Aufgaben - Walther Meißner Institut - Bayerische Akademie der ...

WALTHER–MEIßNER–INSTITUT 07. Januar 2014
Bayerische Akademie der Wissenschaften
Lehrstuhl für Technische Physik E23, Technische Universität München
Prof. Dr. Rudolf Gross, Dr. Stephan Geprägs
Tel.: +49 (0)89 289 14201
E-mail: rudolf.gross@wmi.badw.de, stephan.gepraegs@wmi.badw.de Probeklausur
Probeklausur zur
Physik der Kondensierten Materie I
WS 2013/2014
Aufgabe 1: Zweidimensionales Gitter
Abbildung 1 zeigt eine fiktive zweidimensionale Kristallstruktur, die aus kugelförmigen Atomen
mit Radius r A = 2, 00 Å und r B = r C = 0, 828 Å sowie den Atommassen m A = 40 u, m B = 12 u
und m C = 14 u aufgebaut ist (atomare Masseneinheit u = 1, 660 538 782(83) × 10 −27 kg).
C
A
B
Abbildung 1: Fiktive zweidimensionale Kristallstruktur.
1.1 Welches Punktgitter beschreibt die Translationssymmetrie des abgebildeten Gitters vollständig?
Geben sie zwei mögliche primitive Gitterzellen mit den zugehörigen Basisvektoren an. Berechnen
Sie die Fläche der primitiven Gitterzelle.
1.2 Geben Sie die chemische Formel und die Flächendichte in g/cm 2 des abgebildeten Materialsystems
an.
1.3 Die Atome der primitiven Gitterzelle bilden die Basis der Kristallstruktur. Wählen Sie eine
Basis mit möglichst hoher Symmetrie aus und geben Sie die Koordinaten der Basisatome an.
1.4 Welche Symmetrieeigenschaften haben Punktgitter und Basis. In welchen Symmetrien stimmen
das Punktgitter und die Basis überein? Wie würde sich dies ändern, wenn die beiden Atome
B und C identisch wären?
1.5 Beschreiben Sie, wie man die Wigner-Seitz-Zelle erhält, und skizzieren Sie diese für das vorliegende
Gitter.
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Aufgabe 2: Rechtwinkliges Gitter und Überstrukturen
2.1 Skizzieren Sie ein ebenes, rechtwinkliges Gitter mit Gitterkonstanten a > b, das dazugehörige
reziproke Gitter sowie die Wigner-Seitz-Zelle und die erste Brillouin-Zone.
2.2 Wir nehmen nun an, dass die Atome des Gitters aus Aufgabe 2.1 magnetisch sind, also einen
Spin tragen. Zeichnen Sie die neue Wigner-Seitz-Zelle und die dazugehörige 1. Brillouin-Zone,
wenn benachbarte Spins antiparallel stehen, also antiferromagnetisch geordnet sind. In welchen
Verhältnissen stehen die jeweiligen Gitterkonstanten und Zellflächen?
Aufgabe 3: Kubisch-flächenzentriertes Gitter
3.1 Geben Sie drei Vektoren an, die im Ortsraum die primitive Elementarzelle des kubischflächenzentrierten
Gitters aufspannen.
3.2 Berechnen Sie die Vektoren der primitiven Elementarzelle des reziproken Gitters für das
kubisch-flächenzentrierte Gitter.
3.3 Zeigen Sie, dass das reziproke Gitter kubische Symmetrie besitzt.
Aufgabe 4: Strukturanalyse – Laue- und Debye-Scherrer-Verfahren
Betrachten Sie die beiden Laue-Aufnahmen in Abbildung 2.
(a)
(b)
Abbildung 2: Laue-Aufnahmen von zwei Kristallen mit
unterschiedlicher Kristallstruktur.
4.1 Um welche Kristallstrukturen handelt es sich? Sind die eindeutige Aussagen über die Kristallstruktur
möglich? Welche Größe muss man neben der Lage der Punkte auswerten, um den Typ
das Bravais-Gitters oder die Atompositionen zu bestimmen?
4.2 Wie muss das Röntgen-Spektrum für eine Laue- bzw. eine Debye-Scherrer-Aufnahme beschaffen
sein?
4.3 Skizzieren Sie das Debye-Scherrer-Beugungsbild, das man mit einem ebenen Flächendetektor
aufnimmt, der senkrecht zum Röntgen-Strahl steht wie in Abbildung 3 gezeigt ist.
4.4 Berechnen Sie die relativen Durchmesser von mindestens vier Debye-Scherrer-Ringen für ein
Pulver aus einfach kubischen Kristallen und erläutern Sie, von welchen Netzebenen die Ringe
kommen.
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Röntgenstrahl
Pulverprobe
Flächendetektor
Abbildung 3: Schematische Darstellung der experimentellen Anordnung
in einem Debye-Scherrer-Experiment.
Aufgabe 5: Strukturanalyse – Strukturfaktor
5.1 Berechnen Sie den Strukturfaktor für einen kubisch-raumzentrierten Kristall. Gehen Sie dabei
vom allgemeinen Ausdruck S G = ∑ j f j e −ıG·r j
für den Strukturfaktor aus, wobei G = hb 1 + kb 2 +
lb 3 ein reziproker Gittervektor und r j die Positionen und f j die Atomformfaktoren der Basisatome
sind.
5.2 Begründen Sie, warum der (100)-Röntgen-Reflex verschwindet.
Aufgabe 6: Bindungstypen
Welche Bindungstypen dominieren in den festen Phasen folgender Materialien: Argon, Magnesium,
Diamant, Kupfer, Graphit, Silizium, Kaliumbromid, Polyethylen ([−H 2 C − CH 2 −] n ), Quarz?
Aufgabe 7: Gitterschwingungen
7.1 Skizzieren Sie die Dispersionsrelation ω(q) für eine einatomige Kette. Vergessen Sie nicht, die
Achsen vollständig zu beschriften.
7.2 Geben Sie den funktionalen Zusammenhang für ω(q) an, wenn es nur Wechselwirkung zwischen
nächsten Nachbarn gibt. Welche Größen kann man aus der Dispersion im langwelligen
Limes ableiten?
7.3 Welche Schwingungen gibt es bei einer eindimensionalen Kette aus zwei verschiedenen Atomen?
Skizzieren Sie die Dispersionsrelation ω(q).
7.4 Diskutieren Sie qualitativ, wie die Zustandsdichte D(ω) der Phononen pro Frequenzintervall
mit der Zustandsdichte Z(q) = L/2π im q-Raum zusammenhängt? Hierbei ist L die Länge der
eindimensionalen Atomkette.
7.5 Skizzieren Sie die Zustandsdichte für die zweiatomige Kette aus Aufgabe 7.3 und beschreiben
Sie qualitativ, wo und warum in der Zustandsdichte Maxima/Divergenzen auftreten und wo
nicht.
Aufgabe 8: Spezifische Wärme
Wir untersuchen die Wärmekapazität eines Silizium-Einkistalls mit einer Gesamtmasse von M =
1 kg. Angaben: Dichte von Silizium ρ = 2, 336 g/cm 3 , Gitterkonstante (kubisch) a = 0, 543 nm,
Debye-Temperatur Θ D = 645 K, Boltzmann-Konstante k B = 1.3806488(13) × 10 −23 J/K.
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8.1 Diskutieren Sie qualitativ das experimentelle Messverfahren, das Sie zur Messung der Wärmekapazität
verwenden würden. Was müssen Sie beachten, wenn Sie die Wärmekapazität möglichst
genau messen wollen?
8.2 Sie messen bei Raumtemperatur eine Wärmekapazität bei konstantem Druck von C p =
703 J/K. Bestimmen Sie daraus die spezifische Wärmekapazität c p pro Masseneinheit (Einheit:
J/K·kg) und Volumeneinheit (Einheit: J/K·m 3 ).
8.3 Welche Wärmekapazität würden Sie für Si klassisch erwarten. Vergleichen Sie diesen theoretisch
erwarteten Wert mit dem Messwert (C p = 703 J/K) und diskutieren Sie eventuelle Abweichungen.
Aufgabe 9: Wärmeleitung bei tiefen Temperaturen
Wir betrachten drei 1 cm lange Zylinder aus Silizium, Quarzglas und Kupfer, die an einem Ende
an eine Wärmesenke der Temperatur T 0 = 10 K angekoppelt sind (diese Temperatur ist wesentlich
kleiner als die Debye-Temperaturen der Materialien). Das andere Ende wird mit einer Heizleistung
von ˙Q = 0, 1 mW geheizt, wodurch eine Temperaturdifferenz von ∆T = 100 mK zwischen
den beiden Probenenden auftritt. Die Wärmeleitfähigkeiten der drei Materialien betragen
bei T 0 = 10 K κ Si = 10 W/cm K, κ Quarz = 1, 5 × 10 −3 W/cm K und κ Cu = 4 W/cm K. Benutzen Sie
die Tatsache, dass bei tiefen Temperaturen die Wärmeleitung von Isolatoren bzw. Metallen jeweils
durch die Phononen bzw. Elektronen dominiert wird. Verwenden Sie ferner den allgemeinen Ausdruck
κ = 1 3 c Vvl = 1 3 c Vv 2 τ für die Wärmeleitfähigkeit, wobei c V die auf das Volumen bezogene
spezifische Wärmekapazität, v die Schall- (Phononen) bzw. Fermi-Geschwindigkeit (Elektronen),
l = vτ die mittlere freie Weglänge und τ die mittlere Streuzeit der Phononen bzw. Elektronen ist.
9.1 Welche Querschnittsflächen A besitzen die Zylinder?
9.2 Die Heizleistung wird um den Faktor 10 erhöht. Wir messen, dass in den drei Proben die
Temperaturdifferenz jetzt nicht mehr wie im Fall kleiner Heizleistung gleich ist. In welcher Probe
ist der Temperaturgradient am größten, in welcher am kleinsten?
9.3 Die Temperatur wird von 10 K auf 300 mK erniedrigt. Diskutieren Sie qualitativ, welche Heizleistung
erforderlich ist, um eine Temperaturdifferenz von 1 mK zu erzeugen?
Aufgabe 10: Fermi-Flächen und Brillouin-Zonen
Wir betrachten ein zweidimensionales quadratisches Gitter mit Gitterkonstante a = 2, 5 Å, auf
dem gleichartige Atome mit jeweils 3 Valenzelektronen angeordnet sind. Angaben: Elektronenmasse
m = 9, 109 382 91(40) × 10 −31 kg, Elementarladung e = 1.602 176 565(35) × 10 −19 C.
10.1 Konstruieren Sie die ersten 3 Brillouin-Zonen.
10.2 Wie groß ist der Fermi-Wellenvektor k F und die Fermi-Energie E F für dieses zweidimensionale
System, wenn wir von einer freien Bewegung der Elektronen in der Ebene ausgehen? Berücksichtigen
Sie die Spin-Entartung.
10.3 Wie ändern sich der Fermi-Wellenvektor und die Fermi-Energie, wenn wir den Abstand der
Atome verdoppeln würden?
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