Dominik Lechler und Michael Hofmann Numerische Simulation ...

Dominik Lechler und Michael Hofmann
Numerische Simulation turbulenter
Strömungen
Proseminar Numerik vom 07.08.06 - 09.08.06 im
Kleinwalsertal
() 3. August 2006 1 / 50

1 Einführende Beispiele und Bemerkungen
2 Strömungstypen (laminar und turbulent)
Abhängigkeit von der Reynoldszahl
Vergleich von laminaren und turbulenten Strömungen
Veranschaulichung als Stabilitätsproblem
3 Turbulenzmodellierung
Direkte numerische Simulation (DNS)
Grundidee der Modellierung
Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung
Das k-ɛ-Modell
Weitere Turbulenzmodelle
() 3. August 2006 2 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
1 Einführende Beispiele und Bemerkungen
2 Strömungstypen (laminar und turbulent)
Abhängigkeit von der Reynoldszahl
Vergleich von laminaren und turbulenten Strömungen
Veranschaulichung als Stabilitätsproblem
3 Turbulenzmodellierung
Direkte numerische Simulation (DNS)
Grundidee der Modellierung
Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung
Das k-ɛ-Modell
Weitere Turbulenzmodelle
() 3. August 2006 3 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
Einführende Beispiele zur Motivation und Demonstration:
Allgemeine Idee von Simulation
• Simulationsrechnungen ersetzen teure Experimente
• Veränderung von Parametern sehr schnell an wenigen Stellen im Code
• also schnellere Tests zur Optimierung ohne Versuchsumbauten
möglich
• durch hohen Speicherplatz mehr Datenspeicherung möglich
• Prozessmodelle, für die keine Experimente möglich sind
() 3. August 2006 4 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
Strömungen in der Natur
• Wolkenbildung
• Luftströmung über Landschaften
• Wildbach, Wasserfall, Meereswellen
• Plattentektonik
• Durchströmung poröser Medien wie z.B. dem Erdboden
• Sonnenwinde
• Lawinen
() 3. August 2006 5 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
() 3. August 2006 6 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
() 3. August 2006 7 / 50

Strömungen im Alltag
Einführende Beispiele und Bemerkungen
• Milch im Kaffee
• Badewannenwirbel
• Zigarettenrauch
• Aerodynamik beim Segeln
() 3. August 2006 8 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
() 3. August 2006 9 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
() 3. August 2006 10 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
Strömungen in der Technik
• Blutdruckmessung, Herzklappengeräusche
• Heizungen und Klimaanlagen
• Kaminplatzierung bei Gebäuden, Strömungen um Hochhäuser, in
Häuserschluchten
• Schmelz-, Verfestigungs-, Verbrennungs- und Beschichtungsprozesse
• Fahrzeugtechnik
() 3. August 2006 11 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
() 3. August 2006 12 / 50

Einführende Beispiele und Bemerkungen
Strömungen in der Technik
• Flutwellensimulation bei brechenden Dämmen
• Schiffsbewegung
• Durchströmung technischer Bauteile
• Kraftwerke, Kühltürme
• Trinkwasserspeicherkonstruktion
• Fluid-Festkörper-Wechselwirkungen
() 3. August 2006 13 / 50

Strömungstypen (laminar und turbulent)
1 Einführende Beispiele und Bemerkungen
2 Strömungstypen (laminar und turbulent)
Abhängigkeit von der Reynoldszahl
Vergleich von laminaren und turbulenten Strömungen
Veranschaulichung als Stabilitätsproblem
3 Turbulenzmodellierung
Direkte numerische Simulation (DNS)
Grundidee der Modellierung
Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung
Das k-ɛ-Modell
Weitere Turbulenzmodelle
() 3. August 2006 14 / 50

Strömungstypen (laminar und turbulent)
Wir wenden uns nun turbulenten, d.h. chaotischen Strömungen zu. Ihre
Analyse und Simulation stellt schwierigste Anforderungen an die
Strömungsmechanik.
() 3. August 2006 15 / 50

Strömungstypen (laminar und turbulent) Abhängigkeit von der Reynoldszahl
Definition
Die Reynoldszahl gibt das Verhältnis von Trägheitskraft zu Reibungskraft
in einem strömenden Fluid an.
Abhängigkeit von der Reynoldszahl
• Stationäre Strömungen
• Re < 1: enge Umströmung von Hindernissen
• Re > 4: stationäre Rückströmungsgebiete hinter den Hindernissen
• Re > 40: Rückströmungsgebiete trennen sich vom Hindernis ab →
periodische Strömungen
• Re ≫ 40: Abfolge und Größe der Rückströmungsgebiete wird
unregelmäßig → quasi-periodische Strömungen
• Re > Rekrit ≈ 2340: Strömung völlig irregulär, keine Periodizität zu
erkennen → turbulente Strömungen
() 3. August 2006 16 / 50

Strömungstypen (laminar und turbulent) Abhängigkeit von der Reynoldszahl
() 3. August 2006 17 / 50

Strömungstypen (laminar und turbulent) Vergleich von laminaren und turbulenten Strömungen
Eigenschaften turbulenter Strömungen
• regellos
• nichtlinear
• hohe Diffusionsraten
• viele Wirbel
• kontinuierliches Fourierspektrum
• Umwandlung der kinetischen Energie
() 3. August 2006 18 / 50

Energiekaskade
Strömungstypen (laminar und turbulent) Vergleich von laminaren und turbulenten Strömungen
• Transport von Energie von großen zu immer kleiner werdenden
Wirbeln
• mündet in kompletter Umwandlung der Energie in Wärme →
Energiekaskade oder abklingende Turbulenz
• Vermutung: Abgabe kleinerer Energiemengen von kleinen an größere
Wirbel → inverse Kaskade oder getriebene Turbulenz
⇒ Turbulente Strömungen brauchen Energiezufuhr zur Aufrechterhaltung.
() 3. August 2006 19 / 50

Strömungstypen (laminar und turbulent) Veranschaulichung als Stabilitätsproblem
Definition
Eine Stromlinie ist eine Kurve, die zur festen Zeit t in jedem Punkt
(x1, x2, x3) eine zum zugehörigen Geschwindigkeitsvektor (u1, u2, u3)
parallele Tangente besitzt. Die Höhenlinien der Stromfunktion sind gerade
die Stromlinien des Geschwindigkeitsfelds �u.
Weiter gilt: Bei laminaren Strömungen fließt zwischen 2 Stromlinien stets
dieselbe Masse.
() 3. August 2006 20 / 50

Stabilitätsproblem
Strömungstypen (laminar und turbulent) Veranschaulichung als Stabilitätsproblem
• Rohrströmung zunächst völlig laminar
• Stromlinie wird verbogen
• Strömungsquerschnitt oberhalb der Störung wird kleiner, unterhalb
größer
• Strömungsgeschwindigkeit steigt oberhalb, sinkt unterhalb der
Störung
• Druckgefälle will die Strömung beschleunigen
• Viskosität führt zu einem Abbau des Geschwindigkeitsgefälles
=⇒ Re = ρur
µ
bestimmt, ob die Störung Turbulenz verursacht oder nicht.
() 3. August 2006 21 / 50

Turbulenzmodellierung
1 Einführende Beispiele und Bemerkungen
2 Strömungstypen (laminar und turbulent)
Abhängigkeit von der Reynoldszahl
Vergleich von laminaren und turbulenten Strömungen
Veranschaulichung als Stabilitätsproblem
3 Turbulenzmodellierung
Direkte numerische Simulation (DNS)
Grundidee der Modellierung
Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung
Das k-ɛ-Modell
Weitere Turbulenzmodelle
() 3. August 2006 22 / 50

Motivation
Turbulenzmodellierung Direkte numerische Simulation (DNS)
• Navier-Stokes-Gleichungen in 3D beschreiben jegliche Strömung
• auf einem genügend feinen Gitter Gleichungen diskretisieren und dann
numerisch lösen
Problem
• Größe der kleinsten Wirbel proportional zu ν −3/4 (k −5/3 -Gesetz von
Kolmogorov)
• Wirbelauflösung durch 3D-Gitter erfordert N = O(ν −9/4 )
Gitterpunkte
() 3. August 2006 23 / 50

Beispiel zur Verdeutlichung
Turbulenzmodellierung Direkte numerische Simulation (DNS)
• Aerodynamik von Autos und Flugzeugen: meist νLuft ≤ 10 −6
⇒ N = O((10 −6 ) −9/4 ) = O(10 27/2 )
• Man bräuchte mehr als 10 13 = 10.000.000.000.000 (10 Billionen)
Gitterpunkte
• Speicherplatz und Rechenleistung sind dafür nicht aufzubringen
() 3. August 2006 24 / 50

Fazit
Turbulenzmodellierung Direkte numerische Simulation (DNS)
• DNS eignet sich nur für Probleme mit kleinen Reynoldszahlen oder
• für Probleme, bei denen man Effekte nicht aufzulösender kleinster
Wirbel vernachlässigen kann
• DNS bis etwa Re = 10.000 sinnvoll
• Problem: direkte numerische Simulation turbulenter Strömungen mit
hohem Re auf genügend feinem Gitter technisch unmöglich
• Verwendung von groberem Gitter verfälscht Resultate bis zur
Unbrauchbarkeit
() 3. August 2006 25 / 50

Motivation
Turbulenzmodellierung Grundidee der Modellierung
• Kleinste Details weder messbar noch von Interesse
• Mittelwerte Berechnungsgrundlage
• Strömung und beschreibende Größen aufteilen
Aufteilung
• Hauptteile � U, P und � G direkt durch umströmtes Hindernis
hervorgerufen
• Störungen �u ′ , p ′ und �g ′ durch turbulente Anströmung hervorgerufen
• Additive Zerlegungen:
�u = � U + �u ′ , p = P + p ′ ,�g = � G + �g ′
• Hauptteile � U, P und � G durch Filter gebildet
() 3. August 2006 26 / 50

Definition
Turbulenzmodellierung Grundidee der Modellierung
Ein Filter 〈·〉 auf eine Größe angewendet erzeugt einen statistischen,
zeitlichen oder räumlichen Mittelwert. Bei vektoriellen Größen wird der
Filter komponenenweise angewendet. Unser Filter verfügt über folgende
Eigenschaften (dabei seien q und r Größen und α, β ∈ R):
(F1) Linearität:
(F2) Kommutativität mit Ableitungen:
� �
∂q
∂t
〈αq + βr〉 = α〈q〉 + β〈r〉
und � �
∂q
∂xi
= ∂〈q〉
∂t
= ∂〈q〉
∂xi
() 3. August 2006 27 / 50

Definition
(F3) Idempotenz:
Turbulenzmodellierung Grundidee der Modellierung
〈〈q〉〉 = 〈q〉
(F4) Multiplikativität mit gefilterten Größen:
(F5) Verschwinden von Störungen:
〈r〈q〉〉 = 〈r〉〈q〉
〈q ′ 〉 = 0
() 3. August 2006 28 / 50

Turbulenzmodellierung Grundidee der Modellierung
Definition
Einen Tensor können wir uns als geometrisches Objekt vorstellen, das aus
Vektoren aufgebaut ist.
Für zwei Tensoren erster Ordnung ist das Tensorprodukt ⊗ eine
Verknüpfung mit folgenden Eigenschaften (dabei seien q1, q2 und q3
Tensoren der Stufe 1 und α ∈ R):
(T1) Distributivgesetze:
(T2) Assoziativität mit reellen Zahlen:
(q1 + q2) ⊗ q3 = q1 ⊗ q3 + q2 ⊗ q3
q1 ⊗ (q2 + q3) = q1 ⊗ q2 + q1 ⊗ q3
(αq1) ⊗ q2 = α(q1 ⊗ q2) = q1 ⊗ (αq2)
() 3. August 2006 29 / 50

Navier-Stokes-Gleichungen
Turbulenzmodellierung Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
Impulsgleichung und Kontinuitätsgleichung (mit Dichte ρ ≡ const):
∂�u
∂t
+ div(�u ⊗ �u)
� �� �
(�u·∇)�u
+∇p = 1
∆�u + �g
Re
div �u = 0,
() 3. August 2006 30 / 50

Explizit in 3D
∂w
∂t
∂u
∂t
Turbulenzmodellierung Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
∂p 1
+ =
∂x Re · (∂2 u
∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 ) − ∂(u2 ) ∂uv ∂uw
− − + gx
∂x ∂y ∂z
∂v ∂p 1
+ =
∂t ∂y Re · ( ∂2v ∂x2 + ∂2v ∂y2 + ∂2v ∂z
+ ∂p
∂z
1
=
Re · (∂2 w
∂x2 + ∂2w ∂y2 + ∂2w ∂z
∂u ∂v ∂w
+ +
∂x ∂y ∂z
∂(uv)
) − 2 ∂x − ∂(v2 )
∂y
∂(uw)
) − 2 ∂x
= 0
− ∂vw
∂z
+ gy
∂(vw)
−
∂y − ∂(w2 )
+ gz
∂z
() 3. August 2006 31 / 50

Turbulenzmodellierung Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
Gleichungen mit Filter
� � � �
∂�u
1
+ div(�u ⊗ �u) + ∇p = ∆�u + �g
∂t Re
� �
(F 1) ∂�u
⇔ + 〈div(�u ⊗ �u)〉 + 〈∇p〉 =
∂t
1
〈∆�u〉 + 〈�g〉
Re
(F 2)
⇔ ∂〈�u〉
∂t
+ div〈�u ⊗ �u〉
� �� �
∗
+∇〈p〉 = 1
∆〈�u〉 + 〈�g〉
Re
〈q〉=Q
⇔ ∂ � U
∂t + div(� U ⊗ � U) + div(�u ′ ⊗ �u ′ ) + ∇P = 1
Re ∆� U + � G,
() 3. August 2006 32 / 50

wobei für * gilt
Turbulenzmodellierung Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
〈�u ⊗ �u〉 = 〈( � U + �u ′ ) ⊗ ( � U + �u ′ )〉
(T 1)
= 〈 � U ⊗ � U〉 + 〈 � U ⊗ �u ′ 〉 + 〈�u ′ ⊗ � U〉 + 〈�u ′ ⊗ �u ′ 〉
(F 5)
= � U ⊗ � U + 〈�u ′ ⊗ �u ′ 〉
() 3. August 2006 33 / 50

Bei der Kontinuitätsgleichung analog
Turbulenzmodellierung Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
〈div �u〉 = 〈0〉
(F 2)
⇔ div〈�u〉 = 0
〈q〉=Q
⇔ div � U = 0
() 3. August 2006 34 / 50

Reynoldsgleichungen
Turbulenzmodellierung Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
• so erhaltene Gleichungen ensprechen fast Navier-Stokes-Gleichungen
mit gemittelten Größen
• sie heißen Reynoldsgleichungen
• zusätzlicher Term in Impulsgleichung, nämlich der
• Reynoldssche Spannungstensor: R(�u ′ ) = −〈�u ′ ⊗ �u ′ 〉
() 3. August 2006 35 / 50

zusätzliche Unbekannte
Turbulenzmodellierung Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung
• Reynoldsspannungstensor von zusätzlichen Unbekannten �u ′ abhängig
• weitere Gleichungen erforderlich, um das Differentialgleichungssystem
zu lösen
() 3. August 2006 36 / 50

Die Reynoldssche Hypothese
Turbulenzmodellierung Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung
• Turbulenz meist in Gebieten mit hohen Geschwindigkeitsgradienten
∇ � U
• Hypothese: Approximation des Tensors nur von diesen großen
Gradienten abhängig: R(�u ′ ) ≈ R(∇ � U + ∇ � U T )
• Gegenbeispiel: laminare Strömung mit hoher Geschwindigkeit an der
Vorderseite von Flugzeugflügeln
() 3. August 2006 37 / 50

Der Smagorinsky-Ansatz
Turbulenzmodellierung Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung
• Gestalt von R so wählen, dass Turbulenzmodell gegenüber
Verschiebungen und Drehungen invariant ist
• funktionaler Zusammenhang beispielsweise in 2D:
R(∇ � U + ∇ � U T ) = η · Id + χ · (∇ � U + ∇ � U T )
• Smagorinsky: χ = 0.01h 2
�
tr((∇ � U + ∇ � U T ) · (∇ � U + ∇ � U T ) T )
• Ansatz nicht ausreichend für zu grobe Gitter oder Modellierung in 3D
() 3. August 2006 38 / 50

Das Innere des Strömungsgebiets
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
Zur genaueren Modellierung des Reynoldsschen Spannungstensors werden
zwei weitere Größen eingeführt, nämlich:
• die turbulente kinetische Energie k := 1
2 〈|�u′ |〉 und
• deren Dissipationsrate ɛ := 1
2Re 〈|∇�u′ + ∇(�u ′ ) T | 2 〉.
() 3. August 2006 39 / 50

Annahmen
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
• Erweiterte Reynoldssche Hypothese: R(�u ′ ) ≈ R(∇ � U + ∇ � U T , k, ɛ)
• −R(�u ′ ) und ∇ � U + ∇ � U T proportional
• Proportionalitätsfaktor: turbulente Wirbelviskosität νT := cµ k2
ɛ
• Turbulenz wirkt in alle Richtungen gleich
() 3. August 2006 40 / 50

Approximation
Wir wählen
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
R(�u ′ ) ≈ 2
3 k · Id + νT · (∇ � U + ∇ � U T )
und erhalten aus den Reynoldsgleichungen
∂ � U
∂t + div(� U ⊗ � U) + ∇P + 2
�� �
1
�
∇k − div + νT ∇
3 Re � U + ∇� ��
T
U = � G.
() 3. August 2006 41 / 50

Bestimmung von k und ɛ
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
k und ɛ werden beschrieben durch Transportgleichungen:
∂k
∂t + � U∇k − νT
2
�
�
�∇� U + ∇� U T
�
�
∂ɛ
∂t + � U∇ɛ − c1k
�
�
�∇
2
� U + ∇� U T
�
�
� 2
� 2
− div(νT ∇k) + ɛ = 0
− div( cɛ
ɛ
νt∇k) + c2
cµ
2
k
Sie schließen auch das Differentialgleichungssystem der
Reynoldsgleichungen.
= 0
() 3. August 2006 42 / 50

Konstanten
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
• cµ, cɛ, c1 und c2 empirisch gewählt
• oft 2-3 Grundtypen von Problemen:
• Turbulenz hinter einem Gitter
• turbulente Scherströmung
• turbulente Strömung über eine Platte
• Hoffnung, ähnliche Probleme über diese Konstanten auch möglichst
gut zu simulieren
• beispielsweise cµ ≈ 0.09, cɛ ≈ 0.07, c1 ≈ 0.126 und c2 ≈ 1.92
() 3. August 2006 43 / 50

Randbedingungen
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
Das k-ɛ-Modell besitzt keine Gültigkeit in der Nähe fester Wände, da
• die Geschwindigkeit der Strömung durch Reibung gebremst ist (d.h.
niedrigere Re-Zahlen) und
• sich die turbulenten Schwankungen nicht in Wandrichtung ausbreiten
können.
() 3. August 2006 44 / 50

Schichtung
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
Wir betrachten daher im Wandbereich drei Schichten:
• Direkt an der Wand: Strömungsgeschwindigkeit sehr gering,
Strömung laminar
• Darüber: Strömung lokal instabil, ein logarithmisches
Geschwindigkeitsprofil besitzend
• Weiter weg von der Wand: Strömung turbulent
() 3. August 2006 45 / 50

Wandfunktionen
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
• Empirische Ermittlung durch sogenannte Wandfunktione zur
Simulation des laminaren und logarithmischen Bereichs
• Niedrig-Reynolszahl-Modell: Multiplikation der Konstanten cµ, c1 und
c2 mit diesen Wandfunktionen
() 3. August 2006 46 / 50

Randwerte
Als Randwerte setzt man
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
• an festen Wänden die beweglichen Größen sowie ihre Ableitungen in
Nomralenrichtung gleich Null,
• am Einströmrand konkrete problemabhängige Einströmgrößen und
• am Ausströmrand die Ableitungen der beweglichen Größen in
Normalenrichtung gleich Null, was tangentiales Ausströmen bedeutet.
() 3. August 2006 47 / 50

Zwei-Schicht-Modelle
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
• wandnahe und wandferne Gebiete mit unterschiedlichen Modellen
simulieren
• Beispiel:
1 Ein-Gleichungs-Modell in Wandnähe
2 Zwei-Gleichungs-Modell wie k-ɛ-Modell im turbulenten Zentrum
() 3. August 2006 48 / 50

Diskretisierung
Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
• Gewinnung von Information in ausgewählten Punkten aus
kontinuierlicher Information
• Gitter wird über das Beobachtungsgebiet gelegt
• Ableitungen werden durch Differenzenquotienten ersetzt →
Diskretisierung des Modells gestaltet sich sehr ähnlich zu der
Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen.
() 3. August 2006 49 / 50

Turbulenzmodellierung Das k-ɛ-Modell
() 3. August 2006 50 / 50

Turbulenzmodellierung Weitere Turbulenzmodelle
Die bisher besprochenen Modelle vereinfachen das Problem stark, um
Rechenkapazität zu sparen. Daher muss man sich eventuell mit
ungenaueren Ergebnissen begnügen. Moderne Modelle liefern mit höherem
Rechenaufwand genauere Resultate.
Large-Eddy-Simulationen (LES)
• Verfügbarkeit verhältnismäßig großer Rechenkapazitäten
• Verzicht auf Modellierung sämtlicher Turbulenzbereiche
• große Wirbel (Large Eddies): Mischung von Modellierung und DNS
• Wahl spezifischer Filter → Aufwand stufenlos zwischen kompletter
Vereinfachung und aufwendiger Simulation wählbar
• feinere Strukturen der Strömung werden weiterhin modelliert
() 3. August 2006 51 / 50

Turbulenzmodellierung Weitere Turbulenzmodelle
Feinstrukturmodelle
Die LES sind Grundlage für sogenannte Feinstrukturmodelle, in denen nur
die kleinen Wirbel modelliert werden:
• Smagorinsky-Ansatz
• dynamische Subgrid-Scale-Techniken
Seit einiger Zeit werden auch Wavelet-Methoden verstärkt zur Simulation
von Strömungen eingesetzt.
() 3. August 2006 52 / 50

Turbulenzmodellierung Weitere Turbulenzmodelle
Fazit
Mehr und mehr werden in der Zukunft also Verfahren angewendet werden,
die nicht stur eine Methode verfolgen. Vielmehr werden adaptiv und
problemspezifisch verschiedene Modellierungen kombiniert. Diese
Flexibilität wird von der heutigen Komplexität der Anwendungen gefordert.
() 3. August 2006 53 / 50