Klausur im WS 2006/07 Einführung in Operations Research

Prof. Dr. W. DomschkeFachgebiet Operations ResearchInstitut für BetriebswirtschaftslehreTechnische Universität DarmstadtKlausur im WS 2006/07Einführung in Operations Researcham Freitag, 16. 2. 2007Raum S2|06 030, S3|11 08, 13.00-15.00 UhrName:Fachbereich:Vorname:Studiengang:Matr.-Nr.:• Bitte tragen Sie alle erforderlichen Angaben ein!• Es sind keine Hilfsmittel außer einem nicht programmierbaren Taschenrechner zugelassen!• Ergebnisse ohne ausreichende Begründung werden nicht gewertet!• Für das vollständige, rechtzeitige Ausfüllen des Deckblattes und Falten der Aufgabenblättervergeben wir einen Bonuspunkt!Aufgabe Bonuspunkt 1 2 3 4 SummeMaximal 1 43 36 20 20 120ErreichtNote:- 1 -

Aufgabe 1: Lineare Optimierung (40 Punkte)a) Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem:Maximiere F( x) = x 1+ x 2unter den Nebenbedingungen2x 1+ x 2≥53x 1+ x 2≤15x 1+ x 2≤ 6x 1+ 4x 2≤16(1)(2)(3)(4)x 1≥ 0 , x 2≥ 0(5)a1) Lösen Sie das Problem zunächst graphisch. Verwenden Sie dazu das vorbereitete Koordinatensystem,welches bereits die Nebenbedingung (2) beinhaltet. Markieren Sie die einzelnen Nebenbedingungenanalog der gegebenen. Kennzeichnen Sie den zulässigen Lösungsraum. Markieren Sie die optimale(n)Lösung(en) und geben Sie eine optimale Basislösung explizit an (zwei Nachkommastellen genau).Lösen Sie dazu das Gleichungssystem, welches sich im Schnittpunkt der betroffenen Nebenbedingungenergibt. Zeichnen Sie auch eine Höhenlinie der Zielfunktion ein.(7 P.)a2) Welcher Sonderfall lässt sich in der optimalen Lösung des Problems erkennen? (1 P.)a3) Wie ändert sich der zulässige Lösungsraum bzw. die optimale Lösung, wenn Sie die Nebenbedingung3x 1+ 2x 2≥ 4 zusätzlich einbeziehen? Welche Eigenschaft besitzt diese Nebenbedingung bezüglich desUrsprungsproblems mit den Nebenbedingungen (1)-(5)?(1,5 P.)a4) Wie ändert sich Ihre Aussage aus a3), wenn sie stattdessen die Nebenbedingung 3x 1+ 2x 2≤ 4 einbeziehen?(1 P.)x 2(2)5211 2 5x 1- 2 -

c) Gegeben ist ein klassisches TPP mit drei Anbietern und zwei Nachfragern. Die Kostenmatrix und dieAngebots- und Nachfragemengen des Problems sind:4 3C = 1 5 a = (8 ; 5 ; 7) b = (11 ; 9)2 7c1) Geben Sie die Zielfunktion dieser TPP-Instanz unter Verwendung von Variablen x ijan. (1 P.)c2) Wandeln Sie die Zielfunktion des gegebenen TPP in eine äquivalente zu maximierende Zielfunktionum.(1 P.)c3) Beschreiben Sie, welche künstlichen Variablen eingeführt werden müssen, um das TPP mit der M-Methode lösen zu können. Geben Sie die um die künstlichen Variablen erweiterte, zu maximierendeZielfunktion an.(2 P.)c4) Tragen Sie für das TPP in die vorbereitete Tabelle ein geeignetes Simplex-Anfangstableau zur Lösungmit der M-Methode ein (letzteres nicht durchführen!). Geben Sie auch die Einträge der F- und M-Zeilean!(5 P.)Hinweis: Es müssen nicht alle Zeilen und Spalten benutzt werden.BVF-ZeileM-ZeileAufgabe 2: Graphentheorie, Dynamische Optimierung (36 Punkte)a) Gegeben ist der nebenstehende Graph mit n = 7Knoten und den an den Pfeilen (i,j) notiertenEntfernungen d ij . Wenden Sie den Dijkstra-Algorithmuszur Berechnung der kürzesten Wegevon Knoten 3 zu den übrigen Knoten an! TragenSie Ihre Berechnungen in die vorbereitete Tabelleein und markieren Sie anschließend denkürzesten Weg von Knoten 3 zu Knoten 6 imGraphen!731 25161183644123(10 P.)- 4 -

d) Heinz Hektisch bleiben 7 Tage Zeit, bis seine Abschlussprüfungen in drei Prüfungsfächern beginnen.Er möchte pro Fach mindestens einen, aber maximal 4 Tage#Arbeitstagelernen. Das Ergebnis der Prüfungen hängt natürlich jeweilsFach 1 Fach 2 Fach 3vom Lernaufwand ab. Die geschätzten Punktzahlen pro Fachund Anzahl Lerntage sind nebenstehender Tabelle zu entnehmen.Investiert er z.B. 1 Arbeitstag für Fach 3, so bekommt12443556er in der Prüfung voraussichtlich 5 Punkte.3 5 5 8Wie soll er sich die Woche einteilen, d.h. wie viele der 7 Tage4 8 7 8soll er sich jeweils mit den Fächern 1, 2, 3 beschäftigen, sodass er in den Prüfungen so viele Punkte wie möglich erreicht? Helfen Sie ihm mit dynamischer Optimierung!Gehen Sie dabei von folgenden Überlegungen aus: Die Stufen entsprechen den Fächern. DieEntscheidungsvariable x k gibt die Zahl der für Fach k einzuplanenden Arbeitstage an. Die Zustände beschreibendie Anzahl bereits verplanter Arbeitstage.d1)Die Zustandsmengen Z k (k = 0,...,3) sind in der Abbildung bereits vorgegeben. Zeichnen Sie für jedemögliche Entscheidung x k einen Pfeil in die Abbildung ein!(2 P.)d2)Wie lautet die Transformationsfunktion t k ( z k– 1 , x k ) und was sagt sie aus? (2 P.)d3)Lösen Sie das Problem mittels dynamischer Optimierung! Verwenden Sie die Vorwärtsrekursion!(Hinweis: Nutzen Sie die vorgegebene Tabelle.)(8 P.)d4)Wie lautet eine für Heinz optimale Politik? Welche Gesamtpunktzahl kann er damit erreichen? (1 P.)d5)Jeder Zustand auf jeder Stufe kann durch eine optimale (Teil-)Politik erreicht werden. Lesen Sie dieseaus ihrer Rechnung ab und markieren Sie alle optimalen (Teil-)Politiken in der Abbildung. (2,5 P.)d6)Geben Sie die von Ihnen verwendete Funktionalgleichung und die Bedeutung der dort auftretenden( ) an!(2,5 P.)F* k–1z k–1Aufgabe 3: XPress / TPP (20 Punkte)a) Erstellen Sie ein lineares Optimierungsmodell für das folgende "abgewandelte" Transportproblem.Falls es erforderlich ist, können ganzzahlige (binäre) Variablen verwendet werden. In Abwandlung zumklassischen TPP, welches Sie in der Vorlesung kennen gelernt haben, berücksichtigen Sie bitte folgendeAspekte:(12 P.)1. Jeder Nachfrager j = 1,..., n soll genau b j Mengeneinheiten erhalten.2. Jeder Anbieter i = 1,..., m bietet a i Mengeneinheiten an. Dabei istmin Summendie Angebotsmengegrößer als die Nachfragemenge, d.h. es gilt der Zusammenhang ∑ a i > ∑ b j.i=1 j=13. Aufgrund des Überangebotes besteht die Möglichkeit, dass nicht jeder Anbieter überhaupt Nachfragerbeliefert. Sobald ein Anbieter i Transporte zu mindestens einem Nachfrager durchführt, sollen(einmalig!) Fixkosten in Höhe von f i Geldeinheiten anfallen.4. Jeder Anbieter i soll höchstens κ i Nachfrager beliefern.Hinweis: Markieren Sie bitte mit Hilfe der Nummer aus der Aufgabenstellung, welche Nebenbedingungenfür die Abbildung welches Teilaspektes nötig sind!b) Setzen Sie nun das TPP aus Aufgabe a), welches unter Berücksichtigung der Aspekte 1. bis 3. entsteht,in XPress Syntax um.(8 P.)Hinweis: Es wird nicht gefordert, dass Sie die Ergebnisse in Ihrem Modell ausgeben lassen!Im Anschluss finden Sie den Teil des XPress-Modells, der für das Einlesen der Daten zuständig ist:- 6 -

model ErweitertTPPuses "mmxprs"parametersdatafile = 'tpp.dat'end-parametersdeclarationsm: integer ! Anzahl Anbietern: integer ! Anzahl NachfragerM = 10000 ! hinreichend große Zahl Mend-declarationsinitializations from datafilem nend-initializations!Variablendeklarationdeclarationsa: array(1..m) of real ! Vektor der Angebotsmengenb: array(1..n) of real ! Vektor der Nachfragemengenf: array(1..m) of real ! Fixkosten, wenn Anbieter i Nachfrager beliefertc: array(1..m,1..n) of real ! Vektor der Transportkostenend-declarationsinitializations from datafilea b f cend-initializationsAufgabe 4: Branch&Bound (20 Punkte)Das nebenstehende ganzzahlige LP soll mit einem Branch&Bound-Verfahren gelöst werden:Hinweise: Lösen Sie die Teilprobleme zeichnerisch. Nutzen Siedazu die in den Lösungsblättern vorgegebenen Koordinatensysteme,in denen Sie den Lösungsraum der LP-Relaxation bereits eingezeichnetfinden. Lösen Sie dazu das Gleichungssystem, welches sichim Schnittpunkt der jeweiligen Nebenbedingungen ergibt.Zeichnen Sie bei jeder Verzweigung die sich zusätzlich ergebendenNebenbedingungen ein und lesen Sie die optimale Lösung der LP-Relaxation ab. Nutzen Sie ein neues Koordinatensystem, sobald die Zeichnung zu unübersichtlich wird.Wenn Sie keinen Fehler machen, dürfte Ihr Branch&Bound-Baum nicht mehr als 8 Knoten enthalten.Geben Sie beim Ausloten den zutreffenden Fall an:Fall a: Es gibt schon eine bessere bekannte zulässige Lösung als in diesem Teilbaum noch erzielbar ist.Fall b: Es wurde eine neue beste Lösung des Problems P 0 gefunden.Fall c: Das Teilproblem besitzt keine zulässige Lösung.Vergessen Sie nicht, in einem Antwortsatz die optimale Lösung und ihren Zielfunktionswert anzugeben.a) Kennzeichnen Sie in einem der Koordinatensysteme zunächst alle bezüglich des ganzzahligen Optimierungsproblemszulässigen Lösungen!(1 Pkt)b) Wenden Sie nun das Branch&Bound-Verfahren an. Verwenden Sie eine LIFO-Strategie (reine Tiefensuche,d.h. für jedes zu verzweigende Problem wird zunächst nur ein Teilproblem gebildet und unmittelbarweiter betrachtet) und die LP-Relaxation zur Bestimmung unterer Schranken! Verzweigen Siejedes (Teil-) Problem, dessen Relaxation eine nichtganzzahlige optimale Lösung aufweist, in zwei disjunkteTeilprobleme! Dazu ist für eine Variable x h, deren nichtganzzahliger Wert f in der Lösung derRelaxation die kleinste Differenz zur nächstgelegenen ganzen Zahl aufweist, im ersten Teilproblemdie Nebenbedingung x h≤ f und im zweiten x h≥ f einzuführen! Gehen Sie von einer oberenSchranke von F = ∞ aus. (15 Pkte)- 7 -Minimiere F( x) = 4x 1+ 3x 2(1)unter den Nebenbedingungen4x 1+ 4x 2≥ 11(2)3x 1 + x 2 ≥6(3)x 1 – x 2 ≤ 2(4)x 1+ 3x 2≤10(5)x 1 , x 2 ≥ 0 und ganzzahlig (6)

c) Welchen Ast hätten Sie ausgehend von der Wurzel P 0 zuerst weiter verzweigt, wenn Sie statt derLIFO-Regel nach der MLB-Regel vorgegangen wären? Begründen Sie kurz!(1 Pkt)d) Bilden Sie eine Lagrange-Relaxation mit den Nebenbedingungen (2) und (4)! Führen Sie dazuGewichte u 1 (für NB (2)) und u 2 (für NB (4)) ein und geben Sie an, welchen Wertebereich diese besitzenmüssen.(3 Pkte)- 8 -

zu Aufgabe 4)x 24(3)Zielfkt.x 24(3)Zielfkt.32(2)(4)(5)32(2)(4)(5)111 2 34x 11 2 34x 1x 24(3)Zielfkt.x 24(3)Zielfkt.32(2)(4)(5)32(2)(4)(5)111 2 34x 11 2 34x 1x 24(3)Zielfkt.x 24(3)Zielfkt.32(2)(4)(5)32(2)(4)(5)111 2 34x 11 2 34x 1- 11 -