Newtons Gravitationsgesetz – aus Formeln wird eine Idee

Newtons
Gravitationsgesetz – aus Formeln
wird eine Idee
Vor Newton hatte Kepler bereits die fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Planetenbewegungen gefunden,
allerdings ihre Ursachen nicht erkennen können. Newton gelang es, die Keplerschen Gesetze
auf eine gemeinsame Ursache zurückzuführen — die universelle Gravitation. Wie kam Newton zum
Gravitationsgesetz
Von I. Bernhard Cohen 1
Der Höhepunkt der wissenschaftlichen Revolution, aus der die neuzeitliche Physik hervorging, war Isaac Newtons Entdeckung des
Gravitationsgesetzes: Alle Objekte ziehen einander mit einer Kraft an, die direkt proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt
proportional zum Quadrat ihres Abstandes ist. Mit seiner mathematischen Formulierung dieses Naturgesetzes konnte Newton die
wichtigsten damals bekannten Erscheinungen im Universum beschreiben und zeigen, daß die Physik der Bewegungsabläufe auf der Erde
und die Physik der Planetenbewegungen ein und dasselbe sind. Mit der Vorstellung von einer allgemeinen Massenanziehung ließen sich
die wichtigsten physikalischen Probleme, die zu Newtons Zeit diskutiert wurden, in einem Zuge lösen: so wurde deutlich, welche
Ursachen die drei Gesetze haben, die Johannes Kepler für die Planetenbewegung aufgestellt hatte, wie die Gezeiten entstehen, und wie
Galileo Galileis merkwürdige Beobachtung zu erklären ist, daß die Strecke, die ein freifallendes Objekt pro Zeiteinheit zurücklegt, nicht
von seinem Gewicht abhängt. Newton hatte mit seiner einheitlichen Beschreibung dieser bis dahin als grundverschieden angesehenen
Phänomene Keplers Ziel erreicht, eine Physik zu entwickeln, die von den Ursachen der beobachteten Gesetzmäßigkeiten ausgeht.
Die Entdeckung der universellen Gravitation, die zu einem Grundpfeiler, ja gerade zum Paradigma erfolgreicher Wissenschaft wurde,
war keineswegs nur die Folge eines einmaligen genialen Geistesblitzes, sondern das Ergebnis systematischer Übungen in der Kunst des
Problemlösens. Newton kam nicht durch Induktion zu seinem Gravitationsgesetz, das heißt, indem er von einzelnen beobachteten
Gesetzmäßigkeiten abstrahierte und sie verallgemeinerte; seine mathematische Formulierung war vielmehr das Ergebnis einer logischen
Deduktion, bei der er von bereits existierenden Ideen ausging. Die Entdeckung der universellen Massenanziehung verdeutlicht etwas, das
meines Erachtens jeden bedeutenden wissenschaftlichen Durchbruch auszeichnet, einerlei ob es sich um eine einfache Neuerung oder eine
dramatische Revolution handelt. Bereits existierende Begriffe werden so umgeformt, daß etwas Neues entsteht.
Newton entwickelte das Konzept der universellen Massenanziehung in den ersten Monaten des Jahres 1685 im Alter von
zweiundvierzig Jahren. Die meisten berühmten Physiker waren zu dem Zeitpunkt, als sie ihre größte Entdeckung machten, sehr viel
jünger. Anders bei Newton: er selbst bezeichnete die Jahre um 1685 als die fruchtbarsten seines Entdeckerlebens. Welche Überlegungen
Newton damals geleitet haben und wann er das Gravitationsgesetz in seiner endgültigen Form entdeckte, läßt sich anhand der historischen
Dokumente rekonstruieren.
Komponenten der Bewegung: Zentrifugalkraft, Zentripetalkraft und das Trägheitsprinzip
Die ersten Schritte auf dem Wege zur Entdeckung der allgemeinen Massenanziehung fallen in die Jahre 1679 und 1680. In dieser Zeit
berichtete Robert Hooke Newton über eine neue Methode, Bewegungen längs gekrümmter Bahnen zu beschreiben. Hooke hatte entdeckt,
daß die Bewegung eines Körpers, der eine Kreisbahn oder eine andere gekrümmte Bahn durchläuft, von zwei Komponenten bestimmt ist –
einer Inertial- oder Trägheitskomponente und einer Zentripetalkomponente. Die Inertialkomponente treibt den Körper tangential zur
gekrümmten Bahn nach vorn, so daß er in gerader Linie davonflöge, wenn ihn die Zentripetalkomponente, die „zentrumsuchende"
Komponente, nicht daran hindern würde: Sie „zieht" den Körper ständig zum Krümmungsmittelpunkt der Bahnkurve, beispielsweise bei
einer Kreisbahn zum Kreismittelpunkt. Läuft ein Körper wie beispielsweise der Mond auf einer stabilen konzentrischen Bahn um, so
passen beide Komponenten gerade so zusammen, daß der Körper weder tangential zu seiner Umlaufbahn davonfliegt, noch in immer enger
werdenden Spiralen zum Bahnmittelpunkt stürzt.
Die Vorstellung von einer „zentrumsuchenden" Kraft ersetzte schließlich den älteren und mißverständlichen Begriff der
„zentrummeidenden" Zentrifugalkraft. Rene Descartes und Christiaan Huygens hatten die Bewegungen längs gekrümmter Bahnen anhand
von Zentrifugalkräften beschrieben. Descartes hatte zum Beispiel die Bewegung eines Balles betrachtet, der auf der Innenfläche eines
hohlen Zylinders rollt, und außerdem versucht zu klären, warum man ein Gefäß mit Wasser im Kreis schleudern kann, ohne daß das
Wasser herausläuft. Es schien, als würden der Ball und das Wasser das Zentrum des Systems fliehen, und daher führte Descartes beide
Bewegungen auf den Einfluß einer Zentrifugalkraft zurück. Heute wissen wir, daß es eine solche Kraft nicht gibt – jedenfalls läßt sich eine
zentrumfliehende Kraft bei den bekannten Wechselwirkungen zwischen physikalischen Objekten nicht ausmachen. Die Zentrifugalkraft ist
jedoch lediglich eine Scheinkraft, und der Eindruck, daß eine solche Kraft wirke, entsteht allein dadurch, daß man das bewegte Objekt von
einem rotierenden Bezugssystem aus betrachtet (Bild 3).
1 Über den Autor: siehe Anhang
Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981 101

Mit dem Wandel der Vorstellungen von Zentrifugal- und Zentripetalkräften rückte die grundlegende Rolle des zentralen Körpers in
einem Planetensystem stärker in den Blickpunkt. Das Konzept der Zentrifugalkraft war auf das kreisende Objekt zugeschnitten, dessen
Bemühen, das Zentrum zu fliehen, nicht von den Eigenschaften des zentralen Körpers abzuhängen schien. Die Vorstellung von einer
Zentripetalkraft ist dagegen eng mit dem zentralen Körper verknüpft, denn der Körper ist demnach als Ursache dafür anzusehen, daß das
kreisende Objekt zum Zentrum gelenkt oder, was mathematisch betrachtet dasselbe ist, von ihm angezogen wird. Die Wechselbeziehung
zwischen einem zentralen (anziehenden) Körper und einem umlaufenden (angezogenen) Objekt ist offensichtlich gerade das Problem, das
in jeder Gravitationstheorie eine fundamentale Rolle spielt.
Hookes Methode, Bewegungen längs gekrümmter Bahnen zu beschreiben, ist eine vergleichsweise einfache Anwendung des
cartesianischen Trägheitsprinzips. Es mag daher überraschen, daß Newton noch 1679 auf diese Zusammenhänge hingewiesen werden
mußte, obwohl er das Trägheitsprinzip bereits zwanzig Jahre zuvor weitgehend akzeptiert hatte. Doch war Newton (wie Descartes und
Huygens) von der Vorstellung beherrscht, daß Objekte dem Zentrum, das sie umkreisen, ausweichen, und konnte daher die Auswirkungen
des Trägheitsprinzips nicht überblicken.
Newtons Briefwechsel mit Hooke
In einem Brief vom 24. November 1679 schlug Hooke Newton vor, in einer privaten „philosophischen“ Korrespondenz über
wissenschaftliche Probleme zu diskutieren, mit denen sie sich gerade beschäftigten. Sechs Jahre zuvor hatten beide über Newtons
Experimente und Theorien zur Dispersion des Lichtes in einem Prisma und zur Entstehung der Farben öffentlich gestritten. Hooke war
einer der vielen Forscher, die Newtons Optik ablehnten. Die Tatsache, daß er seine Arbeit verteidigen mußte, brachte Newton so sehr aus
der Ruhe, daß er schwor, die „Philosophie“ (gemeint war die Physik) aufzugeben, weil sie so „zänkisch wie ein Weib“ sei, daß ein Mann,
der jemals etwas mit ihr zu tun gehabt habe, den Rest seines Lebens darauf verwenden müsse, seine Meinung zu verteidigen.
Hooke, der inzwischen Sekretär der Royal Society in London geworden war, wandte sich ungeachtet der früheren Auseinandersetzungen
in freundlichem und wohlwollendem Ton an Newton. Er ermunterte Newton, zu den vorgetragenen Hypothesen und Meinungen Stellung
zu nehmen und insbesondere auch über die Planetenbewegungen zu diskutieren, die sich nach Meinung Hookes aus einer „direkten
tangentialen Bewegung und einer anziehenden Bewegung in Richtung des Zentralkörpers" zusammensetzen. Dieser Brief war offensichtlich
für Newton der erste Hinweis darauf, daß sich Bewegungen längs gekrümmter Bahnen in eine Inertialkom-ponente und eine
Zentripetalkomponente zerlegen lassen. Es ist unklar, inwieweit Newton den Ansatz Hookes damals verstanden hat, denn er beschrieb die
Kreisbewegung auch später noch häufig als Folge einer Zentrifugalkraft.
In seinem Brief vom 24. November 1679 äußerte Hooke die Vermutung, daß die Zentripetalkraft, die einen Planeten zur Sonne hinzieht,
dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional sei. An diesem Punkt kam Hooke jedoch nicht weiter, denn er konnte die Bedeutung
seiner eigenen tiefen Einsicht nicht erkennen und daher nicht den entscheidenden Schritt von der intuitiven Vorahnung und Vermutung zur
exakten Wissenschaft vollziehen. Hooke fehlte das mathematische Genie Newtons, und überdies konnte er die Tragweite des Keplerschen
Flächensatzes für die Planetenbewegungen nicht richtig einschätzen. Der Flächensatz besagt, daß der Radiusvektor, der die Sonne und den
Planeten verbindet, in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen überstreicht. Dieser Zusammenhang bildete die Grundlage für Newtons
Berechnungen, aus denen er seine Himmelsmechanik entwickelte.
Am 28. November schrieb Newton an Hooke, er habe – soweit er sich erinnere – erstmals in dessen Brief vom 24. November etwas von
der Hypothese erfahren, daß sich die Bewegungen der Planeten aus einer direkten Bewegung in Richtung der Tangente zur Kurve und
einer anziehenden Bewegung in Richtung Sonne zusammensetze. Nachdem Newton zugegeben hatte, daß Hookes Überlegungen neu für
ihn waren, wechselte er sofort das Thema und stellte die Frage, wie sich die Erdrotation auf ein freifallendes Objekt auswirkt und auf
welcher Bahn sich ein solches Objekt bewegen würde, wenn es die rotierende Erde durchqueren könnte. Newton zog den falschen Schluß,
daß die Bahnkurve eine Spirale sei.
In seinem Antwortbrief vom 9. Dezember geht Hooke auf Newtons Irrtum ein und erklärt, daß der Weg „einer Ellipse ähneln würde".
Hooke wartete darauf, daß Newton auf das Problem der Planetenbewegung eingehen würde und schnitt das Thema erneut an: Er vermute,
schrieb er, daß die genaue Beschreibung eines Objektes, das durch die Erde falle, und seine eigene Beschreibung der Planetenbewegung
das gleiche Problem zum Gegenstand hätten, nämlich „konzentrische Bewegungen, die aus einer direkten Bewegung und einer
anziehenden auf das Zentrum hin zusammengesetzt sind“.
Am 13. Dezember 1679 antwortete Newton vorsichtig auf Hookes Korrektur, ging aber nicht auf den Vorschlag zur Beschreibung der
Kreisbewegungen ein. Hooke gab nicht auf. In einem Brief vom 6. Januar 1680 (Bild 4) kam er auf seine Thesen über die
Kreisbewegungen zurück und wiederholte seine Vermutung, daß die anziehende Zentripetalkraft umgekehrt proportional zum Quadrat des
Abstandes vom Zentrum ist. Aus dieser Vermutung zog Hooke den falschen Schluß, daß die Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers
umgekehrt proportional zu seiner Entfernung vom Zentrum sei. In Wirklichkeit gilt dies nur, wenn sich der Planet im Aphel oder im
Perihel befindet (Bild 5). Dann behauptete er, daß seine Analyse „alle Erscheinungen des Himmels verständlich und korrekt wiedergibt“.
Newton antwortete nicht.
Am 17. Januar schickte Hooke einen kurzen ergänzenden Brief, in dem er schrieb: „Jetzt bleibt zu klären, welche Eigenschaften eine
gekrümmte Bahnkurve (die nicht kreisförmig oder konzentrisch sein muß) haben würde, wenn sie durch eine zentrale anziehende Kraft
hervorgerufen wird, die die Geschwindigkeiten von der Tangentiallinie oder der geradlinigen Bewegung abweichen läßt und zwar in einer
doppelten Beziehung zum Kehrwert des Abstandes.“ Mit anderen Worten: Angenommen eine
Bild 2 (nächste Seite): Diese Zeichnung des Sonnensystems stammt von William Whiston, dem Nachfolger Newtons an der Universität von
Cambridge, und wurde 1724 m einer kurzen Abhandlung veröffentlicht. Neben den Bahnen der Planeten und der Monde des Jupiter und Satarn
hat Whiston auch die Kometenbahnen dargestellt. Newton hatte gezeigt, daß die Bahnen von Kometen entweder wie die der Planeten elliptisch
oder aber parabolisch sind, und daß auch für die Bewegungen der Kometen der Keplersche Flächensatz gilt: Der Vektor von der Sonne zum Planeten
oder Kometen überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Der Text unter der Zeichnung ist ein Ausschnitt aus Whistons Übersetzung der
Principia (in der Fassung von 1713) und gibt einen Auszug aus den allgemeineren Bemerkungen Newtons wieder, mit denen er die Principia
abschloß. Newton preist darin das vollendete System der Natur und seinen Schöpfer. Der erste Satz dieses Textes drückt dies bereits deutlich
aus. Er lautet übersetzt: „Dieses einfache und schöne System der Planeten und Kometen konnte nur durch das Einwirken und Herrschen eines
klugen und mächtigen Wesens entstehen."
102 Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981

Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981 103

Bild 3: Zentrifugal- und Zentripetalkraft. Wenn man eine Kugel, die an einem Seil befestigt
ist, im Kreis schleudert und sich selbst dabei mitdreht (links) entsteht der Eindruck, als ziehe
eine zentrumfliehende (zentrifugale) Kraft die Kugel nach außen. Betrachtet man dagegen
die gleiche Bewegung der Kugel von einem ruhenden Bezugspunkt (rechts), so deutet nichts auf
eine solche Kraft hin – die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft. Um zu verstehen, wie man auf
diese vermeintliche Kraft überhaupt gekommen ist, muß man die Kräfte betrachten, die auf die
kreisende Kugel wirken: es sind die Seilspannung T und die Gewichtskraft m·g (Mitte rechts).
Die Seilspannung hat eine senkrechte Komponente, die mit der Gewichtskraft im
Gleichgewicht steht, und eine waagerechte Komponente, die von einem ruhenden Beobachter
als Zentripetalkraft aufgefaßt wird, die die Kugel in eine Kreisbahn zwingt (rechts unten). Der
Beobachter, der sich selbst mitdreht, bemerkt ebenfalls den Zug der Seilspannung und die
Gewichtskraft Er sieht darüberhinaus, daß sich die Kugel immer im gleichen Abstand zu ihm
bewegt und nicht zum Zentrum hingezogen wird. Dies erklärt er als Folge einer Zentrifugalkraft,
die die Kugel nach außen zieht (Mitte links). Die Zentrifugalkraft scheint für ihn mit der waagerechten
Komponente der Seilspannnng im Gleichgewicht zu stehen (links unten). Die
Vorstellung von einer Zentripetalkraft stammt von Robert Hooke.
zentrale anziehende Kraft verursacht, daß ein
Objekt von seinem geradlinigen Weg abkommt
und eine Kurve beschreibt, welche
Bahnkurve würde sich dann ergeben, wenn
die anziehende Kraft umgekehrt proportional
zum Quadrat der Entfernung vom Kraftzentrum
ist. Hooke schloß seinen Brief mit
den Worten: „Ich zweifle nicht, daß Sie mit
ihrer ausgezeichneten Methode leicht herausfinden
können, welche Kurve dies sein muß
und welche Eigenschaften sie hat, und ich
vermute einen physikalischen Grund für diese
Beziehung.“
Die Keplerschen Gesetze und die
Bewegungen unter dem Einfluß
einer Zentralkraft
Newton tat genau dies. Er bewies, daß eine
Ellipse die Bedingungen erfüllt, die Hooke
angegeben hatte. Dennoch teilte er diesen
Beweis zunächst weder Hooke noch irgend
jemand anderem mit. Erst im August 1684
erfuhr der berühmte Astronom und Mathematiker
Edmund Halley bei einem Besuch die
Antwort, als er Newton die gleiche Frage
stellte wie Hooke. Das Problem war in der
Royal Society lebhaft diskutiert worden und
weder Halley noch der Astronom und
Architekt Christopher Wren (nach dessen
Plänen die Londoner St. Pauls Kathedrale
gebaut wurde) hatte das Problem zu lösen
vermocht; auch Hooke legte nie eine Lösung
vor, obwohl er behauptete, eine gefunden zu
haben.
Auf Halleys Frage nach der Bahnkurve
antwortete Newton sofort: Eine Ellipse. Halley
wollte wissen, wie Newton darauf komme
und erhielt die Antwort: „Ich habe das errechnet."
Anscheinend hat Newton seine Berechnungen
damals jedoch nicht mehr gefunden,
aber er gab dem Drängen Halleys nach und
schrieb die Rechnung für die Royal Society in
einer kleinen Abhandlung de Motu (über die
Bewegung) nochmals auf. In de Motu faßte
Newton seine Arbeiten über die Planetenbewegungen
sowie die Dynamik. physikalischer
Vorgänge auf der Erde zusammen und erläuterte
außerdem seine Vorstellungen über die
Bewegungen im leeren Raum sowie in einem
Medium, das einen Widerstand darstellt.
Newton muß de Motu vor dem 10. Dezember
1684 abgeschlossen haben, denn an diesem
Tag teilte Halley der Royal Society mit, daß
Newton ihm vor kurzem eine bemerkenswerte
Schrift gezeigt habe.
Auf welchem Wege Newton in der Zeit
nach seinem Briefwechsel mit Hooke zu den
Vorstellungen kam, die er in seinem ersten
Entwurf von de Motu darlegte, ist nicht dokumentiert.
Aber ich bin sicher, daß Hookes
Ansatz, konzentrische Bewegungen zu beschreiben,
Newton auf die richtige Fährte
setzte.
104 Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981

Mit dieser Meinung werde ich zwar nicht
bei allen Historikern auf Zustimmung stoßen,
doch scheint mir der Einfluß, den der
Briefwechsel mit Hooke auf Newton hatte,
in de Motu und im ersten Buch der Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica
(Mathematische Prinzipien der Naturlehre),
das im folgenden Frühjahr entstand, unverkennbar.
In einigen autobiographischen
Manuskripten äußert Newton selbst, daß er
die Berechnungen der Planetenbahn, die in
de Motu und in den Principia veröffentlicht
wurden, teilweise während des Briefwechsels
mit Hooke und teilweise später durchgeführt
habe. Beide Schriften enthalten den
Beweis, daß ein Objekt dann auf einer Ellipsenbahn
umläuft, wenn die Trägheit die
eine Komponente der Bewegung bestimmt
und eine Zentripetalkraft, die umgekehrt
proportional zum Quadrat der Entfernung
ist, die andere.
Dieser Beweis ließ die physikalische Bedeutung
des ersten Keplerschen Gesetzes in
einem neuen Licht erscheinen. Dieses Gesetz
besagt, daß die Bahnen der Planeten
Ellipsen sind, in deren Brennpunkt die
Sonne steht. Es mag heute überraschen, daß
es nicht Kepler, sondern Newton war, der
die fundamentale Bedeutung der Keplerschen
Gesetze aufdeckte. Man muß sich aber
vor Augen halten, daß diese Gesetze vor der
Veröffentlichung der Principia lediglich als
Hypothesen betrachtet wurden.
Insbesondere das zweite Keplersche Gesetz,
der Flächensatz, schien den Astronomen
des siebzehnten Jahrhunderts von untergeordneter
Bedeutung und ist in den meisten
astronomischen Schriften nicht einmal erwähnt.
Auch die Astronomia Carolina von
Thomas Streete, aus der Newton das dritte
Keplersche Gesetz abschrieb, enthält keinen
Hinweis auf den Flächensatz – das zweite
Keplersche Gesetz. (Das dritte Keplersche
Gesetz besagt, daß die dritte Potenz der
mittleren Entfernung des Planeten zu Sonne
proportional zum Quadrat der Umlaufperiode
ist.) Die meisten Astronomen berechneten
die Planetenpositionen damals nicht
nach dem Flächensatz, sondern mit Hilfe
einer geometrischen Konstruktion (Bild 6).
Man betrachtete einen Radiusvektor, der von
einem Brennpunkt der Ellipsenbahn ausging,
und synchron zu Umlaufbewegung des Planeten
gleichmäßig rotierte. Dieser Vektor
überstrich in gleichen „Zeiträumen“ gleiche
Winkel, und der Schnittpunkt, an dem er zu
einem vorgegebenen „Zeitpunkt“ die Ellipse
schnitt, legte die Position des Planeten fest.
Dieses Verfahren ergab nur dann genaue
Positionsangaben, wenn man geeignete Korrekturfaktoren
einführte. Da die Astronomen
den Flächensatz kaum anwendeten, bedurfte
es eines besonderen wissenschaftlichen
Spürsinns, um die fundamentale Bedeutung
dieses Keplerschen Gesetzes zu erkennen.
Es war Newton, der den Flächensatz in den
Rang erhob, der ihm gebührt.
Bild 4: Diesen Brief schrieb Robert Hooke am 6. Januar 1680 an Newton (datierte ihn aber
nach dem Julianischen Kalendersystem, in dem das Jahr mit dem Monat März beginnt, auf
den 6. Januar 1679). Zu dieser Zeit stand Hooke mit Newton in einem Briefwechsel, in
dessen Verlauf er über seine Methode berichtete, die Bewegungen der Planeten oder
anderer Körper, die gekrümmten Bahnen folgen, in zwei Komponenten zu zerlegen, die
Trägheits- oder Inertialkomponente und die Zentripetalkomponente. Die Zentripetalkraft
zieht den Körper zum Bahnzentrum und verhindert, daß er aufgrund seiner Trägheit tangential
davonfliegt. In dem abgebildeten Brief geht Hooke auf die Zentripetalkraft bei der
Planetenbewegung ein: „Meine Behauptung ist, daß die Anziehung immer in einer quadratischen
Beziehung (duplicate proportion) zum Kehrwert des Abstandes steht und daß
folglich die Geschwindigkeit in einer Wurzelbeziehung (subduplicate proportion) zur Anziehung
steht und damit dem Kehrwert des Abstandes [proportional ist], genau wie es
Kepler behauptet hat." Diese Passage zeigt, daß Hooke zwar richtig vermutete, daß die
Anziehungskraft umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist, aber daraus die
falsche Folgerung zog, daß die Geschwindigkeit umgekehrt proportional zum Abstand sei.
Dieser Fehler zeigt, daß Hooke sich über die Bedeutung der Beziehung zwischen der Anziehungskraft,
die auf einen Planeten wirkt, und dem Planetenabstand zur Sonne nicht im
klaren war, auch wenn er in diesem Brief behauptet, mit seiner Methode könnten alle
Himmelserscheinungen erklärt werden. Weiter unten betont Hooke, wie wichtig es sei, die
Eigenschaften der Bahnkurven zu bestimmen, denn die geographischen Längen, die für die
Menschheit von großer Bedeutung seien, könnten aus der Mondbewegung abgeleitet
werden.
Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981 105

Das erste Thema der Principia (und die Überlegungen zu Beginn von de Motu) lassen bereits ahnen, welche Bedeutung der Flächensatz
später in der Newtonschen Mechanik gewinnen sollte. Dort wird bewiesen, daß sich die Planetenbewegungen, die diesem Keplerschen
Gesetz gehorchen, als Folge einer Zentripetalkraft beschreiben läßt. Der Beweis hat drei Teile und zeigt, wie gut Newton Hookes Technik
der Zerlegung gekrümmter Bewegungen in eine Inertialkomponente und eine Zentripetalkomponente inzwischen gelernt hatte (Bild 7).
Im ersten Teil des Beweises betrachtet Newton einen Körper, der sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die
Bahngerade ist in gleiche Abschnitte geteilt, die andeuten, daß der Körper in gleichen Zeiten gleiche Entfernungen zurücklegt. Oberhalb
der Geraden wird im Abstand h ein Punkt P gewählt und mit den Endpunkten der Geradenabschnitte verbunden. Die entstehenden
Dreiecke haben alle die gleiche Fläche, da sie gleiche Grundseiten und die gleiche Höhe h haben (Büd 7). Mit Hilfe dieses einfachen
Beweisschrittes erhielt Newton eine unerwartete Beziehung zwischen der Trägheit eines Körpers und dem Flächensatz.
Im zweiten Teil des Beweises betrachtet Newton wiederum einen zunächst geradlinig gleichförmig bewegten Körper, der diesmal
jedoch am Ende des zweiten Abschnittes einen Kraftstoß in Richtung auf P erfährt. Daher folgt der Körper im dritten Abschnitt nicht mehr
der ursprünglichen Flugbahn, sondern einer anderen Geraden. Während sich der Körper anfangs von P entfernte, hat er an den beiden
Endpunkten des dritten Abschnitts nahezu den gleichen Abstand von P. Newton zeigte geometrisch, daß die beiden Dreiecke, deren
Grundseiten der zweite und dritte Bahnabschnitt sind, die gleiche Fläche haben.
Im dritten Teil des Beweises wird ein Körper betrachtet, der am Ende eines jeden Abschnittes einen Kraftstoß in Richtung P erfährt und
sich daher längs eines Streckenzuges um P bewegt. Wieder stimmt die Flächenbeziehung. Wenn die Abschnitte immer kleiner werden und
im Grenzfall das Zeitintervall zwischen den Stößen gegen Null strebt, wird der Strek-kenzug zu einer glatten Kurve – zu einer
Umlaufbahn, und die Folge von Stößen geht in eine kontinuierliche Kraft in Richtung auf P über. Auf diese Weise bewies Newton, daß
eine Zentralkraft einen Körper in eine solche Umlaufbahn zwingt, daß der Flächensatz immer erfüllt ist.
Das zweite Thema der Principia ist der Beweis der umgekehrten Behauptung: Eine Bahnbewegung, die den Flächensatz erfüllt, geht auf
eine Zentripetalkraft zurück, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes vom Bewegungszentrum ist. Indem Newton beide
Behauptungen bewies, zeigte er, daß der Flächensatz die notwendige und hinreichende Bedingung für eine Inertialbewegung unter dem
Einfluß einer Zentralkraft ist.
Die beiden Beweise sind Teil einer Argumentationskette, die mit dem Flächensatz beginnt und mit dem Beweis endet, daß eine
elliptische Bahnkurve nur dann Zustandekommen kann, wenn eine Zentripetalkraft wirkt, die umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat
ist. Die vollständige Beweiskette ist in den Principia und in de Motu zusammengefaßt und markiert einen tiefen Einschnitt in der
Geschichte der exakten Naturwissenschaften. Newton führt damit eine völlig neue Beschreibung der Himmelsbewegungen ein, der neue
Vorstellungen und Begriffe von Kraft, Impuls, Masse und Trägheit zugrundeliegen und die eine neue Maßeinheit für die Kräfte in der
Dynamik einschloß. Newton erreichte damit das Ziel, das Kepler mit dem Untertitel der Astronomia Nova umrissen hatte: „eine
Himmelsphysik die auf Ursachen gründet.“ Kepler selbst hatte nur eine vage Vorstellung von einem umfassenden Gebäude der Physik,
und weder Galilei noch Descartes haben jemals eine derart umfassende Himmelsdynamik für möglich gehalten. Die Newtonschen
Formulierungen stellten sogar die Arbeiten des großen Physikers Huygens weit in den Schatten.
Die Zentripetalkraft und das Konzept einer universellen Massenanziehung
Aus dem frühen Entwurf von de Motu, den Newton vermutlich im November 1684 geschrieben hat, geht klar hervor, daß er das
Konzept einer universellen Gravitation zu diesem Zeitpunkt noch nicht entwickelt hatte. In dem Entwurf diskutiert er die Auswirkungen
einer Zentripetalkraft, die zum Brennpunkt einer Ellipsenbahn gerichtet ist und schließt mit folgender Bemerkung: „Daher laufen die
Hauptplaneten in Ellipsen um, die einen Brennpunkt im Zentrum der Sonne haben, und die Radien zur Sonne überstreichen Flächen, die
proportional zu den Zeiten sind, ganz so wie es Kepler behauptet hat.“ Bild 8 zeigt die entsprechende Manuskriptseite von de Motu.
Newton bewies seine Bemerkung nicht und glaubte auch nicht lange daran, und in der Tat ist sie falsch. Wie Newton schon bald merkte,
bewegen sich die Planeten nicht auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Vielmehr liegt der Brennpunkt im
gemeinsamen Massenzentrum des Planetensystems, weil nicht nur die Sonne jeden Planeten, sondern auch jeder Planet die Sonne (und alle
anderen Planeten) anzieht. Hätte Newton schon damals das Prinzip der allgemeinen Massenanziehung klar vor Augen gehabt, so wäre ihm
diese fehlerhafte Bemerkung wohl kaum unterlaufen.
Newton erkannte schnell, daß er mit seinen Beweisen noch nicht gezeigt hatte, daß die Planetenbewegungen das Keplersche Gesetz von
den elliptischen Umlaufbahnen und den Flächensatz exakt
Perihel
P 1
Sonne
Planetenposition P
Aphel
Bild 5: Nur im Aphel und im Perihel ist die Bahngeschwindigkeit
der Planeten umgekehrt proportional
zum Abstand zwischen der Sonne und den Planeten.
Für alle anderen Planetenpositionen gilt, dies nicht
Allerdings ist die Bahngeschwindigkeit immer umgekehrt
proportional zu einem Abstand P 1 P, den man
geometrisch wie folgt konstruieren kann: Man
zeichnet an den Punkt P der Ellipse, der der Planetenposition
zu einem vorgegebenen Zeitpunkt
entspricht, eine Tangente. Außerdem zieht man
durch den Brennpunkt (auf Seiten der Sonne) eine
Gerade senkrecht zur Längsachse der Ellipse. Der
Schnittpunkt P 1 der Senkrechten (gestrichelte Linie)
mit der Tangente definiert dann den Abstand P 1 P.
106 Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981

erfüllen. Er hatte lediglich herausgefunden,
daß beide Gesetze für ein EinKörper-System
gelten, also in einem System, bei dem eine
bewegte Punktmasse mit einer Inertialkomponente
einem zentralen Kraftfeld ausgesetzt
ist. Newton war sich bewußt, daß das Ein-
Körper-System nicht den tatsächlichen Verhältnissen
entspricht, sondern einer idealisierten
Situation, die sich mathematisch
besonders einfach untersuchen läßt. In einem
solchen Ein-Körper-System erscheint beispielsweise
die Erde als Punktmasse und die
Sonne als ein unbewegliches Kraftzentrum.
Was Newton schließlich dazu befähigte,
über das Ein-Körper-System hinauszukommen,
war die konsequente Anwendung seines
Perihel
P 5
Sonne
„leerer“
Brennpunkt
Aphel
Bild 6: Während des siebzehnten Jahrhunderts berechneten die Astronomen die Planetenpositionen
in der Regel mit Hilfe dieser geometrischen Konstruktion: Man betrachtete einen
Strahl (oder Radiusvektor), der vom „leeren" Brennpunkt der elliptischen Planetenbahn ausging
und gedreht wurde. Dabei entsprachen gleiche Winkel gleichen Zeitabständen. Eine Umdrehung
des Radiusvektors simulierte gleichsam einen Umlauf des Planeten. Die Punkte, an
denen der Radiusvektor die Ellipse zu vorgegebenen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten
schneidet, entsprechen aufeinanderfolgenden Planetenpositionen (P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 ). Im Aphel
liegen die Positionen dichter beieinander, als im Perihel, das heißt der Planet bewegt sich im
Perihel schneller. Damit die berechneten Positionen exakt mit den beobachteten übereinstimmten,
mußte man einen Korrekturfaktor anwenden. Dieses Verfahren erlaubt keine so
genaue Bestimmung der Planetenpositionen wie der Flächensatz von Kepler, der damals jedoch
kaum Beachtung fand. Der Flächensatz besagt, daß ein Radiusvektor, der von der Sonne
ausgeht, in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht.
dritten Bewegungsgesetzes: actio gleich
reactio. Dieses Gesetz ist vielleicht das originellste
seiner drei Bewegungsgesetze (die
beiden anderen sind der Trägheitssatz und das
Kraftgesetz). Wie neuartig die Vorstellung
war, die dieses Reaktions-Prinzip ausdrückt,
mag man daran ablesen, daß es sogar heute
noch vielfach als Gleichgewichtsbedingung
angesehen wird und dann nicht korrekt für
eine Stoßsituation oder die Wechselwirkung
von Körpern angewendet wird.
Aus welchen Überlegungen sich Newtons
Vorstellungen von actio und reactio entwickelten,
spiegeln die einleitenden Abschnitte
des ersten Buches der Principia. In
der Einleitung zum elften Kapitel erläutert
Newton das so: „Bis jetzt habe ich die Bewegung
solcher Körper auseinander gesetzt, welche nach einem unbeweglichen Centrum hingezogen werden, ein Fall, der kaum in der Natur
existiert. Es pflegen nämlich Anziehungen auf Körper stattzufinden, jedoch sind die Wirkungen der ziehenden und der angezogenen
Körper nach dem dritten Gesetze stets wechselseitig und einander gleich, so daß weder der anziehende noch der angezogene Körper ruhen
kann, sondern, wenn ihrer zwei sind, beide sich gleichsam durch wechselseitige Anziehung um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt
drehen. Sind mehr Körper vorhanden (welche entweder durch einen einzigen angezogen werden oder einander wechselseitig anziehen, so
müssen diese sich so bewegen, daß ihr gemeinschaftlicher Schwerpunkt entweder ruhet oder sich gleichförmig längs einer geraden Linie
beweget. Aus diesem Grunde fahre ich fort, die Bewegung von Körpern zu erklären, welche sich wechselseitig anziehen, indem ich die
Centri-petalkräfte als Anziehungen betrachte, obgleich sie vielleicht, wenn wir uns der Sprache der Physik bedienen wollen, richtiger
Anstösse genannt werden müßten. Wir befinden uns nämlich jetzt auf dem Gebiete der Mathematik und wir bedienen uns deshalb, indem
wir physikalische Streitigkeiten fahren lassen, der uns vertrauten Benennung, damit wir von mathematischen Lesern um so leichter
verstanden werden.“
Wenn die Sonne an der Erde zieht, so muß die Erde — wie Newton erkannte — ihrerseits mit einer Kraft gleicher Größe an der Sonne
ziehen. In einem solchen Zwei-Körper-System bewegt sich die Erde nicht auf einer einfachen Bahn um die Sonne, sondern Erde und
Sonne bewegen sich um ihr gemeinsames Gravitationszentrum. Aus dem Gesetz von actio gleich reactio folgt weiterhin, daß jeder Planet
beides ist, das Zentrum einer Anziehungskraft und zugleich ein angezogener Körper. Daher zieht ein Planet nicht nur die Sonne an,
sondern auch jeden anderen Planeten, und er wird selbst nicht nur von der Sonne angezogen, sondern auch von allen anderen Planeten. Mit
diesen Überlegungen hat Newton den entscheidenden Schritt von der Wechselwirkung in einem Zwei-Körper-System zur Wechselwirkung
in einem Vielkörper-System vollzogen.
Im Dezember 1684 schloß Newton die überarbeitete Fassung von de Motu ab und beschrieb darin die Planetenbewegung auf dem
Hintergrund der Wechselwirkungen in einem Vielkörper-System. Anders als in dem ursprünglichen Entwurf zieht Newton nunmehr den
Schluß, daß „sich die Planeten weder genau auf Ellipsen bewegen, noch zweimal in der gleichen Umlaufbahn umlaufen". Und weiter: ,,Es
gibt so viele Umlaufbahnen für einen Planeten, wie viele Male er umläuft – ganz so wie bei der Mondbewegung. Und die Umlaufbahn
jedes Planeten hängt von den Bewegungen aller Planeten ab, ganz zu schweigen von den Wirkungen, die sie alle wechselseitig aufeinander
ausüben." Dann schrieb er: „Es würde, wenn ich mich nicht irre, die Grenzen des menschlichen Erkenntnisvermögens übersteigen, all
diese Ursachen der Bewegung zugleich zu berücksichtigen und diese Bewegungen durch genaue Gesetze zu beschreiben, die praktisch
durchführbare Berechnungen erlauben.“
Es gibt keine Dokumente, die belegen, wie Newton in den Wochen zwischen der Niederschrift des ersten Entwurfs von de Motu und der
revidierten Fassung zu der Erkenntnis gelangte, daß alle Planeten einander wechselseitig anziehen. Doch ist die oben zitierte Passage von
den „Wirkungen, die sie (die Planeten) alle wechselseitig aufeinander ausüben" im lateinischen Originaltext: „Eorum omnium actiones in
se invicem“ unmißverständlich. Eine Konsequenz der wechselseitigen Anziehung ist, daß die drei Keplerschen Gesetze in der
physikalischen Welt nicht exakt gelten. Sie sind vielmehr nur im Rahmen eines mathematischen Modells wahr, bei dem man voraussetzt,
daß die bewegten Punktmassen nicht aufeinander wirken, sondern unabhängig voneinander entweder um ein Kraftzentrum oder um einen
ruhenden, sie anziehenden Körper kreisen. Newton unterscheidet zwischen dem „Gebiete
P 4
P 3
P 2
P 1
Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981 107

E 6
P
P
P
D 5
H
C 4
B 3
B 3
A 0 A 1 A 2 A 3 A 0 A 1 A 2 A 3 A 0 A 1 A 2
d
Kraftstoß
Bild 7: Diese geometrischen Konstruktionen Newtons lieferten den Beweis, daß der Flächensatz bei allen Bewegungen erfüllt ist, die
durch eine Zentripetalkraft hervorgerufen werden, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes zum Bewegungszentrum ist.
Newton betrachtete zunächst einen Körper, der sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf einer Geraden bewegt (links). Der Körper
sollte sich anfangs im Punkt A 0 befinden und nacheinander im gleichen zeitlichen Abstand die Punkte A 1 bis A 3 durchlaufen. Newton
wählte nun einen Punkt P oberhalb der Geraden als Bezugspunkt Die Dreiecke A 0 PA 1 , A 1 PA 2 , A 2 PA 3 und alle folgenden sind flächengleich,
da sie die gleiche Grundseite (d), und die gleiche Höhe (H) haben. Im zweiten Beweisschritt betrachtete Newton einen Körper, der sich
zunächst geradlinig mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt, aber am Punkt A 2 einen Kraftstoß in Richtung auf P erfährt (Mitte).
Newton zeigte geometrisch, daß auch das Dreieck A 2 PA 3 die gleiche Fläche hat wie die Dreiecke A 0 PA 1 und A 1 PA 2 . Wenn der Körper auch
im Punkt B 3 und am Ende eines jeden der folgenden Abschnitte einen Kraftstoß erfährt, bewegt er sich auf einem Streckenzug (rechts),
und wieder entstehen flächengleiche Dreiecke A 2 PB 3 , B 3 PC 4 und so fort. Wenn die Zeitabstände zwischen den Kraftstößen immer kürzer
werden und im Grenzfall gegen Null streben, entspricht die Situation einer permanent wirkenden Kraft in Richtung P – einer Zentripetalkraft,
und aus dem Streckenzug wird eine stetige Kurve. Wenn also eine Bewegung durch eine Zentralkraft bestimmt wird, gilt
automatisch der Flächensatz. Diesen Beweis entwickelte Newton bereits in de Motu, seiner Schrift über die Bewegung, die er vor den
Principia schrieb. In den Principia zeigte er, daß umgekehrt aus der Gültigkeit des Flächensatzes folgt, daß eine Zentripetalkraft wirkt.
der Mathematik", in dem Keplers Gesetze wahr sind, und dem der Physik, in welchem die gleichen Gesetze nur Hypothesen oder
Näherungen sind. Diese Unterscheidung ist das revolutionäre Element in der Newtonschen Himmelsmechanik.
Ich habe angenommen, daß für Newton das Gesetz von actio gleich reactio der Schlüssel war, um den störenden Einfluß der
allgemeinen Massenanziehung auf die Bahnen der Planeten zu verstehen. Es gibt jedoch keinen direkten Beweis für meine Annahme, weil
keine Dokumente vorliegen, in denen sich eine frühere Formulierung für das „eorum omnium actiones in se invicem" findet. Aber es gibt
einen überzeugenden indirekten Hinweis: Im Frühjahr 1685, also wenige Monate nachdem Newton den ersten Entwurf von de Motu
überarbeitet hatte, beendete er seine erste Skizze der Principia. In dem Teil, aus dem das zweite Buch der Principia, „Das System der
Welt“, hervorging, beschrieb er die einzelnen Schritte, die ihn zu der Vorstellung von der gegenseitigen Massenanziehung der Planeten
führten. Das Gesetz von actio und reactio spielt in diesem Zusammenhang eine entscheidende Rolle. Ich sehe keinen Grund, warum
Newton nur wenige Monate zuvor bei seiner Arbeit an de Motu nicht von den gleichen Überlegungen geleitet worden sein sollte.
Ich möchte hier zwei Abschnitte aus der ersten Skizze von „Das System der Welt“ anführen, die die entscheidende Rolle des dritten
Bewegungsgesetzes von actio gleich reactio beschreiben:
„20. Die Übereinstimmung der Analogien.
Und da die Wirkung der Zentripetalkraft auf einen anziehenden Körper bei gleicher Entfernung proportional zur Masse des Körpers ist,
läßt sich begründen, daß sie auch proportional zur Masse des anziehenden Körpers sein muß. Da die Wjrkung wechselseitig ist und verursacht,
daß beide Körper dem jeweils anderen näherzukommen streben (drittes Bewegungsgesetz), sollte sie beide Körper in gleicher Weise
betreffen. Zwar kann ein Körper als der anziehende und der andere als der angezogene betrachtet werden, aber diese Unterscheidung ist
eher mathematisch als natürlich gegeben. In Wirklichkeit handelt es sich um eine wechselseitige Anziehung der Körper, die beide Körper
in der gleichen Weise beeinflußt . . .
21. Und ihre Übereinstimmung.
Und daher findet sich die anziehende Kraft bei beiden Körpern. Die Sonne zieht den Jupiter und die anderen Planeten an. Der Jupiter
zieht seine Monde an und die Monde wirken aufeinander, auf den Jupiter, und auf alle Planeten, die ihrerseits einer den anderen
beeinflussen. Und obwohl man die Wechselwirkung zwischen zwei Planeten unterscheiden und als zwei Wirkungen betrachten kann,
durch die jeder Planet den anderen anzieht, handelt es sich insofern nicht um zwei verschiedene Wirkungen, sondern um eine einfache
Operation zwischen zwei Elementen, als sie eine Wechselbeziehung zwischen denselben beiden Körpern darstellen. Zwei Körper können
zueinander hingezogen werden, wenn sich ein elastisches Band zwischen ihnen zusammenzieht. Die Ursache dieser Wirkung ist doppelt,
denn sie ergibt sich aus der Disposition jedes der beiden Körper. Auch die Wirkung ist insofern zweifach, als sie auf zwei Körper
ausgerichtet ist, aber insofern nur einfach, als sie auf beide Körper bezogen ist. Beispielsweise gibt es nicht eine Operation, durch die die
Sonne den Jupiter anzieht und eine andere, durch die der Jupiter die Sonne anzieht, sondern nur eine, durch die die Sonne und der Jupiter
aufeinander zustreben. Durch die gleiche Wirkung, durch die die Sonne den Jupiter anzieht, streben der Jupiter und die Sonne danach,
einander näher zu kommen (drittes Bewegungsgesetz) und durch die Wirkung, durch die der Jupiter die Sonne anzieht, streben der Jupiter
und die Sonne in gleicher Weise danach, sich zu nähern. Die Sonne wird darüberhinaus jedoch nicht durch eine doppelte Wirkung zum
Jupiter hingezogen, noch wird der Jupiter durch eine doppelte Wirkung zur
108 Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981

Sonne hingezogen, sondern es gibt nur eine Wirkung zwischen ihnen, durch die sie sich wechselseitig annähern.“
Als nächstes folgert Newton, daß „diesem Gesetz zufolge alle Körper einander anziehen müssen“. Selbstbewußt legte Newton seine
kühne Schlußfolgerung dar und erläuterte, warum die Anziehungskraft so klein ist, daß man sie nicht beobachten kann. „Möglicherweise
kann man diese Kräfte nur bei den riesigen Körpern der Planeten beobachten.“
Im dritten Buch der Principia, das sich
ebenfalls mit dem System der Welt beschäftigt,
das jedoch sehr mathematisch abgefaßt ist,
behandelt Newton die Gravitation im wesentlichen
auf die gleiche (Weise. Als erstes
diskutierte er den Mondtest, das heißt, er weist
nach, daß die Zentripetalkraft, die die Mondbewegung
um die Erde hervorruft, mit der
Gewichtskraft identisch ist, die der Mond im
Schwerefeld der Erde erfährt, und zeigt, daß
diese Kraft umgekehrt proportional zum
Quadrat des Abstandes ist. Dann erläutert er,
daß die Anziehungskraft der Erde von der
gleichen Art ist wie die Kraft, die die Sonne auf
die Planeten und die Planeten auf ihre Satelliten
ausüben. All diese Kräfte nennt er nun Gravitation.
Mit Hilfe des dritten Bewegungsgesetzes
(actio gleich reactio) geht er von der Vorstellung
einer zentralen Anziehungskraft, die
die Sonne auf die Planeten ausübt, zum Konzept
einer Wechselwirkung zwischen der Sonne und
den Planeten über. Entsprechendes gilt für die
Kräfte zwischen den Planeten und ihren
Satelliten sowie zwischen den Planeten und den
Satelliten untereinander. Schließlich entwickelt
Newton in einem letzten Schritt die Vorstellung,
daß alle Körper einander wechselseitig
anziehen.
Newtons Stil
Meine Untersuchung sollte nicht als ein
Versuch verstanden werden, Newtons Entdeckung
des Gravitationsgesetzes abzuwerten,
sondern ich wollte im Gegenteil die Kreativität
seines genialen Denkens verständlich machen.
Die genaue Betrachtung läßt Newtons erfolgreiche
Art sichtbar werden, den Problemen der
Physik auf den Grund zu gehen; er wendet die
Mathematik auf die physikalische Welt an, wie
sie sich in Experimenten und bei kritischen
Beobachtungen darstellt. Diese Art zu denken,
die ich den Newtonschen Stil nennen möchte,
spiegelt sich im deutschen Titel von Newtons
Hauptwerk wider: Mathematische Prinzipien
der Naturlehre.
Der Newtonsche Stil beruht auf einem
wechselseitigen Geben und Nehmen zwischen
dem, was man heute als mathematisches Modell
bezeichnen würde, und der physikalischen
Wirklichkeit. So entwickelte Newton seine
Vorstellung von der allgemeinen Massenanziehung
aus einem mathematischen Konzept,
das die Natur vereinfacht wiedergibt und das
den Principia zugrundeliegt: Eine Punktmasse
bewegt sich um ein
Bild 8: Diese Abbildung zeigt eine Manuskriptseite von de Motu, die Newton selbst –
vermutlich im November 1684 – geschrieben hat. Diese Seite endet mit einer Bemerkung,
die zeigt, daß Newton zu diesem Zeitpunkt noch nicht die Vorstellung von einer
allgemeinen Gravitation entwickelt hatte. „Daher laufen die Hauptplaneten in Ellipsen
um, die einen Brennpunkt im Zentrum der Sonne haben, und die Radien zur Sonne
überstreichen Flächen, die proportional zu den Zeiten sind, ganz so wie es Kepler behauptet
hat." Die Bemerkung ist falsch. Der Brennpunkt der Planetenbahnen fällt nicht
mit dem Mittelpunkt der Sonne zusammen, sondern mit dem gemeinsamen Massenzentrum
der Sonne und des Planeten, da nicht nur die Sonne alle Planeten, sondern
auch alle Planeten die Sonne anziehen. Später korrigierte Newton seinen Fehler, der
ihm wohl kaum unterlaufen wäre, wenn er bereits damals eine universelle Massenanziehung
vermutet hätte.
Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981 109

Kraftzentrum. Da Newton nicht annahm, daß die mathematische Konstruktion eine genaue Wiedergabe des physikalischen Universums
darstellt, konnte er die Eigenschaften und Effekte einer Anziehungskraft mathematisch erforschen, ohne physikalischen Einschränkungen
Rechnung tragen zu müssen. Auch die Tatsache, daß er die Vorstellung einer Anziehungskraft, die über Entfernungen im leeren Raum
wirkt, abstoßend fand und die Annahme solcher Fernkräfte als einer guten Physik unwürdig zurückwies, hinderte ihn nicht daran, die
mathematischen Eigenschaften einer solchen Zentripetalkraft zu untersuchen. Im nächsten Schritt verglich Newton die Konsequenzen, die
sich aus dem mathematischen Modell ergaben, mit den beobachteten Gesetzmäßigkeiten in der realen Welt, etwa dem Keplerschen Flächensatz
und dem Gesetz von den elliptischen Umlaufbahnen. An Stellen, an denen das mathematische Modell der Wirklichkeit nicht
entsprach, änderte Newton es ab. So führte er als Kraftzentrum nicht eine mathematische Entität ein, sondern eine Punktmasse. Ich sage
hier bewußt Punktmasse und nicht physikalischer Körper, weil Newton physikalische Eigenschaften wie Größe, Umriß oder Masse damals
noch nicht berücksichtigte.
Das modifizierte mathematische Modell implizierte, daß mehrere Punktmassen, die eine zentrale Punktmasse umkreisen, einander
anziehen und wechselseitig ihre Umlaufbahnen stören. Wiederum verglich Newton diese Aussage des Modells mit den physikalischen
Vorgängen in der realen Welt. Unter allen Planeten besitzen Jupiter und Saturn die größten Massen, und deshalb suchte Newton nach
Störungen in ihren Umlaufbahnen. Gemeinsam mit John Flam-steed fand er heraus, daß die Bahnbewegung des Saturn deutliche
Störungen aufweist, wenn sich beide Planeten einander bis auf den kleinstmöglichen Abstand genähert haben. Durch wiederholten Vergleich
zwischen dem mathematischen Modell und der physikalischen Wirklichkeit konnte Newton sein Modell immer mehr der Natur
„anpassen“ und schließlich die Planeten als physikalische Körper mit einer charakteristischen Gestalt und Größe beschreiben.
Zuletzt wandte Newton sein Modell auch auf das System der Welt an. Er nahm an, daß die Anziehungskraft, deren Eigenschaften er auf
mathematischem Weg abgeleitet hatte, eine universelle Schwere oder Gravitation ist. Er stellte fest, daß sich der Mond so bewegt, als
würde er mit einer Kraft zur Erde gezogen, die um den Faktor 1/3600 geringer ist als die Schwerkraft, der ein Objekt an der Erdoberfläche
ausgesetzt ist. Da der Mond sechzigmal weiter vom Erdmittelpunkt entfernt ist als ein Objekt auf der Erdoberfläche, stimmt der Faktor
1/3600 mit der Aussage des mathematischen Modells überein, daß das Schwerefeld der Erde auch den Mond erfaßt und mit dem Quadrat
der Entfernung abnimmt.
Das Gesetz von der universellen Gravitation erklärt, warum die Planeten den Keplerschen Gesetzen nur näherungsweise folgen und wie
die beobachteten Abweichungen Zustandekommen. Es liefert außerdem die Begründung dafür, daß an jedem beliebigen Punkt der Erde
verschiedenartige Körper aus gleicher Höhe gleich schnell fallen (sofern keine Reibung im Spiel ist) und daß die Fallbeschleunigung an
jedem Ort der Erde von der Höhe und der geographischen Breite abhängt. Das Gravitationsgesetz erklärt überdies die regulären und die
irregulären Bewegungen des Mondes und bietet die physikalische Grundlage, um das Zustandekommen der Gezeiten zu verstehen und die
damit zusammenhängenden Erscheinungen voraussagen zu können. Auch die Erdpräzession, die man schon lange vor Newtons Entdeckungen
beobachtet hatte, aber freilich nicht erklären konnte, erwies sich als Folge der allgemeinen Gravitation: sie kommt durch die
Anziehungskraft des Mondes zustande.
Da die mathematisch hergeleitete Anziehungskraft für die beobachteten Vorgänge in der physikalischen Welt eine angemessene
Erklärung liefert, entschied Newton, daß eine solche Kraft „tatsächlich existiert", und das, obwohl er einer Philosophie anhing, die es nicht
erlaubte, daß eine nur mathematisch begründete Kraft Teil des Systems der Natur sein könnte. Um diese philosophischen Schwierigkeiten
überwinden zu können, forderte Newton weitergehende Untersuchungen über die Ursachen, wie die universelle Gravitation zustandekommen
könnte.
Zeitweise vermutete Newton, die universelle Gravitation werde möglicherweise durch die Impulse von Ätherteilchen hervorgerufen, die
in großer Zahl einen massiven Körper treffen, oder sie könnten durch Strömungen in einem alles durchdringenden Äther entstehen. Er ging
jedoch auf diese Vorstellungen in den Principia nicht näher ein, denn Hypothesen erfinde er nicht (hypotheses non fingo) und gebe sie
schon gar nicht als physikalische Erklärungen aus. Sein Stil hatte ihn zu einem mathematischen Modell der universellen Gravitationskraft
geführt und dazu veranlaßt, seine mathematischen Ergebnisse auf die physikalische Welt anzuwenden, obwohl diese Fernkraft keineswegs
eine Form von Kraft darstellte, an die Newton so recht glauben konnte.
Einigen Zeitgenossen Newtons erschien die Vorstellung einer Fernkraft, die über große Entfernungen im leeren Raum wirkt, so
unverständlich und abwegig, daß sie sich auf eine Diskussion der Eigenschaften dieser Kraft nicht einlassen konnten und Schwierigkeiten
hatten, die Newtonsche Physik zu akzeptieren. Es war ihnen unmöglich, Newtons Argumentation zu folgen, wenn er behauptete, es sei
ihm zwar noch nicht gelungen zu erklären, wie die Gravitation zustandekommt, doch reiche es aus, „daß die Gravitation tatsächlich
existiert und zufriedenstellend die Erscheinungen am Himmel und die Gezeiten erklärt“. Diejenigen, die Newtons Stil akzeptierten,
wendeten das universelle Gravitationsgesetz auf viele andere physikalische Erscheinungen an und machten so seine Tragweite deutlich.
Auch diese Anhänger Newtons verlangten eine Antwort auf die Frage, wie eine solche Kraft durch den offensichtlich leeren Raum über
große Entfernungen übertragen werden könnte. Newton ließ sich, trotz seiner eigenen Skepsis gegenüber der Vorstellung von einer
Fernkraft, nicht durch Vorurteile davon abhalten, die universeile Massenanziehung zu untersuchen. Der Biologe Georges Louis Ledere de
Buffon, der im achtzehnten Jahrhundert lebte, schrieb einmal, daß sich der Stil eines Menschen nicht von seiner Persönlichkeit trennen
läßt. Bei Newton kann seine größte Entdeckung nicht losgelöst von seinem Stil betrachtet werden, mathematische Modelle unvoreingenommen
zu überprüfen.
Hookes Anspruch auf die Entdeckung der Gravitationsformel
Aus dem Briefwechsel zwischen Hooke und Newton geht klar hervor, daß Hooke Newton lehrte, wie man konzentrische Bewegungen
analysiert. Später nahm Hooke für sich in Anspruch, er habe vor Newton das Gesetz der universellen Gravitation formuliert, als er in seinen
Briefen vorgetragen habe, daß die Anziehungskraft umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung sei, und viele Historiker
haben Hookes Darstellung unkritisch übernommen.
Dieser Anspruch ist jedoch nicht gerechtfertigt, denn Hooke hatte lediglich vermutet, daß die Planeten einer Kraft in Richtung auf die
Sonne ausgesetzt sind, die umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist. Universelle Gravitation beinhaltet aber mehr als eine
zur Sonne gerichtete Kraft: Sie schließt ebenso die Wirkung der Planeten auf die Sonne ein, und – was das Entscheidende ist – sie erfaßt
alle Objekte im Universum. Das universelle Gravitationsgesetz drückt nicht nur eine Proportionalität in
110 Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981

Bild 9: Aus dem dritten Keplerschen Gesetz
für die Planetenbewegung folgt, daß auf den
Planeten eine Zentripetalkraft wirkt, die
umgekehrt proportional zum Quadrat des
Abstandes zur Sonne ist. Betrachtet man den
besonders einfachen Fall einer Kreisbewegung,
so läßt sich dieser Zusammenhang in
wenigen Rechenschritten zeigen. Ein Körper
der Masse m, der sich mit einer Geschwindigkeit
v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r
bewegt, erfährt eine Zentripetalkraft, die
proportional v 2 /r ist. Da die Geschwindigkeit
(v) gleich dem Quotienten aus dem Kreisumfang
(2pr) und der Umlaufzeit (7) ist, kommt
man durch elementare Umformungen auf
den Ausdruck 4p 2 (r 3 / T 2 ) · (1/r 2 ). Nach dem
dritten Keplerschen Gesetz ist der Quotient
r³/T 2 eine Konstante (K), und daraus folgt
unmittelbar die quadratische Abhängigkeit
vom Kehrwert des Radius.
r
v
Zentripetalkraft : v r
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
2 æ r ö 1 2 1
ç 2 ÷ K
2 2
2
v æ 2pr ö 1 æ 4p
r ö 1
= ç ÷ × = ç × =
r
2 ÷
è T ø r è T ø r
æ r ö 1 æ r × r ö 1
4p ç ÷ × = 4p ç ÷ × =
è T ø r è T × r ø r
4p × = 4p ×
èT ø r r
bezug auf das Quadrat des Abstandes aus, sondern ebenso eine mathematische Relation zwischen den Massen der anziehenden Körper. Es
erfordert einen genialen Einblick, um von Hookes Beziehung für die zur Sonne ausgerichtete Kraft zur universellen Gravitation zu
kommen und das moderne Konzept der Masse einzuführen.
Newton glaubte nicht einmal, daß er Hooke zu Dank verpflichtet sei, weil Hooke ihm mitgeteilt hatte, daß die Zentripetalkraft
umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist. Bereits 1673 hatte nämlich Huygens in einem Nachtrag zu seinem Buch über die
Pendeluhr mitgeteilt, daß die Zentrifugalkraft bei Kreisbewegungen proportional zu v 2 /r ist, wobei v für die Geschwindigkeit des
umlaufenden Körpers und r für den Bahnradius steht. Newton selbst hatte die gleiche Beziehung unabhängig davon in den sechziger
Jahren des siebzehnten Jahrhunderts entdeckt. Die Zentrifugalkraft und die Zentripetalkraft unterschieden sich nicht in ihrem Betrag, sondern
nur in der Richtung, und das heißt, die v 2 /r-Beziehung gilt auch für die Zentripetalkraft. Aus dieser Beziehung und Keplers drittem
Gesetz folgt durch einfache Algebra (Bild 9), daß die Zentripetalkraft umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat ist. Nach der Veröffentlichung
von Huygens konnte jeder, der die elementaren Umformungen in der Algebra beherrschte, die quadratische Beziehung für die
Zentripetalkraft bei einer Kreisbewegung finden. Daher sah Newton keine Notwendigkeit, Hooke für den Hinweis auf die quadratische
Abhängigkeit zu danken.
Hooke und Newton waren sich darüber im klaren, daß die Herleitung der quadratischen Beziehung für Kreisbewegungen etwas ganz
anderes ist als der Nachweis, daß diese Beziehung auch für Bewegungen längs elliptischer Bahnen gilt. Die Aufgabe bestand darin zu zeigen,
daß die quadratische Beziehung für die Zentripetalkraft dem Keplerschen Gesetz von der elliptischen Umlaufbahn und dem
Flächensatz entspricht. Diesen Punkt sprach Hooke in seinem Brief vom 6. Januar 1680 an, machte jedoch einen fundamentalen Fehler,
der Newton davon überzeugte, daß Hooke nicht vollständig verstand, worüber er sprach. Hooke argumentierte so: Wenn die Anziehungskraft
umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat sei, müsse die Bahngeschwindigkeit eines Planeten „dem Kehrwert der
Entfernung proportional sein, genau wie es Kepler behauptet hat". Selbst unter den Bedingungen, die Hooke annahm, ist die Bahngeschwindigkeit
jedoch im allgemeinen nicht umgekehrt proportional zum Abstand von der Sonne; nur im Perihel und Aphel der
Planetenbahn stimmt diese Beziehung (Bild 5). Auch wegen dieses Fehlers sah Newton keinen Grund, Hooke für seine Anregungen zu
danken.
Im Jahre 1717 wollte sich Newton den Anspruch sichern, er selbst habe als erster die quadratische Abhängigkeit entdeckt, die das
Gravitationsgesetz aufweist. Er gab vor, er habe den berühmten Mondtest nicht erst in der Zeit gemacht, in der er die Principia niederschrieb,
sondern mehr als zehn Jahre zuvor. Die Dokumente aus den Jahren nach 1660 zeigen jedoch, daß Newton das Fallen des Mondes
in seiner Umlaufbahn damals nicht mit dem Fallen eines Objektes auf die Erde verglich; vielmehr zog er eine Parallele zwischen dem
„zentrifugalen Streben“ des umlaufenden Mondes und dem „zentrifugalen Streben“ eines Körpers auf der Erdoberfläche, der sich mit der
rotierenden Erde mitbewegt. Newton berechnete, daß das „zentrifugale Streben“ für eine (hypothetische) kreisförmige Planetenbahn umgekehrt
proportional zum Planetenabstand von der Sonne wäre, zog aber daraus keine physikalischen Schlußfolgerungen.
Newton hat seine Behauptung, er habe den Mondtest bereits zu einem frühen Zeitpunkt durchgeführt, nicht veröffentlicht, sondern er
äußerte sie in einem handgeschriebenen Brief an den französischen Schriftsteller Pierre des Maizeaux, strich diese Bemerkung auf der
Manuskriptseite jedoch wieder durch. Newton setzte auch die bekannte Geschichte in Umlauf, ein fallender Apfel habe ihn zu den
Überlegungen veranlaßt, die schließlich zur Entdeckung des universellen Gravitationsgesetzes führten. Vermutlich diente auch diese Erfindung
dazu, den Eindruck zu erwecken, als habe er die Gravitation bereits zwanzig Jahre vor seiner Arbeit an den Principia entdeckt, oder
als gingen wenigstens die Wurzeln seiner neuen Vorstellungen in diese Zeit zurück.
Tatsächlich hat Newton erst im Dezember 1684 erkannt, daß dann, wenn die Sonne die Erde anzieht, auch die Erde die Sonne mit einer
Kraft gleicher Größe anziehen muß. 1685 überwand er seine Abneigung, eigene Entdeckungen aufzuschreiben und begann die Arbeit an
den Principia, die von der Royal Society veröffentlicht werden sollten. Vielleicht war er damals nur deshalb bereit, seine Arbeiten dem
öffentlichen Urteil auszusetzen (und dabei möglicherweise wie bereits mit seiner Farbenlehre auf Ablehnung zu stoßen), weil er gerade die
Störungen der Planetenbahnen entdeckt und die kühne Vorstellung von der universellen Gravitation entwickelt hatte. Damit verfügte
Newton über die Grundlagen, auf denen sich ein neues Gebäude einer Naturphilosophie errichten ließ, die einerseits nach mathematischen
Prinzipien aufgebaut ist, und sich andererseits auf die Vorgänge in der realen Welt und insbesondere die Planetenbewegungen anwenden
läßt.
Aus: Scientific American, März 1981
Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981 111

Quelle:
Cohen, Isaac Bernhard: Newtons Gravitationsgesetz – aus Formeln wird eine Idee, in: Spektrum der Wissenschaft, Mai
1981, S. 101 – 111.
Anhang
Über den Autor:
I. Bernard Cohen (Isaac Bernard Cohen, * 1914 in New York City; † 20. Juni 2003 in Waltham,
Massachusetts) war ein US-amerikanischer Wissenschaftshistoriker.
Cohen studierte an der Harvard University (Bachelor-Abschluss 1937) und war dort Schüler George
Sarton. Er promovierte bei diesem 1947 in Harvard und blieb danach an der Universität bis zu seinem
Tod, zuletzt als „Victor S. Thomas Professor“ für Wissenschaftsgeschichte.
Seine Arbeiten setzten sich mit vielseitigen Themen, insbesondere aber Isaac Newton auseinander. Er
untersuchte die Entstehung von Newtons Hauptwerk, der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
und gab 1974 eine neue kritische Ausgabe und zusätzlich eine neue englische Übersetzung heraus (mit
Anne Whitman), an der er über 15 Jahre gearbeitet hatte. Cohens Interview mit Albert Einstein im April
1955 war das letzte des berühmten Physikers (veröffentlicht in der Scientific American Ausgabe vom
Juli 1957). er beschäftigte sich auch mit den wissenschaftlichen Arbeiten von Benjamin Franklin und
mit William Harvey.
Cohen wurde 1974 mit der George-Sarton-Medaille ausgezeichnet, dem höchst renommierten Preis für
Wissenschaftsgeschichte der von George Sarton und Lawrence Joseph Henderson gegründeten History
of Science Society (HSS).
Quelle: Wikipedia – http://de.wikipedia.org/wiki/I._Bernard_Cohen
112 Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981