Klausur im WS 2009/2010 Einführung in Operations Research

a3) Gegeben sind folgende Kostenmatrix sowie Angebots- und Nachfragemengen (letztere sind identisch
mit denen von a1) und a2)):
2 3 6 3
C = 4 5 3 7 a = (4, 7, 5) b = (5, 6, 3, 2)
3 2 1 2
Führen Sie ausgehend von der im folgenden Transporttableau gegebenen Basislösung (identisch mit
der Lösung in a2)) eine Iteration der MODI-Methode durch. Die Dualvariablenwerte sind bereits angegeben.
Tragen Sie die neue Lösung in das zweite Tableau ein! Geben Sie auch den Zielfunktionswert
der Lösung an! (4 P.)
1 2 3 4 a i u i
1 0
+∆
1
–∆
3 2 4 0
2
+∆
2
–∆
5 -5 4 7 2
3
–∆
3 -2
+∆
-6 2 5 1
b j 5 6 3 2 F=67
v j 2 3 6 1
1 2 3 4 a i
1 4 0
4
2 5 2
7
3 3 2 5
b j 5 6 3 2 F=49
∆ = min{ 353 , , } = 3
Reduzierte Kosten: 0,5 P.
Kreis: 1 P.
∆ : 1 P.
Basistausch: 1 P.
F-Wert: 0,5 P.
alternative Lösung:
BV x 31 = 0 statt x 13 = 0
a4) Im folgenden Tableau ist eine andere Basislösung gegeben. Ist diese Basislösung
optimal? ja nein
Begründen Sie Ihre Antwort! Bestimmen Sie hierzu durch Setzen von u 3 = 0 Dualvariablenwerte und
reduzierte Kosten für die ermittelte Lösung, und tragen Sie diese in das Tableau ein! (3,5 P.)
1 2 3 4 a i u
u i 1 + v 1 = 2
u 2 + v 2 = 5
1 4 2 6 0 4 -1
u 2 + v 4 = 7
2 -2 5 -1 2 7 3 u 3 + v 1 = 3
3 1 1 3 -2 5 0
u 3 + v 2 = 2
u 3
+ v 3
= 1
b j 5 6 3 2
Dualvariablen: 2 P.
v j 3 2 1 4
Reduzierte Kosten: 0,5 P.
b) Es soll eine mathematische Formulierung für ein "abgewandeltes" Transportproblem entwickelt werden.
In teilweiser Abwandlung zum klassischen TPP, welches Sie in der Vorlesung kennen gelernt
haben, sind folgende Aspekte zu berücksichtigen:
1. Jeder Nachfrager j = 1,..., n soll genau b j Mengeneinheiten (ME) erhalten.
2. Jeder Anbieter i = 1,..., m liefert insgesamt mindestens min i ME.
3. Jeder Anbieter i = 1,..., m liefert insgesamt höchstens a i ME.
b1) Kreuzen Sie in folgender Notationstabelle für jedes Symbol an, ob es ein Parameter (vorgegebener
Wert) oder eine Entscheidungsvariable ist!
(1 P.)
Symbol Bedeutung Parameter Variable
b j
min i
a i
x ij
c ij
Bedarf von Nachfrager j
Mindestangebotsmenge von Anbieter i
Höchstangebotsmenge von Anbieter i
Transportmenge von Anbieter i zu Nachfrager j
Transportkosten (pro ME) von Anbieter i zu
Nachfrager j
b2) Erstellen Sie unter Verwendung obiger Notation eine Formulierung des "abgewandelten" TPP als
lineares Optimierungsmodell! Geben Sie auch die Definitionsbereiche der Variablen an! (4 P.)
m
n
Minimiere F( x ) = ∑ ∑ c ij ⋅ x ij (1 P.; fehlende Summe -1 P.; fehlende Indizes -1 P.; falsche
i=
1 j=
1
Indizes -0,5 P.; fehlender Klammern -0,5 P.)
unter den Nebenbedingungen
∑
m
x ij
i=
1
∑
= b j
∀ j =
n
1 ,…,
n
(0,5 P.)
min i
≤ x ij
≤ a i
∀ i = 1 ,…,
m (2 P.)
j=
1
≥0 ∀ i = 1 ,…, m und j = 1 ,…,
n (0,5 P.)
x ij
Es existieren mehrere Nichtbasisvariablen mit negativen reduzierten Kosten. (1 P.)
falsche Schlußfolgerung → -1 P.
- 7 -
- 8 -