¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik ...

Universität Heidelberg / Institut für Informatik 13. Juni 2013
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Thorsten Kräling
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die Theoretische Informatik
Blatt 7
Aufgabe 1 (6 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass die Klasse der primitiv rekursiven Funktionen gegen Wertverlaufsrekursion
abgeschlossen ist.
Hierbei entsteht f (n+1) = WR(g, h) aus g (n) und h (n+2) durch Wertverlaufsrekursion,
falls
f(⃗x, 0) = g(⃗x)
f(⃗x, y + 1) = h(⃗x, y, τ ∗ (f(⃗x, 0), . . . , f(⃗x, y))).
Hinweis: Zeigen Sie hierzu zunächst mit Hilfe einer primitiven Rekursion, dass
für primitiv rekursive Funktionen g und h und für f = WR(g, h) die Funktion
primitiv rekursiv ist.
ˆf(⃗x, y) = τ ∗ (f(⃗x, 0), . . . , f(⃗x, y))
(b) Zeigen Sie mit Hilfe einer Wertverlaufsrekursion, dass die durch fib(0) = fib(1) =
1 und fib(n + 2) = fib(n) + fib(n + 1) definierte Fibonacci-Funktion primitiv
rekursiv ist. Geben Sie hierzu Funktionen g und h mit fib = WR(g, h) explizit
an.
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Es sei τ ∗ : N ∗ → N die in der Vorlesung eingeführte Kodierung endlicher Folgen über
N. Zeigen Sie, dass die durch
{
vadd(τ ∗ (x 1 , . . . x n ), τ ∗ τ ∗ (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) falls n = m
(y 1 , . . . , y m )) :=
τ ∗ (λ)
sonst
definierte Funktion vadd : N 2 → N, die die komponentenweise Addition beschreibt,
primitiv rekursiv ist.
Hinweis: Sie können hierbei die in der Vorlesung gezeigten Eigenschaften von τ ∗ und
die bekannten Abschlusseigenschaften der Klasse der primitiv rekursiven Funktionen
verwenden, insbesondere die Existenz einer primitiv rekursiven Funktion σ(n) mit
folgender Eigenschaft: Für jede Folge ⃗x = (x 1 , . . . , x m ) mit x 1 , . . . , x m , m ≤ n gilt
τ ∗ (⃗x) < σ(n).

Aufgabe 3 (6 Punkte)
Statt wie im Beweis des Äquivalenzssatzes zu zeigen, dass F(REK) ⊆ F(RO) ⊆ F(RM)
⊆ F(TM) gilt, kann man den Beweis F(REK)⊆ F(TM) auch direkt führen. Skizzieren
Sie dazu hier folgende Beweisschritte, indem sie die Arbeitsweise geeigneter Ein- oder
Mehrband-Turingmaschinen zur Berechnung der Funktion f (informell) beschreiben.
(i) Wenn g (n) und h (n+2) TM-berechenbar sind, dann ist auch f (n+1) =PR(g, h)
TM-berechenbar.
(ii) Wenn g (n+1) TM-berechenbar ist, dann ist auch f (n) = µ(g) TM-berechenbar.
Abgabe: Bis Donnerstag, den 20. Juni 2013 in der Vorlesung oder in den
Briefkästen im Foyer im EG der Angewandten Mathematik (INF 294; Leerung 14
Uhr!).