2. Newtonsches Axiom

IV. Newtonsche Axiome
Die Newtonschen Axiome stellen den Zusammenhang zwischen äußeren
Kräften und Bewegungen her und sind damit die Grundgesetze der Mechanik.
Trägheitssatz (1. Axiom)
In einem mechanischen System gibt es ohne eine äußere Kraft F keine
Beschleunigung, die Geschwindigkeit bleibt konstant:
�
F
=
⇒
�
a
=
�
dv
dt
=
2�
d s
dt
0 2
Grundgesetz der Dynamik (2. Axiom):
Mit einer äußeren Kraft sind Kraft und die Beschleunigung proportional,
der Proportionalitätsfaktor ist die (träge) Masse:
2
d v d s
F = ma
= m = m 2
dt dt
=
0
1

Die Einheit der Kraft ist das Newton:
[ ] m
F = kg ≡ N
s
2
Im einfachsten Fall kann man F mit einer Federwaage bestimmen. Die äußere
Kraft F A erzeugt eine Auslenkung s, die linear mit s zunimmt:
F = 0
a
F
s
a
Es gilt die Beziehung:
F a
=
D ⋅ s
mit der Federkonstante D und
[ D ] = N / m
2

Äußere Kräfte
Schwerkraft
Die Gravitation an der Erdoberfläche nennt man die Schwerkraft, die dazu
gehörige Beschleunigung die Erdbeschleunigung g=9.81 m/s 2
F g = m g
der Gravitationskonstante
2. Newtonsches Axiom:
� �
mg
= ma
g ρ γ
4π
=
3
Erdradius
Erddichte
“träge Masse gleich schwere Masse“ Alle Massen erfahren also
dieselbe Beschleunigung
R E
E E R
=
6380 km
kg
E = ρ
γ =
5500 3
m
6.
67
10
−11
Nm
kg
3
2
2

Federkraft
FR
F
Reibungskräfte
a) Festkörper-Festkörper
F N =
F
mg
a
Experiment Reibung auf Overheadprojektor
s
F
Wenn die äußere Kraft F a eine Auslenkung
s bewirkt, bewirkt die Feder im Gleichgewicht
eine Gegenkraft F :
F = −D
⋅ s
Der antreibenden Kraft F wirkt eine
Reibungskraft F R entgegen, die der Nor-
malkraft F N (Kraft, die den Block auf die
Fläche drückt) proportional ist:
F
F
R
R
= µ F N Kurzschreibweise
:
= µ F
N
Reibungskoeffizient µ
4

F N
Gleitexperimente auf der Schiefen Ebene sind für die Bestimmung
von µ wichtig.:
�
FR �
= mg
= −µmg
⊥
α
�
F =
mg
⊥
�
Fa =
mg
Aus dem kritischen Winkel α
kr,
bei dem
die Bewegung gerade beginnt, kann man dann
mit sin( α kr ) / cos( α kr)
= µ den Koeffizienten µ
bestimmen
||
α
Der Schlitten bewegt sich, erst,
wenn die hangabtreibende Kraft F a
größer ist als die Reibungskraft F R, also
�
�
= mg sin( α ) > F = µmg cos( α )
Fa R
mg sin( α ) >
oder
also für
µmg
sin( α )
cos( α )
cos( α )
>
µ
5

Genauer, gibt es einen Koeffizienten für die Haftreibung H
und die Gleitreibung µ und es ist immer µ
G
G <
µ G denn für
die erste Bewegung aus dem Stand ist immer eine etwas
größere Kraft erforderlich.
Demonstration Haftreibung-Gleitreibung auf Tisch
Haftreibungskoeffizient
Stahl-Stahl 0.19 0.18
Holz-Holz 0.3 0.2
Gummi-Asphalt 0.7 0.5
H
Gleitreibungskoeffizient
µ
µ G
µ
6

Reibung Festkörper-Flüssigkeit (Gas) (Stokessche Reibung)
H 2O
v
FR
F = m g
Experiment Kugel in Wasser, Glyzerin
Fallende Kugel Radius R in Flüssigkeit
F R
= −6π
Rη
v
Reibungskoeffizient
Ns
m
[ η]
= 2
Diese Reibung ist, anders als die Festkörper-Reibung, proportional zur
Geschwindigkeit Die Materialgröße “Viskosität η“ ist für verschiedene
Flüssigkeiten sehr verschieden:
Wasser 20°C 1.0005
Wasserdampf
100°C
η
0.017
Öl 20...1000
−3
2
[ 10 Ns / m ]
·
7

Reibung mit turbulenter Strömung
Bei hohen Geschwindigkeiten findet ein Übergang im Strömungsprofil
zu turbulenter Strömung statt, dann gilt für die Reibungskraft:
F
R
= c
Elektrische/ magnetische Kräfte
� �
= qE
F c
F L
W
A ⋅ρ
⋅ v
2
(Coulomb-Kraft)
= q⋅
v × B (Lorentz-Kraft)
2
/
(Widerstandsbeiwert c w, Fläche des Körpers A,
und Dichte der Flüssigkeit ρ)
Wie wir im nächsten Semester noch sehen werden, gibt es für geladenen Teilchen
mit der Ladung q zwei elektromagnetische Kräfte, nämlich die Coulomb-Kraft in
einem elektrischen Feld und die Lorentzkraft in einem Magnetfeld.
Hier taucht das sogenannte Kreuzprodukt zwischen 2 Vektoren auf, das später
noch genauer kennen lernen werden)
8

3.Newtonsches Axiom
Es gibt noch ein drittes Newtonsches Axiom für mechanische Systeme, das
für geschlossenen Systeme im statischen Gleichgewicht gilt:
3. Axiom (Actio=reactio)
Im statischen Gleichgewicht muss jede an einem Gegenstand angreifende
Kraft durch eine gleich große Gegenkraft kompensiert werden.
FAB FBA
FBA = −F
Experimente: 2 Federwaagen; Biegung; 2 Wagen mit Feder
auf Ealing-Bahn
F
AB
9

F
S
Ealing-Bahn
Nach dem Durchbrennen des Fadens F werden beide Wagen genau gleich
beschleunigt.
Man kann das 3.Axiom auch für viele Kräfte im Gleichgewicht verallgemeinern:
F1
F2
F3
oder
∑ Fi
i
= 0
Oder ganz allgemein unter Hinzuziehung des 2. Axioms:
∑
i
Fi − mi
a i
= 0
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Zusammenfassung Newtonsche Axiome
1.Newtonsches Axiom
2.Newtonsches Axiom
3.Newtonsches Axiom
Federkraft
Gravitationskraft auf Erdoberfläche
Reibungskraft Festkörper-
Festkörper
Reibungskraft Kugel-Flüssigkeit
F
F =
= 0 ⇒ a =
ma
FBA = −F
F = D ⋅
s
F g = m g
F R
F R
= µ F
0
AB
N
= −6πη
Rv
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