Analysis

(b) Gleichsinnige Ungleichungen ” dürfen“ immer dann miteinander multipliziert
werden, wenn alle Glieder positiv sind, genauer: aus 0 < a < b und 0 < c < d
folgt ac < bd, oder in leicht verständlicher Symbolik
0 < a < b
0 < c < d
ac < bd.
Bemerkung: Aus (a) folgt (setze c = 0), dass eine Kleinerbeziehung wahr bleibt, falls
auf der rechten Seite eine positive Zahl addiert wird; man sagt: die Abschätzung
a < b wird vergröbert, wenn eine positive Zahl zu b addiert wird.
13. In einem geordneten Körper folgt aus b, d > 0, dass
a
b
< c
d
14. Ist 0 ≤ a ≤ ε für jedes ε > 0, so ist a = 0.
15. Zeigen Sie für a, b ∈ R:
(a) |a + b| ≤ |a| + |b|,
(b) |a − b| ≤ |a| + |b|,
(c) � � |a| − |b| � � ≤ |a − b|.
16. Zeigen Sie für a, b ∈ R:
(a) � �
�a�
|a|
= für b �= 0,
b |b|
(b) a2 = � � 2 a � � 2 = |a| ,
⇐⇒ ad < bc.
(c) |a − b| < r ⇐⇒ a − r < b < a + r für r > 0.
17. Cauchyungleichung. Zeigen Sie für a, b ∈ R die Ungleichung
|ab| ≤ 1
2 (a2 + b 2 ).
Hinweis: Verwenden Sie die bekannten Formeln für (a ± b) 2 und die Tatsache, dass
Quadrate nichtnegativ sind.
18. Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R gilt
|a + b| + |a − b| ≥ |a| + |b|
19. Minimum, Maximum und Betrag. Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R gilt:
a + b + |a − b|
(a) max(a, b) = ,
2
a + b − |a − b|
(b) min(a, b) = ,
2
(c) max(a, b) − min(a, b) = |a − b|.
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