Einfuehrung in die numerische Mathematik, Uni Kiel

Einführung in die numerische Mathematik WS 2011/12
Steffen Börm, Jens Burmeister Do., d. 8.12.2011
T19.) (Lagrange-Polynome und Monome)
Sei 1 ≤ m ∈ N. Seien Punkte xi ∈ R für alle i ∈ {0, . . . , m} mit
x0 < x1 < . . . < xm−1 < xm
gegeben. Zeigen Sie, dass für die Lagrange-Polynome ℓi gilt:
m�
ℓi(0)x
i=0
k ⎧
⎪⎨ 1 für k = 0,
i = 0 für k = 1, . . . , m,
⎪⎩
(−1) m �m i=0 xi für k = m + 1.
T20.) (Dividierte Differenzen)
Sei m ∈ N. Es seien m + 1 paarweise verschiedene Stützstellen x0, x1, . . . , xm gegeben.
Für eine Funktion f : R → R werden mit di,j(f) für alle i, j ∈ {0, . . . , m} mit i ≤ j Newtons
dividierte Differenzen zu den Stützwerten fi := f(xi) bezeichnet.
Seien nj, j = 0, . . . , m, die Newton-Basispolynome zu den Stützstellen x0, . . . , xm:
Beweisen Sie:
n0(x) := 1,
j−1 �
nj(x) := (x − xk) für alle j = 1, . . . , m und x ∈ R.
k=0
a. Für alle k ∈ {1, . . . , m} und q ∈ Πk−1 gilt d0,k(q) = 0.
b. Für alle j, k ∈ {0, . . . , m} gilt d0,k(nj) = δjk.
T21.) (Hermite-Interpolation)
Sei x0 = −1, x1 = 1.
Bestimmen Sie ein Polynom p ∈ Π3, welches folgende Bedingungen erfüllt:
Ist dieses Polynom eindeutig bestimmt?
p(x0) = 1, p ′′ (x0) = 1
p(x1) = 0, p ′′ (x1) = 2.
1

T22.) (Beispiel für ein Newton-Verfahren)
Sei f : R → R, x ↦→ x 3 − 3x 2 + x − 3.
Führen Sie ausgehend von den Startwerten x0 = 0, 1,
4 jeweils 2 Schritte des Newton-
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Verfahrens für f durch. Fertigen Sie eine Skizze an und deuten Sie die Ergebnisse.
P5.) (Lösen linearer Ausgleichsprobleme mit Householder)
Seien 1 ≤ m, n ∈ N mit m ≥ n. Seien A ∈ R m×n , b ∈ R m .
Entwerfen und implementieren Sie ein Programm Test_P5.c, welches die Lösung x ∈ R n des
linearen Ausgleichsproblem
mit Hilfe einer QR-Zerlegung bestimmt.
min
x∈R n �Ax − b� 2
Überarbeiten Sie dazu ihre C-Funktionen aus (P4), sodass Sie diese auch zur Lösung lineaerer
Ausgleichsprobleme einsetzen können.
Berechnen Sie zusätzlich die minimale 2-Norm des Fehlers. Setzen als Beispiel Aufgabe (T12)
ein.
Abgabe: Die theoretischen Aufgaben (T) am Do., d. 15.12.2011 bis 14 Uhr in bzw. vor
unserem Sekretariat R906 im 9. Stock des Uni-Hochhauses. Die praktische Aufgabe (P5) bis
Do., d. 15.12.2011 bis 14 Uhr per Email an den Übungsleiter.
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