Theoretische Physik III – Quantenmechanik I

Theoretische Physik III – Quantenmechanik I
Übungsblatt 09 (20 + π Punkte) 1
Ausgabe 26.06.06 – Abgabe 03.07.06 – Besprechung n.V.
⊲ Aufgabe 1 (Addition von Bahndrehimpuls und Spin- 1 2 )
Wird beim Wasserstoffproblem auch der Spin der Elektrons berücksichtigt ist mit
der Gesamtdrehimpuls des Elektrons verabredet.
(4 Punkte)
ˆ⃗j := ˆ⃗ l + ˆ⃗s (1)
Gemeinsame Eigenzustände zu ˆ⃗j 2 , ĵ z , ˆ⃗ l 2 und ˆ⃗s 2 werden notiert |jm j ls〉, wenn nötig Kommata
zwischen den Einträgen, worin Quantenzahlen j, m j , l und s definitiosgemäß
ˆ⃗j 2 |jm j ls〉 = 2 j(j + 1)|jm j ls〉 , ĵ z |jm j ls〉 = m j |jm j ls〉 ,
ˆ⃗l 2 |jm j ls〉 = 2 l(l + 1)|jm j ls〉 , ˆ⃗s 2 |jm j ls〉 = 2 s(s + 1)|jm j ls〉 ,
(2)
Der Wert von s liegt natürlich fest, s = 1 , der Wertebereich von l ist variabel l = 0, 1, 2, . . ..
2
Zu jedem l (mit Ausnahme l = 0) gibt es zwei mögliche Werte j = l ± 1 . Für l = 0 gibt
2
es nur ein j = 1. In jedem Fall m 2 j = −j, −j + 1, . . . , j.
Das Ziel ist es, die |jm j ls〉 durch eine Linearkombination der Produktzustände |lm l ; sµ〉 :=
|lm l 〉 ⊗ |sµ〉 auszudrücken, wobei Quantenzahlen m l und µ definitionsgemäß ˆl z |lm l sµ〉 =
m l |lm l sµ〉, m l = −l, −l + 1, . . . , l, und ŝ z |lm l sµ〉 = µ 2 |lm lsµ〉 mit µ = ±1. In jedem
Fall m j = −j, −j + 1, . . . , j.
Zeigen Sie: Für l = 1, 2, . . .
|l ± 1 2 , m j; l, 1 2 〉 = √
√
l + 1 + m 2 j
|l, m j ∓ 1 2
2l + 1
〉 ⊗ | 1±〉 ± 2
l + 1 − m 2 j
|l, m j ± 1 2
2l + 1
〉 ⊗ | 1 ∓〉 (3)
2
und für l = 0
| 1, ± 1; 0 1〉 = |0, 0〉 ⊗ | 1 ±〉 . (4)
2 2 2 2
Spektroskopisch notiert man die m j -Multipletts in der Form nl j , etwa 2p 1
2
oder 2p 3 . In
2
der Grobstruktur (“Kepler-Atom”) sind diese beiden Niveaus anergetisch entartet. Wird
die Wechselwirkung des Spins mit dem Bahndrehimpuls in der Feinstruktur erfasst, wird
diese Entartung aufgehoben.
⊲ Aufgabe 2 (Relativistische Korrektur zur kinetischen Energie)
Das Spektrum das an atomarem Wasserstoff beobachtet wird, stimmt nur in “groben
Zügen” mit dem überein was vor einigen Wochen unter der Überschrift “Coulombproblem”
in der Vorlesung bestimmt wurde.
1 Aufgaben mit transzendenter Punktezahl sind fakultative Nüsse. Nüsse sind bekanntlich nahrhaft . . .
c○Martin Wilkens 1 26. Juni 2006

Übungen Quantenmechanik SS 2006 – Blatt 09
Zur Erinnerung: der Coulomb-Hamiltonoperator zum Z-fach geladenen Kern,
Ĥ 0 = ˆ⃗p 2
2m − Ze2 0 1
4πɛ } {{ 0}
|ˆ⃗q|
:=γ
(5)
hat Eigenwerte
Ĥ 0 |njm j l 1〉 = 2 E(0) n |njm j l 1 〉, , E(0)
2 n = − Z2 E Ry
n 2
= −Z 2 α 2 mc2
2n 2 , (6)
wo a 0 = 2 4πɛ 0
e
Bohrscher Radius, und E
m e 2 Ry =
2 0
die Rydbergenergie, E
0
4πɛ 0 (2a 0 ) Ry ≈ 13, 6eV.
Der Spin ist hier gleich mitberücksichtigt worden. Da l nach wie vor gute Quantenzahl,
[Ĥ0, ˆ⃗ l] = 0, sind die Eigenzustände |njmj l 1 〉 mit der üblichen Bedeutung der Quantenzahlen
(die letzte 1 steht für s = 1).
2
2
2
Werden relativistische Effekte berücksichtigt, treten zum Hamiltonoperator (5) weitere Terme,
sog Korrekturterme,
Ĥ = Ĥ0 + ĤFS , Ĥ FS = ĤRK + ĤSB + ĤD (7)
worin ĤRK eine relativistische Korrektur zur kinetischen Energie, Ĥ SB die Wechselwirkung
der magnetischen Momente des Spins und der Bahnbewegung, und ĤD der sog Darwin-
Term. Spin-Bahn Wechselwirkung und Darwin-Term überlassen wir der Vorlesung; hier
kümmern wir uns um die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie.
(
⃗p 2
2mc 2
Erinnert man sich E = √ 2
m 2 c 4 + ⃗p 2 c 2 ≈ mc 2 + ⃗p2 − 1
2m 2m)
+ . . . erkennt man, dass
im Hamiltonoperator ein zusätzlicher Term erscheint, in führender Ordnung
Ĥ RK = − 1 ( ) ⃗p
2 2
. (8)
2mc 2 2m
also von relativer Ordnung α 2 ≈ 10 −5 verglichen mit der “Grobstruktur”.
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert 〈ĤRK〉 in Eigenzuständen von Ĥ0 gegeben ist,
(
〈ĤRK〉 = −α 2 |E n
(0) | Z2 n
n 2 l + 1 − 3 )
, (9)
4
2
also von relativer Ordnung α 2 ≈ 10 −5 verglichen mit der “Grobstruktur”.
Hinweis: Es ist klug, durch Umstellung von Gl. (5) den Korrekturterm zunächst umzuschreiben,
( )
Ĥ RK = − 1 Ĥ
2mc 2 0 + γ
2
(10)
|ˆ⃗q|
= − 1
2mc 2 (
Ĥ0 2 1
+ γĤ0
|ˆ⃗q| + γ 1
|ˆ⃗q|
Ĥ 0 + γ2
|ˆ⃗q| 2 )
, (11)
c○Martin Wilkens 2 26. Juni 2006

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und sich irgendwann auf Identitäten zu besinnen, für die Sie auf einem der letzten Übungsblätter
so heftig geschwitzt haben (ohne dabei zu ahnen, wie hilfreich Ihr Bemühen einmal
sein wird),
⊲ Aufgabe 3 (Anormaler Zeemaneffekt)
〈 1 r 〉 nl = Z
a 0 n , (12)
2
〈 1 r 〉 Z 2
2 nl =
a 2 0n 3 (l + 1) (13)
2
(3 Punkte)
Beim Zeemaneffekt wird die Richtungsentartung durch ein äußeres Magnetfeld aufgehoben.
Mit Magnetfeld in z-Richtung lautet der Hamiltonoperator
)
Ĥ = Ĥ0 + ĤFS + µ B B
(ˆlz + gŝ z / . (14)
} {{ }
worin Ĥ0 den reinen Coulombanteil, und ĤFS die Feinstrukturkorrektur (die hier nicht
weiter interessiert).
Ist das äußere Feld schwach genug, kann der Zeeman-Term als Störung aufgefasst werden.
Die ungestörte Theorie ist dann definiert durch
[Ĥ0 + ĤFS]
|njm j l 1 2 〉 = E njl|njm j l 1 2 〉 (15)
Zeigen Sie: Die Korrektur aufgrund des Zeeman-Terms, in erster Ordnung Störungstheorie
δE n(l±
1
:=ĤZ
2 )l = 〈ĤZ〉 (16)
(
= µ B Bm j 1 ± g − 1 )
. (17)
2l + 1
Hinweis: Zum Glück haben Sie Aufgabe 1 schon bearbeitet. Sie bestätigen also leicht
〈ĵ z 〉 = m j , 〈ŝ z 〉 = ± hm j
2l + 1 . (18)
Ooops – jetz hab’ ich Ihnen die Lösung dieser Aufgabe schon abgenommen . . .
Bemerkungen :
1. Die Aufspaltung hängt von l ab – daher die Bezeichnung anormal. Während beim normalen
Zeemaneffekt die ungestörten Linien in drei Linien aufspalten, beobachtet man beim
anormalen Zeemaneffekt im Allgemeinen mehr als drei Linien.
2. Im allgemeinen Fall eines Atoms mit mehreren Leuchtelektronen mit Gesamtspin S,
Gesamtbahndrehimpuls L und Gesamtdrehimpuls J schreibt man gerne
δE = µ B Bm j · g L (19)
wo g L der sog Landéfaktor. Für magneto-mechanische Anomlie des Elektrons g = 2 findet
man
J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)
g L = 1 + (20)
2J(J + 1)
c○Martin Wilkens 3 26. Juni 2006

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Die Formel für Wasserstoff ergibt sich hier für S = 1 , L = l und J = j.
2
3. Ist das äußere Feld stärker als das atomare Magentfeld, sollte Ĥ0 + ĤZ als “ungestörter”
Hamiltonoperator gewählt werden, und ĤFS als Störung.
⊲ Aufgabe 4 (Anharmonischer Oszillator)
Gegeben der anharmonische Oszillator,
(6 Punkte)
worin ˜g “kleiner” Parameter.
Ĥ = ˆp2
2m + 1 2 mω2ˆq 2 + 1 4! ˜gˆq4 (21)
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von H ⃗ in führender Ordnung
Störungstheorie.
(3 Punkte)
(b) Schätzen Sie die Korrekturen zur nächsten Ordnung jenseits der führenden Ordnung
ab.
(2 Punkte)
(c) Für welche Parameterwerte ˜(g) darf die Anharmonizität ∝ ˆq 4 als “kleine Störung”
behandelt werden?
(1 Punkt)
Hinweis: Es empfiehlt sich, erst einmal alles auf Harmonische Oszillator Leiteroperatoren
umzuschreiben.
⊲ Aufgabe 5 Ritz’sches Theorem] (3 Punkte)
Beweisen Sie das Ritz’sche Theorem wonach das Funktional E[ψ] = 〈ψ|Ĥ|ψ〉/〈ψ|ψ〉 genau
dann stationär, δE[ψ] = 0, wenn ψ = ψ 0 Eigenvektor von Ĥ, etwa Ĥψ 0 = E 0 ψ 0 . Schließen
Sie aus diesem Theorem E[ψ] ≥ E 0 , wobei E 0 die Grundzustandsenergie.
⊲ Aufgabe 6 (Daimler-Chrysler)
(π scores)
Alice prepares a qubit in the up-state |+ i 〉 with respect to one out of three possible quantization
axis ⃗a i , i = 1, 2, 3, where the ⃗a i form a co-planar “Mercedes-Stern”,
3∑
⃗a i = 0 . (22)
i=1
Alice sends her qubit to Bob. Bob knows about the possible directions ⃗a i , but he does not
know which particular direction Alice has chosen. What is his initial level of ignorance?
How much could he expect to learn about Alice’s choice, and what is his optimal strategy?
c○Martin Wilkens 4 26. Juni 2006