Zwang und Mindestbewehrung

1 

VORLESUNG MASSIVBAU III 

Zwang und Mindestbewehrung 

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josef Hegger 

Wintersemester 2010/2011 

Aachen 


Lehrstuhl und Institut für Massivbau

Änderung des Terminplans 

2 

Di, 30. November 2010 11.45 – 14.00 Massivbau III – Vorlesung (Hegger) 

„Zwang und Mindestbewehrung“ 

Do, 2. Dezember 2010 13.30 – 15.30 Spannbeton – Übung (Will) 

Di, 7. Dezember 2010 11.45 – 14.00 Massivbau III – Übung (Schneider) 

„Zwang und Mindestbewehrung“ / 

„Deckengleiche Unterzüge“ 

Ausgabe der HÜ Aufgabe 2 

Do, 9. Dezember 2010 13.30 – 15.30 Spannbeton – Vorlesung (Will) 

Di, 14. Dezember 2010 11.45 – 13.15 Massivbau III – Vorlesung (Hegger) 

„Fugen im Hochbau“ 

13.15 – 14.00 Spannbeton – Übung (Will) 

Aachen 



Gliederung 

3 

Allgemeines 

Mechanisches Modell 

Zwangursachen 

Zwang- und Eigenspannungen 

Beispiele 

Aachen 



Allgemeines 

4 

Massivbauweise 

Entstehung von Rissen im Beton aufgrund der 

geringen Zugdehnung nahezu unvermeidlich 

„gerissene Bauweise“ 

Risse werden in der Öffentlichkeit oft als 

Mangel angesehen 

Bedeutung der Rissbildung 

Ästhetik 

Dichtigkeit gegenüber 

Flüssigkeiten und Gasen 

Steifigkeit bzw. Verformungen 

Dauerhaftigkeit 

Standsicherheit 

Aachen 



Allgemeines 

5 

Rissursachen - Baustoffseite 

niedrige Zugfestigkeit des Betons: f ct 

0,1·f c 

Einflussfaktoren 

• Betonfestigkeit 

• Spannungsgradient 

• Bauteildicke 

Bauteilzugfestigkeit ca. 20 % 

geringer als Laborzugfestigkeit 

Richtige Erfassung nur schwer möglich 

Rechenwert der Zugfestigkeit nach DIN 1045-1: 

f 

ctm 

2 3 

0, 

3 fcm 

Aachen 



53,5 m 

Allgemeines 

6 

Veranschaulichung der rechnerisch wirksamen Betonzugfestigkeit 

G 

C 30/37 

t = 2 Tage 

unbewehrt 

G 

107 m 

C 30/37 

t = 28 Tage 

unbewehrt 

f ct = 1,34 MN/m² 

f ct = 2,67 MN/m² 

Aachen 



Allgemeines 

7 

Rissursachen - Lastseite 

äußere Lasten 

• vergleichsweise sicher zu erfassen 

• Festigkeitsentwicklung weitgehend abgeschlossen 

• selten Ursache übermäßiger Rissbildung 

Zwang (Temperatur, Schwinden, Setzung) 

• schwierig zu erfassen (u.U. instationäre Temperatur- und Schwindverläufe) 

• häufig in Bauteilen mit geringer Lastbeanspruchung 

• „Bemessungsgröße“ für einzulegende Bewehrung fehlt 

• Mindestbewehrung nicht vorgesehen 

• häufig Ursache übermäßiger Rissbildung 

• Mängelanzeigen durch Bauherrn 

Aachen 



Gliederung 

8 

Allgemeines 




Beispiele 

Aachen 




9 

Kraft-Verformungsverhalten eines Zugstabes unter Zwang 

Kraft 

Zustand I 

Einhüllende 

Arbeitslinie 

Zustand II 

„tension 

stiffening“ 

Risskraft 

Dehnung 

Aachen 




10 

Zwangbeanspruchungen 

Zwang ist steifigkeitsproportional 

Steifigkeit wird durch Rissbildung reduziert 

Abfall der Zwangkraft bei Rissbildung 

Aachen 




11 

Systemverträglichkeit 

Frage: 

Wie viele Risse sind notwendig um die Zwangdehnung zu 

kompensieren 

l Zwang = 

l 

l 

Aachen 




12 

Systemverträglichkeit 

Frage: 

Wie viele Risse sind notwendig um die Zwangdehnung zu 

kompensieren 

l Zwang = 

n · w m 

l l 

n = Anzahl der Risse 

w m = mittlere Rissbreite 

w m 

Aachen 




Beispiel 

13 

Beidseitig gehaltener Plattenstreifen unter Temperatureinwirkung 

Vorgaben: 

Zwang = 0,40 ‰ 

w cal 

= 0,25 mm 

Risse 

10,0 m 

erf 

n 

l 

Zwang 

w 

cal 


w 

cal 

l 

0, 

40 

10 

3 

10, 

0 10 

0, 

25 

6 

16 

Risse 

l 10, 

0 m 

mittlererRissabs tand srm 0, 

625 

n 16 Risse 

m 

Aachen 




14 

Rissmechanismus bei mittigem Zug (1) 

Zugkraft N [kN] 

1000 

500 

= 1,2% 

Zustand I 

Zustand II 

= 0,6% 

Zustand I 

Zustand II 

0 

T -50K -100K 

Dehnung m 

Aachen 




15 


Mittlere Rissbreite w m [mm] 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

= 1,2% 

Zustand I 

Zustand II 

= 0,6% 

Zustand I 

Zustand II 

0,1 

0 

T -50K -100K 

m = - T · T 

Aachen 




16 


Anzahl der Risse n 

50 

= 1,2 % 

= 0,6 % 

= 1,2% 

Zustand I 

Zustand II 

= 0,6% 

Zustand I 

Zustand II 

0 

T -50K -100K 

m = - T · T 

Aachen 




17 

Rissmechanismus bei mittigem Zug 

Folgerungen: 

Zugkraft-Dehnungs-Diagramm verläuft aufgrund der 

Rissbildung nichtlinear, dies gilt insbesondere im 

Bereich üblicher Zwangeinwirkungen (0 > T > -60 K) 

Vom Erreichen der Risslast bei T = -10 K (Erstriss) bis 

T = -66 K bzw. -100 K (abgeschlossenes Rissbild) ändern sich die 

Risskraft und die Rissbreiten nicht. 

Aachen 



Gliederung 

18 

Allgemeines 




Beispiele 

Aachen 




19 

Hydratationswärme 

Hydratation des Zements 

exothermer Prozess 

Beton als relativ schlechter Wärmeleiter heizt sich auf. 

Umso mehr je: 

• massiger das Bauteil 

• größer die Hydratationswärme des Zements 

• größer der Zementgehalt 

Aachen 




20 

Stadien der Temperaturund 

Spannungsentwicklung 

bei Erwärmung infolge von 

Hydratationswärme und 

anschließender Abkühlung 

Temperaturerhöhung unter 

adiabatischen Verhältnissen 

T 

h,n 

Z H 

Q 

b0 

Z Hn 

2500 

Z: Zementgehalt in [kg/m³] 

H n : freiwerdende Hydratationswärme 

nach n Tagen in [kJ/kg] 

Q b0 : spezifische Wärmekapazität des 

Betons in [kJ/(m³K)] 

Aachen 




21 

Hydratationswärme verschiedener Zemente 

(Gemessen im adiabatischen Betonkalorimeter) 

Aachen 




22 

Temperaturerhöhung in Abhängigkeit von der Bauteildicke 

h 

T / T h=2,0m 

[m] [-] 

0,4 0,75 

0,6 0,80 

0,8 0,85 

1,0 0,95 

2,0 1,00 

(beidseitig 24 mm dicke Holzschalung; ruhige Umgebungsluft) 

Aachen 




23 

Zeitpunkt der max. Temperatur in [h] nach Einbau des Betons 

h CEM III 32,5 NW/HS CEM I 32,5 R 

für dickere Bauteile: 

[m] [h] [h] 

tmax, T 1 0, 

8 

h 

0,4 30 22 

0,6 34 26 

0,8 38 29 

t max,T = Zeit in Tagen 

h 

= Bauteildicke 

[m] 

1,0 42 32 

(beidseitig 24 mm dicke Holzschalung; ruhige Umgebungsluft) 

Aachen 




24 

Schwinden 

Volumenverminderung des Betons infolge der Austrocknung des 

Zementsteins 

Unterteilung in: 

• plastisches Schwinden des jungen Betons (Frühschwinden) 

• Trocknungsschwinden des erhärtenden Betons 

Göße der Schwindverformung und zeitlicher Ablauf nach EC2 / DIN 1045-1 

Aachen 




25 

Schwindverformungen im Freien und in einer Halle 

Aachen 




26 

Umgebungswärme 

Temperaturmessungen in einer Tiefgarage 

Abluft 

Luft 

Zuluft 

-8°C 20°C 

GW 

T = 3°C 

11°C 28°C 

T = 6°C 

14°C 22°C 

-10 0 10 20 T [°C] 

niedrigste / höchste Temperatur 

Aachen 



Gliederung 

27 

Allgemeines 




Beispiele 

Aachen 




32 

Beispiel: Eingespannter Stab unter Temperaturbeanspruchung 

L > 0 > 0 

N = 0 M = 0 

+ T = const 

- 

+ 

T = veränderl. 

Statisch bestimmt: 

=> Keine Zwangschnittgrößen 

Aachen 




33 


L = 0 = 0 

N > 0 M > 0 

- 

+ 

- 

+ T = const 

- 

+ 

T = veränderl. 

Statisch unbestimmt: 

=> Zwangschnittgrößen 

Aachen 




34 


Eigenspannungen aus abfließender Hydratationswärme 

Frühe Erhärtungsphase 

Nach mehreren Tagen 

≠ 0 

≠ 0 

40°C 

15°C 

+ 

T max = +25°C 

15°C 

T 

Statisch bestimmt: nur Eigenspannungen möglich 

Aachen 




35 


Spannungen aus abfließender Hydratationswärme 

Frühe Erhärtungsphase 

Nach mehreren Tagen 

≠ 0 

≠ 0 

40°C 

T max = +25°C 

15°C 

+ 

T Zwang 

15°C 

+ 

T 

Statisch unbestimmt: Eigen- und Zwangspannungen möglich 

Aachen 




36 


• Bei statisch unbestimmten Systemen 

• relevant für Rissbreite und Mindestbewehrung 

Eigenspannungen 

• Bei statisch bestimmten und unbestimmten Systemen 

• nicht relevant für Rissbreite und Mindestbewehrung 

• Reduktion von f ctm (0,5 – 0,8) für Mindestbewehrung 

Aachen 



Gliederung 

37 

Allgemeines 




Beispiele 

Aachen 



1,00 m 

Beispiele 

38 

Einfluss des stat. Systems auf die erforderliche Mindestbewehrung 

bei einseitiger Abkühlung eines Rechteckquerschnitts 

C 30/37 

f ctm = 2,9 MN/m² 

E cm = 31900 MN/m² 

I = 0,025 m 4 

A = 0,3 m² 

s = 200 MN/m² 

Querschnitt: 

5 5 

0,3 m 

A so 

A su 

Aachen 



1,00 m 

Beispiele 

39 

1. Fall: reiner Biegezwang z.B. Kreiszylinder in Ringrichtung 

System: 

Lastfall 

Betonspannung 

Mindestbewehrung 

erf. A so = 0 

erf. A su = 16,11 cm² 

T Riss = -18,18 K 

f ctm 

Aachen 



1,00 m 

Beispiele 

40 

2. Fall: vollständiger Zwang 

System: 

Lastfall 

Betonspannung 

Mindestbewehrung 

erf. A so = 6,85 cm² 

erf. A su = 14,90 cm² 

T Riss = -9,09 K 

f ctm 

Aachen 



Beispiele 

41 

Kraftzustände und Rissbildungen in Wandscheiben 

Aachen 



Beispiele 

42 

Kraftzustände und Rissbildungen in Wandscheiben 

1 , 5 l / h 2, 

0 

w cal « 0,1 mm 

Aachen 



Beispiele 

43 

Vollständig gezwängte Deckenplatte 

Aussteifender 

Kern 

Deckenplatte d = 20cm 

5 4 5 

Draufsicht 

5 40 

5 

[m] 

A 

B 

A 

C 30/37, f ctm 

= 2,9 MN/m² 

Expositionsklasse XC1 

Aachen 


nach Tab. 3, DIN 1045-1 


Beispiele 

44 

Statisches System und Zwangsschnittgröße 

N Zwang 

A 

ZW 

N 

ZW 

A 

A 

bzw. 

B 

ZW 

A 

A 

B 

A 

ZW 

A 

mit: 

A A = Querschnittsfläche im Bereich A 

A B = Querschnittsfläche im Bereich B 

Aachen 



Beispiele 

45 

Fall 1 

Rissbildung im Bereich A reicht für Herstellung der 

Systemverträglichkeit aus 

Im Bereich A ist die volle Mindestbewehrung vorzusehen 

Mindestbewehrung im Bereich B ist für die Zwangsschnittgröße 

aus A zu bemessen. 

Aussteifender 

Kern 


min A s 

A 

5 4 5 

5 40 

5 

Draufsicht A A 

B 

[m] 

Aachen 



Beispiele 

46 

Fall 2 

Risse im Bereich B für Systemverträglichkeit notwendig 

In beiden Bereichen volle Mindestbewehrung anordnen 

Aussteifender 

Kern 


min A s 

A 

min A s 

B 

5 4 5 

Draufsicht 

5 40 

5 

A 

B 

A 

[m] 

Aachen 



Betontemperatur 

1. NS 

2. NS 

Riss 

Beispiele 

T max 

47 

Reibungszwang infolge Abfließen 

der Hydratationswärme 

 

Wechselnde Beanspruchung 

(erst Druck, dann Zug) 

Beispiel Bodenplatte: 

Spannung 

Druck 

Zug 

Reibung 

Spannung E-Modul E(t)/E(28)/E(t) 

T 02 

T 

T 01 

crit T 

T C 

Zeit 

I II III IV V 

E(28) 

E(t)/E(28) 

Druck 

ƒ ct 

Zug 

Aachen 



Betontemperatur 

1. NS 

2. NS 

Beispiele 

T max 

48 

Reibungszwang infolge Abfließen 

der Hydratationswärme 

 

Wechselnde Beanspruchung 

(erst Druck, dann Zug) 

Beispiel Bodenplatte: 

Spannung 

Zug 

Reibung 

Spannung E-Modul E(t)/E(28)/E(t) 

T 02 

T 

T 01 

crit T 

T C 

Zeit 

I II III IV V 

E(28) 

E(t)/E(28) 

Druck 

ƒ ct 

Zug 

Mindestbewehrung für Zwang 

Aachen 



Beispiele 

51 

Trennrissgefahr bei geschossweiser Herstellung von 

Wandscheiben im Hochbau 

l / 

l / 

h 

h' 

2. 

0 

2. 

0 

Aachen 



Beispiele 

52 

Trennrissgefahr bei abschnittsweiser Herstellung einer Bodenplatte 

Aachen 



53 


Zwang und Mindestbewehrung 

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josef Hegger 

Wintersemester 2010/2011 

Aachen

Zwang und Mindestbewehrung

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