Algebraische Strukturen (PDF) - GWDG

Satz: Sei M ≠ ∅, T M := { f | f : M → M Abbildung }.
(a) (T M , ° , id) mit ° als Komposition (Nacheinanderausführung)
von Abbildungen ist ein Monoid,
das Transformationsmonoid von M. (T M , ° ) heißt
auch symmetrische Halbgruppe.
(b) Für |M| = n < ∞ gilt | T M | = n n , und für n ≥ 2 ist
(T M , ° ) nichtkommutativ.
(c) Genau die bijektiven Abbildungen sind die in
(T M , ° , id) invertierbaren Elemente. Sie bilden eine
Untergruppe (S M , ° , id, (⋅) –1 ), die symmetrische
Gruppe von M. (Für |M| = n auch: S n ). Die
Elemente sind sämtliche Permutationen von M. Für
|M| = n < ∞ gilt | S M | = n! .
Satz: Der Schnitt I
(
j
) j J
j∈J
B j
eines beliebigen Systems
B ∈ von Unteralgebren von (A, F) ist stets
wieder eine Unteralgebra von (A, F).
Def.: Sei (A, F) Algebra, X ⊆ A. Dann ist ( X , F)
mit X =
I
B Unteralgeb ra von A B die kleinste Unteralgebra
X ⊆B
von (A, F), die X enthält. Sie heißt die von X
erzeugte Unteralgebra.
X heißt Erzeugendensystem einer Algebra (C, F),
falls X = C.
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