¨Ubungen zur Theoretischen Physik II (Elektrodynamik)

Übungen zur Theoretischen Physik II (Elektrodynamik)
SS 2005
Prof. Dr. T. Mannel, H. Boos
Blatt 4 Abgabe: Mi, 18.05.2005, bis 12 Uhr, B-124 Besprechung: Fr, 20.05.2005
Auf den abgegebenen Lösungen bitte immer Name und Gruppe angeben.
Aufgabe 1: Legendre–Polynome
In der Vorlesung haben Sie die Legendre–DGL für den Spezialfall m = 0 kennengelernt:
[
d
(1 − x 2 ) dP ]
l(x)
+ l(l + 1) P l (x) = 0, l = 0, 1, 2, . . .
dx dx
In dieser Aufgabe sollen einige Eigenschaften ihrer Lösungsfunktionen P l (x), der
berüchtigten Legendre–Polynome, untersucht werden.
(a) Verifizieren Sie, dass folgende Polynome Lösungen der DGL sind:
(1.5P)
P 0 (x) = 1
P 1 (x) = x
P 2 (x) = 1 2 (3x2 − 1)
P 3 (x) = 1 2 (5x3 − 3x)
P 4 (x) = 1 8 (35x4 − 30x 2 + 3)
(b) Überzeugen Sie sich davon, dass Sie obige Polynome auch durch Anwendung der
Rodrigues–Formel
P l (x) = 1 ( ) d l(x 2 − 1) l
2 l l! dx
erhalten.
(1.5P)
(c) Beweisen Sie mit Hilfe der Rodrigues–Formel die Paritätsrelation
P l (−x) = (−1) l P l (x) .
Auf der Rückseite geht’s weiter!!
(1P)

(d) Zeigen Sie für l = 2 und l = 3 durch explizites Nachrechnen, dass die Funktionen
√
2l + 1
u l (x) = P l (x)
2
auf dem Intervall [−1, 1] orthonormiert sind:
∫ 1
dxu l (x)u r (x) = δ lr
−1
(1P)
Aufgabe 2: Kugelflächenfunktionen
Die Kugelflächenfunktionen sind definiert durch
Yl m
(θ, φ) = √ (2l + 1)(l − m)!
4π(l + m)!
P m
l (cosθ) e imφ .
Hierin sind die assoziierten Legendre–Polynome Pl m (cosθ) Lösungen der Legendre–DGL
(für m ≠ 0)
d
dx
[
(1 − x 2 ) dP l m ] [
(x)
+ l(l + 1) −
dx
]
m2
P m
1 − x 2 l (x) = 0, |m| ≤ l = 0, 1, 2, . . .
und hängen gemäß
( ) d mPl
Pl m (x) = (−1) m (1 − x 2 ) m/2 (x)
dx
mit den Legendre–Polynomen zusammen.
(a) Wie verhalten sich die assoziierten Legendre–Polynome unter Paritätstransformationen
x → −x?
(1P)
(b) Mit Hilfe von (a) können Sie nun
beweisen.
Yl
m (θ + π, φ + π) = (−1) l Yl m (θ, φ)
(1P)
(c) Geben Sie die Kugelflächenfunktionen Y4 m (θ, φ) (m = −4, −3, . . .,3, 4) explizit
an. Sie ersparen sich Arbeit, wenn Sie eine aus der Vorlesung bekannte Relation
zwischen Y −m
l
und (Y m
l ) ∗ ausnutzen.
Skizzieren Sie Y4 1
2
(θ, φ) und Y4 (θ, φ) für φ = 0 als Funktion des
Azimutalwinkels θ.
Verifizieren Sie durch Nachrechnen die Orthogonalität von Y 1
4
1
(θ, φ) und Y2 (θ, φ).
(3P)