Der quantenmechanische Oszillator - Sandphysik.de
Der quantenmechanische Oszillator - Sandphysik.de
Der quantenmechanische Oszillator - Sandphysik.de
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
<strong>Der</strong> <strong>quantenmechanische</strong> <strong>Oszillator</strong><br />
Glie<strong>de</strong>rung<br />
1. <strong>Der</strong> klassische harmonische <strong>Oszillator</strong><br />
1.1. Wie<strong>de</strong>rholungen<br />
1.2. Energiebetrachtungen<br />
2. <strong>Der</strong> <strong>quantenmechanische</strong> harmonische <strong>Oszillator</strong><br />
2.1. Das Potential<br />
2.2. Betrachtung eines Elektrons im Potentialtopf<br />
2.3. Die Lösung <strong>de</strong>r stationären Schrödinger-Gleichung für<br />
Fall eines harmonischen <strong>Oszillator</strong>s<br />
2.3.1. Die Energieniveaus<br />
3. Absoluter Nullpunkt<br />
3.1. Die Celsius-Skala<br />
3.2. Das Gasthermometer<br />
3.3. Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala<br />
3.4. Quantenmechanische Betrachtungsweise<br />
4. Quellenangabe
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
1. <strong>Der</strong> klassische harmonische <strong>Oszillator</strong><br />
1.1. Wie<strong>de</strong>rholungen:<br />
y (t) = y(max)ּsin (ωt) heißt Elongation und gibt <strong>de</strong>n Abstand von <strong>de</strong>r Ruhelage <strong>de</strong>s Körpers<br />
zur Zeit t an.<br />
Die maximale Elongation y(max) heißt Amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>r Schwingung.<br />
T ist die Umlaufszeit <strong>de</strong>r Kreisbewegung bzw. die Schwingungsdauer o<strong>de</strong>r Perio<strong>de</strong>ndauer<br />
einer vollen Schwingung.<br />
Die Anzahl <strong>de</strong>r Umläufe pro Sekun<strong>de</strong> heißt Drehzahl, die Anzahl <strong>de</strong>r Schwingungen pro<br />
Sekun<strong>de</strong> heißt Frequenz f <strong>de</strong>r Schwingung.<br />
Es gilt : f = 1 / T und ω = 2πf ; die Winkelgeschwindigkeit ω ist also das 2π-fache <strong>de</strong>r<br />
Frequenz und heißt Kreisfrequenz <strong>de</strong>r Schwingung.<br />
Physikalische Systeme, die Schwingungen ausführen, bezeichnet man als <strong>Oszillator</strong>en.<br />
Ist die Schwingung rein sinusförmig, so spricht man von harmonischen <strong>Oszillator</strong>en.<br />
Nach <strong>de</strong>m Hookeschen Gesetz ist die Rücktreiben<strong>de</strong> Kraft bei einem um x ausgelenktem<br />
Körper<br />
F x = -mω²x = -kx.<br />
Bewegungen, die durch die Gleichung x = Aּcos (ωt + δ) beschrieben wer<strong>de</strong>n, wer<strong>de</strong>n<br />
harmonische Schwingungen genannt. Ist die Beschleunigung eines Gegenstan<strong>de</strong>s<br />
proportional zu seiner Auslenkung und dieser entgegengesetzt, dann führt <strong>de</strong>r Gegenstand<br />
eine einfache harmonische Schwingung aus.<br />
Beispiele für eine harmonische Schwingung sind das Fa<strong>de</strong>npen<strong>de</strong>l (bei kleinen Amplitu<strong>de</strong>n)<br />
o<strong>de</strong>r <strong>de</strong>r Fe<strong>de</strong>rschwinger.<br />
Zusammenhang von Drehbewegung und harmonischer Schwingung<br />
Ort als Funktion <strong>de</strong>s Winkels:<br />
y (φ) = Rּsin (φ) = Rּsin (ωt + δ),<br />
x (φ) = Rּcos (φ) = Rּcos (ωt + δ),<br />
wobei φ als Phasenwinkel o<strong>de</strong>r auch Phase <strong>de</strong>r Schwingung bezeichnet wird.
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
1.2.Energiebetrachtungen:<br />
potenzielle Energie:<br />
Die potenzielle Energie lässt sich über die Arbeit ausdrücken:<br />
W =<br />
Für infinitesimale Verschiebungen gilt:<br />
∫ F ⋅ ds<br />
= -∆ E<br />
pot o<strong>de</strong>r<br />
s2<br />
∫ ⋅<br />
∆E pot = E pot,2 - E pot,1 = - W = F ds .<br />
s1<br />
dE pot = -Fּ ds<br />
dE pot = -F x dx = -(-kx) dx = +kx dx<br />
Durch Integration erhält man:<br />
E pot = 2<br />
1 kx 2 .<br />
kinetische Energie:<br />
Die kinetische Energie einer Masse m , die sich mit <strong>de</strong>r Geschwindigkeit v bewegt ist<br />
E kin = 2<br />
1 mv 2 ,<br />
wobei die kinetische Energie in <strong>de</strong>r Umkehrpunkten <strong>de</strong>r Schwingung ihr Minimum (v = min)<br />
und in <strong>de</strong>r Ruhelage ihr Maximum (v = max) erreicht.<br />
Gesamtenergie:<br />
Da sich potenzielle und kinetische Energie ineinan<strong>de</strong>r umwan<strong>de</strong>ln, bleibt daher die<br />
Gesamtenergie, bei Vernachlässigung <strong>de</strong>r Reibung, erhalten.<br />
Somit gilt nach <strong>de</strong>m Energieerhaltungssatz:<br />
E ges = E pot + E kin = 2<br />
1 kx 2 + 2<br />
1 mv<br />
2<br />
Ist x = A (maximale Auslenkung), dann gilt:<br />
E ges = 2 1 kA 2 (E ges ~ A 2 ) .
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
2. <strong>Der</strong> <strong>quantenmechanische</strong> harmonische <strong>Oszillator</strong><br />
2.1. Das Potential <strong>de</strong>s <strong>quantenmechanische</strong>n harmonischen <strong>Oszillator</strong>s<br />
Die Lösung <strong>de</strong>r zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für <strong>de</strong>n Fall eines eindimensionalen<br />
harmonischen <strong>Oszillator</strong>s lässt sich bei vielen Problemen wie etwa bei Schwingungen von<br />
Molekülen und in Festkörpern anwen<strong>de</strong>n. Auch Planck musste zur Erklärung seiner<br />
Strahlungsformel annehmen, dass seine Mo<strong>de</strong>lloszillatoren nur Energie in Form von Quanten<br />
und nicht kontinuierlich abgeben. Die potenzielle Energie (auch Potential genannt) dieses<br />
<strong>Oszillator</strong>s ist mit<br />
1 2 2<br />
E pot = V(x) = ⋅ mω x , (1)<br />
2<br />
1 2<br />
festgelegt, da die potenzielle Energie eines harmonischen <strong>Oszillator</strong>s mit E pot = ⋅ kx<br />
2<br />
beschrieben wird, wobei ω 2 = k / m.<br />
Das Potenzial eines harmonischen <strong>Oszillator</strong>s<br />
Die Gesamtenergie E eines Teilchens, das zwischen <strong>de</strong>n Punkten x = -A und x = A oszilliert,<br />
ist: E = 2<br />
1 mω 2 A 2 . Für <strong>de</strong>n Fall, dass das Teilchen in <strong>de</strong>r Ruhelage (x=0) ruht, gilt: E = 0.<br />
Die Wahrscheinlicheit ein Teilchen in einer Umgebung dx eines Punktes x zu fin<strong>de</strong>n, ist<br />
proportional zu Zeit dt = dx / v. Die Geschwindigkeit v kann durch Umstellen <strong>de</strong>s<br />
Energieerhaltungssatzes gewonnen wer<strong>de</strong>n:<br />
1 mv<br />
2 1 2 2<br />
+ ⋅ mω x = E<br />
2 2<br />
Somit gilt: P(x) dx ~<br />
dx dx =<br />
v 2 1<br />
( E − mω<br />
2 x<br />
2 )<br />
m 2
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
2.2. Betrachtung eines Elektrons im Potentialtopf<br />
Die eindimensionale zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung lautet:<br />
− h 2 2<br />
h d ψ ( x)<br />
o<strong>de</strong>r ⋅ + ( E −V<br />
( x))<br />
⋅ψ<br />
( x)<br />
= 0<br />
2 2<br />
d ψ ( x)<br />
⋅ + V ( x)<br />
⋅ψ<br />
( x)<br />
= E ⋅ψ<br />
( x)<br />
2<br />
2m<br />
dx<br />
2m<br />
dx<br />
2<br />
(2)<br />
2mE<br />
Für <strong>de</strong>n Fall eines freien Teilchens ist V(x) = 0. Somit ergibt sich mit k = die<br />
2<br />
h<br />
2<br />
d ψ ( x)<br />
2<br />
Schrödinger-Gleichung = −k<br />
⋅ Ψ(<br />
x)<br />
2<br />
.<br />
dx<br />
Diese Differentialgleichung zu lösen, heißt eine Funktion zu fin<strong>de</strong>n, die nach zweimaliger<br />
Differentiation diese Gleichung erfüllt. Wie man leicht sieht, kommt sowohl die Sinus-<br />
Funktion, als auch die Kosinus-Funktion in Frage:<br />
Ψ x)<br />
A sin kx ; Ψ 2<br />
x)<br />
= A coskx<br />
. (3)<br />
1<br />
( =<br />
1<br />
(<br />
2<br />
Bei einem Elektron, das im Potentialtopf eingesperrt ist, gilt für <strong>de</strong>n Fall x < A die<br />
Schrödinger-Gleichung<br />
2<br />
d Ψ( x)<br />
2<br />
= −k<br />
2<br />
dx<br />
⋅ Ψ<br />
( x)<br />
2m(<br />
E −V<br />
( x))<br />
, mit k = . (4)<br />
2<br />
h<br />
Wenn jedoch <strong>de</strong>r Fall <strong>de</strong>r klassisch verbotenen Physik mit x > A auftritt, wird <strong>de</strong>r Term<br />
( E – V(x) ) negativ und die Schrödinger-Gleichung lautet<br />
2<br />
d Ψ( x)<br />
2<br />
2m(<br />
V ( x)<br />
− E)<br />
= + α ⋅ Ψ(<br />
x)<br />
2<br />
, mit α =<br />
. (5)<br />
2<br />
dx<br />
h<br />
Um zu Lösungen <strong>de</strong>r Differentialgleichungen (4) und (5) zu kommen, benötigt man nun <strong>de</strong>n<br />
Ansatz<br />
Ψ<br />
+ α⋅x<br />
−α⋅x<br />
1<br />
( x)<br />
= B1<br />
⋅e<br />
bzw. Ψ2 ( x)<br />
= B2<br />
⋅e<br />
. (6)
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
2.3.1. Die Lösung <strong>de</strong>r stationären Schrödinger-Gleichung für <strong>de</strong>n Fall<br />
eines eindimensionalen harmonischen <strong>Oszillator</strong>s<br />
Setzt man nun das Potential (1) in die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (2) ein, so<br />
erhält man:<br />
2 2<br />
d ψ ( x)<br />
1 2 2<br />
− h 2<br />
d ψ ( x)<br />
2m<br />
1 2 2<br />
⋅ + mω<br />
x ⋅ψ<br />
( x)<br />
= E ⋅ψ<br />
( x)<br />
2<br />
bzw. = − ( E − mω<br />
x ) ⋅ψ<br />
( x)<br />
2<br />
2<br />
2m<br />
dx 2<br />
dx h 2<br />
(7)<br />
Diese Gleichung lässt sich nun mit Hilfe <strong>de</strong>s Ansatzes (6) lösen. Demzufolge probiert man<br />
<strong>de</strong>n Lösungsansatz:<br />
2<br />
⋅x<br />
−α<br />
ψ ( x)<br />
= A⋅e<br />
. (8)<br />
Nach zweimaligen differenzieren, erhält man die 2. Ableitung von <strong>de</strong>r ψ-Funktion:<br />
''<br />
ψ ( x)<br />
=<br />
2<br />
d ψ ( x)<br />
2<br />
dx<br />
=<br />
A(<br />
−2α<br />
⋅ e<br />
2<br />
−α<br />
⋅x<br />
2<br />
+ 4α<br />
x<br />
2<br />
⋅ e<br />
2<br />
−α⋅x<br />
)<br />
Nach <strong>de</strong>m Einsetzen dieses Terms in Gleichung (7), erhält man:<br />
( −2α<br />
+ 4α<br />
2m<br />
h<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
2 2 −α⋅x<br />
2 2 −α<br />
⋅x<br />
x ) ⋅ e = − ( E − mω<br />
x ) ⋅ e<br />
2<br />
2 2<br />
2 2 2m<br />
m ω<br />
− 2α + 4α<br />
x = − E + x<br />
2<br />
2<br />
h h<br />
Wer<strong>de</strong>n die Koeffizienten von x² gleichgesetzt, dann erhält man:<br />
2<br />
2<br />
4α<br />
2 2<br />
m ω<br />
= bzw.<br />
2<br />
h<br />
mω<br />
α = (9)<br />
2h<br />
Das Gleichsetzten <strong>de</strong>r konstanten Glie<strong>de</strong>r hingegen ergibt:<br />
mE<br />
α =<br />
(10)<br />
2<br />
h<br />
Das Einsetzen von α aus (10) in die Gleichung (9) ergibt:<br />
E =<br />
1<br />
hω<br />
= E 0<br />
2<br />
Somit war <strong>de</strong>r Ansatz (8) mit α aus (10) eine Lösung <strong>de</strong>r eindimensionalen zeitunabhängigen<br />
Schrödinger-Gleichung für <strong>de</strong>n Fall eines harmonischen <strong>Oszillator</strong>s.<br />
Die Wellenfunktion dieses Energiezustan<strong>de</strong>s wird also mit <strong>de</strong>r Gleichung<br />
beschrieben.<br />
ψ<br />
0<br />
( x)<br />
= A⋅e<br />
mω<br />
2<br />
−(<br />
) x<br />
2h
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
2.3.2. Die Energieniveaus <strong>de</strong>s <strong>quantenmechanische</strong>n <strong>Oszillator</strong>s<br />
Die entsprechen<strong>de</strong> Grundzustandsenergie beträgt somit<br />
E 0 = 2<br />
1 h ω.<br />
Die Funktionen<br />
2<br />
−(<br />
mω<br />
/ 2h)<br />
x<br />
ψ<br />
1<br />
( x)<br />
= Bx ⋅e<br />
sowie<br />
2mω<br />
2 −(<br />
mω<br />
/ 2<br />
ψ<br />
2<br />
( x)<br />
= C ⋅(1<br />
− x ) ⋅e<br />
h<br />
2<br />
h)<br />
x<br />
sind Lösungen <strong>de</strong>r Schrödinger-Gleichung und liefern die Energiewerte:<br />
E 1 = 2<br />
3 h ω<br />
bzw.<br />
E 2 = 2<br />
5 h ω.<br />
Für <strong>de</strong>n <strong>quantenmechanische</strong>n harmonischen <strong>Oszillator</strong> sind also nur bestimmte Energiewerte<br />
erlaubt, die auf quadratintegrable und somit normierbare Wellenfunktionen führen.<br />
Die erlaubten Lösungen <strong>de</strong>r Schrödinger-Gleichung lassen sich somit in <strong>de</strong>r Form<br />
ψ ( x)<br />
= C<br />
n<br />
n<br />
⋅e<br />
2<br />
−(<br />
mω<br />
/ 2h)<br />
x<br />
⋅ f ( x)<br />
darstellen, wobei C die Normierungskonstante und f n (x) die sog. Hermite-Polynome sind.<br />
Demzufolge sind die Energieniveaus <strong>de</strong>s <strong>quantenmechanische</strong>n <strong>Oszillator</strong>s äquidistant<br />
mit h ω:<br />
n<br />
E n = (n + 2 1 ) h ω , (n = 0,1,2,3...)<br />
Die Energiequantisierung, die die Folge <strong>de</strong>r Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen, das<br />
harmonische Schwingungen um seine Ruhelage ausführt, war, benutze Planck um seine<br />
Strahlungsformel zu erklären.
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
Energiewerte und Wahrscheinlichkeitsdichten <strong>de</strong>s harmonischen <strong>Oszillator</strong>s<br />
Symmetrie:<br />
Da das Potential <strong>de</strong>s harmonischen <strong>Oszillator</strong>s achsensymmetrisch zur Ordinatenachse ist,<br />
muss auch das Betragsquadrat <strong>de</strong>r Wellenfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein und<br />
es gilt:<br />
2<br />
ψ ( − x)<br />
= ψ ( x)<br />
.<br />
Die Wellenfunktion kann man entwe<strong>de</strong>r symmetrisch: ψ(-x) = ψ(x) o<strong>de</strong>r<br />
antisymmetrisch: ψ(-x) = -ψ(x) nennen. Wie man <strong>de</strong>r oberen Abb. entnehmen kann, ist die<br />
Wellenfunktion ψ(x) für alle gera<strong>de</strong>n Werte von n symmetrisch und für alle ungera<strong>de</strong>n Werte<br />
von n antisymmetrisch.<br />
2
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
3. Absoluter Nullpunkt<br />
Temperatur: Die Temperatur ist ein Maß dafür, wie warm o<strong>de</strong>r kalt ein Körper ist. Sie ist ein<br />
Maß für die mittlere kinetische Energie <strong>de</strong>r Moleküle <strong>de</strong>s entsprechen<strong>de</strong>n Körpers.<br />
Wärme: Wärme ist diejenige Energie, die von einem Körper auf einen an<strong>de</strong>ren aufgrund einer<br />
Temperaturdifferenz übergeht.<br />
Wer<strong>de</strong>n zwei Körper in Kontakt gebracht, än<strong>de</strong>rn sich ihre physikalischen Eigenschaften (wie<br />
Aggregatzustand o<strong>de</strong>r Form). Die Körper sind im thermischen Gleichgewicht, wenn keine<br />
weiteren Än<strong>de</strong>rungen mehr stattfin<strong>de</strong>n.<br />
3.1. Die Celsius-Skala<br />
<strong>Der</strong> schwedische Astronaut An<strong>de</strong>rs Celsius (1701-1744) entwickelte ein noch heute benutztes<br />
Thermometer, das mit Quecksilber gefüllt war. Die Volumenän<strong>de</strong>rung <strong>de</strong>s Quecksilbers lässt<br />
sich an <strong>de</strong>r Kapillare ablesen und einen nach Celsius <strong>de</strong>finierten Wert zuordnen.<br />
So sind nach Celsius 0°C die Temperatur <strong>de</strong>s schmelzen<strong>de</strong>n Eises und 100°C die Temperatur<br />
<strong>de</strong>s sie<strong>de</strong>nen Wassers. Die Temperatur <strong>de</strong>s Quecksilbers mit <strong>de</strong>m Volumen V ist somit:<br />
V −V0<br />
ϑ = 100°<br />
C ⋅<br />
V −V<br />
100<br />
0<br />
V 0 ... Volumen <strong>de</strong>s Quecksilbers bei 0°C<br />
V 100 ... Volumen <strong>de</strong>s Quecksilbers bei 100°C<br />
Die Thermometerkapillare wird dann in leichgroße Teile zwischen 0°C und 100°C eingeteilt<br />
und auch für > 100°C sowie < 0°C fortgesetzt.<br />
Jedoch wer<strong>de</strong>n zu genauen Messung von Temperaturen und für Messungen über 357°C<br />
(Sie<strong>de</strong>punkt von Quecksilber) und unter -39°C (Erstarren von Quecksilber) auf an<strong>de</strong>re<br />
Thermometersubstanzen bzw. Skalen zurückgegriffen.<br />
3.2. Das Gasthermometer<br />
Wird als Substanz ein Gas anstatt Quecksilber genommen, so verhält sich die<br />
Volumenän<strong>de</strong>rung ∆V <strong>de</strong>s Gases proportional zur Temperaturän<strong>de</strong>rung ∆ ϑ und zur<br />
vorhan<strong>de</strong>nen Gasmenge. <strong>Der</strong> französische Chemiker und Physiker Louis Gay-Lussac<br />
(1778-1850) formulierte das Gesetz von Gay-Lussac:<br />
Ist V 0 das Volumen eines Gases bei 0°C, dann ist sein Volumen bei <strong>de</strong>r Temperatur ϑ , in<br />
Celsiusgra<strong>de</strong>n gemessen:<br />
V<br />
= V (1<br />
0<br />
+ ∆V<br />
= V0 + βϑ)<br />
β … isobarer Aus<strong>de</strong>hnungskoeffizient<br />
(weitgehend von <strong>de</strong>r Art <strong>de</strong>s Gases unabhängig)
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
Je geringer die Gasdichte, <strong>de</strong>sto mehr nähert sich β <strong>de</strong>m Wert<br />
β<br />
−3<br />
−1<br />
= 3,661⋅10<br />
⋅ ° C<br />
an.<br />
Ein Gas, das unabhängig von <strong>de</strong>r Dichte das Gesetz von Gay-Lussac mit <strong>de</strong>m Wert<br />
−3<br />
−1<br />
β = 3,661⋅10<br />
⋅ ° C streng erfüllen wür<strong>de</strong>, nennt man i<strong>de</strong>ales Gas. Wasserstoff und Helium<br />
verhalten sich bei normalen Bedingungen (20°C, Atmosphärendruck) fast wie i<strong>de</strong>ale Gase.<br />
Eine Version <strong>de</strong>s Gasthermometers mit konstantem Druck p<br />
3.3. Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala<br />
Aus <strong>de</strong>r Beobachtung <strong>de</strong>s Verhaltens <strong>de</strong>s Gasthermometers können wir schließen, dass es eine<br />
minimale Temperatur gibt, <strong>de</strong>m absoluten Nullpunkt.<br />
Nimmt die Temperatur ab, so wird sich auch <strong>de</strong>r Druck (bei konstantem Volumen) o<strong>de</strong>r das<br />
Volumen (bei konstantem Druck) reduziert.<br />
Bestimmung <strong>de</strong>s absoluten Nullpunkts
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
−1<br />
Aus V ( ϑ0 ) = V0<br />
(1 + βϑ0<br />
) = 0 folgt ϑ<br />
0<br />
= = 273, 15°<br />
C , d.h. dass sich alle Gera<strong>de</strong>n in einem<br />
β<br />
Punkt <strong>de</strong>r Temperaturachse bei = −273,<br />
15°C<br />
schnei<strong>de</strong>n.<br />
ϑ 0<br />
Sir William Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907) entwickelte die absolute Temperaturskala<br />
(Kelvin-Skala), die <strong>de</strong>n absoluten Nullpunkt als Nullpunkt <strong>de</strong>r Temperaturskala wählt. Als<br />
zweiter Fixpunkt wur<strong>de</strong> <strong>de</strong>r Tripelpunkt <strong>de</strong>s Wassers (Temperatur, bei <strong>de</strong>r Wasser, Eis und<br />
Wasserdampf im thermischen Gleichgewicht existieren können) gewählt, <strong>de</strong>r bei 0,01°C liegt.<br />
Die Temperatur eines Körpers in <strong>de</strong>r Kelvin-Skala kann mit Hilfe eines Gasthermometers bei<br />
gleichem Volumen gemessen wer<strong>de</strong>n:<br />
273,16K<br />
T = p<br />
p3<br />
p ... Druck bei <strong>de</strong>r Temperatur T<br />
p 3 ... Druck am Tripelpunkt <strong>de</strong>s Wassers<br />
bei konstantem Druck gilt:<br />
273,16K<br />
T = V<br />
Vt<br />
V ... Volumen <strong>de</strong>s i<strong>de</strong>alen Gases<br />
V t ... Volumen am Tripelpunkt <strong>de</strong>s Wassers<br />
Quantenmechanische Betrachtungsweise<br />
Ein Körper hat genau dann eine Temperatur T mit T = 0K, wenn die Energie <strong>de</strong>sselben<br />
Körpers gleich Null ist.<br />
Da die Energie eines <strong>quantenmechanische</strong>n <strong>Oszillator</strong>s im Grundzustand nicht null wer<strong>de</strong>n<br />
1<br />
kann, da E 0 = hω<br />
> 0 ist, wird nie <strong>de</strong>r absolute Nullpunkt erreicht wer<strong>de</strong>n.<br />
2<br />
Wissenschaftlern ist es jedoch schon gelungen durch Laserkühlen eine Temperatur von<br />
einem Millionstel Kelvin zu erzeugen. Das ist Vorraussetzung um die Bose-Einstein-<br />
Kon<strong>de</strong>nsation zu beobachten.
Benjamin Gennermann<br />
<strong>quantenmechanische</strong>r <strong>Oszillator</strong><br />
4.Quellenangabe<br />
Bücher:<br />
- Paul A. Tipler Physik<br />
- Kuhn Physik Band2<br />
- Metzler Physik<br />
- Atom und Kernphysik von H. Lindner<br />
- Lindner Das Bild <strong>de</strong>r mo<strong>de</strong>rnen Physik<br />
Internet:<br />
- www.<br />
- www.<br />
- www.<br />
- www.<br />
- www.