Sternaufbau und Stabilität

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c○ W. Kley; Skript: Computational Astrophysics

Kapitel 4
Sternaufbau und Stabilität
4.1 Überblick
Auf der Hauptreihe sind Sterne im quasistationären Gleichgewicht. Die Sternmodelle werden
berechnet unter der Annahme von:
- Massenerhaltung
- hydrostatisches Gleichgewicht
- Energieerhaltung (Erzeugung = Transport/Verluste)
Die Struktur wird durch die numerische Lösung der Sternaufbaugleichungen berechnet.
Brauche:
- detaillierte Zustandsgleichung
- nukleares Netzwerk
- Energietransport (Diffusion, Konvektion)
Die genauen Modelle:
- Rudolf Kippenhahn (50er/69er)
- Isabelle Baraffe, Gille Chabrier (heute)
Komplexes Gleichungssystem
4.2 Polytrope Sternmodelle
Stark vereinfachte Sternmodelle können unter der vereinfachenden Annahme einer polytropen
Zustandsgleichung (adiabatisch) berechnet werden. Dann wird keine Energiegleichung
mehr benötigt. Speziell gilt in diesem Fall für den Druck p als Funktion der Dichte
ρ
p = Kρ γ ≡ Kρ 1+ 1 n (4.1)
mit γ = 1 + 1/n Adiabatenexponent, n: Polytropenindex, K Konstante
Die radiale Struktur wird durch die Hydrostatik beschrieben
1 dp
ρ dr = −dΨ dr = −Gm(r)
(4.2)
r 2
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44 KAPITEL 4. STERNAUFBAU UND STABILITÄT
mit dem Gravitationspotential Ψ und der innerhalb des Radius r enthaltenen Masse
m(r) = 4π
∫ r
0
ρ(r ′ )r ′2 dr ′ (4.3)
diese letzte Gleichung (Massenerhaltung) kann auch in differentieller Form geschrieben
werden als
dm
dr = 4πr2 ρ (4.4)
Die hydrostatische Gleichung (4.2) wird mit r 2 multipliziert und nach r abgeleitet
oder umgeformt
d
dr
( r
2
ρ
dp
dr
)
= d dr (−Gm(r)) = −4πGr2 ρ(r) (4.5)
( )
1 d r
2
dp
= −4πGρ(r) (4.6)
r 2 dr ρ dr
Diese Gleichung gilt noch ganz allgemeine für jede Zustandsgleichung
Bem.: Mit der hydrostatischen Gleichung (4.2) kann p durch Ψ ersetzt werden und es
ergibt sich die Poisson-Gleichung
1
r 2 d
dr
(
r 2 dΨ )
= 4πGρ(r) (4.7)
dr
Wir betrachten jetzt speziell polytrope Sterne, d.h. Sterne beschrieben durch eine polytrope
Zustandsgleichung. Es folgt
Mit der Normierung
r 2
ρ
wobei ρ c die Dichte im Zentrum des Sterns sein soll, folgt
r 2
ρ
dp
dr
p = Kρ 1+ 1 n (4.8)
(
dp
= Kρ 1/n 1 + 1 ) dρ
(4.9)
dr
n dr
dp
= Kr 2 ρ 1/n−1 (1 + 1 dr
n )dρ
(4.10)
dr
(4.11)
ρ = ρ c w n (4.12)
= Kr 2 ρ 1/n−1
c w (1/n−1)n (1 + 1 n )ρ n−1 dw
cnw
dr
= Kρ 1/n
c (n + 1)r 2 dw
dr
Aus Gl. (4.6) folgt dann nach teilen durch 4πGρ c
Kρ 1/n−1
c (n + 1)
4πG
(4.13)
(4.14)
(
1 d
r 2 dw )
= −w n (4.15)
r 2 dr dr
Nun reskaliert man den Radius r mit r = r 0 z und man erhält
Kρ 1/n−1
(
c (n + 1) 1 1 d
z 2 dw )
= −w n (4.16)
4πG z 2 dz dz
r 2 0
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4.3. STERNMASSE 45
z ist hier eine dimensionslose radiale Koordinate. Man wählt nun r 0 so, dass der Vorfaktor
auf der linken Seite zu 1 wird also
1
r 2 0
≡ A 2 = Kρ1/n−1 c (n + 1)
4πG
(4.17)
Somit erhält man schließlich die Lane-Emden Gleichung des Sternaufbaus für polytrope
Sterne
(
1 d
z 2 dw )
+ w n = 0 (4.18)
z 2 dz dz
Dies ist im Prinzip eine Gleichung für das dimensionslose Potential.
Die Randbedingungen am Ursprung z = 0 folgen aus der Symmetrie und Regularität des
Potentials und lauten
w = 1
und
dw
dz
= 0 für z = 0 (4.19)
Der Sternradius zu einem Polytropenindex n liegt bei der ersten Nullstelle z n der Funktion
w(z), also w(z n ) = 0. Hier ist ρ = 0 und also auch p = 0.
Die Lane-Emden Gleichung muss i.a. numerisch gelöst werden. Es gibt nur für 3 Werte
von n analytische Lösungen. Diese sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:
n = 0
n = 1
w(t) = 1 − 1 6 z2
w(t) = sin z
z
1
n = 5 w(t) = ( )
1+ z2 1
2
3
Die erste Lösung beschreibt eine homogene Kugel mit konstanter Dichte ρ = ρ c w 0 =
const., die letzte Lösung einen Stern mit unendlichem Radius und unendlicher Masse.
4.3 Sternmasse
Die Sternmasse wird durch Integration über die Dichte berechnet
m(r) =
∫ r
0
4πr 2 ρdr (4.20)
∫ r
= 4πρ c w n r 2 dr (4.21)
0∫ z
= 4πρ c r0
3 w n z 2 dz (4.22)
0
(
(mit Gl. 4.18) = 4πρ c r0
3 −z 2 dw )
(4.23)
dr
(
(mit r = r 0 z) = 4πρ c r 3 − 1 )
dw
(4.24)
z dr
wobei die Gleichung unter Verwendung der integrierten Lane-Emden Gleichung umgeformt
wurden.
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46 KAPITEL 4. STERNAUFBAU UND STABILITÄT
An der Oberfläche, r = R, muss gelten
M = 4πρ c R 3 (
− 1 z
)
dw
(4.25)
dr
z=z n
Für die mittlere Dichte
folgt
¯ρ = 3M
4πR 3 (4.26)
(
¯ρ
= − 3 ρ c z
)
dw
(4.27)
dr
z=z n
4.4 Stabilität von Sternen
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