Übungsblatt 5:

Grundzüge der Statistik A WS 2011/12 Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
Übungsblatt 5:
Aufgabe 1:
Es liege eine in q Klassen aufgeteilte Grundgesamtheit von n Objekten vor, an denen ein quantitatives
Merkmal beobachtet werde. Die Klasse i enthält n i Objekte (also ist n 1 +. . .+n q = n), und
x ij sei der beobachtete Wert des j−ten Objekts in der i−ten Klasse, j = 1, . . . , n i ; i = 1, . . . , q.
1. Für welche reele Zahlen a und b i gilt
q∑ ∑n i
(x ij − a) = 0 und
i=1 j=1
∑n i
j=1
(x ij − b i ) = 0 :
2. Zeigen Sie die Streuungszerlegungs-Formel für die mittlere quadratische Abweichung:
1
n
q∑ ∑n i
(x ij − a) 2 = 1 n
i=1 j=1
q∑ ∑n i
(x ij − b i ) 2 + 1 n
i=1 j=1
q∑
n i (b i − a) 2 .
i=1
Hinweis: Drücken Sie (x ij − a) 2 = (x ij − b i + b i − a) 2 mit Hilfe der binomischen Formel aus.
Aufgabe 2 (Klausur vom SS 02, leicht modiziert):
In der Stadt Statistika wurden Informationen über das jährliche Einkommen von Single-Haushalten
erhoben. Anhand des Melderegisters wurden jeweils 7 Frauen und 7 Männer zufällig ausgewählt
und nach ihrem Jahreseinkommen befragt. Für die Frauen ergaben sich folgende Einkommenswerte
(in 1000 Euro)
35.0 26.0 14.9 22.3 30.4 50.0 20.2
1. Zeichnen Sie für die Gruppe der Frauen ein Histogramm mit Anfangspunkt c 0 = 0 und
Klassenbreite δ = 15 (1000 Euro).
2. Berechnen Sie das arithmetische Mittel, den Median, den Modalwert und die empirische
Varianz der Frauen.
3. Aufgrund eines Übermittlungsfehlers ist für die Gruppe der 7 Männer nur bekannt, dass das
arithmetische Mittel der Einkommen gleich 25,4 und die Standardabweichung gleich 12.5
ist. Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die gesamte Varianz aller 14 Beobachtungen
(Frauen und Männer).
1

Grundzüge der Statistik A WS 2011/12 Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
Aufgabe 3:
Im Rahmen einer Flurbereinigung werden die Nutzächen (in ha) von 40 Landwirtschaftlichen
Betrieben ermittelt:
3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
5 5 5 6 6 8 9 9 9 9
10 10 14 16 16 18 21 25 28 33
36 40 40 48 60 69 77 77 80 99
1. Berechnen Sie aus diesen Einzelwerten die durchschnittliche Nutzäche, die Varianz und
die Standardabweichung der Nutzäche.
2. Gruppieren Sie die Daten gemäÿ der folgenden Klasseneinteilung:
(2, 4], (4, 9], (9, 20], (20, 50], (50, 100]
Berechnen Sie daraus die durchschnittliche Nutzäche, die Varianz und die Standardabweichung
der Nutzäche. Begründen Sie den Unterschied zu 1.
3. Berechnen Sie zunächst für jede Klasse aus 2. den Mittelwert und aus diesen Klassen-
Mittelwerten den Gesamtmittelwert der Nutzäche. Was stellen Sie fest?
Aufgabe 4:
Die Jahresumsätze von 3 verschiedenen Firmen in den Jahren 2001, 2002, 2003, 2004 sind in der
folgenden Tabelle zusammengefasst (in Mrd. Euro):
2001 2002 2003 2004
Firma 1 9.90 10.40 11.13 12.02
Firma 2 10.00 10.50 10.92 11.58
Firma 3 10.10 10.50 11.13 11.91
1. Um welche Form der Daten handelt es sich hier:
O Querschnittdaten
O Zeitreihendaten
O Paneldaten
2. Berechnen Sie für jede einzelne Firma
(i) die Standardabweichung und
2

Grundzüge der Statistik A WS 2011/12 Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
(ii) den Variationskoezient der Jahresumsätze über den Gesamtzeitraum.
3. Berechnen Sie für jede einzelne Firma die jeweiligen Änderungsraten, mit denen sich die
Jahresumsätze gegenüber dem jeweiligen Vorjahr verändert haben (Runden Sie dabei auf
2 Nachkommastellen).
4. Berechnen Sie für jede einzelne Firma den geometrischen Mittelwert der Änderungsraten
ihrer Jahresumsätze und interpretieren Sie diese.
5. Welche der folgenden Aussagen ist immer korrekt?
A) x geo < x arith
B) x geo ≤ x arith
C) x geo > x arith
Hinweis: Es gilt ln( 1 n x 1 + · · · + 1 n x n) ≥ 1 n ln x 1 + · · · + 1 n ln x n.
Aufgabe 5:
Beim Marathonlauf legt Dominik die ersten 25 km mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von
17 Km/h zurück. Auf den nächsten 15 Km bricht Dominik etwas ein und schat nur noch
15 Km/h. Beim Endspurt zieht Dominik nochmal an, so dass er es hier eine Durchschnittsgeschwindigkeit
von 21 Km/h bringt. Berechnen Sie Dominiks Durchschnittsgeschwindigkeit über
die gesamte Strecke von 42 Km.
3