Nichtlineare Rauschreduktion

Roland Krüppel, 2004
Nichtlineare Rauschreduktion
Seminar Analyse biomedizinischer Signale
20. Dezember 2004
Roland Krüppel

Roland Krüppel, 2004
Inhalt
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Rauschen
Lineare Rauschreduktion
Nichtlineare Rauschreduktion
– Lokale Linearisierung
– Lokale Projektion
Anwendungen

Roland Krüppel, 2004
Rauschen
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„ungewollte Störung“ im beobachteten
Frequenzbereich
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Klassifikation durch Powerspektrum
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Physikalische Erklärung oft nicht möglich

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Rauschen
Ansatz für allg. Rauschreduktion
x n =
sx n
n

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Lineare Rauschreduktion
Ansatz
Rauschen und Zeitreihe im Powerspektrum
unterscheidbar
⇒ Tiefpaß / Hochpaß
⇒ Bandpaß / Bandstop

Roland Krüppel, 2004
Lineare Rauschreduktion
Beispiele

Roland Krüppel, 2004
Lineare Rauschreduktion
Probleme
Determin. Chaos in gemessener Zeitreihe a priori
spektral von Rauschen nicht zu trennen
⇒ Filter bringt unerwünschte Korrelationen
⇒ Dimensionserhöhung
⇒ Attraktorgeometrie wird (unvorhersagbar)
verändert

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Nichtlineare Rauschreduktion
Idee
Nutze aus, das System Attraktor definiert
⇒ Rauschen ist kleine
lokale Störung des Attraktors
Bild in Gnuplot

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Lokale Linearisierung
Idee
'Tiefpaß im Phasenraum'
Glätten des verrauschten Attraktors durch
lineare Interpolation

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Lokale Linearisierung
Prinzip
Delay­Embedding x n
={x n
, x n−1
,, x n−d−1
}
Mittel­Koordinate gemittelt über Nachbarschaft
x n−d /2
'
= 1
∣U I
∣ ∑
n'∈U I
x n'−d /2

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Lokale Linearisierung
Anwendung

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Lokale Projektion
Idee
Projektion hochdimensionaler Komponenten
auf niedrigdimensionalen Attraktor

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Lokale Projektion
Prinzip
unverrauschte Zeitreihe {x n
}, n=1,2,, N
Delay­Embedding x n
={x n
, x n−1
,, x n−d−1
}
Der Systemabbildung äquivalent: x n1
=F x n
⇒ H x n1
,x n
=H X n
=0
Ist nun d größer als Attraktordimension d a
:
⇒ Es gibt weitere Abhängigkeiten
⇒ H q
X n
=0 q=1,, d1−d a
=:Q
⇒Q Dimensionen werden vom Attraktor nicht „bewohnt“

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Lokale Projektion
Prinzip
Nähere die H q
lokal linear an
H q I X n
=a q , I ⋅X n
b q , I =0
X n
∈U I
Q linear unabhängige orthogonale Unterräume (Nullraum):
a q , I ⋅a q' , I =0
q≠q '
Wie findet man diese Unterräume bei verrauschter Zeitreihe ?
⇒ Ausdehnung des verrauschten Attraktors minimal im Nullraum
⇒ Projektion der lokalen Vektoren in den Nullraum
Q
∑
q=1
a q , I ⋅a q , I ⋅ X n
− I I = 1
∣U I
∣ ∑
n' ∈U I
X n'

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Lokale Projektion
Prinzip
Trick: Kleinste Quadrate & Lagrange­Multiplikator
⇒ Minimiere
Q
∑ [∑
n'∈U I
q=1
a q , I ⋅a q , I ⋅ X n
− I ] 2 Q
−∑
q=1
q a q ⋅a q −1
Äquivalent: Eigenwertproblem
C a q , I − q a q , I =0
C ij
= ∑
n'∈U I
X n'
− I i
X n'
− I j
⇒ Finde Eigenvektoren a q , I zu Q kleinsten Eigenwerten q von C
Kleinste Hauptachsen lokaler Hyperellipse
Eliminierung des Nullraumanteiles
Q
X ' n
= X n
− X n
= X −∑ n
q=1
a q ⋅a q ⋅ X n
− I

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Lokale Projektion
Tricks
Trajektorien divergieren
⇒ Nur mittlere Komponenten der Vektoren korrigieren
⇒ Gewichtungsmatrix R bzw. Metrik
Gekrümmte Trajektorien verschieben Schwerpunkt
⇒ Schwerpunktskorrektur
Größe der Nachbarschaft wichtig
⇒ Ausprobieren
Nachbarsuche aufwendig
⇒ Box­assisted searching

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Lokale Projektion
Algorithmus
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Input
– Zeitreihe (natürlich...)
– Einbettungsdimension d
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– Attraktordimension d a
– Nachbarschaftsgröße
Für jeden Delay­Vektor
– Finde Vektoren in Nachbarschaft
– evtl. Schwerpunktskorrektur
– Berechne Kovarianzmatrix
– Berechne Eigenvektoren zu kleinsten Eigenwerten
– Korrigiere Delay­Vektor

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Lokale Projektion
Anwendung

Roland Krüppel, 2004
Lokale Projektion
Anwendung

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Aber Vorsicht!

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Referenzen
[1] T. Schreiber, H. Kantz: Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, reprinted 2000
[2] T. Schreiber, Extremely simple nonlinear noise­reduction method, Physical Review E 47 (4), p2401, 1993
[3] K. Urbanowicz, J. A. Holyst, T. Stemler, H. Benner, Noise reduction in chaotic time series by a local projection with nonlinear
constraints, arXiv:cond­mat/0308554, 2004
[4] H. Kantz, T. Schreiber, Nonlinear projective filtering I: Background in chaos theory, arXiv:chao­dyn/9805024, 1998
[5] H. Kantz, T. Schreiber, Nonlinear projective filtering II: Application to real time series, arXiv:chao­dyn/9805025, 1998
[6] M. Cencini, M. Falcioni, H. Kantz, E. Olbrich, A. Vulpiani, Chaos or Noise – Difficulties of a distinction, arXiv:nlin.CD/0002018, 2000
[7] R. Badii et al., Dimension increase in filtered chaotic signals, Physical Review Letters 60 (11), p979, 1998
[8] E. J. Kostelich, T. Schreiber, Noise reduction in chaotic time series: a survey of common methods, Physical Review E 48 (3),
p1752, 1993
[9] R. Cawley, G. Hsu, Local­geometric­projection method for noise reduction in chaotic maps and flows, Physical Review A 46 (6),
p3057, 1992
[10] H. Kantz et al., Nonlinear noise reduction: A case study on experimental data, Physical Review E 48 (2), p1529, 1993
[11] M. B. Weissman, 1/f noise and other slow, nonexponential kinetics in condensed matter, Reviews of Modern Physics 60 (2),
p537, 1988
[12] R. Hegger, H. Kantz, and T. Schreiber, Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package, Chaos
9, p413, 1999
[13] Nonlinear Dynamics & Chaos Workshop http://www.maths.ox.ac.uk/~mcsharry/lectures/ndc/ndcworkshop.shtml