¨Ubungen zur Theoretischen Physik I - Theoretische Physik 1 ...

Übungen zur Theoretischen Physik I WiSe 2008/2009
Weigel, Reindl, Turczyk
Blatt 6 — Ausgabe: 18.11.2008 — Abgabe: Dienstag, 25.11.2008
Aufgabe 24: Spiralbewegung
Ein Massenpunkt m bewegt sich in der x − y−Ebene auf einer logarithmischen Spirale mit Radius
r(φ) = a · exp(−α φ) zum Zentrum hin. Dabei seien die Winkelgeschwindigkeit ω = ˙φ und die
Parameter a sowie α konstant.
a) Geben Sie den Betrag der Geschwindigkeit und Beschleunigung in Richtung ⃗e r an.
b) Zeigen Sie, dass für die Ableitungen der Polareinheitsvektoren gilt:
˙⃗e r = ω ⃗e φ und ¨⃗er = −ω 2 ⃗e r .
c) Berechnen Sie ¨⃗r in Polarkoordinaten und drücken Sie die Kraft ⃗ K = m ¨⃗r, welche auf den
Massenpunkt wirkt, durch die Vektoren ⃗r und ˙⃗r aus.
Aufgabe 25: Attraktive Zentralpotentiale
Ein Teilchen bewegt sich in einem attraktiven Zentralpotential V (r) auf einer Kreisbahn mit Radius
R. Stellen Sie folgende Überlegungen an, um zu untersuchen, ob diese Kreisbahn stabil ist:
a) Geben Sie die Bedingung für eine stabile Kreisbahn an das effektive Potential an.
b) Zeigen Sie, dass die Kreisbahn stabil ist, wenn folgende Bedingung gilt
R · d2 V (r) ∣
∣r=R
dV (r)
dr 2 + 3 ∣
dr r=R
> 0 .
c) Zeigen Sie, dass für Potentiale der Form V (r) = −C/r n mit C > 0 (warum?) stabile Kreisbahnen
nur für n < 2 existieren. Geben Sie eine anschauliche Begründung für die Bedingung
n < 2.
Aufgabe 26: Lenzscher Vektor
Für das Kepler–Problem V (r) = −k
r
definiert man den Lenzschen Vektor als
⃗Λ = m k ˙⃗r
(
× ⃗r × ˙⃗r
)
− ⃗r r ,
dabei sind r = |⃗r | und k eine positive Konstante. Zeigen Sie:
a) Der Lenzsche Vektor ist zeitlich konstant für Bahnkurven, die die Bewegungsgleichung lösen.
b) Der Lenzsche Vektor und der Ortsvektor des zentrumsnächsten Bahnpunkts sind parallel.
c) Das Skalarprodukt ⃗ Λ · ⃗r lässt sich als Parameterisierung der Bahnkurve q r = 1 + ɛ cos Θ
schreiben. Drücken Sie die Konstanten q und ɛ mit Hilfe von Erhaltungsgrößen aus.
bitte wenden

Aufgabe 27: Periheldrehung
Betrachten Sie die Änderung des Polarwinkels, ∆Θ für eine gebundene Bewegung, die in einem
Zentralpotenzial V (r) vom Umkehrpunkt r min zum Umkehrpunkt r max zurück zu r min führt. Dabei
seien die Gesamtenergie E und der Betrag des Drehimpulses l vorgegeben. Ausgangspunkt ist
∆Θ = 2
∫ rmax
r min
mr 2 √
2
m
l dr
(
E − V (r) −
) .
l2
2mr 2
a) Was sind die Bedingungen an die Umkehrpunkte r min und r max ? Berechnen Sie die Umkehrpunkte
explizit für das Kepler–Problem mit V (r) = − k r und für V (r) = − λ r 2 . Wie groß darf
der Drehimpuls maximal sein, damit die Bewegung einen endlichen Umkehrpunkt besitzt?
b) Verifizieren Sie für das Kepler–Problem, V (r) = − k r
, dass ∆Θ = 2π. Substituieren Sie dazu
r = 1/u.
c) Zeigen Sie, dass sich ∆Θ auch über
∆Θ(E, l) = −2 √ 2m ∂ ∂l
∫ rmax
r min
dr
√
E − V (r) −
l2
2mr 2
berechnen lässt. Beachten Sie, dass r min und r max von l abhängen.
d) Betrachten Sie eine kleine Störung zum Kepler–Problem, V (r) = − k r + δ
r 2 . Berechnen Sie die
Abweichung ∆Θ − 2π bis zur linearen Ordnung in δ. Nutzen Sie hierfür das Resultat aus c).
Hinweise:
• Entwickeln Sie den Integranden in Teilaufgabe d) bis zur linearen Ordnung in δ und integrieren
Sie über dΘ mittels dr = dr ( dΘ
) −1
dt dt dΘ.