Kapitel 3 Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik

Kapitel 3
Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik
Teil 2
Deduktionstheorem und Rückführung des Vollständigkeitssatzes
auf das Erfüllbarkeitslemma
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Struktur des Beweises des Vollständigkeitssatzes
Zum Beweis des Vollständigkeitssatzes für den Shoenfield-Kalküls S der
Prädikatenlogik gehen wir ähnlich wie beim Beweis des Vollständigkeitssatzes
in der Aussagenlogik vor.
Wichtige Vorarbeiten waren dort:
1 Bereitstellung zulässiger Axiome und Regeln
2 Deduktionstheorem
3 Rückführung des Vollständigkeitssatzes auf das Erfüllbarkeitslemma
mit Hilfe der Analyse der Zusammenhänge zwischen Beweisbarkeit
und Konsistenz (syntaktische Ebene) bzw. zwischen Folgerungsbegriff
und Erfüllbarkeit (semantische Ebene).
Den ersten Schritt haben wir für PL bereits im ersten Teil des Kapitels
ausgeführt. Im zweiten Teil des Kapitels führen wir nun Schritt 2 und 3
aus und betrachten als weiteres Hilfsmittel Erweiterungen von Sprachen
und Theorien.
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Übersicht
3.4 Das Deduktionstheorem
3.5 Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
3.6 Konsistenz und Beweisbarkeit: Vollständigkeitssatz vs.
Erfüllbarkeitslemma
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3.4 Das Deduktionstheorem
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Das Deduktionstheorem
SATZ (DEDUKTIONSTHEOREM). Sei Φ eine Menge von Formeln, ψ eine
Formel und σ ein Satz. Dann gilt:
(∗) Φ σ → ψ ⇔ Φ ∪{σ} ψ
BEMERKUNG. Die triviale Richtung ⇒ gilt auch für eine beliebige Formel ϕ
anstelle des Satzes σ: AusderAnnahmeΦ ϕ → ψ erhält man die Beweisbarkeit
von ψ aus Φ ∪{ϕ} wie folgt:
1 ϕ → ψ Annahme
2 ϕ da ϕ ∈ Φ ∪{ϕ}
3 ψ AL: 1,2
Die Rückrichtung gilt dagegen für beliebiges ϕ anstelle des Satzes σ i.a. nicht.
GEGENBEISPIEL: Φ := ∅, ϕ :≡ x = y und ψ :≡ ∀x∀y(x = y)
ϕ ψ folgt aus der zulässigen Allabschlussregel (∀3 1 ).
ϕ → ψ folgt mit dem Korrektheitssatz aus ϕ → ψ
(NB: ϕ → ψ gilt nur in Strukturen mit 1-elementigem Universum).
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Das Deduktionstheorem: Beweis
Die nichttriviale Richtung ⇐ in (∗) Φ σ → ψ ⇔ Φ ∪{σ} ψ
zeigt man durch Herleitungsinduktion.
Annahme: Φ ∪{σ} ψ
Zu zeigen: Φ σ → ψ
1. ψ Axiom oder ψ ∈ Φ
1 ψ Fallannahme
2 σ → ψ AL: 1
2. ψ ≡ σ
1 σ → σ AL
≡ σ → ψ
3. ψ sei aus ψ i (i =1bzw.i =1, 2) mit Hilfe der Regel R erschlossen.
Hier unterscheiden wir, ob R eine aussagenlogische Regel oder die
∃-Einführungsregel ist (→ nächste Folie).
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Das Deduktionstheorem: Beweis (Fortsetzung)
3. ψ sei aus ψ i (i =1bzw.i =1, 2) mit Hilfe der Regel R erschlossen.
Nach I.V. gilt dann: Φ σ → ψ i (für i =1bzw.i =1, 2)
Zu zeigen: Φ σ → ψ
3.1 R ist aussagenlogische Regel Für i =2erhält man dann (i = 1 analog):
1 σ → ψ 1 I.V.
2 σ → ψ 2 I.V.
3 σ → ψ AL: 1,2
3.2 Ristdie∃-Einführungsregel (∃1), d.h.
ψ 1 ≡ γ → δ
ψ ≡∃xγ → δ
(wobei x ∈ FV (δ) (=VB))
1 σ → (γ → δ) I.V.
2 γ → (σ → δ) AL: 1
3 ∃xγ → (σ → δ) ∃1: 2 VB erfüllt, da x ∈ FV (δ) =FV (σ → δ)
4 σ → (∃xγ → δ) ≡ σ → ψ AL:3
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Das Deduktionstheorem: Folgerungen
Das Deduktionstheorem lässt sich wie folgt verallgemeinern:
KOROLLAR ZUM DEDUKTIONSTHEOREM. Sei Φ eine Menge von Formeln,
ψ eine Formel und σ 1 ,...σ n Sätze. Dann gilt:
(∗∗) Φ σ 1 ∧···∧σ n → ψ ⇔ Φ ∪{σ 1 ,...,σ n }ψ
BEWEIS:
Φ σ 1 ∧···∧σ n → ψ ⇔ Φ σ 1 →···→σ n → ψ AL
⇔ Φ ∪{σ 1 }σ 2 →···→σ n → ψ DT
...
⇔ Φ ∪{σ 1 ,...,σ n−1 }σ n → ψ DT
⇔ Φ ∪{σ 1 ,...,σ n−1 ,σ n }ψ DT
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3.5 Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
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Theorien
DEFINITION. Eine (L-)Theorie T ist ein Paar T =(L, Σ), wobei
L eine Sprache der Prädikatenlogik und
Σ eine Menge von L-Sätzen ist.
L heisst die Sprache der Theorie T und Σ die Menge der Axiome von T .
Die Theorie T ist endlich, falls die Menge Σ ihrer Axiome endlich ist.
Die Sprache der Theorie T =(L, Σ) bezeichnen wir auch mit L(T ). Istdieseaus
dem Kontext bekannt, so identifizieren wir die Theorie T auch mit deren
Axiomenmenge Σ (identifizieren also Theorien mit Mengen von Sätzen).
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Modellklasse einer Theorie
DEFINITION. Die Modellklasse Mod(T ) einer L-Theorie T =(L, Σ) ist die
Menge aller L-Strukturen, die Modell der Axiomenmenge Σ von T sind (d.h. in
denen alle Sätze aus Σ gelten):
Mod(T )={A : A ist eine L-Struktur und A Σ}
Ist A Modell von Σ so nennen wir A auch Modell von T und schreiben anstelle
von A ΣentsprechendA T . Entsprechend sagen wir, dass die Theorie T
erfüllbar ist, falls deren Axiomenmenge Σ erfüllbar ist, also Mod(T ) = ∅ ist.
Ähnlich schreiben wir statt Σ ϕ auch T ϕ und sagen, dass ϕ aus T folgt,
und - entsprechend auf der syntaktischen Ebene - schreiben wir statt Σ ϕ auch
T ϕ und sagen, dass ϕ aus T beweisbar ist.
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Deduktiver Abschluss einer Theorie
DEFINITION. Der (syntaktische) deduktive Abschluss von T =(L, Σ) ist
C (T )={σ : σ L-Satz & T σ}.
NB: Man kann entsprechend den (semantischen) Abschluss von T gegen
Folgerungen durch
C (T )={σ : T σ}
definieren. Aus dem Adäquatheitssatz wird C (T )=C (T ) unmittelbar folgen.
Bis zum Beweis des Satzes müssen wir aber zwischen C (T )undC (T )
unterscheiden!
DEFINITION. Zwei L-Theorien T =(Σ, L) undT =(Σ , L) sindäquivalent,
wenn sie denselben deduktiven Abschluss haben: C (T )=C (T ).
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Theorien: Beispiele (1)
Ist L = L(≤) die Sprache der Ordnungen, so ist T =(L, Σ) mit
Σ={σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ,σ 4 }, wobei
σ1 ≡∀x (x ≤ x)
σ2 ≡∀x ∀ y ∀ z (x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z)
σ 3 ≡∀x ∀ y (x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y)
σ 4 ≡∀x ∀ y (x ≤ y ∨ y ≤ x)
sind, ein endliche L-Theorie.
Diese Theorie ist erfüllbar: Die Sätze σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ,σ 4 sind gerade die Axiome
der linearen (=totalen) Ordnungen. Die Modelklasse von T ist also gerade
die Klasse der linearen Ordnungen:
Mod(T )={A : A ist eine lineare Ordnung}
In dem deduktiven Abschluss C (T ) von T liegen genau die Sätze, die sich
aus den Axiomen der linearen Ordnungen beweisen lassen. Mit dem
Adäquatheitssatz wird folgen, dass dies genau die Sätze sind, die in allen
linearen Ordnungen wahr sind.
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Theorien: Beispiele (2)
Die L-Theorie T =(L, Σ) mit Σ = {σ} wobei σ ≡∃x (x = x) istnicht
erfüllbar, also Mod(T )=∅.
Für jede L-Struktur A, ist
Th(A) =(L, Σ) mit Σ = {σ : A σ}
eine (unendliche) erfüllbare Theorie. Die Struktur A ist ein Modell von
Th(A), d.h. A∈Mod(Th(A)).
Es gibt aber neben A weitere Modelle von Th(A) (z.B.allezuA
isomorphen L-Strukturen - aber möglicherweise auch weitere Strukturen).
Die Beziehungen zwischen Strukturen und Theorien werden in der
Modelltheorie untersucht. In Kapitel 4 werden wir auf einzelne Aspekte
dieser Theorie eingehen. (Insbesondere werden wir dort auf die Modellklassen
Mod(Th(A)) der Theorien Th(A) von Strukturen A zurückkommen.)
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Erweiterungen von Sprachen und Strukturen: Definitionen
Eine Sprache L ist eine Erweiterung der Sprache L (L ⊆L ), falls jedes
nichtlogische Symbol von L ein Symbol von L ist (d.h. genauer: jedes
Relations- und Funktionszeichen und jede Konstante von L ein Relationsund
Funktionszeichen (der entsprechenden Stelligkeit) bzw. eine Konstante
von L ist).
Ist L⊆L , A eine L-Struktur und A eine L -Struktur, so heisst A eine
Erweiterung von A oder A die Einschränkung von A auf L (A = A L),
falls |A| = |A | und für alle nichtlogischen Symbole S von L gilt: S A = S A .
BEISPIEL. Ist K =(K, +, ·, 0, 1) ein Körper, so ist die zugrundeliegende Gruppe
(K, +, 0) die Einschränkung von K auf die Sprache L = L(+, 0):
(K, +, 0) = K L(+, 0)
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Erweiterungen von Theorien: Definitionen
Eine L -Theorie T =(L , Σ )isteineErweiterung der L-Theorie
T =(L, Σ) (T T ), falls
(i) L eine Erweiterung von L ist und
(ii) für jeden L-Satz σ gilt: T σ ⇒ T σ (d.h. C (T ) ⊆ C (T )).
Gilt in (ii) sogar die Äquivalenz, d.h.
(ii’) für jeden L-Satz σ gilt: T σ ⇔ T σ
(d.h. C (T )=C (T ) ∩ S(L), wobei S(L) die Menge der L-Sätze ist)
so heisst T konservative Erweiterung von T .
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Erweiterungen von Theorien: Bemerkungen
Der Begriff der Erweiterung T einer Theorie T ist syntaktisch definiert, d.h.
basiert auf dem (syntaktischen) Beweisbarkeitsbegriff (), nicht auf dem
(semantischen) Folgerungsbegriff ().
In der Definition der Erweiterung von Theorien können wir (in den Klauseln
(ii) und (ii’) Sätze σ durch beliebige Formeln ϕ ersetzen. Dies folgt aus der
Zulässigkeit der Regeln (∀3 1 )und(∀3 2 ) aus denen folgt, dass eine Formel ϕ
aus einer Theorie genau dann herleitbar ist, wenn deren Allabschluss ∀ϕ
herleitbar ist.
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Erweiterungen von Theorien: Beispiele (1)
Ist T =(L, Σ) eine L-Theorie und ϕ ≡ ϕ(x 1 ,...,x n )eineL-Formel (die
höchstens die Variablen x 1 ,...,x n frei enthält), so ist die Theorie
T =(L , Σ ) eine konservative Erweiterung von T , wobei
L ist die Erweiterung von L um das neue n-st. Relationszeichen R
Σ =Σ∪ {∀(R(x 1 ,...,x n ) ↔ ϕ)}.
Ist A eine L -Struktur und A = A L die Einschränkung von A auf L, so
gilt für a =(a 1 ,...,a n ) ∈|A| n = |A | n
a ∈ R A
⇔ A ϕ[a]
D.h. das neue Relationszeichen R wird in A als die n-stellige Relation oder
n-dimensionale Menge interpretiert, die von der Formel ϕ in A definiert wird.
BEWEIS: Übung!
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Erweiterungen von Theorien: Beispiele (2)
Ähnlich: Für eine L-Theorie T =(L, Σ) und eine L-Formel ϕ(x, y), für die
T ∀x∃!yϕ(x, y)
gilt (wobei ∃!yϕ ≡∃y(ϕ ∧∀y (ϕ[y /y] → y = y)) also ∃! als “es gibt
genau ein” zu lesen ist), ist die Theorie T =(L , Σ ) eine konservative
Erweiterung von T , wobei
L ist die Erweiterung von L um das neue Funktionszeichen f
Σ =Σ∪ {∀(f (x) =y ↔ ϕ)}.
Ist nun A eine L -Struktur und A = A L die Einschränkung von A auf
L, so wird das neue Funktionszeichen f in A als die n-stellige Funktion
interpretiert, deren Graph von der Formel ϕ in A definiert wird.
BEWEIS: Übung!
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Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
DEFINITION. Eine Theorie T =(L , Σ )heissteinerein sprachliche Erweiterung
der Theorie T =(L, Σ), wenn L⊆L und Σ = Σ gilt.
Ist T =(L , Σ) eine rein sprachliche Erweiterung der Theorie T =(L, Σ), so gilt
für jede L -Struktur A A T ⇔ A L T .
Hieraus ergibt sich unmittelbar
C (T ) ∩ S(L) =C (T ).
Im folgenden wollen wir zeigen, dass die syntaktische Entsprechung ebenfalls gilt,
d.h. dass rein sprachliche Erweiterungen konservative Erweiterungen sind.
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen
SATZ. Sei T =(L , Σ )einereinsprachlicheErweiterungderTheorie
T =(L, Σ), d.h. L⊆L und Σ = Σ .DannistT eine konservative Erweiterung
von T ,d.h.
(∗) Für alle L-Formeln ϕ gilt: T ϕ ⇒ T ϕ.
BEWEIS. Wir ordnen jeder L -Formel ϕ und jeder Variablen y eine L-Formel ϕ y
zu, die durch folgende Ersetzungen aus ϕ entsteht:
Ist R ein n-stelliges Relationszeichen von L aber nicht von L, soersetze
jede Teilformel R(t 1 ,...,t n ) von ϕ durch y = y.
Ist f ein m-stelliges Funktionszeichen von L aber nicht von L, soersetze
jeden Term f (t 1 ,...,t n )inϕ durch die Variable y.
Ist c eine Konstante von L aber nicht von L, so ersetze jedes Vorkommen
von c in ϕ durch y.
NB: Ist ϕ eine L-Formel, so gilt ϕ ≡ ϕ y für alle Variablen y. Es genügt daher zu
zeigen:
(∗ ) Für jede L -Formel ϕ gilt für fast alle y : T ϕ ⇒ T ϕ y .
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.)
Beweis von
(∗ ) Für jede L -Formel ϕ gilt für fast alle y : T ϕ ⇒ T ϕ y
durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T .
1. ϕ ist Axiom (in der Sprache L !).
Dann liegt einer der folgenden Fälle vor:
1.1 ϕ ist ein al. Axiom, d.h. ϕ ≡¬ψ ∨ ψ. Dann ist (für jede Variable y) die
Formel ϕ y ≡¬ψ y ∨ ψ y ebenfalls ein al. Axiom.
1.2 ϕ ist ein Substitutionsaxiom ψ[t/x] →∃xψ, wobei t für x in ψ
substituierbar ist (SB). Dann ist ϕ y ≡ ψ y [t y /x] →∃xψ y für geeignet
definiertes t y , wobei V (t y ) ⊆ V (t) ∪{y} und - für y ∈ V (ψ) -
GV (ψ y )=GV (ψ) gilt. Für y ∈ V (ψ) ist daher t y für x in ψ y
substituierbar, also ϕ y ein Substitutionsaxiom.
1.3 ϕ ist ein Gleichheitsaxiom (G1) - (G4). Dann ist (für jede Variable y)
ϕ y ebenfalls ein Gleichheitsaxiom desselben Typs oder von der Form
ψ → y = y (und damit mit AL aus (G1) herleitbar).
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.)
Beweis von
(∗ ) Für jede L -Formel ϕ gilt für fast alle y : T ϕ ⇒ T ϕ y
durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T (Fortsetzung).
2. ϕ ∈ Σ . Aus Σ = Σ folgt dann, dass T ϕ und ϕ eine L-Formel ist,
weshalb ϕ y ≡ ϕ für alle Variablen y gilt.
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.)
Beweis von
(∗ ) Für jede L -Formel ϕ gilt für fast alle y : T ϕ ⇒ T ϕ y
durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T (Fortsetzung).
3. ϕ ist Konklusion einer Regel R mit Prämissen ϕ i (i =1bzw.i =1, 2).
Dann gilt nach I.V. für fast alle y: T (ϕ i ) y (für i =1bzw.i =1, 2).
3.1 R ist eine al. Regel. Dann ist (für jede Variable y) dieFormelϕ y eine
al. Folgerung aus (ϕ i ) y (für i =1bzw.i =1, 2). Wegen der
Zulässigkeit al. Schlüsse folgt daher die Behauptung aus der I.V.
3.2 Risteine∃-Einführungsregel, d.h. i = 1, ϕ 1 ≡ γ → δ und
ϕ ≡∃xγ → δ, wobei x ∈ FV (δ) (VB).
Dann ist ϕ y ≡∃xγ y → δ y und (ϕ 1 ) y ≡ γ y → δ y , wobei weiter für
y = x die Variable x nicht frei in δ y vorkommt. Für y = x folgt daher
ϕ y aus (ϕ 1 ) y mit einer ∃-Einführungsregel. Also T ϕ y für alle y = x,
für die T (ϕ i ) y gilt (was nach I.V. für fast alle y der Fall ist).
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Folgerungen
KOROLLAR 1. Sei T =(L, Σ) eine L-Theorie, L die Erweiterung von L um eine
neue Konstante c und T =(L , Σ) die rein sprachliche Erweiterung von T auf
L . Dann gilt für jede L-Formel ϕ
T ϕ[c/x] ⇔ T ∀xϕ ( ⇔ T ∀xϕ )
BEWEIS.
“⇒” Aus T ϕ[c/x] folgt mit dem Beweis des Satzes über rein sprachliche
Erweiterungen, dass es eine Variable y ∈ V (ϕ) gibt mit T (ϕ[c/x]) y .Daϕ eine
L-Formel ist, gilt aber (ϕ[c/x]) y ≡ ϕ[y/x], also T ϕ[y/x] unddamitmitder
Allabschlussregel T ∀yϕ[y/x]. Mit dem zulässigen Axiom U über die
Umbenennung gebundener Variablen folgt hieraus (mit AL) T ∀xϕ.
“⇐” Da nach dem Substitutitonssatz ∀xϕ → ϕ[c/x] gilt, folgt diese Richtung
unmittelbar mit AL.
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Folgerungen
Aus Korollar 1 lässt sich direkt folgern:
KOROLLAR 2. Sei Σ eine Menge von L 0 -Sätzen, ϕ eine L 0 -Formel und c eine
Konstante von L 0 ,diewederinΣnochinϕ vorkommt. Dann gilt
Σ ϕ[c/x] ⇔ Σ ∀xϕ
Um Korollar 2 auf Korollar 1 zurückzuführen genügt es dort festzusetzen:
L = L 0 \{c} und L = L 0
T =(L, Σ) und T =(L , Σ)
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3.6 Konsistenz und Beweisbarkeit: Vollständigkeitssatz vs.
Erfüllbarkeitslemma
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Konsistenz
DEFINITION. Eine Theorie T =(L, Σ) ist konsistent oder widerspruchsfrei, falls
es einen L-Satz σ gibt mit T σ.
Wie in der Aussagenlogik kann man die Konsistenz alternativ wie folgt
charakterisieren (Beweis wie dort).
CHARAKTERISIERUNGSLEMMA FÜR DIE KONSISTENZ (LCK). Eine Theorie
T =(L, Σ) ist genau dann konsistent, wenn es keinen L-Satz σ mit T σ und
T ¬σ gibt.
NB Ist T ein Erweiterung von T und konsistent, so ist auch T konsistent. Ist T
eine konservative Erweiterung von T ,soistT genau dann konsistent, wenn T
konsistent ist.
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Konsistenz und Beweisbarkeit
Ähnlich wie in der Aussagenlogik lässt sich folgender Zusammenhang zwischen
Beweisbarkeit und Konsistenz feststellen:
LEMMA ÜBER DEN ZUSAMMENHANG ZWISCHEN BEWEISBARKEIT UND
KONSISTENZ (LBK).
(i) T ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent
(ii) T ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} konsistent
Da für einen Satz σ der Allabschluss ∀σ gerade σ ist, gilt also insbesondere für
Sätze
T σ ⇔ T ∪ {¬σ} inkonsistent
NB. 1. Das semantische Gegenstück (Lemma über den Zusammenhang zwischen
Folgerungs- und Erfüllbarkeitsbegriff) haben wir bereits in Kapitel 2 bewiesen.
2. Da (ii) durch Kontraposition aus (i) folgt, genügt es (i) zu zeigen.
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Konsistenz und Beweisbarkeit: Beweis des LBK-Lemmas
T ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent
“⇒” Annahme:T ϕ
Da trivialerweise T ∪ {¬∀ϕ} ¬∀ϕ gilt, genügt es T ∪ {¬∀ϕ} ∀ϕ zu zeigen.
Dies folgt aber unmittelbar aus der Annahme mit der Zulässigkeit der Allabschlussregel
(∀3 1 ).
“⇐” Annahme:T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent
Nach Annahme ist jeder Satz aus T ∪ {¬∀ϕ} beweisbar, also insbesondere
Mit dem Deduktionstheorem folgt
T ∪ {¬∀ϕ} ∀ϕ
T ¬∀ϕ →∀ϕ
und hieraus aussagenlogisch T ∀ϕ. Es folgt T ϕ mit der Allabschlussregel
(∀3 2 ).
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Erfüllbarkeitslemma vs. Vollständigkeitssatz
Wie in der Aussagenlogik können wir nun zeigen, dass der Vollständigkeitssatz
aus dem Erfüllbarkeitslemma folgt.
ERFÜLLBARKEITSLEMMA (MODELLEXISTENZSATZ, EL) Jede konsistente
Theorie T ist erfüllbar (d.h. besitzt ein Modell).
VOLLSTÄNDIGKEITSSATZ (VS) T σ ⇒ T σ
Beweis von VS mit Hilfe von EL:
T σ ⇒ T ∪ {¬σ} nicht erfüllbar Zshg. zw. Folgerungs- und
Erfüllbarkeitsbegriff
⇒ T ∪ {¬σ} inkonsistent Erfüllbarkeitslemma (Kontraposition)
⇒ T σ LBK
Es genügt also zum Beweis des Vollständigkeitssatzes im Folgenden noch das
Erfüllbarkeitslemma zu beweisen!
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