Sternaufbau und Stabilität

44 KAPITEL 4. STERNAUFBAU UND STABILITÄT
mit dem Gravitationspotential Ψ und der innerhalb des Radius r enthaltenen Masse
m(r) = 4π
∫ r
0
ρ(r ′ )r ′2 dr ′ (4.3)
diese letzte Gleichung (Massenerhaltung) kann auch in differentieller Form geschrieben
werden als
dm
dr = 4πr2 ρ (4.4)
Die hydrostatische Gleichung (4.2) wird mit r 2 multipliziert und nach r abgeleitet
oder umgeformt
d
dr
( r
2
ρ
dp
dr
)
= d dr (−Gm(r)) = −4πGr2 ρ(r) (4.5)
( )
1 d r
2
dp
= −4πGρ(r) (4.6)
r 2 dr ρ dr
Diese Gleichung gilt noch ganz allgemeine für jede Zustandsgleichung
Bem.: Mit der hydrostatischen Gleichung (4.2) kann p durch Ψ ersetzt werden und es
ergibt sich die Poisson-Gleichung
1
r 2 d
dr
(
r 2 dΨ )
= 4πGρ(r) (4.7)
dr
Wir betrachten jetzt speziell polytrope Sterne, d.h. Sterne beschrieben durch eine polytrope
Zustandsgleichung. Es folgt
Mit der Normierung
r 2
ρ
wobei ρ c die Dichte im Zentrum des Sterns sein soll, folgt
r 2
ρ
dp
dr
p = Kρ 1+ 1 n (4.8)
(
dp
= Kρ 1/n 1 + 1 ) dρ
(4.9)
dr
n dr
dp
= Kr 2 ρ 1/n−1 (1 + 1 dr
n )dρ
(4.10)
dr
(4.11)
ρ = ρ c w n (4.12)
= Kr 2 ρ 1/n−1
c w (1/n−1)n (1 + 1 n )ρ n−1 dw
cnw
dr
= Kρ 1/n
c (n + 1)r 2 dw
dr
Aus Gl. (4.6) folgt dann nach teilen durch 4πGρ c
Kρ 1/n−1
c (n + 1)
4πG
(4.13)
(4.14)
(
1 d
r 2 dw )
= −w n (4.15)
r 2 dr dr
Nun reskaliert man den Radius r mit r = r 0 z und man erhält
Kρ 1/n−1
(
c (n + 1) 1 1 d
z 2 dw )
= −w n (4.16)
4πG z 2 dz dz
r 2 0
c○ W. Kley; Skript: Computational Astrophysics