V 4 Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 20

Sommersemester 2013
Didaktik der Grundschulmathematik Di 12-14 Uhr Audimax
V 1 23.04. Arithmetik in der Grundschule – Ziele und
Anfänge
V 2 30.04. Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind
V 07.05. entfällt
V 3 14.05. Erarbeitung des Zahlenraums bis 20
V 4 28.05. Rechnen im Zahlenraum bis 20
V 5 04.06. Halbschriftliches Rechnen
V 6 11.06. Multiplizieren und Dividieren
V 7 18.06. Schriftliche Verfahren des Rechnens
V 8 25.06.
V9 02.07.
V10 09.07.
V11 16.07.
Zusammenfassung
Muster und Strukturen
Größen und Messen
Daten, Zufall, Wahrscheinlichkeit

V 4 Rechnen im Zahlenraum bis 20
1 Fachliche Aspekte
2 Erarbeiten der Operationen in Klasse 1
3 Rechengesetze
4 Rechenstrategien
5 Automatisieren des Kleinen Eins-Plus-Eins
2

1 Fachliche Aspekte
Hintergrund für die Operationen
Addition und Subtraktion
Grundmodelle dieser Operationen
Ein Stückchen Geschichte
Zeichen und Begriffe
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Wir haben gelernt: Alle bisherige Versuche einer Definition des Begriffs der
natürlichen Zahl lassen sich in zwei große Gruppen einteilen:
kardinale Zahlentheorie
ordinale Zahlentheorie
(1) Zahlen werden als
Klassen von Mengen
aufgefasst.
• Man betrachtet vor
allem die Mächtigkeit
von Mengen und
betont den Aspekt der
Anzahl.
(2) Zahlen werden als
Relationen aufgefasst.
• Man betrachtet vor allem
die
Ordnungsbeziehungen
zwischen Zahlen und
dementsprechend den
Aspekt der Ordnungszahl.
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Auf dem Hintergrund der beiden Zahlentheorien lassen
sich auch die Modelle zur Addition bzw. Subtraktion
beschreiben.
• Kardinalzahltheorie:
Das Addieren spiegelt das
Vereinigen zweier Mengen
wider:
– Eine Menge A vereinigt mit
einer (zu A elementfremden)
Menge B ergibt eine Menge
S.
– A hat a Elemente, B hat b
Elemente und S hat
s = a+b Elemente.
• Ordinalzahltheorie: Die
Addition kann auch
aufgefasst werden als
abgekürztes
Vorwärtszählen:
• 4+3 als 4+1 5+1 6+1 7
• Zwei Mengen A und B sind
elementfremd (disjunkt), wenn sie kein
gemeinsames Element besitzen.
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Vereinigungsmenge
6

Addition von Kardinalzahlen
Mengenoperation: Vereinigungsmenge
7

Warum disjunkt?
• A = a; b; c
• B = d; e
• A B = a; b; c; d; e
Die Vereinigungsmenge hat 5 Elemente.
• A = a; b; c
• B = a; d A B = a; b; c; d
Die Vereinigungsmenge hat 4 Elemente.
• A = a; b; c
• B = a; c A B = a; b; c
Die Vereinigungsmenge hat 3 Elemente.

Subtraktion von Kardinalzahlen
Mengenoperation: Differenzmenge
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Eine Beziehung, die auch geklärt werden muss:
Subtraktion als Umkehroperation der Addition
• Die Frage, welche Zahl b man zu einer Zahl a
addieren muss, um eine vorgegebene Zahl c
zu erhalten, führt zur Umkehrung der
Addition, zur Subtraktion.
• Welche natürliche Zahl muss man zu 5
addieren, um 12 zu erhalten? Man kann
rechnen 12-5=7, also ist 5+7=12.
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Hintergrund für die Operationen Addition und
Subtraktion
– Grundmodelle der Operationen
– Ein Stückchen Geschichte
– Zeichen und Begriffe
11

s. auch Padberg (2005), S. 84 f.
Grundmodelle - Addieren
semantisch:
dazutun (dynamisch); zusammenfassen
(statisch)
Sachverhalte: dazulegen, dazukommen,
zusammenlegen, dazugewinnen, anhängen,
erhöhen, sparen, wachsen, hinzukaufen,...
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Grundmodelle - Subtrahieren
semantisch:
Wegnehmen (dynamisch);
Sachverhalte: wegfahren,
herunterfallen,
herausfallen, aufessen, verlieren,
ausgeben,
abhängen, verwelken,...
Unterschied bestimmen
(statisch)
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Hintergrund für die Operationen Addition
und Subtraktion
– Grundmodelle dieser Operationen
– Ein Stückchen Geschichte
– Zeichen und Begriffe
14

Quelle: Radatz/Schipper.
Handbuch (alt)
„Anschauer und Zähler“ (Ende des 19. Jahrhunderts)
Die „Anschauer“
• Betonung des kardinalen
Aspektes
(Kardinalzahltheorie)
• Betonung der statischen
Aspekte von Addition und
Subtraktion: Hier sind x,
dort y Objekte. Wie viele
sind es zusammen? Wie
groß ist der Unterschied?
Die „Zähler“
• Betonung des ordinalen
Zahlaspektes (Peano-
Axiome)
• Betonung der
dynamischen Aspekte von
Addition und Subtraktion:
Du hast x Objekte und
bekommst y dazu/gibst y
ab. Wie viele hast du?
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Hintergrund für die Operationen Addition und
Subtraktion
– Grundmodelle dieser Operationen
– Ein Stückchen Geschichte
– Zeichen und Begriffe
16

Term
Zahlen, die
man addiert,
sind
Summanden.
Du errechnest
eine Summe.
Gleichung
17

Term
Du errechnest eine
Differenz.
Gleichung
18

Minuend; Subtrahend
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Welche Terme passen?
Quelle: Atlas Mathematik I
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Verbinde die Punkte. Schreibe einen Term zur Karte.
Quelle: P. Geering/ Kunath,
Atlas Mathematik I
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2 Erarbeiten der Operationen in Klasse 1
Weg 1: erst Addition, etwas später die Subtraktion
- Zerlegen von Mengen; Terme mit dem Pluszeichen
- Einführen der Addition; Üben
- Einführen der Subtraktion; Üben
- Zusammenhang zwischen beiden Operationen
- Zahlenbuch; Welt der Zahl; Primo; Mathematikus;...
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Weg 2: gemeinsames Erarbeiten von Addition und
Subtraktion
Matheprofis; Leonardo
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Aus „Matheprofis“ Oldenbourg
Die Abbildungen in den Lehrbüchern zeigen häufig nur den
dynamischen Aspekt. Welche Veranschaulichung müsste
jeweils noch ergänzt werden?
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Erarbeitungsvorschläge
Erarbeiten unter Einbeziehung der
Vorkenntnisse
Addieren und Subtrahieren
gemeinsam
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Zugang über eine offene
Aufgabenstellung
Welche Rechenaufgaben kennst du schon?
• Kinder notieren „ihre“ Rechenaufgaben
• Zusammenstellen der Aufgaben (Veröffentlichen)
• Dann können an diesen Aufgaben Rechenstrategien
erarbeitet und bewusst gemacht werden (Wie hast
du gerechnet, wie könnte man noch rechnen?).
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Zugang über Sachsituationen
Unter dem Pflaumenbaum findet Sarah 2 Pflaumen und
dann noch 6 Pflaumen.
Wie viele Pflaumen hat Sarah gefunden?
Paul hat schon 10 Pflaumen. 3 davon haben einen
Wurm, die mag er nicht.
Wie viele verspeist Paul wahrscheinlich?
Die Mutti stellt den Kindern ein Schüsselchen mit 12
Pflaumen hin. Sarah und Paul essen gleich 5 auf.
Wie viele sind noch in der Schüssel?
Wie kann man das aufschreiben ?
2+6=8 ...; 10-3=7 ...; 12-5=7 ...
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3 Rechengesetze
• Kommutativität der Addition (Summanden kann man
vertauschen - Vertauschungsgesetz):
– Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt:
• a + b = b + a
• 3+8 = 8+3
• Assoziativität der Addition (Summanden kann man beliebig
zusammenfassen - Verbindungsgesetz):
– Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:
• (a+b) + c = a + (b+c)
• Dieses Gesetzt wird z. B. beim Rechnen in Schritten
angewendet (hier: Strategie Zehnerübergang)
• z.B. 7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 10 + 2 = 12
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4 Rechenstrategien
Quellen:
- Padberg (2011)
- Radatz/Schipper; Wittmann/Müller
- Strategien der Kinder
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Vorerfahrungen im Rechnen
Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen
Mengenvorwissen, Zählfähigkeiten und frühen
Rechenkompetenzen.
• Erste Rechenstrategien bauen auf der Kenntnis von
Zahlstrukturen und Zählstrategien auf.
• Als Arbeitsmittel werden Hände und Finger benutzt.
• Vorwiegend additive Konzepte sind zu beobachten.
• Auch das Knüpfen von Analogien ist frühzeitig zu sehen.
• Einzelne Rechenaufgaben wurden schon eingeprägt.
• Auch Rechenregeln können vereinzelt schon angewandt
werden.
• Das formale Wissen fehlt zum größten Teil (Wie schreibt
man das auf?).
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Die Entwicklung des Rechnens (Quelle:
Dietmar Grube 2005)
• (1) Eine früh erworbene Strategie zur Lösung
einfacher Additionsaufgaben (5+3) ist das
Repräsentieren der Zahlen als Mengen
physikalischer Objekte (Finger oder
Gegenstände). Das Aufsagen der Zahlenreihe
wird mit dem Zeigen der Einzelgegenstände
synchronisiert, um zum Ergebnis zu gelangen.
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• (2) In der Regel etwas später werden
verbale Zählstrategien angewandt.
• (3) Ein dritter wichtiger Weg zur Lösung
einfacher Additionsaufgaben besteht im
Wissensabruf. Die Lösung zu einer Aufgabe
ist bereits bekannt (in der Wissensbasis
repräsentiert).
• (4) Zerlegungsstrategien bilden eine
weitere Kategorie.
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Wie könnten die Kinder rechnen?
• 8+6
• 6+7
• 12+4
• 12-8
Aufgaben im ersten Zehner: 5+3, 6-4, 9-8, 1+7, …
Aufgaben zur Zehnerüberschreitung: 7+8, 13-9, 17-9
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Zählstrategien
• (1) Vollständiges Auszählen
• (2) Weiterzählen vom 1. Summanden
aus
• (3) Weiterzählen vom größeren
Summanden aus
• (4) Weiterzählen vom größeren
Summanden aus in größeren
Schritten
vgl. auch Padberg
(2011), S. 82/83
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Strategien für den Zehnerübergang:
• „Zehnerergänzung“ (10 als Zwischenergebnis)
– 8+5=8+2+3
– 15-7=15-5-2
• Zehnerübergang mit Hilfe des Verdoppelns bzw.
Halbierens
– 8+8=16; 8+9=17 (16+1)
– 16-8=8; 16-9= 7
• ältere Empfehlung: gleitendes Überschreiten
(Addieren/Subtrahieren von 2 bzw. 3)
– 7+2, 8+2, 9+2
– 9-2, 10-2, 11-2
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• Die wichtigste Strategie im Anfangsunterricht
ist die Zehnergänzung.
• Auf dieser Strategie baut das weitere Rechnen
auf.
• Rechenschwache Kinder erwerben diese
Strategie nur mit großer Mühe.
• Eine gute Veranschaulichung ist wichtig.
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• „… dass zunächst durch äußere Handlungen, dann
in der Vorstellung Anordnungen quasi simultan
überblickt und symbolische Operationen
anschaulich abgestützt werden können, solange
dies notwendig ist.“ Schütte 2008, S. 114
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Rechnen bis 20 – Rechenstrategien im Überblick
• Zählstrategien
• Zehnerergänzung
• Kraft der Fünf
• Verdoppeln
• Nutzen von (leichteren) Nachbaraufgaben
• Nutzen von Tauschaufgaben
• Nutzen von Analogien
• Ergänzen vom Subtrahenden zum Minuenden
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Welche Rechengesetze werden bei der
Anwendung der Strategien genutzt?
• 8+6 8+2+4; 8+3+3; 6+4+4; 7+7
8+2+2+2;
8+1+1+1+1+1+1; 8+5+1;
5+5+3+1
• 6+7 6+4+3; 7+3+3; 6+6+1; 7+7-1;
5+7+1 ...
• 12+4 2+4=6 dann ist 12+4=16;
10+2+4, 10+6=16
• 12-8 12-2-6; 12-6-2; 12-4-4; 10-8+2;
8+?=12;
12-1-1-1-1-1-1-1-1;
8+4=12 dann ist 12-8=4
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Unterstützende Arbeitsmittel
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Addieren und Subtrahieren am Zwanzigerfeld
(Quelle: Handbuch Wittmann/Müller; Padberg)
-Aufgaben legen und
besprechen
-„Kraft der Fünf“ bewusst
machen
-Aufgaben zur
Zehnerergänzung
-Verdopplungsaufgaben
und Ableitungen
-Nachbaraufgaben
7+5;12-5
-Analogieaufgaben
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Zahlenbuch
Rechnen am Zwanzigerfeld
5+5+4+1
6+6+3
9+1+5
10+5
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Nachbaraufgaben nutzen
Zahlenbuch
leichte Aufgaben
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Zehnerübergang am Rechenrahmen
1) Darstellen des ersten Summanden
2) Auffüllen des Zehners
6+8
„Zunächst 6 oben,
dann die vier von acht auf der
oberen Stange,
und noch die fehlenden vier auf
der unteren,
6+8=14“
3) Den Rest auf der folgenden Stange
darstellen.
Quelle: Schipper 2009, S. 113
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Praxisidee von Beate Thiemann
Die Lupe auf der Zwanzigertafel
waagrechte Lupe
senkrechte Lupe
• Aufgabenbeispiele
– In meiner Lupe sehe ich die
Zahl 18. Welche Zahl kann
noch zu sehen sein?
– Zähle die beiden Zahlen in der
Lupe zusammen.
– Wenn ich die beiden Zahlen in
meiner Lupe addiere, erhalte
ich 9. Welche beiden Zahlen
stehen in meiner Lupe.
– Schreibe alle Zahlen auf, die
du mit der Zweierlupe zeigen
kannst. Wie viele Zahlenpaare
gibt es?
– Addiere die Zahlen eines
Paares. Wie verändert sich
das Ergebnis, wenn du die
Lupe um ein Feld verschiebst.
Grundschulunterricht Mathematik, Heft 3/12
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Arbeitsmittel „Zwanziger-Abakus“
Grundschulunterricht Mathematik, Heft 3/12
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5 Automatisieren des Kleinen Eins-Plus-Eins
Zahlentripel nutzen
Lerne die Grundaufgaben mit der
Summe (dem Minuenden) 8.
Arbeiten mit Zahlentripeln:
z. B.: 6, 2, 8
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Übersichten als Lernhilfe
Einspluseins-Tafel
Zahlenbuch
Die Plus-Rechentafel
Matheprofis
48

Zahlenbuch, Klett
49

Die Plus-
Rechentafel
Matheprofis/
Oldenbourg
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Das Einspluseins enthält mehr als 100
Grundaufgaben, die automatisiert werden
sollen. Deshalb: Vielfältige Beziehungen
bewusst machen, Rechengesetze nutzen –
damit sich die Zahl der tatsächlich zu
automatisierenden Rechensätze reduziert.
abwechslungsreiches Üben organisieren
(s. Einführungsvorlesung Aufgabenformate)
und
konkrete Lernaufgaben stellen
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