), dass aus | ˆm hopt − m(x)| = O P (n −2/5 )
auch | ˆm hopt − m(x)| 2 = O P (n −4/5 ) folgt.
Aufgabe 3) (alte Klausuraufgabe)
Eine Firma ist international tätig. Die Firmenleitung hat nun den Verdacht,
dass die französischen Außendienstmitarbeiter ineffektiv geführt werden
und daher tendenziell weniger Umsatz erzielen als die deutschen. Um dies
zu testen, werden unabhängige Zufallsstichproben der Umsätze von jeweils
n = m = 10 französischen (Y ) und deutschen (X) Mitarbeitern erhoben.
Bei der Auswertung der Daten ergab sich, dass die Summe der Ränge der
Umsätze der deutschen Mitarbeiter (X) in der geordneten Gesamtstichprobe
gleich 120 ist.
Mit Hilfe von nichtparametrischen Tests soll nun überprüft werden, ob die
Umsätze der deutschen Mitarbeiter (X) tatsächlich tendenziell höher sind als
die der französischen (Y ).
a) Formulieren Sie Nullhypothese und Alternative des nichtparametrischen
Testproblems (in exakter mathematischer Schreibweise).
b) Testen Sie die Nullhypothse zum Niveau α = 5% mit Hilfe des Wilcoxon
Rangsummentests.
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Benutzen Sie zur Vereinfachung die asymptotische Approximation der
Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese.
Unter H 0 : W n ∼ N(
m(N + 1)
,
2
mn(N + 1)
)
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Quantile der Standardnormalverteilung: 95% Quantil= 1.645;
97.5% Quantil= 1.96
c) Ist alternativ die Anwendung des Tests von Siegel-Tukey für das obige
Testproblem sinnvoll? Begründen Sie Ihre Antwort.
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