Mathematische Grundlagen - Ludwig-Maximilians-Universität ...

Bernhard Lauth, Michael Zirpel,
Gerhard Zoubek
Mathematische
Grundlagen
der klassischen und
probabilistischen
Kausalität
Seminar für Philosophie, Logik und Wissenschaftstheorie,
Ludwig-Maximilians-Universität München
E-Mail: Bernhard.Lauth@lrz.uni-muenchen.de

Inhalt
0. Einleitung ................................................................................................... 3
1. Prolog: Einige Grundbegriffe der klassischen Mechanik ................... 11
2. Ereignisalgebra ....................................................................................... 22
3. Der Faktor Zeit ....................................................................................... 29
4. Ursache und Wirkung ............................................................................ 32
5. Kausalität und bedingte Wahrscheinlichkeit ....................................... 38
6. Zufallsvariablen ...................................................................................... 43
7. Kausale Regressionsmodelle und bedingte Erwartungswerte ........... 55
8. Deterministische Prozesse ...................................................................... 64
9. Transformationen und Invarianzen ...................................................... 75
10. Stochastische Prozesse und die Markoff-Eigenschaft ....................... 86
11. Der Satz von Liouville .......................................................................... 96
12. Zustandsübergänge in der Quantenphysik ...................................... 106
13. Projektoren und Ereignisverbände ................................................... 112
14. Quantenlogik und Quantenwahrscheinlichkeit ............................... 116
15. Kausalität und Lokalität: Die Bellsche Ungleichung ...................... 123
Anhang: Einige mathematische Grundlagen ......................................... 124
Literaturangaben ...................................................................................... 135
2

0. Einleitung
Kausale Zusammenhänge spielen eine zentrale Rolle in sämtlichen Natur- und
Sozialwissenschaften. Die Aufklärung solcher Zusammenhänge kann sogar als die
wichtigste Aufgabe der empirischen Wissenschaften angesehen werden, weil
sie die Grundlage für die Herleitung von wissenschaftlichen Erklärungen und
Prognosen darstellt.
Dennoch existiert bis heute keine allgemein akzeptierte Theorie der Kausalität, die
mathematischen oder naturwissenschaftlichen Standards entspricht. Offen sind
insbesondere Fragen wie diese
- Unter welchen Bedingungen können wir von einem kausalen
Zusammenhang zwischen zwei Ereignissen A und B sprechen?
- Welche formalen Eigenschaften besitzt die Kausalrelation (Asymmetrie,
Transitivität, Irreflexivität usw.)?
- Wie hängt der Kausalitätsbegriff mit dem Begriff der bedingten
Wahrscheinlichkeit zusammen?
- Wann darf man von einer empirisch beobachteten Korrelation zwischen
zwei Ereignissen oder Größen auf einen kausalen Zusammenhang
schließen?
und viele andere mehr. Ziel der nachfolgenden Untersuchungen ist die
Formulierung eines mathematischen Formalismus zur Beschreibung von kausalen
Abhängigkeiten, der eine Antwort auf diese und ähnliche Fragen geben kann.
Dieser Formalismus soll (a) hinreichend allgemein, d.h. sowohl in
naturwissenschaftlichen als auch in sozialwissenschaftlichen Kontexten
anwendbar und (b) hinreichend präzise sein, um insbesondere mit statistischen
Standardmethoden (Korrelations- und Regressionsanalyse, Varianzanalyse,
Faktorenanalyse usw.) kombinierbar zu sein.
Im Unterschied zu den gelegentlich so genannten „probabilistischen Theorien der
Kausalität“ (Suppes, Spohn, Stegmüller et al.) habe wir als Ausgangspunkt den
klassischen Kausalitätsbegriff gewählt. Dieser Kausalitätsbegriff hat seinen
historischen Ursprung in der klassischen Physik des 17. Jahrhunderts, bei Galilei,
Kepler und Newton. Seine wichtigsten Eigenschaften sind im 18. und 19.
Jahrhundert von Physikern und Mathematikern wie Hamilton, Euler und Lagrange
ausformuliert worden.
Grundlegend für den klassischen Kausalitätsbegriff ist die Annahme, dass ein
strikt gesetzmäßiger („deterministischer“) Zusammenhang zwischen Ursache und
Wirkung besteht. Damit ist unter anderem gemeint, dass bei gleichen
3

Versuchsbedingungen stets dieselben Versuchsergebnisse auftreten, die
dementsprechend eindeutig vorhersagbar sind. Die Reproduzierbarkeit von
Versuchsbedingungen und Versuchsergebnissen ist daher ein wesentliches
Merkmal der klassischen Physik. Sie bildet zugleich die Grundlage für die
Herleitung von physikalischen Erklärungen und Prognosen, wie wir später noch
genauer sehen werden.
Durch die Reproduzierbarkeit unterscheiden sich deterministische Vorgänge in der
klassischen Physik insbesondere von Zufallsexperimenten im Sinne der
Wahrscheinlichkeitstheorie, weil bei Wiederholungen eines Zufallsexperiments
unterschiedliche Versuchsergebnisse auftreten können, so dass hier nur statistische
Vorhersagen über die Häufigkeit bzw. die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen
möglichen Ergebnisse ableitbar sind.
Man kann vermuten, dass die eingeschränkte (statistische) Vorhersagbarkeit von
Versuchsergebnissen zum Beispiel in der klinischen Epidemiologie oder in der
empirischen Sozialforschung entweder auf eine unvollständigen Kenntnis der
kausal relevanten Faktoren („Versuchsbedingungen“) zurückzuführen ist oder auf
das Nichtvorhandensein von deterministischen Gesetzmäßigkeiten, die einen
eindeutigen Zusammenhang zwischen Versuchsbedingungen und
Versuchsergebnissen herstellen könnten. Wir wollen im ersten Fall von einem
„latenten Determinismus“ bzw. „Pseudo-Indeterminismus“ reden und im anderen
Fall von echter Akausalität.
Nach dem heutigen Stand der Forschung kann man echte Akausalität – wenn
überhaupt – nur in der Mikrophysik (Quantenphysik) erwarten. Allerdings ist diese
Annahme umstritten, weil es auch in der Quantenphysik deterministische
Deutungsversuche gibt. Dagegen besitzt die Annahme eines latenten
Determinismus eine gewisse Apriori-Plausibilität in allen Bereichen, wo wir es mit
makroskopischen Phänomenen zu tun haben, bei denen quantenphysikalische
Effekte keine Rolle spielen oder so gering sind, dass sie für praktische Zwecke
vernachlässigt werden können. Dementsprechend sollte nach unserer Auffassung
eine vernünftige Theorie der Kausalität immer vom klassischen (d.h.
deterministischen) Kausalitätsbegriff ausgehen und von dort schrittweise auf die
Analyse von statistischen, latent-deterministischen bzw. pseudoindeterministischen
Zusammenhängen ausgedehnt werden.
Worauf beruht nun die Reproduzierbarkeit von Versuchsbedingungen und
Versuchsergebnissen in der klassischen Physik? Die Antwort auf diese Frage
hängt mit der Art der mathematischen Beschreibung von physikalischen
Vorgängen zusammen. Physikalische Vorgänge werden typischerweise durch
einfache oder partielle Differentialgleichungen modelliert, die in Verbindung mit
geeigneten Anfangs- oder Randbedingungen eindeutige Vorhersagen über das
4

Verhalten des jeweiligen Systems ermöglichen. Bekannte Beispiele sind die
Hamilton- und Lagrange-Gleichungen der klassischen Mechanik, Maxwells
Gleichungen in der Elektrodynamik oder Einsteins Feldgleichungen in der
allgemeinen Relativitätstheorie. Solche Differentialgleichungen beschreiben die
Zustandsübergänge von physikalischen Systemen und werden deshalb in der
Physik auch als „Bewegungsgleichungen“ bezeichnet.
Aus den Bewegungsgleichungen ergeben sich in Verbindung mit entsprechenden
Anfangsbedingungen mathematisch eindeutige Lösungen, die das Verhalten des
Systems vollständig bestimmen. Unter „Anfangsbedingungen“ verstehen wir dabei
den Zustand des Systems zu einem beliebig herausgegriffenen „Anfangs“-
Zeitpunkt t0. Durch Anfangsbedingungen und Bewegungsgleichungen werden die
Zustände des Systems zu allen nachfolgenden Zeitpunkten t > t0 eindeutig
festgelegt. Das allgemeine Muster kausaler Erklärungen und Prognosen in der
Physik lässt sich daher in dem folgendem Schema zusammenfassen:
(1) Bewegungsgleichungen
(2) Anfangsbedingungen
_________________________
(3) eindeutige Lösungen
Der Strich vor der dritten Zeile soll dabei andeuten, dass die Lösungen (3) logisch
und mathematisch aus den Bewegungsgleichungen und Anfangsbedingungen
ableitbar sind. Aus diesem Schema erklärt sich die methodologische Funktion von
deterministischen Theorien für die Erklärung und Prognose von physikalischen
Phänomenen:
(1) Aus deterministischen Theorien lassen sich ex post vollständige Erklärungen
und ex ante eindeutige Vorhersagen über das zukünftige Verhalten des Systems
ableiten. (2) Das Verhalten eines deterministischen Systems in der Zukunft wird
eindeutig und vollständig durch Anfangsbedingungen in der Gegenwart und
Vergangenheit festgelegt. Darin liegt der Kern der deterministischen Konzeption
von Kausalität, die der klassischen Physik zugrunde liegt.
Im ersten Kapitel werden wir kurz einige Grundbegriffe der klassischen Mechanik
rekapitulieren. Die klassische Mechanik bildet den paradigmatischen
Anwendungsfall für die in den nachfolgenden Kapiteln zu entwickelnden
Konzepte. Leser, die nicht so sehr an physikalischen Zusammenhängen können
dieses Kapitel zunächst überspringen und erst bei Bedarf konsultieren.
In den folgenden vier Kapiteln werden wir die wichtigsten Konzepte einführen,
die zur Beschreibung von kausalen Zusammenhängen notwendig sind. Sei dazu S
irgendein physikalisches System. Mit Z bezeichnen wir die Gesamtheit aller
5

möglichen Zustände des Systems, zum Beispiel die möglichen Positionen eines
Teilchens im dreidimensionalen Raum. Jeder Zustand entspricht einer
„Momentaufnahme“ des Systems zu irgendeinem Zeitpunkt t. Für die Analyse von
kausalen Zusammenhängen sind daher weniger die Zustände, sondern die
möglichen Zustandsübergänge ausschlaggebend. Mit � = �t�T Z bezeichnen wir
die möglichen Pfade bzw. „Trajektorien“ des Systems durch den Zustandsraum in
einem vorgegebenen Zeitraum T. Jeder mögliche Pfad � � � ist definiert durch
eine Abbildung �: T � Z , die dem System zu jedem Zeitpunkt t � T einen
Zustand �(t) � Z zuordnet.
Beispiel: In der klassischen Mechanik werden die Zustände eines physikalischen
Systems durch die kanonischen Orts- und Impulskoordinaten, also durch die
Position des Systems im sogenannten Phasenraum festgelegt, d.h. Z � R 2n . Dabei
entspricht n der Anzahl der Ortskoordinaten, die notwendig sind, um die
Positionen aller Teilchen innerhalb des Systems vollständig zu beschreiben. n wird
auch als die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems bezeichnet. Dagegen wird in
der Quantenphysik der Zustand eines Systems durch einen Einheitsvektor in einem
unendlich-dimensionalen komplexen Vektorraum (Hilbertraum) definiert, so dass
hier Z � C � ist.
Aus physikalischer Sicht sind natürlich nicht alle Pfade durch den Zustandsraum
möglich, sondern nur solche Pfade bzw. Zustandsübergänge, die den
physikalischen Gesetzmäßigkeiten entsprechen. Im Falle der klassischen
Mechanik sind das alle diejenigen Pfade durch den Phasenraum, die den
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gehorchen. Im Falle der Quantenphysik
werden die Zustandsübergänge durch die sogenannte Schrödinger-Gleichung
bestimmt. In beiden Fällen handelt es sich um Differentialgleichungen erster
Ordnung (in der Zeit), die zu gegebenen Anfangsbedingungen auf mathematisch
eindeutige Lösungen führen. Mit �* bezeichnen wir im folgenden die Gesamtheit
aller Pfade durch den Zustandsraum, die mit den jeweiligen
Bewegungsgleichungen übereinstimmen, d.h. �* ist eine echte Teilmenge von �
= �t�T Z.
Jedem physikalischen Ereignis entspricht umkehrbar eindeutig eine Familie von
Trajektorien im Zustandsraum. Daher identifizieren wir formal jedes mögliche
Ereignis A mit der Gesamtheit aller Pfade durch den Zustandsraum, auf denen das
betreffende Ereignis eintritt, d.h. A = � � � � / � � A �. Ein Ereignis A ist dann
Ursache für einen zeitlich nachfolgenden Effekt B, wenn auf jedem möglichen
Pfad durch den Zustandsraum, auf dem das Ereignis A eintritt, auch der Effekt B
eintritt, d.h. wenn � � A � � � B für alle Trajektorien � � �* gilt.
6

„Übersetzungsregeln“: Die angegebenen Definitionen machen nur von kausalen
Kategorien Gebrauch, setzen also keine spezifischen Annahmen über die
Eintrittswahrscheinlichkeit der Ereignisse A und B voraus. Man kann aber leicht
zeigen, dass zwischen Kausalität und Wahrscheinlichkeit ein einfacher
Zusammenhang besteht. Das bedeutet, dass Aussagen über kausale
Abhängigkeiten zwischen zwei Ereignissen A und B durch logisch äquivalente
Aussagen über die bedingte Wahrscheinlichkeiten p ( B A)
paraphrasiert werden
können. Analog dazu können Aussagen über kausale Abhängigkeiten zwischen
zwei Observablen X und Y in Aussagen über bedingte Erwartungswerte
E( Y X ) übersetzt werden. Ein grundlegendes Merkmal von kausalen
Zusammenhängen ist dabei die sogenannte Markoff-Eigenschaft: Damit ist
gemeint, dass physikalische Effekte bei gegebenen Anfangsbedingungen
stochastisch unabhängig von der kausalen Vorgeschichte des Systems sind. Daraus
folgt, dass die Kenntnis der Vorgeschichte irrelevant für die Vorhersage von
physikalischen Effekten ist. Dementsprechend kann man Aussagen über kausale
Zusammenhänge auch in logisch äquivalente Aussagen über bedingte
stochastische Unabhängigkeiten übersetzen.
Die paradigmatischen Anwendungen für die hier definierten Begriffe sind kausale
Abhängigkeiten in der klassischen Physik. Die Zustandsübergänge eines
mechanischen Systems lassen sich wahlweise im Formalismus der Lagrange- oder
der Hamilton-Mechanik beschreiben 1 . Man kann leicht zeigen, dass – in beiden
Fällen – aufgrund der Bewegungsgleichungen ein strikter kausaler Zusammenhang
zwischen aufeinanderfolgenden Systemzuständen besteht, in der Weise, dass alle
Zustandsübergänge vollständig und eindeutig durch die Bewegungsgleichungen
und die jeweiligen Anfangsbedingungen determiniert sind. Damit bilden die
Zustandsübergänge in der klassischen Mechanik ein paradigmatisches Beispiel für
Vorgänge, die man üblicherweise als deterministische Prozesse bezeichnet. In
Abschnitt 8 werden deterministische Prozesse allgemein diskutiert. Wir werden
dort sehen, dass deterministische Prozesse auf ganz verschiedenen Wegen
definiert werden können, die sich jedoch als logisch und mathematisch äquivalent
erweisen. Insbesondere werden wir zeigen, dass deterministische Prozesse als
spezielle Markoff-Prozesse aufgefasst werden können, bei denen die
Übergangswahrscheinlichkeiten für die aufeinanderfolgenden Systemzustände nur
die Werte 0 oder 1 annehmen können.
Im 9. Kapitel wird das klassische Kausalitätsprinzip (Jedes Ereignis hat eine
Ursache) eingeführt. Wir werden dort zeigen, dass in deterministischen Prozessen
das Kausalitätsprinzip uneingeschränkt gültig ist, d.h. deterministische Prozesse
sind immer streng kausale Prozesse. Die Umkehrung dieser Aussage ist dagegen
1 wobei der Hamiltonsche Formalismus für unsere Zwecke eindeutige Vorzüge besitzt.
Insbesondere erlaubt er eine Darstellung der Zustandsübergänge in „kanonischer Form“.
7

nicht allgemeingültig. Dies hängt mit der Markoff-Eigenschaft zusammen, wonach
die Vorgeschichte irrelevant für das zukünftige Verhalten eines deterministischen
Systems ist. Diese Eigenschaft ist nicht aus dem Kausalitätsprinzip ableitbar.
In Abschnitt 10 betrachten wir Prozesse mit speziellen Eigenschaften, zum
Beispiel Prozesse mit messbaren und stetigen Zustandsübergängen.
Deterministische Prozesse in der klassischen Physik sind translationsinvariant in
dem Sinn, dass die möglichen Zustandsübergänge nur vom zeitlichen Abstand
zwischen zwei aufeinanderfolgenden Systemzuständen abhängig sind. Auf
analoge Weise lässt sich ein Begriff der räumlichen Translationsinvarianz
definieren. Die Invarianzeigenschaften von deterministischen Prozessen hängen
mit fundamentalen Eigenschaften wie der Isotropie und Homogenität von Raum
und Zeit zusammen.
Stochastische Prozesse: In Abschnitt 11 diskutieren wir deterministische
Prozesse, bei denen die Anfangsbedingungen nicht genau bekannt sind. In diesem
Fall können natürlich keine eindeutigen Vorhersagen über das Verhalten des
Systems abgeleitet werden. Wir können aber zumindest Wahrscheinlichkeiten für
alle möglichen Ereignisse berechnen, wenn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für
die möglichen Anfangsbedingungen definiert ist. An die Stelle des klassischen
Schemas tritt daher hier das modifizierte Schema
(1) Bewegungsgleichungen
(2) Wahrscheinlichkeitsverteilung für die möglichen Anfangsbedingungen
_____________________________________________________________
(3) Wahrscheinlichkeitsverteilung für die möglichen Lösungen
Man könnte diese Situation als „stochastischen Determinismus“ bezeichnen. In
Abschnitt 11 werden allgemeine Eigenschaften von stochastisch-deterministischen
Prozessen diskutiert. Wichtige Anwendungen für dieses Konzept findet man in der
klassischen statistischen Mechanik und (mit Einschränkungen) auch in der
Quantenphysik. Damit wird ein erster wichtiger Schritt auf dem Weg zur Analyse
von latent-deterministischen bzw. pseudo-indeterministischen Systemen gemacht.
Grundlegend für die statistische Mechanik ist der Satz von Liouville. Der Satz
besagt, dass eine Wahrscheinlichkeitsdichte für ein System mit n Freiheitsgraden
beim Transport durch den Phasenraum invariant bleibt, wenn die
zugrundeliegenden (Transport-) Bahnen die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen erfüllen. In Kapitel 13 werden wir zeigen, dass diese
Aussage wesentlich verallgemeinert werden kann. Tatsächlich gilt der Satz von
Liouville nicht nur in der klassischen Mechanik, sondern für beliebige
konservative Systeme, sofern gewisse Stetigkeits- und Eindeutigkeitsbedingungen
erfüllt sind.
8

Kausalität und Quantenphysik: In den vier letzten Kapiteln betrachten wir
kausale Zusammenhänge in der Quantenphysik. Die Quantenphysik ist
bekanntlich das einzige ernstzunehmende Beispiel für eine nicht-deterministische
Theorie in der Geschichte der modernen Physik. Deshalb ist es besonders
interessant zu beachten, dass auch die Quantenphysik eine wichtige
deterministische Komponente besitzt. Der Grund dafür ist, dass die
Zustandsübergänge eines abgeschlossenen Quantensystems genau wie in der
klassischen Physik durch Differentialgleichungen beschrieben werden können, die
in Verbindung mit entsprechenden Anfangsbedingungen stets auf eindeutige
Lösungen führen 2 . Somit bilden die Zustandsübergänge einen deterministischen
Prozess im Sinne der oben erwähnten Definitionen (Kapitel 13).
Der indeterministische Charakter eines Quantensystems zeigt sich erst, wenn das
System durch einen Eingriff von außen (zum Beispiel durch einen Messvorgang)
„gestört“ wird. Denn der Messvorgang führt zu einem mehr oder weniger abrupten
(unstetigen) Zustandsübergang, der nicht eindeutig vorhersagbar ist. Man spricht
in diesem Zusammenhang auch gelegentlich vom „Kollaps des Wellenpakets“.
Dementsprechend lassen sich aus den Lösungen der Schrödinger-Gleichung nur
statistische Vorhersagen über die Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte von
physikalischen Messungen ableiten. Jeder messbaren Größe oder „Observablen“ X
und jedem Bereich B von möglichen Messergebnissen entspricht dabei
nacheindeutig ein abgeschlossener Unterraum im Zustandsraum des betreffenden
Systems. Die Gesamtheit der abgeschlossenen Unterräume bilden daher den
natürlichen „Ereignisverband“ eines Quantensystems 3 . Eindeutige Vorhersagen
lassen sich dabei nur in Bezug auf die „Eigenwerte“ von solchen Observablen
angeben, die den jeweiligen Unterräumen zugeordnet sind. Aus den Eigenwert-
und Bewegungsgleichungen lassen sich daher die notwendigen und hinreichenden
Bedingungen für die Anwendbarkeit des klassischen Kausalitätsbegriffs in der
Quantenphysik ableiten (Kapitel 14).
Ein wesentliches Merkmal der Quantenphysik besteht in dem Umstand, dass nichtkommutierende
Observablen (zum Beispiel Orts- und Impulskoordinaten) nicht
gleichzeitig messbar sind. Dementsprechend gibt es – im Unterschied zur
klassischen statistischen Mechanik – keine gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsverteilung für solche Größen. Die tiefliegenden Theoreme von
Gleason, Kochen und Specker zeigen, dass es aus prinzipiellen Gründen nicht
2 gemeint ist natürlich die Schrödinger-Gleichung; vgl. Kapitel 13
3 Mathematisch gesehen handelt es sich dabei um einen nicht-distributiven
orthomodularen Verband. Diese Verbandsstruktur bildet die Grundlage für die
gelegentlich so genannte „Quantenlogik“. Sie unterscheidet sich von der herkömmlichen
oder „klassischen Logik“, weil die Distributivgesetze in der Quantenlogik nur
eingeschränkte Gültigkeit besitzen.
9

möglich ist, die Zustandsbeschreibungen der Quantentheorie so zu erweitern, dass
man eine eindeutige („streuungsfreie“) Zuordnung von numerischen Messwerten
zu allen Observablen des Systems erhält. Diese Ergebnisse bilden den Inhalt des
15. Kapitels.
Ein wichtiger Spezialfall dieser Aussagen ist das Bellsche Theorem (16. Kapitel).
Die Verletzung der Bellschen Ungleichung durch die Quantenphysik zeigt, dass
zwischen räumlich weit entfernten Ereignissen Korrelationen auftreten können, die
klassisch nicht erklärbar sind, wenn man unterstellt, dass alle Observablen
gleichzeitig scharf definierte Werte besitzen (Nicht-Lokalität).
Einordnung in die Literatur: Es gibt in der wissenschaftstheoretischen Literatur
der letzten Jahrzehnte eine Reihe von Ansätzen zu einer mathematischen Theorie
der Kausalität, die den eingangs erwähnten Kriterien zumindest teilweise
entsprechen. Neben den bereits erwähnten probabilistischen Theorien (Suppes,
Stegmüller, Spohn) ist insbesondere die Theorie kausaler Regressionsmodelle von
Rolf Steyer hervorzuheben, sowie die Beiträge von Judea Pearl, Peter Spirtes,
Clark Glymour und Richard Scheines. Im Gegensatz zu den probabilistischen
Theorien der Kausalität werden wir in dieser Untersuchung vom klassischen
Kausalitätsbegriff ausgehen und die Ergebnisse schrittweise auf die Analyse von
latent-deterministischen bzw. pseudo-indeterministischen Systemen ausdehnen.
Das entspricht auch dem Denkansatz bei J. Pearl et al. Im Unterschied zu den
zuletzt genannten Autoren werden wir in der vorliegenden Arbeit eine explizite
Definition des Kausalitätsbegriffs formulieren. Dabei wird sich zeigen, dass eine
Reihe von wichtigen Konzepten (z.B. Steyers „starke“ und „schwache
Kausalitätsbedingungen“) aus den angegebenen Definitionen ableitbar sind.
Dagegen werden sich andere Versuche als untauglich erweisen (so z.B. die
probabilistische Definition des Kausalitätsbegriffs nach Stegmüller und Spohn,
weil sie mit dem klassischen Kausalitätsbegriff unvereinbar ist).
Mathematische Hilfsmittel: In der vorliegenden Arbeit wird systematisch
Gebrauch von mathematischen Konzepten und Methoden aus der Maß- und
Wahrscheinlichkeitstheorie gemacht. Die wichtigsten Definitionen und Resultate
sind in einem mathematischen Anhang zusammengefasst. Für eine
ausführlichere Darstellung verweisen wir auf Standardlehrbücher der Maßtheorie,
zum Beispiel H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie, 4. Auflage, Berlin 1991.
10

1. Prolog: Einige Grundbegriffe der klassischen Mechanik
Der klassische Kausalitätsbegriff hat seinen historischen Ursprung in der
klassischen Mechanik des 18. und 19. Jahrhunderts. Die physikalischen
Grundlagen sind schon von Isaak Newton in seinen Principia Mathematica von
1687 gelegt worden. Die mathematischen Eigenschaften sind dagegen erst in den
nachfolgenden Jahrhunderten, von Euler, Lagrange, Hamilton und anderen
ausformuliert worden. Wir wollen in diesem Kapitel kurz die wichtigsten
Prinzipien der klassischen Mechanik rekapitulieren. Sie bilden den Ausgangspunkt
für das allgemeine Studium von deterministischen Systemen und
deterministischen Prozessen in den nachfolgenden Kapiteln.
Dazu betrachten wir im folgenden ein System, das aus N verschiedenen Teilchen
besteht, die wir mit den Indizes i = 1,…,N nummerieren wollen. Jedes Teilchen
wird idealisiert als ein „Massepunkt“ ohne räumliche Ausdehnung behandelt. 4 Die
Position des Teilchens Nr. i zu irgendeinem Zeitpunkt t im dreidimensionalen
Raum kann dann durch die Angabe von drei kartesischen Koordinaten
xi i i
( t),
y ( r),
z ( t)
beschrieben werden. Für ein System von N Teilchen benötigen wir dann insgesamt
n � 3� N Koordinaten
x1( t),
y1(
t),
z1(
t),...,
xN
( t),
yN
( t),
zN
( t)
Diese Koordinaten bestimmen dann eindeutig die Konfiguration des Systems zur
Zeit t. Dementsprechend wird der 3N-dimensionale Vektorraum R 3N als
Konfigurationsraum des Systems bezeichnet.
In der Praxis wird der Bewegungsspielraum der Teilchen oft durch sogenannte
Zwangsbedingungen eingeschränkt, die zur Folge haben, dass weniger
Koordinaten ausreichen, um die Konfiguration des Systems zu beschreiben. Wenn
wir zum Beispiel Teilchen betrachten, die sich nur auf einer Kugeloberfläche
bewegen können, dann genügen zwei Koordinaten (zum Beispiel der Längen- und
der Breitengrad), um die Positionen eindeutig zu bestimmen. Oder wenn wir ein
Fadenpendel betrachten, das nur in einer Ebene schwingen kann, dann genügt eine
4 Eine solche Idealisierung ist zulässig, wenn die Ausdehnung der Teilchen klein im
Verhältnis zu den betrachteten Abständen ist. „So kann man z.B. die Planeten als
Massenpunkte annehmen, wenn man ihre Bewegung um die Sonne untersucht, dagegen
freilich nicht, wenn man ihre tägliche Drehung betrachtet.“ (L. D. Landau, E. M. Lifchitz
1987, S. 1)
11

einzige Koordinate (zum Beispiel der Winkel, der die Auslenkung des Pendels aus
seiner Gleichgewichtslage beschreibt). Die minimale Anzahl von Koordinaten, die
benötigt werden, um die Konfiguration eines Teilchensystems unter gegebenen
Zwangsbedingungen vollständig zu beschreiben, wird als die Anzahl der
Freiheitsgrade des Systems bezeichnet. Im Allgemeinen kann es sich dabei um
nicht-kartesische Koordinaten handeln, die wir im folgenden mit
q1 n
( t),...,
q ( t)
bezeichnen wollen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von
generalisierten Koordinaten. Grundsätzlich gilt dabei n � 3N
, wenn das System
aus N Teilchen besteht. Der entsprechende Konfigurationsraum ist der R n .
Die Konfiguration eines Teilchensystems ändert sich im Zeitablauf, da die
Teilchen sich bewegen. Wir gehen davon aus, dass die Teilchenbahnen keine
Knicke und keine Sprünge aufweisen, d.h. dass die Teilchenkoordinaten stetig
nach der Zeit differenzierbar sind. Wenn man die erste Ableitung der Koordinaten
nach der Zeit bildet, erhält man die entsprechenden Geschwindigkeiten, die wir
mit
� ( t),...,
q�
( t)
q1 n
bezeichnen. 5 Wir betrachten nun die Konfigurationen des Systems in einem
beliebig langen Zeitraum T und definieren eine Abbildung �*: T � R n so, dass für
alle Zeitpunkte t � T die Gleichung
ω* ( ) � � q1(
t),...,
q ( t)
�
t n
gilt. �* ist also eine Funktion, die zu jedem Zeitpunkt innerhalb des
Beobachtungszeitraums die entsprechende Konfiguration angibt, d.h. �*
beschreibt die vollständige Bahn des Systems durch den Konfigurationsraum. Im
folgenden sei
� � � R n
L t�T
die Gesamtheit aller möglichen Bahnen �: T � R n durch den Konfigurationsraum.
Eine Bahn � � �L wird als C � -Bahn bezeichnet, wenn alle n Komponenten des
Vektors ω( t ) stetig und beliebig oft nach t differenzierbar sind. Mit �L �
5 Im Falle von kartesischen Koordinaten handelt es bei den Größen x� i ( t),
y�
i ( t),
z�
i ( t)
um
die Komponenten eines dreidimensionalen Vektors, der den Betrag der Geschwindigkeit
und die Bewegungsrichtung des i-ten Teilchens zum Zeitpunkt t bestimmt.
12

ezeichnen wir die Gesamtheit aller C � -Bahnen in �L. Damit können wir die
Teilchenkoordinaten und –geschwindigkeiten nicht nur auf der tatsächlichen Bahn,
sondern auf allen möglichen Bahnen durch den Konfigurationsraum beschreiben.
Sei dazu pri : R n � R die Projektionsfunktion, die jedem n-tupel von reellen
Zahlen seine i-te Komponente zuordnet, d.h. pri ( q1
,..., qn
) � qi
. Mit
qi ( ω,
t)
� pri
( ω(
t))
bezeichnen wir dann den Wert der i-ten Ortskoordinate zur Zeit
t, falls sich das System auf der Bahn � durch den Konfigurationsraum bewegt.
Definitionsgemäß ist also
ω( ) � � q1(
ω,
t),...,
q ( ω,
t)
�
t n
und für die tatsächliche Teilchenbahn �* gilt
qi � i
( t)
q ( ω*,
t)
Wenn � � �L � ist, dann können wir die Ableitungen q� 1(
ω,
t),...,
q�
n(
ω,
t)
bilden. Sie
beschreiben die Geschwindigkeit der Teilchen zum Zeitpunkt t, falls sich das
System auf der Bahn � durch den Konfigurationsraum bewegt. Wiederum gilt für
die tatsächlichen Bahnen die Bedingung
� ( t)
� q�
( ω*,
t)
qi i
Ein Grundpostulat der klassischen Mechanik besagt nun, dass man jedem
Teilchensystem eine Größe L zuordnen kann, die nur von den möglichen
Teilchenkoordinaten und ihren zeitlichen Ableitungen abhängt:
L � f q ,..., q , q�
,..., q�
( 1 n 1 n
Dabei wollen wir annehmen, das die Abbildung f : R 2n � R in allen Argumenten
stetig und beliebig oft differenzierbar ist. 6 Wenn man f auf die tatsächlichen
Teilchenbahnen anwendet, erhält man eine Funktion L : �L � � T � R, die nur von
� und t abhängt, nämlich
L (�,t) = q ( �, t),...,
q ( �,
t),
q�
( �,
t),...,
q�
( �,
t))
f ( 1
n 1
n
6 In den meisten Fällen entspricht L der Differenz T – V aus kinetischer und potentieller
Energie. Dabei ist T = f ( q� 1 ,..., q� n)
eine Größe, die nur von den Geschwindigkeiten
abhängt und V = f(q1,...,qn) eine Größe, die typischerweise nur von den Ortskoordinaten
abhängt. Im Allgemeinen kann f auch noch eine „explizite“ Zeitabhängigkeit aufweisen,
so dass L = q ,..., q , q�
,..., q�
, t)
gilt.
f ( 1 n 1 n
)
13

L wird als Lagrangefunktion bezeichnet. Wir betrachten nun die Konfiguration
des Systems zu zwei beliebig herausgegriffenen Zeitpunkten t1 und t2. Das
Zeitintegral über L(�,t) wird als Wirkungsintegral bezeichnet
t2
S(�) = � L( , t) dt
t
�
Die Wirkung ist also eine Größe, die sich im Unterschied zu L nicht auf einen
einzelnen Zeitpunkt t, sondern auf die gesamte Bewegung (auf die Bahn) des
Systems im Konfigurationsraum bezieht. Das Hamiltonsche Wirkungsprinzip
besagt, dass nur solche Bahnen physikalisch realisierbar sind, auf denen das
Wirkungsintegral einen extremalen Wert annimmt. Sei dazu A = �(t1) die
Ausgangskonfiguration des Systems zur Zeit t1 und B = �(t2) die
Endkonfiguration zur Zeit t2. Um das Wirkungsprinzip zu formulieren, betrachten
wir sämtliche Bahnen �´ durch den Konfigurationsraum, die mit der
vorgegebenen Bahn � hinsichtlich der Ausgangs- und der Endkonfiguration
übereinstimmen, also alle Bahnen �´, die die Bedingungen �´(t1) = �(t1) und
�´(t2) = �(t2) erfüllen. Die Gesamtheit dieser Bahnen bezeichnen wir mit �AB.
1
Das Wirkungsintegral S ist damit ein „Funktional“, das jeder Funktion � � �AB
eine reelle Zahl S(�) zuordnet. Eine Bahn � � �AB erfüllt das angegebene
Extremalprinzip, wenn entweder S(�´) < S(�) für alle Bahnen �´� �AB oder S(�´)
< S(�) für alle �´� �AB mit �´� � gilt. Mit anderen Worten: Eine mögliche Bahn
� erfüllt das Wirkungsprinzip, wenn das Wirkungsintegral auf der betreffenden
Bahn entweder ein Minimum oder ein Maximum ist. Das Auffinden solcher
Extrema ist ein mathematisches Problem, das mit den Mitteln der
Variationsrechnung gelöst werden kann 7 . Sei dazu � ��/ � � R �, eine
einparametrige Familie von Bahnen �� � �AB. Die Parametrisierung soll so
durchgeführt werden, dass benachbarten Bahnen benachbarte Parameterwerte
zugeordnet werden. Dann gilt definitionsgemäß
t
2
�
S( �� ) � f ( qi
( ��
, t),
q�
i ( ��
, t))
dt
Um die extremale Bahn zu finden, bilden wir die Ableitung
t
1
7 vgl. zum Beispiel H. Goldstein: Klassische Mechanik, Wiesbaden 1987, S. 33 ff.
14

t
2 �S
�f
�qi
�f
�q�
i
� ( � ) dt
��
��
�q
��
�q�
��
t i
1
Durch partielle Integration des zweiten Summanden ergibt sich der Ausdruck
t
2
��
t i
1
2
i
2
2
�f
� qi
�f
�qi
�qi
d �f
dt � �
�q�
���t
�q�
��
��
��
dt �q�
i
i
t
t
1
t
1
i
t i i
Darin verschwindet der erste Term, weil alle Kurven �� an den Endpunkten A und
B übereinstimmen, so dass dort �q i ��
= 0 wird. Durch Einsetzen in die
vorhergehende Gleichung ergibt sich also
S
t
i
t i i i �
2 � �f
d �f
�q
� �
��
�� ( )
�q
dt �q�
�
1
Auf der extremalen Bahn muss �S ��
= 0 gelten. Diese Bedingung ist für
beliebige Variationen der Bahnkoordinaten qi nur dann erfüllbar 8 , wenn für alle i =
1,…,n die Koeffizienten
�f
�q
i
�
d
dt
sind. Diese Bedingungen werden auch als die Euler-Lagrange-Gleichungen
bezeichnet. Aus diesen Gleichungen folgt unmittelbar, dass eine Bahn � � �AB
nur dann dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip entspricht, wenn die Gleichungen
�f
�q�
i
� 0
d � L � L
(ω,
t)
= ( ω,
t)
dt � q�
� q
i
für alle Zeitpunkte t mit t1 < t < t2 und alle Koordinaten i = 1,...,n erfüllt sind.
Beispiel: Als Beispiel betrachten wir ein Teilchen der Masse m, das sich in einem
ortsabhängigen Potential V( x,
y,
z)
bewegt (Wir verwenden kartesische
Koordinaten). Die Lagrange-Funktion hat dann die Form
8 nach dem „Fundamentallemma der Variationsrechnung“
i
dt
dt
15

1 2 2 2
L � m(
x�
� y�
� z�
) �V
( x,
y,
z)
2
Und die zugehörigen Lagrange-Gleichungen lauten
�V
� �
�x
d
dt
�V
d �V
mx�
, � � my�
, � �
�y
dt �z
Das sind gerade die Newtonschen Bewegungsgleichungen für ein Teilchen in
einem Potential V, wenn man berücksichtigt, dass die einwirkende Kraft gerade
dem negativen Gradienten des Potentials entspricht.
Bei den Lagrange-Gleichungen handelt es sich um gewöhnliche
Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die generalisierten Koordinaten.
Solche Gleichungen besitzen – unter gewissen sehr allgemeinen Voraussetzungen
- mathematisch eindeutige Lösungen, sobald die entsprechenden
Anfangsbedingungen, nämlich die Teilchenkoordinaten und –geschwindigkeiten
zu einem beliebigen Zeitpunkt t = 0 gegeben sind. Das bedeutet, dass man die
Positionen und Geschwindigkeiten der Teilchen zu jedem späteren Zeitpunkt t > 0
vorhersagen kann, sobald man die Anfangsbedingungen kennt. Übersichtlich lässt
sich der Sachverhalt durch das folgende Flussdiagramm illustrieren:
Bewegungsgleichungen
d �L
�L
�
dt �q�
�q
i
i
Lösungen
q ( t),...,
q ( t)
1
q�
( t),...,
q�
1
Eine Alternative zum eben beschriebenen Lagrange-Formalismus ist die sog.
Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik. Dabei kann das Verhalten
eines physikalischen Systems durch ein System von Differentialgleichungen erster
Ordnung beschrieben werden, was in manchen Kontexten vorteilhaft ist. Dazu
n
n
( t)
d
dt
mz�
Anfangsbedingungen
q ( 0),...,
q ( 0)
1
q�
( 0),...,
q�
1
n
n
( 0)
16

definieren wir für jede Ortskoordinate qi eine „kanonisch konjugierte“
Impulskoordinate pi durch die Vorschrift
pi =
� L
� q�
Die Funktionen qi und pi werden als kanonische Koordinaten bezeichnet. Die
Größe
H = � q�
� L
i
n
� pi i
i�1
wird als Hamilton-Funktion des Systems bezeichnet. Sie entspricht im
Allgemeinen der Gesamtenergie (= Summe aus kinetischer und potentieller
Energie) des Systems. Wir betrachten das totale Differential
n
�
i�1
�L
�L
dH = ( pidq�
i � q�
idpi
� dqi
� dq�
�q
�q�
Wenn man die Lagrange-Gleichungen und die Definition der kanonischen Impulse
berücksichtigt, dann erhält man daraus
n
dH = �(
q� idpi
� p� idqi )
i�1
Unter gewissen mathematischen Voraussetzungen 9 existiert eine Funktion
f: R 2n � R, so dass H(�,t) = f(q1(�,t),...,qn(�,t), p1(�,t),...,pn(�,t)) für alle Bahnen
� � �L � und alle t � T gilt. Daraus ergibt sich für das totale Differential die
Gleichung
dH
n
H
q dq
H
p dp
� �
= �(
i � i )
� �
i�1
Ein Vergleich der beiden letzten Formeln ergibt die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen
9 vorausgesetzt wird die Existenz von Funktionen gi: R 2n � R, so dass
q� i( �, t) � gi( q1( �, t),..., qn( �, t), p1 ( �, t),..., pn( �,
t))
für alle � � �L � und alle t � T
gilt. Wir unterstellen im folgenden stets, dass die Funktion f : R 2n � R stetig und in allen
Argumenten beliebig oft differenzierbar, also eine C � -Funktion ist.
i
i
i
i
i
)
17

q�
i
�H
= �
�p
i
und
p�
i
�H
= �
�q
Dabei handelt es sich um ein System von 2n Differentialgleichungen erster
Ordnung für die kanonischen Koordinaten. Diese Gleichungen führen auf
eindeutige Lösungen, sobald die zugehörigen Anfangsbedingungen, d.h. die
kanonischen Orts- und Impulskoordinaten zu irgendeinem beliebig
herausgegriffenen „Anfangszeitpunkt“ t = 0 bekannt sind. Das bedeutet, dass man
die Positionen und Bewegungen der Teilchen für alle nachfolgenden Zeitpunkte
berechnen kann, sobald die Anfangsbedingungen bekannt sind. Wir können diesen
Sachverhalt – in Analogie zur Lagrange-Mechanik – wieder durch ein
entsprechendes Flussdiagramm veranschaulichen:
Bewegungsgleichungen
�H
�H
q�
i � , p�
i � �
�p
�q
i
i
Lösungen
q ( t),...,
q ( t)
1
p ( t),...,
p ( t)
1
i
Anfangsbedingungen
q ( 0),...,
q ( 0)
p
1
1
( 0),...,
Anmerkung: Dieses Flussdiagramm kann man ebenso wie das vorhergehende als
Beispiel für ein allgemeines Schema zur Herleitung von physikalischen
Vorhersagen auffassen, das wir im folgenden als das DAL-Schema bezeichnen
wollen. Die Buchstaben DAL stehen dabei als Abkürzungen für D wie
Differentialgleichungen, A wie Anfangsbedingungen und L wie Lösungen. Die
Herleitung besteht im Wesentlichen aus drei Schritten, die sich folgendermaßen
charakterisieren lassen:
n
(1) Man formuliert ein System von Differentialgleichungen (den
sogenannten „Bewegungsgleichungen“), die die Zustandsänderungen
des jeweiligen physikalischen Systems beschreiben.
n
n
p
n
( 0)
18

(2) Man bestimmt die Anfangsbedingungen, also den Zustand des Systems
zu einem beliebigen Anfangszeitpunkt t = 0.
(3) Aus den Bewegungsgleichungen und den Anfangsbedingungen ergeben
sich mathematisch eindeutige Lösungen, die das Verhalten des Systems
zu allen nachfolgenden Zeitpunkten t > 0 vollständig festlegen.
Physikalische Systeme, deren Verhalten sich mithilfe des DAL-Schemas
beschreiben lässt, werden im folgenden als deterministische Systeme bezeichnet.
Das charakteristische Merkmal von deterministischen Systemen besteht in dem
Umstand, dass jedem möglichen Zustand des Systems zu irgendeinem Zeitpunkt t
eindeutig bestimmte Nachfolgerzustände zu allen nachfolgenden Zeitpunkten
zugeordnet sind. Anders ausgedrückt: Die Zustandsänderungen eines
deterministischen Systems sind eindeutig und vollständig durch die Naturgesetze
festgelegt.
Im folgenden sei Z � R 2n die Gesamtheit aller möglichen Werte der kanonischen
Orts- und Impulskoordinaten. Z wird als klassischer Phasenraum bezeichnet. Mit
�H = �t�T Z
bezeichnen wir die Gesamtheit aller möglichen Pfade des Systems durch den
Phasenraum. Solche Pfade werden auch als Trajektorien bezeichnet. Jeder Pfad �
� �H hat definitionsgemäß die Form �: T � Z, d.h. jedes �(t) ist ein 2n-Tupel
von reellen Zahlen. In Analogie zu unserem früheren Vorgehen definieren wir
Funktionen qi ( ω,
t)
und pi ( ω,
t)
durch die Projektionen
Definitionsgemäß gilt dann
qi i
i
i�
n
( ω,
t)
= pr ( ω,
t)
und p ( ω,
t)
= pr ( ω,
t)
�(t) = < q1(�,t),..., qn(�,t), p1(�,t),..., pn(�,t) >
Nach Voraussetzung gibt es eine C � -Funktion f: R 2n � R, so dass H(�,t) =
f(q1(�,t),...,qn(�,t), p1(�,t),...,pn(�,t)) für alle � � �H und alle t � T gilt. Aufgrund
der vorhergehenden Überlegungen sind nur solche Bahnen durch den Phasenraum
physikalisch realisierbar, die die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erfüllen.
Im Folgenden sei �H* die Gesamtheit aller Trajektorien in �H, die den
Bewegungsgleichen entsprechen, d.h. � � �H* gilt genau dann, wenn die
Gleichungen
19

�H
q�
i ( �,
t)
= � ( �,
t)
�p
�H
p�
i ( �,
t)
= � ( �,
t)
�q
für alle i = 1,...,n und alle t � T erfüllt sind. Die Hamiltonschen Gleichungen sind
gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung für die kanonischen
Koordinaten. Diese Gleichungen besitzen eindeutige Lösungen 10 , wenn die
entsprechenden Anfangsbedingungen, also die Orte und Impulse der Teilchen zu
irgendeinem Zeitpunkt t gegeben sind. Wir definieren Funktionen Zt : �H � Z so,
dass
Zt(�) = �(t)
für alle Trajektorien � � �H und alle Zeitpunkte t gilt. Zt(�) repräsentiert also den
Zustand des Systems zur Zeit t, falls sich das System auf der Bahn � durch den
Phasenraum bewegt. Die Existenz von eindeutigen Lösungen bedeutet, dass es zu
je zwei Zeitpunkten t, t´ mit t < t´und zu jedem möglichen Zustand z � Z des
Systems zur Zeit t genau einen möglichen Nachfolgezustand z´ � Z gibt, so dass
Zt(�) = z � Zt´(�) = z´
für alle Trajektorien � � �H* gilt. Mit anderen Worten: Wenn das System sich zur
Zeit t im Zustand z befindet, dann muss es aufgrund der Bewegungsgleichungen in
den eindeutig bestimmten Nachfolgezustand z´ zur Zeit t´ übergehen. Eine Familie
(Zt)t�T von Observablen, die diese Eigenschaft besitzen, werden wir im folgenden
auch als deterministischen Prozess bezeichnen. Die angegebene Eigenschaft
impliziert, dass ein strikter kausaler Zusammenhang zwischen
aufeinanderfolgenden Systemzuständen besteht, d.h. es gibt Funktionen f t,t´
: Z �
Z so dass Zt´ ft,
t´
� Zt
� für alle Zeitpunkte t, t´ gilt. 11 Wir schreiben dafür
10 Nach Voraussetzung ist f eine C � -Funktion. Daraus folgt, dass die partiellen
Ableitungen �H �qi
und � H / �pi
im ganzen Phasenraum eine sog. Lipschitz-Bedingung
erfüllen. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen kann dann aus bekannten
Theoremen für Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung gefolgert werden;
vgl. zum Beispiel W. Walter 1990, S. 79
11 Da wir vorausgesetzt haben, dass in der Hamilton-Funktion keine explizite
Zeitabhängigkeit auftritt, ist die Funktion ft,t´ tatsächlich nur vom Abstand t´- t der
beiden Zeitpunkte abhängig. Wir sprechen daher von einem (zeitlich)
translationsinvarianten Prozess (� „Homogenität der Zeit“).
i
i
20

abkürzend Zt � * Zt´
Unter Vorgriff auf die Definitionen in den nachfolgenden
Kapiteln können wir diese Ergebnisse wie folgt zusammenfassen:
Satz: Sei Z � R 2n der Phasenraum für ein System mit n Freiheitsgraden und sei
�H* � �t�T Z die Gesamtheit aller Trajektorien im Phasenraum, die den
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen entsprechen. Ferner sei Zt(�) = �(t) für
alle � � �t�T Z und alle t � T. Dann gilt:
(1) (Zt)t�T ist ein zeitlich translationsinvarianter deterministischer Prozess
(2) Es besteht ein strikter kausaler Zusammenhang zwischen aufeinanderfolgenden
Systemzuständen, d.h. für alle Zeitpunkte t, t´ mit t < t´ gilt Zt �
* Zt´
21

2. Ereignisalgebra
Physikalische Systeme und ihre Zustände: Wir entwickeln im Folgenden einen
mathematischen Formalismus, der dazu geeignet ist, die möglichen Zustände und
Zustandsübergänge von unterschiedlichen physikalischen Systemen zu
beschreiben. In den nachfolgenden Kapiteln wird sich zeigen, dass dieser
Formalismus auch dazu verwendet werden kann, kausale Zusammenhänge
zwischen physikalischen Ereignissen zu analysieren.
Sei dazu S ein beliebiges physikalisches System. Mit Z bezeichnen wir die
Gesamtheit aller möglichen Zustände, in denen sich das System zu irgendeinem
Zeitpunkt befinden kann. Jeder Zustand repräsentiert dabei eine mögliche
„Momentaufnahme“ des Systems zu einem vorgegebenen Zeitpunkt t. Die
Gesamtheit Z aller möglichen Zustände wird daher auch als Zustandsraum
bezeichnet. Ein paar einfache Beispiele mögen den Sinn dieser Definitionen
verdeutlichen.
Beispiel 1: Als einfachstes Beispiel betrachten wir die Gesamtheit aller möglichen
Positionen eines physikalischen Teilchens im dreidimensionalen Raum. Jede
mögliche Position des Teilchens im Raum kann eindeutig durch Angabe von drei
Ortskoordinaten x, y, z bestimmt werden. Dementsprechend ist ein geeigneter
Zustandsraum Z = R 3 (R = die Menge der reellen Zahlen). Jeder Zustand kann
dann anschaulich als Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt
werden.
x
z
p
y
22

Aus physikalischer Sicht ist dies natürlich eine höchst unvollständige
Zustandsbeschreibung. Wenn wir nämlich die Bewegungen des Teilchens
vorhersagen wollen, dann benötigen wir nicht nur die Orts-, sondern auch die
kanonisch konjugierten Impulskoordinaten, wie wir im ersten Kapitel gesehen
haben. Im Augenblick sind wir aber nicht an der Vollständigkeit unserer
Zustandsbeschreibungen interessiert, sondern an möglichst einfach strukturierten
Beispielen.
Beispiel 2: Wir betrachten nun ein System von N verschiedenen Teilchen. Jedes
Teilchen kann wieder durch drei kartesische Koordinaten lokalisiert werden. Um
die Konfiguration des Teilchensystems vollständig zu beschreiben, benötigen wir
also 3 N kartesische Koordinaten x 1 , y1,
z1,...,
xN
, yN
, zN
. Der entsprechende
Zustandsraum ist der 3N -dimensionale Konfigurationsraum, Z = R 3N . Für eine
physikalisch vollständige Beschreibung benötigen wir allerdings zu jeder
Ortskoordinate noch die entsprechende „kanonisch konjugierte“ Impulskoordinate.
Bei Verwendung von kartesischen Koordinaten brauchen wir also insgesamt
6N Koordinaten, um den Zustand des Systems zu beschreiben. Der zugehörige
Zustandsraum ist der 6N -dimensionale Phasenraum, Z = R 6N .
Beispiel 3: In der Quantenphysik besitzen die Teilchen keine scharf definierten
Orte und Impulse. Um den Zustand eines N-Teilchen-Quantensystems (ohne Spin)
vollständig zu beschreiben benötigen wir eine komplexe „Wellenfunktion“ (vgl.
unten, Kap. 15 ff.). Diese Wellenfunktion hat keine anschauliche Bedeutung. Aus
ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte für alle möglichen
Ergebnisse von Orts- oder Impulsmessungen an den Teilchen ableiten, wie wir
später sehen werden. Der zugehörige Zustandsraum ist Z = L 2 (R 3N ) der Raum aller
quadratintegrierbaren komplexen Funktionen auf dem R 3N .
Wenn wir kausale Zusammenhänge analysieren wollen, müssen wir die
Zustandsübergänge des Systems in einem längeren oder kürzeren
„Beobachtungszeitraum“ T betrachten. Dabei ist T irgendeine linear geordnete
Menge von Zeitpunkten (im Normalfall ein offenes Zeitintervall T � R). Wenn S
ein physikalisches System mit einem Zustandsraum Z ist, dann bezeichnen wir mit
� = �t�T Z
die Gesamtheit aller möglichen Pfade („Trajektorien“) durch den Zustandsraum
des Systems. Jeder Pfad � � � ist dabei eine Abbildung �: T � Z, die dem
System zu jedem Zeitpunkt t einen Zustand �(t) � Z zuordnet. � repräsentiert
also die möglichen Zustandsübergänge des Systems.
23

Beispiel 1: Sei wieder Z = R 3 die Gesamtheit aller möglichen Positionen eines
Teilchens im dreidimensionalen Raum. Dann ist � = �t�T R 3 die Gesamtheit aller
möglichen Bahnen, auf denen sich das Teilchen im Beobachtungszeitraum T durch
den Raum bewegen kann. Jede Bahn � � � ist definitionsgemäß eine Funktion
�: T �R 3 , die dem Teilchen zu jedem Zeitpunkt t eine Position im Raum
zuordnet. Anschaulich kann jede Bahn als eine parametrisierte Kurve in einem
kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. Auf der Kurve sind
Markierungen angebracht, die zeigen, zu welchem Zeitpunkt sich das Teilchen an
der betreffenden Stelle befindet. Dabei ist definitionsgemäß p = �(t) die Position
des Teilchens zur Zeit t, falls sich das Teilchen auf der Bahn � durch den Raum
bewegt.
x
�
z
p = �(t)
Beispiel 2: Sei wieder Z = R 6N der Phasenraum für ein N-Teilchensystem. Dann
ist � = �t�T R 6N die Gesamtheit aller möglichen Bahnen („Trajektorien“), auf
denen sich das System durch den Zustandsraum bewegen kann. Jede Bahn � � �
ist definitionsgemäß eine Funktion �: T �R 6N , die zu jedem Zeitpunkt t den
Zustand des Systems (d.h. seine Position im Phasenraum) angibt, d.h. �(t) ist der
Zustand des Systems zur Zeit t, falls sich das System auf der Trajektorie � durch
den Phasenraum bewegt.
Mögliche Ereignisse: Sei nun Z der Zustandsraum eines physikalischen Systems
und � = �t�T Z die Gesamtheit aller möglichen Pfade durch den Zustandsraum.
Physikalische Ereignisse können dann als Teilmengen E � � modelliert werden.
Dabei repräsentiert E das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn sich das System
auf einem Pfad � � E durch den Zustandsraum bewegt. Als Beispiel betrachten
wir das Ereignis ER,t = � � � � / �(t) � R �. Dieses Ereignis tritt genau dann ein,
wenn sich das System zur Zeit t in dem Raumbereich R � Z befindet.
y
24

Wenn diese Überlegung korrekt ist, dann entspricht jedem möglichen Ereignis
umkehrbar eindeutig eine Teilmenge von �. Das bedeutet automatisch, dass alle
Mengenoperationen auch auf Ereignisse anwendbar sind. Die wichtigsten
Beispiele sind Schnittmengen, Vereinigungen und Komplemente:
(1) � � A � B � (� � A � � � B)
(2) � � A � B � (� � A � � � B)
(3) � � A � � � A
Folgerichtig müssen auch die Mengen A � B, A � B und A als Ereignisse
gedeutet werden. Die richtige Deutung ergibt sich dabei unmittelbar aus der
Definition der Mengenoperationen selbst, d.h:
(1) Das Ereignis A � B tritt ein, wenn das Ereignis A und das Ereignis B eintritt,
(2) das Ereignis A � B tritt ein, wenn das Ereignis A oder das Ereignis B eintritt,
und (3) das Ereignis A tritt ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. A wird auch
als komplementäres Ereignis bezeichnet.
Beispiel: Sei wieder ER,t = � � � � / �(t) � R � das Ereignis, das genau dann
eintritt, wenn sich das System zur Zeit t im Raumbereich R befindet. Dann ist
E R,
t ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn sich das System zur Zeit t
außerhalb dieses Bereichs befindet. Auf ähnliche Weise repräsentiert die
E � E das Ereignis, dass sich das System zur Zeit t1 im
Schnittmenge R1
, t1
R2
, t2
x
�
Raumbereich R1 und zum Zeitpunkt t2 im Bereich R2 befindet.
z
R
y
25

Die oben angegebenen Definitionen lassen sich leicht auf beliebige (abzählbare
oder überabzählbare) Vereinigungen und Schnittmengen ausdehnen. Sei dazu
� Ai � i � I � eine beliebige Familie von möglichen Ereignissen. Dann gilt:
(4) � � A i
(5) � � A i
� � � i � I: � � Ai
i�I � � � i � I: � � Ai
i�I Mit anderen Worten: Das Ereignis � Ai tritt ein, wenn alle Ereignisse Ai eintreten.
i�I Das Ereignis � Ai tritt ein, wenn mindestens eines der Ereignisse Ai eintritt.
i�I Zwei Ereignisse A und B sind unvereinbar, wenn es keinen möglichen Pfad durch
den Zustandsraum gibt, bei dem beide Ereignisse eintreten, d.h. wenn die
Schnittmenge A � B = � ist. Eine Familie � Ai � i � I � von möglichen
Ereignissen heißt simultan möglich, wenn die Schnittmenge � Ai nicht leer ist,
d.h. wenn es einen möglichen Pfad durch den Zustandsraum gibt, bei dem alle
Ereignisse Ai eintreten.
Sei nun S ein beliebiges physikalisches System mit Zustandsraum Z und sei
� = �t�T Z die Gesamtheit aller möglichen Pfade durch den Zustandsraum. Nach
unseren bisherigen Überlegungen kann jedes mögliche Ereignis umkehrbar
eindeutig als eine Teilmenge E � � dargestellt werden. In der
Wahrscheinlichkeitstheorie ist es jedoch aus mathematischen Gründen nicht
möglich, allen Ereignissen E � � eine numerische Wahrscheinlichkeit
zuzuordnen 12 , weil es überabzählbar unendlich viele mögliche Bahnen durch den
Zustandsraum gibt. Dieses Problem ist völlig irrelevant, solange wir nur kausale
Zusammenhänge zwischen den möglichen Ereignissen analysieren. Es wird aber
spätestens dann relevant werden, wenn wir den Ereignissen
Eintrittswahrscheinlichkeiten zuordnen wollen.
Sei daher � = �t�T Z die Gesamtheit aller möglichen Pfade durch den
Zustandsraum und Pot(�) die Gesamtheit aller Teilmengen von �. Da wir nicht
jeder Teilmenge E eine numerische Wahrscheinlichkeit zuordnen können, müssen
wir uns auf eine geeignete Auswahl A � Pot(�) von möglichen Ereignissen
beschränken, denen wir eine numerische Wahrscheinlichkeit zuordnen wollen oder
können. Dementsprechend werden Ereignisse E � A in der
12 sofern die Wahrscheinlichkeitsverteilung gewisse natürliche Stetigkeitsbedingungen
erfüllen soll.
i�I 26

Wahrscheinlichkeitstheorie auch als „messbare Ereignisse“ bezeichnet, weil wir
ihre Eintrittswahrscheinlichkeit „messen“ oder berechnen können. Die Gesamtheit
aller ausgewählten Ereignisse bildet eine Ereignisalgebra, wenn A abgeschlossen
unter Komplementbildungen, sowie unter abzählbaren Schnittmengen und
Vereinigungen ist. Diese Bedingungen werden im mathematischen Anhang näher
erläutert. Zusätzlich wollen wir sicherstellen, dass alle Ereignisse der Form ER,t =
� � � � / �(t) � R � mit t � T in unserer Auswahl enthalten sind, wenn R
irgendein offener oder abgeschlossener Raumbereich im R n ist.
Wir treffen also unsere Auswahl in zwei Schritten: Im ersten Schritt betrachten wir
wieder den Zustandsraum Z = R n . Mit B(R n ) bezeichnen wir die kleinste
Ereignisalgebra auf Z = R n , in der alle offenen und abgeschlossenen Teilmengen B
� R n enthalten sind 13 . Die Existenz und Eindeutigkeit dieser Algebra wird im
mathematischen Anhang bewiesen. Ereignisse B � B(R n ) werden üblicherweise
auch als Borelmengen bezeichnet. In der nachfolgenden Darstellung sind drei
einfache Beispiele dargestellt:
x
z
A B
Im zweiten Schritt betrachten wir den Pfadraum � = �t�T R n .
Mit A = �t�T B(R n ) bezeichnen wir die kleinste Ereignisalgebra auf �, in der alle
Ereignisse der Form ER,t = � � � � / �(t) � R � mit t � T und R � B(R n ) enthalten
sind. Definitionsgemäß ist ER,t das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn sich das
System zur Zeit t im Raumbereich R befindet. A = �t�T B(R n ) wird auch als
13
Offene Mengen lassen sich als Vereinigungsmengen von offenen Intervallen der Form
I = � ( x1,..., xn
) / ai
� xi
� bi
� darstellen. Abgeschlossene Mengen sind die Komplemente
von offenen Mengen.
C
y
27

„Produktalgebra“ bezeichnet. Sie ist nicht mit dem gewöhnlichen kartesischen
Produkt �t�T B(R n ) zu verwechseln, das mit demselben Symbol bezeichnet wird.
Wir können diese Konstruktion auf beliebige Zustandsräume übertragen. Sei dazu
Z irgendein Zustandsraum und sei B eine �-Algebra auf Z. Dann ist A = �t�T B
die kleinste Ereignisalgebra auf � = �t�T Z, in der alle Ereignisse ER,t mit t � T
und R � B enthalten sind. Wir haben damit alle begrifflichen Komponenten, die
wir zur Beschreibung von physikalischen Ereignissen benötigen werden.
Zusammenfassung: Die wichtigsten Konzepte, die wir zur Beschreibung von
physikalischen Prozessen benötigen, sollen hier noch einmal übersichtlich
zusammengefasst werden:
� Z = alle möglichen Zustände eines physikalischen Systems. Z wird auch als
Zustandsraum bezeichnet.
� � = �t�T Z = alle möglichen Pfade durch den Zustandsraum.
� Teilmengen E � � werden als mögliche Ereignisse bezeichnet.
� Wenn B eine �-Algebra auf dem Zustandsraum ist, dann ist A = �t�T B die
kleinste Ereignisalgebra auf � = �t�T Z, in der alle Ereignisse ER,t mit t � T
und R � B enthalten sind. A ist abgeschlossen unter Komplementbildung und
abzählbaren Vereinigungen.
� Beispiel: Wenn Z = R n und � = �t�T R n ist, dann ist A = �t�T B(R n ) die
kleinste Ereignisalgebra auf �, in der alle Ereignisse ER,t mit t � T und R �
B(R n ) enthalten sind. B(R n ) ist die Familie aller Borelmengen im R n .
28

3. Der Faktor Zeit
Ein wesentliches Merkmal von kausalen Abhängigkeiten ist die zeitliche Ordnung:
Die Ursache ist der Wirkung zeitlich vorgeordnet und nicht umgekehrt 14 . Eine
mathematische Theorie der Kausalität muss daher die zeitliche Reihenfolge
zwischen den Ereignissen explizit berücksichtigen. Um die zeitliche Ordnung im
mathematischen Modell zu beschreiben, benötigen wir eine zweistellige Relation

Teilchen zur Zeit t´ im Raumbereich B befindet. Intuitiv ist dann At die
Gesamtheit aller möglichen Ereignisse, die bis zum Zeitpunkt t (einschließlich)
stattgefunden haben.
Jede Ereignisalgebra wirkt daher wie ein „Filter“, der aus der Gesamtheit aller
möglichen Ereignisse diejenigen Ereignisse herausfiltert, die bis zur Zeit t
stattgefunden haben. Offenbar gilt dabei immer At � At´, wenn t � t´ ist. Der Filter
wird also immer feinmaschiger, je weiter wir in der Zeit voranschreiten. Daher
sagt man auch, dass die Ereignisalgebren At eine „Filterung“ auf � bilden. Wir
können diesen Sachverhalt nutzen, um eine zeitliche Ordnung explizit zu
definieren, nämlich durch die Bedingung, dass A < B genau dann gelten soll, wenn
es einen Zeitpunkt t gibt, so dass A bereits Element von At ist, aber B noch nicht,
d.h. wir definieren A < B durch die Bedingung
� t � T : A � At � B � At
Es liegt auf der Hand, dass < die gewünschten Eigenschaften besitzt, d.h.
< ist irreflexiv, asymmetrisch und transitiv. Insbesondere gilt natürlich EB,t < EB,t´ ,
wenn t < t´ ist.
Wir können die vorhergehende Konstruktion unschwer auf beliebige
Zustandsräume verallgemeinern. Sei dazu Z irgendein Zustandsraum und B eine
�-Algebra auf Z. Dann ist A = �t�T B wieder die zugehörige Ereignisalgebra und
At = �t´�t B die kleinste Teilalgebra, in der alle Ereignisse EB,t´ mit t´� t und B �
B enthalten sind. Entsprechend gilt dann A < B, wenn es einen Zeitpunkt t gibt, so
dass A � At aber B � At gilt.
Die Existenz einer zeitlichen Ordnung ist in der klassischen Physik mehr oder
weniger trivial, weil wir eine linear geordnete Menge T von Zeitpunkten
vorgegeben haben, so dass alle Ereignisse auf derselben Zeitskala vergleichbar
sind. Nichttrivial ist dagegen die Konstruktion einer zeitlichen Ordnung in der
allgemeinen Relativitätstheorie, weil dort T durch eine allenfalls partiell geordnete
Menge von Raum-Zeit-Punkten ersetzt werden muss, wie wir später sehen werden.
Für die meisten physikalischen (und außer-physikalischen) Anwendungen ist
jedoch die oben beschriebene Konstruktion völlig angemessen und
unproblematisch.
30

Zusammenfassung: Die wichtigsten Konzepte und Definitionen aus diesem
Abschnitt sollen hier noch einmal übersichtlich aufgelistet werden:
� T ist eine linear geordnete Menge von Zeitpunkten.
� � = �t�T Z = alle möglichen Pfade durch den Zustandsraum.
� B ist eine �-Algebra auf Z.
� At ist die kleinste Ereignisalgebra auf � = �t�T Z, in der alle Ereignisse EB,t´
mit t´� t und B � B enthalten sind, d.h:
� At repräsentiert alle Ereignisse, die bis zur Zeit t einschließlich stattgefunden
haben. Dabei gilt At � At´, wenn t � t´ ist.
� Definitionsgemäß gilt A < B, wenn es einen Zeitpunkt t gibt, so dass A � At
aber B � At gilt.
Das geordnete Tripel (�, A,

4. Ursache und Wirkung
Im Folgenden sei S ein physikalisches System mit dem Zustandsraum Z und � =
�t�T Z die Gesamtheit aller Trajektorien �: T � Z durch den Zustandsraum.
Grundlegend für den klassischen Kausalitätsbegriff ist die Vorstellung, dass nicht
alle Zustandsübergänge physikalisch möglich sind. Damit ist gemeint, dass es
physikalische Gesetzmäßigkeiten gibt, die die zulässigen Zustandsübergänge
einschränken.
Beispiel 1: Als Beispiel betrachten wir ein Teilchen mit der Masse m, das sich in
einem Potentialfeld V(x,y,z) bewegt. Darunter verstehen wir ein skalares Feld, das
überall im Raum eine wohldefinierte Feldstärke besitzt. „Skalar“ bedeutet dabei,
dass sich die Feldstärke durch Angabe einer einzigen reellen Zahl bestimmen lässt.
Wir deuten also die Größe V(x,y,z) als die Feldstärke am Ort mit den Koordinaten
x, y, z. Aus dieser Größe lässt sich ableiten, welche Kraft auf unser Teilchen
wirken würde, wenn es sich an dem angegebenen Ort befindet. Dazu bilden wir
den negativen Gradienten � � V . 15 Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz sind
dann nur solche Teilchenbahnen physikalisch möglich, die die Bedingung
m�r� � � ��V
erfüllen. Dabei ist r( t)
� � x(
t),
y(
t),
z(
t)
� die Position des Teilchens zur Zeit t und
�r �(
t) � � �x
�(
t),
�y
�(
t),
�z
�(
t)
�die
zugehörige Beschleunigung.
Beispiel 2: Sei nun allgemein Z = R 6N der Phasenraum für ein N-Teilchensystem
6N
und � � �t�T
R die Gesamtheit aller Trajektorien durch den Phasenraum. Aus
physikalischer Sicht sind nur solche Trajektorien möglich, die die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen erfüllen. Solche Trajektorien müssen insbesondere stetig
und in allen 6N Komponenten nach t differenzierbar sein.
Beispiel 3: Sei Z = L 2 (R 3N ) der Zustandsraum (Hilbertraum) für ein N-Teilchen-
2 3N
Quantensystem und � � �t�T
L ( R ) die Gesamtheit aller Trajektorien durch den
Zustandsraum. Physikalisch realisierbar sind nur solche Trajektorien, die die sog.
Schrödinger-Gleichung erfüllen. Auch diese Trajektorien müssen entsprechende
Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsbedingungen erfüllen.
Sei nun S ein beliebiges physikalisches System mit Zustandsraum Z. Dann
bezeichnen wir mit �* � �t�T Z die Gesamtheit aller möglichen Pfade durch den
15 Definitionsgemäß handelt es sich dabei um eine vektorielle Größe mit den
Komponenten � �V
/ �x,
� �V
/ �y,
� �V
/ �z
.
32

Zustandsraum, die mit den Gesetzen der Physik vereinbar sind. Das
vorhergehende Beispiel zeigt, dass im Normalfall �* eine echte Teilmenge von �
= �t�T Z sein muss, weil nicht alle Zustandsübergänge physikalisch realisierbar
sind.
Wenn E ein beliebiges Ereignis aus � ist, dann bezeichnen wir mit E* = E � �*
die Schnittmenge von E mit �*. E* ist also die Gesamtheit aller physikalisch
möglichen Pfade durch den Zustandsraum, auf denen das Ereignis E eintritt. E*
wird im Folgenden auch als die Spur von E in �* bezeichnet. Wenn nun A �
Pot(�) eine beliebige Ereignisalgebra auf � ist, dann bezeichnen wir mit A* die
Gesamtheit aller Ereignisse E* mit E � A. Man kann leicht zeigen, dass A* eine
Ereignisalgebra auf �* ist; sie wird auch als Spuralgebra bezeichnet. A*
repräsentiert also die Gesamtheit aller physikalisch möglichen Ereignisse. Wir
sagen, dass eine Aussage der Form A � B überall in �* gültig ist, wenn wenn die
Bedingung � � A � � � B für alle physikalisch möglichen Pfade � � �* durch
den Zustandsraum erfüllt ist. Offenbar gilt A � B überall in �* genau dann, wenn
für die Spurereignisse A* � B* gilt. Ebenso sagen wir, dass die Aussage A = B
überall in �* gilt, wenn � � A � � � B für alle � � �* gilt, d.h. wenn A* = B*
ist. Mit diesen Vorüberlegungen können wir nun den Kausalitätsbegriff in
allgemeiner Form definieren.
Von einem strikten kausalen Zusammenhang zwischen zwei Ereignissen A und B
können wir ausgehen, wenn unter jeden möglichen Bedingung, unter der das
Ereignis A eintritt, auch der Effekt B eintritt, d.h. wenn die Aussage � � A �
� � B für alle physikalisch möglichen Pfade durch den Zustandsraum gilt. Dabei
wird natürlich vorausgesetzt, dass das Ereignis A dem Effekt B zeitlich
vorgeordnet ist, d.h. dass A < B gilt. Wir schreiben im folgenden A

� Es muss ein gesetzmäßiger Zusammenhang zwischen den Ereignissen
bestehen: wenn das Ereignis A eintritt, muss auch der Effekt B eintreten.
Definitionsgemäß gilt also A

Beispiel 1: Sei S ein freies Teilchen, das sich in einem Potentialfeld V � 0 bewegt.
Ferner sei A das Ereignis, dass das Teilchen sich zur Zeit t = 0 mit der
Geschwindigkeit v durch den Ursprung des Koordinatensystems bewegt und sei B
das Ereignis, dass sich das Teilchen zur Zeit t > 0 mit derselben Geschwindigkeit
2 2 2 2 2
durch die Oberfläche der Sphäre R = � � x, y,
z � / x � y � z � v t � bewegt.
Dann ist A

In einem UND-Gatter fließt Strom durch das Gatter (Y = 1) dann und nur dann,
wenn beide Eingänge Strom führen, d.h. wenn X1 =1 und X2 = 1 gilt. Im ODER-
Gatter gilt Y = 1, wenn mindestens einer der beiden Eingänge Strom führt, d.h.
wenn X1 = 1 oder X2 = 1 gilt. Technisch lässt sich ein UND-Gatter realisieren
durch eine Reihenschaltung, bei der nur Strom fließt, wenn beide Schalter
geschlossen sind. ODER-Gatter sind realisierbar durch Parallelschaltungen, bei
der Strom fließt, sobald einer der beiden Schalter geschlossen wird.
Die möglichen Zustände der Eingangsleitungen sind gegeben durch den
Möglichkeitsraum �ein = � 0,1 � � � 0,1 �, d.h. �ein ist die Menge aller geordneten
Paare (i,j) mit i, j � � 0,1 �. Dabei gibt die Variable i den Zustand des ersten
Eingangs und j den Zustand des zweiten Eingangs wieder. Die möglichen
Zustände am Ausgang sind gegeben durch den Möglichkeitsraum �aus = � 0,1 �.
Wir definieren eine zeitliche Ordnung mit zwei Zeitpunkten t = ein und t´= aus,
wobei t < t´ gelten soll. Diese Festsetzung erscheint sinnvoll, weil der Strom von
den Eingangsleitungen zur Ausgangsleitung fließt, und dafür eine endliche Zeit
benötigt. Die Gesamtheit aller möglichen Kombinationen von Eingangs- und
Ausgangszuständen im Logikschaltkreis ist gegeben durch
� = �ein � �aus = � (i,j,k) / i,j,k = 0 oder 1�
Dabei beziehen sich die Variablen i und j auf die Zustände des ersten und zweiten
Eingangs und die Variable k auf den Zustand am Ausgang.
In einem UND-Gatter kann konstruktionsgemäß nur Strom durch den Ausgang
fließen, wenn beide Eingänge Strom führen, d.h. k = 1 genau dann, wenn i = j = 1
ist. Die Menge aller möglichen Zustände in einem UND-Gatters ist also
Wir betrachten nun die Ereignisse
�* = � (1,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,0) �
A1 = � (i,j,k) � � / i = 1, j = 1 � = beide Eingänge führen Strom.
A2 = � (i,j,k) � � / i = 1, j = 0 � = nur der erste Eingang führt Strom.
A3 = � (i,j,k) � � / i = 0, j = 1 � = nur der zweite Eingang führt Strom.
A4 = � (i,j,k) � � / i = 0, j = 0 � = keiner der beiden Eingänge führt Strom.
Ferner betrachten wir die Ereignisse
B = � (i,j,k) � � / k = 1 � = Birne brennt, und
B = � (i,j,k) � � / k = 0 � = Birne brennt nicht.
36

Die Ereignisse Ai entsprechen also den möglichen Zuständen der
Eingangsleitungen (insgesamt 4 Möglichkeiten). Die Ereignisse B und B
beschreiben die möglichen Zustände der Ausgangsleitung (Strom / kein Strom).
Nach unseren Definitionen gilt Ai < B bzw. Ai < B für alle i = 1,…,4, wenn wir
Ereignisräume Aein und Aaus so definieren, dass At = Pot(�t) gilt. In diesem Fall
sind nämlich die Ai messbar in t = ein ist, aber B und B erst in t´ = aus (Warum?).
Darüberhinaus gilt A1 � B und Ai � B , für i = 2,3,4 überall in �*. Damit sind die
beiden Bedingungen erfüllt, die im Kausalitätsbegriff enthalten sind, weil (1) die
richtige zeitliche Ordnung zwischen den Ereignissen und (2) ein gesetzmäßiger
Zusammenhang zwischen den Ereignissen besteht. Somit gilt
A1

5. Kausalität und bedingte Wahrscheinlichkeit
Bis hier haben wir nur kausale Zusammenhänge zwischen möglichen Ereignissen
untersucht ohne deren Eintrittswahrscheinlichkeit zu berücksichtigen. Man kann
aber leicht zeigen, dass zwischen Kausalität und Wahrscheinlichkeit ein einfacher
Zusammenhang besteht.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist definitionsgemäß eine Funktion p: A � R, die
jedem möglichen Ereignis E aus einer Ereignisalgebra A � Pot(�) eine
numerische Wahrscheinlichkeit p(E) zuordnet. Dabei müssen grundsätzlich drei
Bedingungen erfüllt sein, die gewöhnlich als Kolmogoroff-Axiome bezeichnet
werden:
(K1) Für alle Ereignisse E aus A gilt: 0 � p(E) � 1
(K2) Normierung: p(�) = 1
(K3) �-Additivität: Wenn A1, A2, ..., An, … paarweise disjunkte Ereignisse sind,
dann ist die Wahrscheinlichkeit
�
�
p( � A ) � � p( A )
n
n�1
n�1
Im Falle der klassischen Kausalität wird der Möglichkeitsraum � im Allgemeinen
durch physikalische Gesetzmäßigkeiten eingeschränkt. Der eingeschränkte
Möglichkeitsraum wird mit �* bezeichnet. Wenn A � Pot(�) eine �-Algebra auf
dem uneingeschränkten Möglichkeitsraum ist, dann konstruieren wir wie in
Kapitel 3 eine korrespondierende Ereignisalgebra auf �* durch die Gleichung
A* = � A* = A � �* / A � A �
Man kann leicht zeigen, dass A* tatsächlich eine �-Algebra auf �* ist, also
abgeschlossen unter Komplementbildungen, sowie unter abzählbaren
Durchschnitten und Vereinigungen. A* wird als Spuralgebra von A in �*
bezeichnet. Sei nun p*: A* � R ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf A*.
Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß p: A � R, so dass
(*) p(E) = p*(E*)
für alle Ereignisse E � A* gilt. p wird dann als die eindeutig bestimmte
Fortsetzung von p* auf A bezeichnet. Umgekehrt wird p* als Spurmaß von p auf
A* bezeichnet.
n
38

Zur Existenz von p: Man kann leicht sehen, dass p tatsächlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß
ist, also die Kolmogoroff-Axiome erfüllt. Denn definitionsgemäß gilt (1) 0 � p(E) =
p*(E*) � 1 für alle Ereignisse E. Ebenso ist (2) p(�) = p*(�*) = 1, da p* nach
Voraussetzung die Kolmogoroff-Axiome erfüllt. (3) Für paarweise disjunkte Ereignisse
A1, A2,..., An,... gilt
p( � An ) � p *( � An )* = p *( � An *) � � p *( An*) � � p( An
)
n
n
n n
n
da auch die Spurmengen An* paarweise disjunkt sind. Zur Eindeutigkeit von p: Wenn es
zwei verschiedene Wahrscheinlichkeitsmaße p, p´ : A � R gäbe, die die Bedingung (*)
erfüllen, dann müsste ein Ereignis E � A existieren, so dass p(E) � p´(E) und zugleich
p(E) = p*(E*) = p´(E) gilt – ein Widerspruch.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß p: A � R heißt im folgenden zulässig in Bezug auf
�*, wenn es ein Wahrscheinlichkeitsmaß p*: A* � R gibt, so dass p die
Fortsetzung von p* auf A und umgekehrt: p* das Spurmaß von p auf A* ist.
„Zulässigkeit“ bedeutet also intuitiv, dass nur physikalisch mögliche Ereignisse
eine Wahrscheinlichkeit > 0 besitzen können. Im Umkehrschluss gilt p(E) = 0 für
alle Ereignisse, die im Widerspruch zu den Naturgesetzen stehen 17 . Die
wichtigsten Eigenschaften von zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind in den
folgenden Aussagen festgehalten:
Lemma 1: Für alle Ereignisse E gilt p(E) = p*(E*).
Lemma 2: Für alle Ereignisse A1, A2 mit A1* = A2* gilt p(A1) = p(A2).
*
Lemma 3: Wenn die Ereignisse An paarweise disjunkt sind, dann gilt
� �
p( � An ) = � p( An
) ,
n�1
n= 1
selbst wenn die Ereignisse An selbst nicht disjunkt sind.
Bei der Analyse von kausalen Zusammenhängen interessieren uns allerdings
weniger die absoluten Wahrscheinlichkeiten von möglichen Ereignissen bzw.
Effekten, sondern die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Effekt E
eintritt, wenn die Bedingungen A, B oder C erfüllt sind. Die bedingte
Wahrscheinlichkeit von E unter der Voraussetzung A wird wie üblich mit p(E/A)
bezeichnet und durch die Gleichung
17 Definitionsgemäß steht ein Ereignis E in Widerspruch zu den Naturgesetzen, wenn die
Schnittmenge E* = E � �* = � ist.
39

p( A � E)
p( E / A)
�
p( A)
definiert. Dabei muss natürlich p(A) > 0 sein, weil die Division durch Null
verboten ist. Der Sinn dieser Definition wird unmittelbar aus dem nachfolgenden
Diagramm deutlich.
Das Diagramm sei so angelegt, dass die Fläche der Teilmengen A und E proportional zur
Eintrittswahrscheinlichkeit der entsprechenden Ereignisse ist (die Gesamtfläche �
entspricht 100 %). Jeder Punkt innerhalb des Diagramms repräsentiert dabei einen
möglichen Pfad durch den Zustandsraum des Systems. Unter der Voraussetzung A
können nur noch Pfade innerhalb von A realisiert werden. Demzufolge entspricht die
bedingte Wahrscheinlichkeit p(E/A) dem Anteil der Schnittmenge E � A an der
Gesamtfläche von A.
Sei nun A eine Ereignisalgebra auf � und A* die Spuralgebra von A in einer
Teilmenge �*. Wenn dann p*: A* � R ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A* und
p : A � R die Fortsetzung von p* auf A ist, dann gilt für die bedingten
Wahrscheinlichkeiten das nachfolgende
Lemma 4: Für alle Ereignisse A, B mit p(A) = p*(A*) > 0 gilt p(B/A) = p*(B*/A*).
Wir können nach diesen Vorüberlegungen einen einfachen Satz formulieren, der
zeigt, wie kausale Abhängigkeiten mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
zusammenhängen:
Satz 2: Sei Z der Zustandsraum eines physikalischen Systems und sei �* �
�t�T Z die Gesamtheit aller physikalisch möglichen Pfade durch den
Zustandsraum. Ferner seien A, B beliebige kontingente 18 Ereignisse aus A mit
18 d.h. A, B erfüllen die Varianzbedingungen aus Definition 1.
A
E
�
40

A < B. Dann gilt A 0 die Gleichung p(B/A) = 1 erfüllt
ist.
Beweis: (�) Sei p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf A und sei A Ursache von B
in dem oben definierten Sinn. Dann ist offenbar p*(B*/A*) = 1, denn nach Voraussetzung
gilt A � B überall in �*, also A* � B*. Aus der Zulässigkeit folgt mit Lemma 4, dass
auch p(B/A) = p*(B*/A*) = 1 ist, sofern p(A) > 0 ist.
(�) Umgekehrt lässt sich zeigen, dass A � B überall in �* gelten muss, wenn die
Bedingung p(B/A) = 1 für alle zulässigen Verteilungen p: A � R mit p(A) > 0 erfüllt ist.
Denn andernfalls gäbe es mindestens ein Ereignis � � �* mit � � A* � B*. Wir könnten
dann eine zulässige Verteilung p mit p*(A* � B*) = 1 konstruieren. In diesem Fall wäre
aber p*(B*) = p(B) = 0 und p*(B*/A*) = p(B/A) = 0 – im Widerspruch zur
Voraussetzung. �
Beispiel: Zur Illustration von Satz 2 wollen wir annehmen, dass in dem oben
betrachteten UND-Gatter die Belegung der Eingangsleitungen zu Testzwecken
abwechselnd auf 0 und auf 1 gesetzt wird. Dies könnte zum Beispiel durch einen
Zufallsmechanismus gesteuert werden, bei dem alle möglichen Kombinationen
von Eingangswerten mit positiven Wahrscheinlichkeiten auftreten. Wir erhalten
dann zum Beispiel beim UND-Gatter für die bedingten Wahrscheinlichkeiten die
Werte
p(B /A1) = 1,
p( B /A1) = 0,
p(B /Ai) = 0, für i = 2,3,4
p( B /Ai) = 1, für i = 2,3,4
Dabei ist zu beachten, dass diese Gleichungen gemäß Satz 2 für jede beliebige
zulässige Wahrscheinlichkeitsverteilung gelten, sofern nur p(Ai) > 0 ist (für alle i =
1,…,4).
Satz 2 ist ein Beispiel für eine bestimmte Sorte von Aussagen, die wir im
folgenden als Übersetzungsregeln bezeichnen werden. Mithilfe solcher
Übersetzungsregeln lassen sich Aussagen über kausale Abhängigkeiten (in
unserem Beispiel: A

Antezedensbedingung A erfüllt ist. Das entspricht natürlich dem klassischen
Kausalitätsbegriff, wonach ein strikter nomologischer Zusammenhang zwischen Ursache
und Wirkung bestehen muss. Demgegenüber hat P. Suppes 1970 eine probabilistische
Theorie der Kausalität vorgeschlagen, die nur von einem statistischen Zusammenhang
zwischen Ursache und Wirkung ausgeht. Danach ist A eine „Prima-facie-Ursache“ für
einen zeitlich nachfolgenden Effekt B, wenn A die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass der
Effekt eintritt, d.h. wenn p(B/A) > p(B) ist 19 . Man kann leicht erkennen, dass jede strikte
Ursache zugleich eine Prima-facie-Ursache im Sinne des Suppes-Kriterium ist, d.h. aus A
p(B) für alle zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße mit 0 <
p(A) < 1. Tatsächlich kann man zeigen, dass auch die Umkehrung dieser Aussage gilt,
d.h. es gilt der folgende
Satz 2a: Seien A, B beliebige kontingente 20 Ereignisse aus A mit A < B. Dann gilt
A p(B) für alle zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße p
mit 0 < p(A), p(B) < 1 gilt.
Dieser Satz kann im Wesentlichen durch dieselben Überlegungen begründet werden, wie
der oben angegebene Satz 2. Das Ergebnis zeigt, dass der wesentliche Unterschied
zwischen dem klassischen Kausalitätsbegriff und den meisten probabilistischen Begriffen
darin besteht, dass der klassische Kausalitätsbegriff robust, d.h. unabhängig von der Wahl
eines bestimmten Wahrscheinlichkeitsmaßes ist.
19 Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend für einen kausalen
Zusammenhang, weil sie nicht erlaubt, zwischen echten Ursachen und bloßen
Symptomen zu unterscheiden. Das wird deutlich, wenn man zum Beispiel die Ereignisse
A = das Barometer fällt und B = es tritt ein Sturm ein vergleicht. In diesem Fall gilt zwar
p(B/A) > p(B), sofern das Barometer ordnungsgemäß funktioniert, aber A ist nicht
ursächlich für B. Ursächlich ist vielmehr ein drittes Ereignis, nämlich C = der Luftdruck
fällt, das sowohl A als auch B verursacht.
20 d.h. A, B erfüllen die Varianzbedingungen aus Definition 1
42

6. Zufallsvariablen
Die bisherigen Überlegungen beziehen sich auf kausale Beziehungen zwischen
Ereignissen. Das entspricht der alltagssprachlichen Verwendung der Begriffe
„Ursache“ und „Wirkung“. In wissenschaftlichen Kontexten betrachtet man häufig
auch kausale Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen. Messbare Größen
werden in der Physik als Observablen bezeichnet. Wichtige Beispiele sind der Ort
und der Impuls eines Teilchens, seine Geschwindigkeit, seine kinetische Energie
usw. Wir verwenden im Folgenden große lateinische Buchstaben X, Y, Z (mit und
ohne Indizes) vom Ende des Alphabets zur Bezeichnung von Observablen,
während die Anfangsbuchstaben A, B, C usw. zur Bezeichnung von möglichen
Ereignissen vorbehalten sind.
Aus Sicht der Wahrscheinlichkeitstheorie kann man Observablen als
„Zufallsvariablen“ interpretieren. Darunter verstehen wir eine Größe, die mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit unterschiedliche Werte annehmen kann. Wenn
beispielsweise � die Menge aller möglichen Pfade eines physikalischen Systems
durch seinen Zustandsraum darstellt, dann hängen die Werte einer Observablen X
von dem Pfad � � � ab, auf dem sich das System tatsächlich bewegt. Mit X(�) =
x bezeichnen wir daher den Wert, den die Variable unter der Bedingung �
annimmt. Es ist üblich, Zufallsvariablen mit großen Buchstaben zu bezeichnen, die
möglichen Werte der Variablen dagegen mit kleinen Buchstaben.
Wir können uns nun vorstellen, dass durch irgendeinen Zufallsmechanismus
willkürlich ein Pfad aus � ausgewählt wird. Dann hängt die Wahrscheinlichkeit
für den Messwert x davon ab, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das System auf
einem Pfad � durch den Zustandsraum bewegt, der die Bedingung X(�) = x
erfüllt. Dementsprechend definieren wir jede Observable X als eine Abbildung
X: � � �X. Dabei ist �X die Menge aller möglichen Werte, die die Variable X
annehmen kann. In der Praxis ist meistens �X = R oder �X = R n .
Beispiel: Sei Z der Zustandsraum eines physikalischen Systems und sei
� � �t�T
Z die Gesamtheit aller Trajektorien durch den Zustandsraum. Wir
definieren (für jeden Zeitpunkt t) eine Observable Zt : � � Z durch die Vorschrift,
dass
( � ) � �(
t)
Z t
für alle Zeitpunkte t und alle Trajektorien �� � gelten soll. Zt (�)
repräsentiert
also den Zustand des Systems zur Zeit t, falls sich das System auf der Trajektorie
43

� durch den Zustandsraum bewegt. Hier ist also der Wertebereich � Z für alle
t � T . �
Messbarkeit: Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff der Messbarkeit
von zentraler Bedeutung. Sei dazu �X die Menge aller möglichen Werte, die die
Observable X annehmen kann und sei AX eine �-Algebra auf �X. Ferner sei A wie
üblich eine �-Algebra auf � = �t�T Z. Wir bezeichnen jede Teilmenge B � �X
mit B � AX als eine bezüglich der Algebra AX messbare Menge von möglichen
Werten. Eine Abbildung X: � � �X heißt A–AX–messbar, wenn für jede
messbare Menge B � AX das „Urbild“
X �1 (B) = � � � � / X(�) � B �
�Z t
in A enthalten ist, d.h. wenn X �1 (B) � A für alle B � AX gilt. Wir verwenden im
folgenden die Abkürzung
� X � B � für das Ereignis X -1 (B) = � � � � / X(�) � B �
Dies ist das Ereignis, das eintritt, wenn die Variable X einen Wert x � B annimmt.
Analog definieren wir die Abkürzung
� X = x � für das Ereignis � � � � / X(�) = x �
Dies ist das Ereignis, das eintritt, wenn die Variable X den Wert x annimmt. 21 Die
praktische Bedeutung der Messbarkeit für die Wahrscheinlichkeitstheorie besteht
darin, dass das Ereignis � X � B � automatisch messbar ist, wenn B � AX gilt, d.h.
man kann dem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit p� X � B � zuordnen, weil
� X � B � im Definitionsbereich von p liegt. Umgekehrt kann man zu jedem
Wahrscheinlichkeitsmaß p auf A ein sogenanntes „Bildmaß“ pX : AX � R
definieren, so dass pX(B) = p� X � B � für alle B � AX gilt. Abweichend vom
üblichen Sprachgebrauch in der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie werden wir
hier und im folgenden immer von der Annahme ausgehen, dass die Einermengen
� x � für alle Werte x � �X messbar in AX sind. Das hat zur Folge, dass dann auch
die Ereignisse � X = x � messbar in A sind, so dass man sinnvoll nach der
Wahrscheinlichkeit p� X = x � fragen kann.
Zt � � = � � � � / Zt ( �) � z � das
Ereignis, das eintritt, wenn sich das System zur Zeit t im Zustand z befindet. Ebenso ist
� Zt � B � ein Ereignis, das eintritt, wenn sich das System zur Zeit t in einem Zustand
21 In dem zuvor betrachteten Beispiel ist � z
z � B befindet, d.h. � Zt � B � = B t
E , .
44

Beispiel: Sei wieder Z der Zustandsraum eines physikalischen Systems und sei
B(Z) die Gesamtheit aller Borelmengen von Z. 22 Ferner sei � � �t�T
Z die
Gesamtheit aller Trajektorien im Zustandsraum und Zt ( �) � �(
t)
für alle � ��
und alle t � T . Mit A = � B(Z)
bezeichnen wir die kleinste Ereignisalgebra auf
t�T
�, in der alle Zustände messbar sind, d.h. es gilt
�1
Zt ( B
) � A
für alle Borelmengen B �B(Z)
und alle Zeitpunkte t. Definitionsgemäß ist dann
jede Variable Zt eine A-B(Z)-messbare Abbildung Z t : � � Z . Sei nun
insbesondere Z = R 2n der klassische Phasenraum für ein System mit n
Freiheitsgraden und R � R
n 2
f : eine beliebige Borel-messbare Funktion auf dem
Phasenraum. Dann ist X t � f � Zt
eine (A-B(R))-messbare Variable auf �.
Wir schreiben vielfach X t � f ( Zt
) anstelle von X t � f � Zt
.
Beispiel: Sei Z = R 6 der Phasenraum für ein einzelnes Teilchen der Masse m. Bei
Verwendung von kartesischen Koordinaten hat dann jeder Zustand z � Z die
Form z = ( x, y,
z,
px
, py
, pz
) mit x , y,
z,
px
, py
, pz
� R . 23 Wir definieren Borel-
messbare Funktionen
f x y z �
6
k
f , g,
h : R � R durch die Vorschriften
( x,
y,
z,
p , p , p ) ( x,
y,
z)
g( x,
y,
z,
px
, py
, pz
) � ( px
, py
, pz
)
h( x,
y,
z,
px
, py
, pz
) � ( px
� py
� pz
) / 2m
2
2
Dann repräsentieren die Variablen f � Zt
, g � Zt
, h � Zt
den Ort, den Impuls und die
kinetische Energie des Teilchens auf den jeweiligen Trajektorien, d.h. es gilt
( � Z )( �) � r ( t)
f t �
( � Z )( �) � p ( t)
g t �
( � Z )( �)
� E , ( t)
f t kin �
22 Wir setzen voraus, dass Z die Struktur eines topologischen Raums besitzt. Dann ist
B(Z) die kleinste �-Algebra auf dem Zustandsraum, in der alle offenen und
abgeschlossenen Teilmengen von Z enthalten sind.
23 x, y, z sind die (kartesischen) Ortskoordinaten des Teilchens, p x,
py
, pz
sind die
zugehörigen Impulskoordinaten, d.h. � mx�
, p � my�
, p � mz�
.
2
px y z
45

In den ersten beiden Fällen ist k = 3, d.h. Ort und Impuls sind vektorielle Größen.
Im Fall der kinetischen Energie ist k = 1, d.h. es handelt sich um eine skalare
Größe. �
Zeitliche Ordnung: Um kausale Abhängigkeiten zwischen verschiedenen
Observablen beschreiben zu können, müssen wir zunächst eine zeitliche Ordnung
zwischen den Variablen festlegen: Wir nennen eine Observable X messbar zum
Zeitpunkt t, wenn X eine At–AX–messbare Größe ist, d.h. wenn � X � E � � At für
alle E � AX gilt. Dabei repräsentiert At wieder die Gesamtheit aller möglichen
Ereignisse bis zur Zeit t, d.h. At ist die kleinste �-Algebra auf �, in der alle
Z mit t � t´
messbar sind. Offenbar gilt: Wenn X messbar zur Zeit t ist,
Zustände t´
dann ist X auch messbar zu jedem nachfolgenden Zeitpunkt t´ � t, d.h. es gilt
At � At´
für alle t � t´
. Wir schreiben X < Y, wenn es einen Zeitpunkt t gibt, so
dass X messbar in t ist, aber Y nicht. Offenbar ist dann < eine irreflexive,
asymmetrische und transitive (Ordnungs-) Relation zwischen den Observablen.
Beispiel: Sei � � � Z die Gesamtheit aller Trajektorien durch den Zustandsraum eines
physikalischen Systems und sei ( �) � �(
t)
für alle Zeitpunkte t �T und alle
Trajektorien ��
t�T
�
Zt . Dann gilt trivialerweise t Zt´
Z � für alle Zeitpunkte t � t´
.
Kausalität: Nach diesen Vorüberlegungen können wir uns nun dem
Kausalitätsbegriff zuwenden. Sei dazu wieder �* die Gesamtheit aller
physikalisch möglichen Pfade durch den Zustandsraum. Wir können von einem
kausalen Zusammenhang zwischen zwei Observablen X und Y sprechen, wenn in
Hinblick auf die zeitliche Ordnung X < Y gilt, und wenn eine strikte funktionale
Abhängigkeit der Y-Werte von den X-Werten vorliegt, d.h. wenn eine Funktion
f: �X � �Y existiert, so dass Y � f � X überall in �* gilt. Das bedeutet
definitionsgemäß, dass Y(�) = f(X(�)) für alle Trajektorien � � �* gilt.
Gelegentlich verwenden wir auch die nicht ganz korrekte, aber intuitive
Schreibweise Y � f (X ) anstelle von Y = f � X . Wir schreiben X

Zur Erläuterung: Die angegebene Definition besagt, dass jeder möglichen
Merkmalsausprägung x von X eindeutig ein Wert y von Y zugeordnet ist. Das
bedeutet, dass die Werte der Variablen Y eindeutig und vollständig durch die
entsprechenden X-Werte determiniert sind. Man kann dies auch so ausdrücken,
dass zwischen den Variablen X und Y ein strikter funktionaler Zusammenhang
besteht. Zusätzlich wird vorausgesetzt, dass zwischen den Variablen X und Y die
passende zeitliche Ordnung gegeben ist, d.h. dass X < Y gilt.
Die Varianzbedingungen dienen wieder zur Vermeidung von kontraintuitiven
Konsequenzen. Wenn nämlich Y überall in �* den konstanten Wert c annehmen
würde, dann wäre für jede Variable X � Y die Bedingung Y = f(X) überall in �*
erfüllt, wenn die Funktion f so definiert wird, dass f(x) = c für alle x � �X gilt.
Somit bestünde ein strikter kausaler Zusammenhang zwischen Y und jeder
beliebigen, zeitlich vorgeordneten Observablen X, was nicht unseren intuitiven
Vorstellungen von Kausalität entspricht. Aus demselben Grund darf auch X keine
Konstante sein, weil sonst wegen der funktionalen Abhängigkeit Y = f(X) auch Y
eine Konstante wäre - im Widerspruch zur ersten Varianzbedingung.
Beispiel: Sei Z = R 2n der Phasenraum für ein System mit n Freiheitsgraden und sei
�* die Gesamtheit aller Trajektorien im Phasenraum, die die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen erfüllen. Dann gilt Zt � * Zt´
für alle t � t´
, d.h. es besteht
ein strikter kausaler Zusammenhang zwischen den aufeinanderfolgenden
Systemzuständen. Eine analoge Aussage gilt in der Quantenmechanik für die
Trajektorien im Hilbertraum. Die Varianzbedingungen sind hier trivial erfüllt. �
Zwischen der hier definierten Kausalrelation X

ein stetiger Zusammenhang zwischen aufeinanderfolgenden Systemzuständen
besteht, d.h. es gibt eine stetige Abbildung f : Z � Z mit Zt´ � f � Zt
überall in �*.
Aus der Stetigkeit folgt (nach bekannten Sätzen der Maßtheorie) die Messbarkeit
*
von f. Aus demselben Grund gilt Zt �m g � Zt´
für alle t < t´ und alle messbaren
n 2
Abbildungen g : R � R . Das bedeutet anschaulich gesprochen, dass der
Zustand des Systems zur Zeit t den Ort, die Geschwindigkeit oder die kinetische
Energie der Teilchen zu allen nachfolgenden Zeitpunkten determiniert. �
In Analogie zu dem früher angegebenen Satz 1 gilt der folgende
Satz 3: Unter den Voraussetzungen von Definition 2 gelten für alle Observablen
X, Y, Z die Aussagen:
(i) � X

Funktionswert f(x) dasjenige, eindeutig bestimmte y � �Y ist, für das p(Y=y/X=x) = 1
gilt 24 . Offenbar muss dann auch Y = f(X) überall in �* gelten. Denn wenn es eine
Ausnahme �0 � �* gäbe mit Y(�0) = y0 � f(x0) für x0 = X(�0), dann könnten wir eine
zulässige Verteilung p konstruieren mit p(Y = y0 � X = x0) = 1. In diesem Fall wäre
einerseits p(Y= y0) = 1, also auch p(Y= y0 / X = x0) = 1. Andererseits wäre Y(�0) = y0 �
f(x0), wobei f(x0) definiert ist als dasjenige, eindeutig bestimmte y � �Y mit
p(Y= y / X = x0) = 1 – ein Widerspruch. �
Anmerkung: Das angegebene Übersetzungstheorem ist nur anwendbar auf
Observablen X und Messwerte x, für die p(X=x) > 0 gilt, weil ansonsten die
bedingte Wahrscheinlichkeit p(Y=y / X=x) gar nicht definiert ist. In der Praxis
wird man es jedoch vielfach mit stetigen Verteilungen zu tun haben, bei denen
diese Voraussetzung nicht erfüllt ist, zum Beispiel bei normalverteilten Grössen.
In diesen Fällen wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die möglichen
Messergebnisse durch eine Dichtefunktion (Glockenkurve) f(x) beschrieben, so
dass für jedes Intervall B von möglichen Messwerten die Wahrscheinlichkeit
p(X � B) durch das Integral
p( X �B) � � f ( x) dx
gegeben ist. Sei beispielsweise B � (a,b) = � x � R / a � x � b �. Die
Wahrscheinlichkeit, dass die Observable X einen Messwert x aus dem Bereich B
annimmt, entspricht dann genau der markierten Fläche unter der Glockenkurve.
Wenn man den Abstand zwischen den Intervallgrenzen
B
immer kleiner macht, dann schrumpft
die markierte Fläche gegen Null. Im
Grenzfall a = b ist daher die
Wahrscheinlichkeit, dass X genau den
Wert a annimmt ebenfalls
p(X = a) = 0
wie man aus der Abbildung unschwer
erkennen kann.
24 Wenn es keine Trajektorie � � �* mit X ( �) � x gibt, kann der Funktionswert f(x)
beliebig festgesetzt werden.
49

Wenn zum Beispiel Z = R 2n der Phasenraum für ein System mit n Freiheitsgraden
ist, dann gilt p( Zt
� z)
� 0 für jedes (Lebesgue-) stetige Wahrscheinlichkeitsmaß p.
Man kann jedoch auch in diesen Fällen Funktionen p : A ��0,1�
für alle Werte
x
� definieren, die folgende Eigenschaften besitzen 25 :
x � X
(1) px erfüllt fast überall die Axiome von Kolmogoroff und
(2) Es gilt ( A)
� p(
A/
X � x)
für alle x mit p ( X � x)
� 0
p x
(3) Wenn f A( x)
: � px
( A)
, dann ist
�
B
�
f AdpX
� 1 A dp für alle B � A X .
�X�B� Mit anderen Worten: px(A) ist für alle Ereignisse A aus der Ereignisalgebra und für
alle möglichen Werte x von X definiert und besitzt fast überall die Eigenschaften
einer bedingten Wahrscheinlichkeit, d.h. es gilt fast überall die Ungleichung 0 �
px(A) � 1, fast überall px(�) = 1 und für jede abzählbare Folge A1, A2,..., An,... von
paarweise disjunkten Ereignissen gilt fast überall das spezielle Additionsprinzip.
„Fast überall“ bedeutet, dass die betreffenden Gleichungen für alle möglichen
Werte x aus �X bis auf eine Teilmenge N � �X gültig sind, wobei die Ausnahmen
nur mit einer Wahrscheinlichkeit p(X � N) = 0 auftreten dürfen. Für den Fall, dass
p(X=x) > 0 ist, stimmt px(A) = p( A / X � x)
mit der gewöhnlichen bedingten
Wahrscheinlichkeit überein. Die Konstruktion von px(A) wird im Mathematischen
Anhang beschrieben. Man sollte beachten, dass die Funktion px durch diese
Konstruktion nicht eindeutig definiert ist. Man kann aber zeigen, dass
verschiedene Versionen px, px´ der bedingten Wahrscheinlichkeit fast überall in �X
übereinstimmen, d.h. es gilt px = px´ für fast alle x aus �X. Wir verwenden daher
im folgenden auch die etwas ungenaue, aber übliche Schreibweise
p( A / X � x)
anstelle von px(A). Wir können dann unser „Übersetzungstheorem“
auch auf stetige Variablen anwenden und erhalten dabei die modifizierte Version:
Satz 5: Unter den Voraussetzungen von Satz 4 gilt X < m* Y genau dann, wenn
eine messbare Funktion f : �X � �Y existiert, so dass p( Y � f ( x) / X � x)
= 1
für alle zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße p: A � �0,1� und für pX-fast alle x �
�X gilt.
Beweis: (�) Sei X

p(Y = y/X = x) = E(1�Y=y� /X = x). Wir müssen also zeigen, dass E(1�Y=f(x)� /X = x) = 1 für
pX-fast alle x � �X gilt. Nach Voraussetzung gilt jedenfalls
(1) Y = f(X) überall in �*, also
(2) 1�Y=y� = 1�f(X)=y� überall in �*. Nach Lemma 5 gilt
(3) E(1�Y=y� /X) = E(1� f(X)=y � /X) p-fast überall, weil p ein zulässiges W-Maß ist.
Andererseits gilt nach Anhang A 4.2.(2)
(4) E(1� f(X)=y � /X) = 1�f(X)=y� p-fast überall, weil 1�f(X)=y� messbar in X ist.
Aus den Gleichungen (2) – (4) folgt unmittelbar, dass
(5) 1�Y=y� = E(1�Y=y� /X) p-fast überall in �* gilt. Nach Voraussetzung (1) gilt
(6) 1�Y=y�(�) = 1 � Y(�) = y � f(X(�)) = y für alle � � �*. Aus (5) und (6) folgt
(7) E(1�Y=y� /X)(�) = 1 � f(X(�)) = y p-fast überall in �*, also
(8) E(1�Y=y� /X = x) = 1 � f(x) = y für pX-fast alle x � �X, und somit
(9) E(1�Y=f(x)� /X = x) = 1 für pX-fast alle x � �X.
(�) Sei f : �X � �Y eine messbare Funktion mit den angegebenen Eigenschaften. Dann
gilt: p(Y = f(x) /X = x) = 1 für alle zulässigen W-Maße p und pX-fast alle x � �X. Sei nun
x0 ein beliebiges in �* erreichbares 26 Element x0 � �X und sei P* die Klasse aller
zulässigen W-Maße p: A � R mit p*(X=x0) = 1. Dann gilt
(1) p(Y = f(x) /X = x) = 1
für alle p � P* und pX-fast alle x � �X. Da nach Voraussetzung p(X=x0) = 1 ist, gilt
insbesondere
(2) p(Y = f(x0) /X = x0) = 1
für alle p � P*. Wir behaupten nun, dass Y(�) = f(x0) für alle � � �* mit X(�) = x0 gilt 27 .
Wenn nämlich y0 := Y(�) � f(x0) wäre, dann könnten wir eine zulässige Verteilung p so
konstruieren, dass gilt
(3) p(Y = y0 � X = x0) = 1,
also auch p(X=x0) = 1, also p � P*, aber p(Y = f(x0)/ X = x0) = 0 – im Widerspruch zu
(2). Da x0 � �X beliebig gewählt war, lässt sich diese Überlegung für alle in �*
erreichbaren Werte x � �X durchführen. Wir erhalten somit Y(�) = f(x) für alle � � �*
mit X(�) = x, also Y = f(X) überall in �*, was zu beweisen war. �
Die angegebenen Übersetzungstheoreme zeigen, dass ein enger Zusammenhang
zwischen Kausalität und bedingter Wahrscheinlichkeit besteht, in dem Sinne, dass
Aussagen über kausale Abhängigkeiten in logisch äquivalente Aussagen über
26 d.h. es gibt einen Pfad � � �* mit X(�) = x0, auf dem die Observable tatsächlich den
Wert x0 annimmt.
27 solche � � �* existieren tatsächlich, weil nach Voraussetzung x0 in �* erreichbar ist.
51

edingte Wahrscheinlichkeiten oder bedingte Erwartungen übersetzbar sind. Das
nachfolgende Theorem zeigt, dass der Kausalitätsbegriff auch durch den Begriff
der bedingten Unabhängigkeit charakterisiert werden kann.
Zwei Observablen Y und Z sind stochastisch unabhängig (relativ zu einem
Wahrscheinlichkeitsmaß p), wenn für alle messbaren Mengen A � AY und B � AZ
die Gleichung
p(Y � A, Z � B) = p(Y � A) � p(Z � B)
erfüllt ist. Wir schreiben dafür kurz Y �p Z. Sei nun X irgendeine dritte
Observable. Dann gilt: Y und Z sind X-bedingt stochastisch unabhängig bezüglich
p, wenn die Gleichungen
p(Y � A, Z � B / X) = p(Y � A / X) � p(Z � B / X)
für alle A � AX und alle B � AY erfüllt sind. Wir schreiben dafür abkürzend
Y �p Z / X . Das nachfolgende Theorem zeigt, dass eine X-bedingte stochastische
Unabhängigkeit zwischen Y und jeder beliebigen weiteren Variablen Z besteht,
wenn X

Ein Vergleich der Gleichungen (1) und (2) zeigt, dass
p(Y � A, Z � B / X) = p(Y � A / X) � p(Z � B / X), also Y �p Z / X gilt.
Wir können also aus einem strikten kausalen Zusammenhang zwischen X und Y
stets auf die X-bedingte stochastische Unabhängigkeit zwischen Y und jeder
beliebigen dritten Variablen Z schließen. Das ist auch intuitiv einleuchtend, weil
X

� �� � ( 1�
�) ��
mit 0 < � < 1. Dabei sind ��1 und ��2 wieder die Ein-Punkt-Maße,
�1 �2
die die gesamte Einheitsmasse in den Punkten �1 und �2 konzentrieren, d.h. es gilt
��1 (A) = 1 � �1 � A und ��1 (A) = 0, sonst, für alle A � A* (und analog für ��2 ). In
diesem Fall wäre aber offensichtlich nicht Y �p* Y / X, da p*(Y = y1, Y = y2 / X = x) = 0,
aber p*(Y = y1/ X = x) � p(Y = y2/ X = x) = � . (1 � �) � 0 wäre – im Widerspruch zur
Voraussetzung. �
Zusammenfassung: Wir wollen hier noch einmal die wichtigsten Konzepte aus
diesem Kapitel zusammenfassen:
� Eine Observable ist eine messbare Abbildung X : � � �X
� �X = alle möglichen Werte der Observablen X
� � X = x � ist das Ereignis, das eintritt, wenn X den Wert x annimmt.
� � X � B � ist das Ereignis, das eintritt, wenn X einen Wert x � B annimmt.
� X < Y gilt, wenn es einen Zeitpunkt t gibt, so dass X messbar in t ist, Y nicht.
� X

7. Kausale Regressionsmodelle und bedingte Erwartungswerte 28
Im folgenden sei wieder � = �t�T Z die Gesamtheit aller möglichen Trajektorien
durch den Zustandsraum eines physikalischen Systems. Es gibt dann im
Allgemeinen sehr viele unterschiedliche Observablen, die wir dem System
zuordnen können. Der wichtigste Fall sind jedoch zweifellos reellwertige
Variablen Y: � � R, die die möglichen Ergebnisse von physikalischen
Messungen repräsentieren. Solchen Observablen kann man sinnvoll einen
Erwartungswert E(Y) zuordnen, der das wahrscheinlichkeitstheoretische Mittel
aus allen möglichen Messergebnissen repräsentiert. Für den Fall, dass Y nur
endlich viele Werte y1,…,yn annehmen kann, definieren wir den Erwartungswert
durch die Gleichung
n
�
i�1
E( Y) � y � p( Y � y )
Mit anderen Worten: Wir gewichten jeden möglichen Messwert mit seiner
Wahrscheinlichkeit und bilden dann die Summe aus den so gewichteten Werten.
Wenn die Observable Y dagegen überabzählbar unendlich viele Werte annehmen
kann, muss die Summe durch ein Lebesgue-Integral ersetzt werden, d.h.
i
E( Y) � � Ydp
Die Konstruktion dieser Integrale wird im mathematischen Anhang erläutert. Im
Spezialfall einer „Indikatorvariable“ Y = 1A entspricht der Erwartungswert gerade
der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, d.h. E(1A) = p(A). Solche Variablen
werden gelegentlich auch als Ja-Nein-Observablen bezeichnet, weil sie die
möglichen Ergebnisse einer Ja-Nein-Messung repräsentieren, wobei die Messung
genau dann zum Ergebnis 1 = ja führt, wenn das Ereignis A eintritt, und sonst zum
Ergebnis 0 = nein.
Beispiel: Als Beispiel betrachten wir wieder die Logikschaltkreise aus Kapitel 4. Wir
definieren Zufallsvariablen X1, X2, Y: � �� 0,1 � durch folgende Festsetzungen: Für
jedes Tripel (i,j,k) aus � sei X1(i,j,k) = i, X2(i,j,k) = j und Y(i,j,k) = k. Mit anderen Worten:
X1 gibt den Zustand des ersten Eingangs, X2 den Zustand des zweiten Eingangs und Y gibt
den Zustand am Ausgang an. Mögliche Werte sind jeweils 1 = Strom oder 0 = kein Strom.
Ferner seien A1 ,…, A4 die Ereignisse
28 Dieser Abschnitt setzt den Begriff der bedingten Erwartung voraus. Die entsprechenden
mathematischen Begriffsbildungen sind im mathematischen Anhang, Abschnitt 4 zu finden. Für
eine ausführliche Darstellung vgl. zum Beispiel H. Bauer, Kap. X.
i
55

A1 = � X1 = 1, X2 = 1 � = beide Eingänge führen Strom.
A2 = � X1 = 1, X2 = 0 � = nur der erste Eingang führt Strom.
A3 = � X1 = 0, X2 = 1 � = nur der zweite Eingang führt Strom.
A4 = � X1 = 0, X2 = 0 � = keiner der beiden Eingänge führt Strom.
Offenbar gilt dann X1 = 1 genau dann, wenn das Ereignis A1 oder das Ereignis A2 eintritt,
und X2 = 1 genau dann, wenn das Ereignis A1 oder das Ereignis A3 eintritt. Somit ist X1
eine Indikatorvariable für das Ereignis A1 � A2 und X2 eine Indikatorvariable für A1 � A3,
d.h. X1 = 1A1 � A2
und X2 = 1A1 � A . Ferner betrachten wir die Ereignisse
3
B = � Y = 1 � = Birne brennt, und
B = � Y = 0 � = Birne brennt nicht.
Definitionsgemäß gilt dann Y = 1 genau dann, wenn B eintritt, d.h. Y = 1B. Wenn nun alle
Ereignisse A1 ,…, A4 mit derselben Wahrscheinlichkeit von 0.25 eintreten, dann ist der
Erwartungswert von Y ebenfalls
E( Y) = 1� p( Y � 1) � 0� p( Y � 0)
� p( B)
= 0.25
Bei der Analyse von kausalen Zusammenhängen X

E( Y / Xi �1) = 1� p( Y �1/ Xi �1) � 0� p( Y � 0 / Xi � 0) � p( B / Xi
�1)
= 0.5 für i =
1,2. Ebenso gilt E( Y / Xi � 0 ) = 0.5 für i = 1,2.
Wenn Y eine beliebige reellwertige Observable ist, dann können wir eine neue
Zufallsvariable Z definieren, die jedem Pfad � � � den bedingten Erwartungswert
E( Y / X � X(
�)) zuordnet. Diese Zufallsvariable wird auch als die bedingte
Erwartung von Y in Bezug auf X bezeichnet und mit Z = E( Y / X ) notiert. 29
Man sollte beachten, dass Erwartungswerte und bedingte Erwartungswerte von
dem zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsmaß abhängig sind. Wir schreiben
daher gelegentlich auch Ep( Y)
bzw. Ep( Y / X ) um zu verdeutlichen, welches
Wahrscheinlichkeitsmaß gemeint ist. Verschiedene Wahrscheinlichkeitsmaße
führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Erwartungswerten, d.h. es gilt im
Allgemeinen nicht E ( Y) � E � ( Y)
, wenn p � p´ ist.
p p
Wir sind im folgenden vor allem an den bedingten Erwartungswerten in Bezug auf
zulässige Wahrscheinlichkeitsmaße interessiert. Sei dazu wieder S ein
physikalisches System mit Zustandsraum Z und �* � �t�T Z die Gesamtheit aller
physikalisch möglichen Pfade durch den Zustandsraum. Dann gilt das folgende
Lemma 5: Seien Y1, Y2: � � R reellwertige Zufallsvariablen mit Y1 = Y2 überall
in �*. Dann gilt p-fast überall E(Y1/X) = E(Y2/X) für alle zulässigen
Wahrscheinlichkeitsmaße p und alle Variablen X: � � �X.
Beweis: Nach Definition der bedingten Erwartung gilt
� �
� �
E( Y1 / X ) dp � Y1dp und E( Y2 / X ) dp � Y2dp A A
A A
für alle Ereignisse A � A(X). Es genügt daher zu zeigen, dass
� �
Y1dp � Y2dp A A
für alle A � A(X) gilt. Da p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist, muss
� �
Yidp � Yidp * für i = 1, 2
A A*
29
Die bedingte Erwartung ist nur fast eindeutig definiert, weil die Funktionswerte
E( Y / X � x)
definitionsgemäß von der gewählten Version der bedingten
Wahrscheinlichkeit pX=x abhängig sind. Verschiedene Versionen der bedingten Erwartung
unterscheiden sich aber höchstens auf einer Menge vom Maß Null.
57

gelten. Nach Voraussetzung ist aber Y1 = Y2 überall in �*, also gilt trivialerweise für die
Erwartungswerte
� �
Y1dp* � Y2dp *
A* A*
Wenn Y eine reellwertige Variable ist, dann kann die kausale Abhängigkeit
zwischen X und Y auch mithilfe der bedingten Erwartung E(Y/X) charakterisiert
werden. Sei dazu S ein physikalisches System wie in Satz 4 und seien X, Y
Observablen mit X < Y und Y : � � R. Dann gilt der
Satz 6.a: Wenn X

aber keine p*-Nullmenge N mit �1� N. Somit ist Ep*(Y/X)(�1) = E p*(Y/X=x) = Y(�1) =
y1. Ebenso gilt aber Ep*(Y/X=x) = Y(�2) = y2 – ein Widerspruch, da y1 � y2 ist. �
Wir haben früher gesehen, dass aus einer kausalen Abhängigkeit zwischen zwei
Variablen X

E(Y /X=x) = � E(Y / X=x, Z=z) pZ(dz)
Z spielt bei Steyer die Rolle einer potentiellen „Störvariablen“, weil im
Allgemeinen die durch X allein bedingten Erwartungswerte von Y nicht mit den
durch X und Z bedingten Erwartungswerten übereinstimmen müssen 32 .
Anstelle einer einzelnen Observablen Z kann man natürlich auch jede beliebige
Anzahl Z1,...,Zk von potentiellen Störvariablen betrachten.
Folgerung: Sei X

Regressanden und seinem X-bedingten Erwartungswert an. Definitionsgemäß gilt
für die Erwartungswerte die Beziehung
E(Y) = E(f (X1,...,Xk))
Somit gilt für die Residualvariable E(�) = 0. Die bedingten Erwartungswerte
korrelieren nicht mit dem Residuum, so dass Cov(f (X1,...,Xk), �) = 0 ist. Daher gilt
für Y die folgende Varianzzerlegung:
Der Anteil
2
Var(Y) = Var(f (X1,...,Xk)) + Var(�)
R ( Y / X ,..., X ) =
1
k
wird als Determinationskoeffizient bezeichnet. Definitionsgemäß kann der
Koeffizient nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Der Determinationskoeffizient
gibt an, welcher Prozentsatz der Gesamtvarianz von Y durch die
Regressorvariablen X1,...,Xk erklärt werden kann. Die positive Quadratwurzel aus
R 2 (Y/ X1,...,Xk) wird als multipler Korrelationskoeffizient bezeichnet. Er stimmt
im Spezialfall der einfachen linearen Regression f(X) = � + ��X bis auf das
Vorzeichen immer mit dem gewöhnlichen Korrelationskoeffizienten �XY überein.
Deterministische Modelle X < m* Y mit Y = f(X) können auf natürliche Weise als
Grenzfälle von Regressionsmodellen f(X) = E(Y/ X1,...,Xk) aufgefasst werden, bei
denen der Determinationskoeffizient seinen Maximalwert annimmt. Nach Satz 6.a
muss nämlich unter der Annahme X

Satz 9.a: Wenn X

Dabei ist zu beachten, dass bei den Sätzen 6 – 9 nur die Implikationen von links
nach rechts allgemeingültig sind, d.h. man kann aus der Gültigkeit der Aussagen in
der linken Spalte uneingeschränkt auf die Gültigkeit der entsprechenden Aussagen
in der rechten Spalte schließen. Dagegen kann in der Umkehrrichtung von rechts
nach links im Allgemeinen nur auf die Existenz eines kausalen Zusammenhangs,
aber nicht auf dessen Messbarkeit geschlossen werden, also auf X

8. Deterministische Prozesse
Das wichtigste Anwendungsfeld für den klassischen Kausalitätsbegriff ist die
Analyse von deterministischen Systemen und deterministischen Prozessen. Das
charakteristische Merkmal von deterministischen Systemen besteht in dem
Umstand, dass zu jedem möglichen Zustand, in dem sich das System zu
irgendeinem Zeitpunkt t befinden kann, ein eindeutig bestimmter
Nachfolgezustand für alle späteren Zeitpunkte t´> t existiert. Mit anderen Worten:
Die Zustandsübergänge von deterministischen Systemen sind vollständig und
eindeutig durch die entsprechenden Bewegungsgesetze und die jeweiligen
„Anfangsbedingungen“ festgelegt.
Ein paradigmatisches Beispiel ist die Bewegung von Teilchen nach Gesetzen der
klassischen Mechanik, wie wir sie in den vorangegangenen Kapiteln
kennengelernt haben. Wir haben gesehen, dass die Zustandsübergänge eines
physikalischen Systems, also sein Weg durch den Phasenraum vollständig und
eindeutig durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen festgelegt sind. Auf
ähnliche Weise sind die Bewegungen der Teilchen im Konfigurationsraum
vollständig und eindeutig durch die Lagrange-Gleichungen in Verbindung mit
geeigneten Anfangsbedingungen bestimmt.
In den folgenden Kapiteln wollen wir eine allgemeine Theorie deterministischer
Prozesse entwickeln. Die wichtigsten Merkmale von deterministischen Systemen
lassen sich dabei unschwer aus den genannten Beispielen abstrahieren. Sei dazu S
irgendein physikalisches System. Mit Z bezeichnen wir die Gesamtheit aller
möglichen Zustände, in denen sich das System zu irgendeinem Zeitpunkt befinden
kann. Im Beispiel der klassischen (Hamilton-) Mechanik ist Z � R 2n der klassische
Phasenraum, wenn das System n Freiheitsgrade besitzt. Wir bezeichnen im
folgenden Z als den Zustandsraum des Systems.
Bei der Analyse von kausalen Zusammenhängen interessieren wir uns nicht nur
für die möglichen Zustände, sondern vor allem für die möglichen
Zustandsänderungen eines physikalischen Systems. Dazu betrachten wir das
System in einem (endlichen oder unendlichen) Beobachtungszeitraum T � R. Wir
unterstellen, dass eine lineare Ordnungsrelation < auf T definiert ist, die die
zeitliche Reihenfolge bestimmt. Mit
� = �t�T Z
bezeichnen wir die Gesamtheit alle möglichen Pfade (= Trajektorien) durch den
Zustandsraum. Jeder Pfad ist eine Abbildung der Form � : T � Z.
64

�(t) repräsentiert also den Zustand des Systems zur Zeit t, falls sich das System
auf dem Pfad � durch den Zustandsraum bewegt. In der Realität werden die
möglichen Zustandsübergänge durch physikalische Gesetzmäßigkeiten
eingeschränkt. Im Fall der klassischen Mechanik handelt es sich um die
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen, die wir früher kennengelernt haben. Mit
�* � �t�T Z
bezeichnen wir die Gesamtheit aller möglichen Trajektorien im Zustandsraum, die
den Bewegungsgesetzen entsprechen. Wir erhalten auf diese Weise eine echte
Teilmenge von �.
Grundlegend für alle weiteren Überlegungen ist die folgende Definition:
Definition: Sei S ein physikalisches System mit dem Zustandsraum Z und sei �*
� �t�T Z die Gesamtheit aller physikalisch möglichen Pfade durch den
Zustandsraum. Dann ist S ein deterministisches System in Bezug auf �*, wenn für
alle Pfade �1, �2 � �* und alle Zeitpunkte t, t´� T mit t < t´ die folgende
Bedingung erfüllt ist:
�1(t) = �2(t) � �1(t´) = �2(t´)
Mit anderen Worten: Wenn beide Pfade zur Zeit t zum selben Zustand führen,
dann führen die beiden Pfade auch zu allen nachfolgenden Zeitpunkten zu
denselben Zuständen. Das entspricht natürlich der intuitiven Idee, dass bei Pfaden
durch den Zustandsraum eines deterministischen Systems keine „Verzweigungen“
möglich sind: Die Zukunft des Systems ist vollständig durch seine Gegenwart und
Vergangenheit bestimmt.
Beispiel: Hamiltonsche Mechanik. Sei Z � R 2n der Zustandsraum (Phasenraum)
für ein Teilchensystem S mit n Freiheitsgraden und sei �H* � �t�T Z die
Gesamtheit aller Trajektorien durch den Phasenraum, die den Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen gehorchen. Dann ist S ein deterministisches System
bezüglich �H*.
Der Beweis dieser Behauptung ergibt sich aus der früher erläuterten Existenz und
Eindeutigkeit der Lösungen der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.
„Systeme“ und „Prozesse“: Die Zustandsübergänge eines deterministischen
Systems bilden definitionsgemäß einen deterministischen Prozess.
Deterministische Prozesse können aber auch in einen größeren,
indeterministischen Kontext „eingebettet“ sein. Wir können deterministische
65

Prozesse ganz allgemein definieren, indem wir die relevanten Systemzustände als
Funktionen auf den Trajektorien des Systems definieren.
Definition: Sei S ein physikalisches System mit Zustandsraum Z und sei �* �
�t�T Z die Gesamtheit aller physikalisch möglichen Pfade durch den
Zustandsraum. Eine Familie von Funktionen Zt : � � Zt ist ein deterministischer
Prozess 33 in Bezug auf �*, wenn für alle Pfade �1, �2 � �* die folgende
Bedingung erfüllt ist:
Zt(�1) = Zt(�2) � Zt´(�1) = Zt´(�2)
Wir bezeichnen (Zt)t�T als einen Prozess in kanonischer Form, wenn Zt = Z und
Zt(�) = �(t) für alle t � T und alle � � � gilt. Offenbar ist dann S ein
deterministisches System, wenn (Zt)t�T ein deterministischer Prozess in
kanonischer Form ist und vice versa.
Die angegebene Definition ist offenbar äquivalent mit der folgenden Aussage:
(Zt)t�T ist ein deterministischer Prozess in �*, wenn für alle Zeitpunkte t < t´ und
für jeden in t erreichbaren Zustand 34 z � Zt genau ein Nachfolgezustand z´ � Zt´
existiert, so dass
Zt(�) = z � Zt´(�) = z´
für alle physikalisch möglichen Pfade � � �* durch den Zustandsraum gilt.
Die Unterscheidung zwischen Prozessen in kanonischer Form und nichtkanonischen
Prozessen kann durch die folgenden Beispiele verdeutlicht werden:
Beispiel: Sei �H* die Gesamtheit aller Pfade durch den klassischen Phasenraum, die die
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erfüllen. Ferner sei Zt(�) = �(t) für alle t � T und
alle � � �H. Dann ist (Zt)t�T ein deterministischer Prozess in kanonischer Form bezüglich
�H*.
Gegenbeispiel: Sei �L* die Gesamtheit aller Pfade durch den n-dimensionalen
Konfigurationsraum, die das klassische Wirkungsprinzip erfüllen. Ferner sei Zt(�) =
< �, t),...,
q ( �,
t),
q�
( �,
t),...,
q�
( �,
t)
> für alle t � T und alle C � -Pfade � � �L. Dann
q1( n 1
n
ist (Zt)t�T ein deterministischer Prozess bezüglich �L*, aber nicht in kanonischer Form,
weil die Zustände nicht die Form Zt(�) = �(t) besitzen.
33 Zt ist der Wertebereich von Zt. Bei Prozessen in kanonischer Form ist Zt = Z für alle t.
34 Damit ist gemeint, dass mindestens ein Pfad � � �* existiert mit Zt(�) = z.
66

Der Unterschied zwischen dem kanonischen und dem nicht-kanonischen Fall
besteht also im Wesentlichen darin, dass im kanonischen Fall die möglichen Werte
der Observablen Zt mit den jeweiligen Systemzuständen identisch sind, während
im nicht-kanonischen Fall die Zt –Werte von den Systemzuständen abhängig, aber
mit diesen nicht identisch sind. Tatsächlich kann man zu jedem deterministischen
Prozess einen „äquivalenten“ Prozess in kanonischer Form konstruieren. 35 Wir
werden daher im folgenden immer unterstellen, dass es sich bei den von uns
betrachteten Vorgängen um Prozesse in kanonischer Form handelt, wenn nicht
ausdrücklich etwas anderes angegeben ist. Dadurch vereinfacht sich die folgende
Darstellung teilweise ganz erheblich.
Der nachfolgende Satz besagt, dass eine Familie (Zt)t�T von Funktionen Zt : � � Zt
genau dann einen deterministischen Prozess bildet, wenn ein strikter kausaler
Zusammenhang zwischen aufeinanderfolgenden Systemzuständen besteht.
Satz: Sei S ein physikalisches System mit dem Zustandsraum Z und sei �* �
�t�T Z die Gesamtheit aller physikalisch möglichen Pfade durch den
Zustandsraum. Ferner sei (Zt)t�T eine Familie von Observablen Zt : � � Z. Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) (Zt)t�T ist ein deterministischer Prozess in �*.
(2) Es besteht ein strikter kausaler Zusammenhang zwischen aufeinanderfolgenden
Systemzuständen, d.h. für alle t, t´ � T mit t < t´ gilt Zt

zugehörigen Nachfolgezustand zu t´ an. Die Funktion beschreibt somit die
Zustandsübergänge von t zu t´. Solche Funktionen werden wir im folgenden auch
als dynamische Transformationen bezeichnen.
Determinismus vorwärts und rückwärts: In der klassischen Physik werden
physikalische Prozesse durch Differentialgleichungen beschrieben, die in
Verbindung mit geeigneten Anfangsbedingungen immer eindeutige Lösungen
besitzen. Das bedeutet, dass durch die Anfangsbedingungen zu irgendeinem
Zeitpunkt t nicht nur die nachfolgenden, sondern auch die vorhergehenden
Zustände des Systems eindeutig festgelegt sind. Demgegenüber wird in der oben
angegebenen Definition nur die Determination der Nachfolgezustände durch die
Anfangsbedingungen gefordert. Wir können diese Einseitigkeit beheben, indem
wir explizit zwischen vorwärts- und rückwärts-deterministischen Prozessen
unterscheiden:
Definition: Sei S ein physikalisches System mit Zustandsraum Z und sei �* �
�t�T Z die Gesamtheit aller physikalisch möglichen Pfade durch den
Zustandsraum. Ferner sei Zt(�) = �(t) für alle t � T und alle � � �. Dann gilt:
(1) (Zt)t�T heißt rückwärts-deterministisch in �*, wenn für alle Zeitpunkte t, t´ �
T mit t´< t und alle möglichen Zustände z � Z genau ein Vorgängerzustand z´ �
Z existiert, so dass Zt(�) = z � Zt´(�) = z´ für alle � � �* gilt.
(2) (Zt)t�T heißt vorwärts-deterministisch in �*, wenn für alle Zeitpunkte t, t´ �
T mit t < t´ und alle möglichen Zustände z � Z genau ein Nachfolgezustand z´ �
Z existiert, so dass Zt(�) = z � Zt´(�) = z´ für alle � � �* gilt.
(3) (Zt)t�T heißt bideterministisch in �*, wenn (Zt)t�T vorwärts- und rückwärtsdeterministisch
in �* ist.
Unsere ursprüngliche Definition entspricht dann genau der Bedingung für
vorwärts-deterministische Prozesse. Im folgenden verstehen wir daher unter
„deterministischen Prozessen“ immer vorwärts-deterministische Prozesse, wenn
nicht ausdrücklich etwas Anderes angegeben ist. Für bideterministische Prozesse
lässt sich auch die folgende äquivalente Charakterisierung angeben:
Satz: Unter den eben angegebenen Voraussetzungen gilt:
(Zt)t�T ist bideterministisch in �* genau dann, wenn für alle Zeitpunkte t, t´ � T
(unabhängig von der zeitlichen Reihenfolge) und für alle Zustände z � Z genau
ein (Vorgänger oder Nachfolger) z´ � Z existiert, so dass Zt(�) = z � Zt´(�) = z´
für alle � � �* gilt.
68

Der Beweis ist trivial.
Speziell für bideterministische Prozesse lässt sich auch die folgende
Charakterisierung angeben:
Satz vom eindeutigen Pfad: Unter den oben angegebenen Voraussetzungen sind
die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) (Zt)t�T ist ein bideterministischer Prozess in �*.
(2) Für alle t � T und alle zu t möglichen Zustände z � Z gibt es genau einen Pfad
� � �* durch den Zustandsraum, so dass gilt: Zt(�) = z.
Übersetzungsregeln: Sei im folgenden (Zt)t�T ein deterministicher Prozess mit
einem Zustandsraum der Form Z = R n . Wir haben oben gezeigt, dass in
deterministischen Prozessen ein strikter kausaler Zusammenhang zwischen
aufeinanderfolgenden Systemzuständen besteht. Jedem möglichen
Ausgangszustand des Systems zu irgendeinem Zeitpunkt t wird dabei durch
geeignete dynamische Transformationen ein entsprechender Nachfolgezustand zur
Zeit t´ zugeordnet. Der oben bewiesene Satz garantiert zwar die Existenz, aber im
Allgemeinen nicht die Messbarkeit der dynamischen Transformationen. Wir
bezeichnen im folgenden (Zt)t�T als deterministischen Prozess mit messbaren
Zustandsübergängen, wenn Zt

Sei nun Z = R n und sei A = �t�T B(R n ) die Produktalgebra auf dem Raum der
Trajektorien. Dies ist definitionsgemäß die kleinste Ereignisalgebra auf � =
�t�T Z, in der alle Zustände Zt messbar sind. Ferner sei p: A � �0,1� ein zulässiges
Wahrscheinlichkeitsmaß auf den Trajektorien. Wir können dann unmittelbar die
Übersetzungsregeln aus den vorhergehenden Kapiteln anwenden und erhalten
dadurch den folgenden
Satz: Sei S ein physikalisches System mit dem Zustandsraum Z = R n und sei A =
�t�T B(R n ). Ferner sei �* � �t�T Z die Gesamtheit aller physikalisch möglichen
Pfade durch den Zustandsraum und sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit
messbaren Zustandsübergängen in �*. Dann gilt:
(1) Für alle t, t´ � T mit t < t´ gibt es messbare Funktionen f t,t´
: Z � Z so dass
p( Zt
´ � ft,
t´
( z)
/ Zt
� z)
�1
für alle zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße
p: A � �0,1� und p -fast alle Zustände z � Z gilt .
Zt
(2) Für alle t, t´ � T mit t < t´ gilt p-fast überall Z � E Z / Z ) für alle
t´
p ( t´
t
zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße p: A � �0,1�
(3) Für alle t, t´ � T mit t < t´ , für alle zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße
p: A � �0,1� und beliebige Variablen Y gilt Z t´
� p Y / Zt
(4) Für alle t, t´ � T mit t < t´ , für alle zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße
p: A � �0,1� und alle Variablen Y gilt p-fast überall
Z / Z ) E ( Z / Z , Y)
E p ( t´
t � p t´
t
(5) Für alle t, t´ � T mit t < t´ und alle zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße
2
p: A � �0,1� gilt R Z / Z ) �1
p ( t´
t
Beweis: Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus den entsprechenden
„Übersetzungstheoremen“ der vorhergehenden Kapitel. �
Zur Erläuterung: Die Aussage (1) besagt, dass das System zur Zeit t´ mit
Sicherheit (d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1) in den Zustand ( ) übergeht, wenn
ft, t´
z
zur Zeit t der Ausgangszustand z vorliegt. Dabei ist f t,t´
: Z � Z die dynamische
Transformation auf dem Zustandsraum, die jedem möglichen Ausgangszustand
des Systems zur Zeit t den zugehörigen Nachfolgezustand zu t´ zuordnet.
(2) Dementsprechend ist der Nachfolgezustand Zt´ p-fast überall 36 identisch mit
seinem durch den Ausgangszustand Zt bedingten Erwartungswert. Der Index p in
36 d.h. mit Ausnahme von Zustandsmengen, die höchstens die Wahrscheinlichkeit Null
besitzen.
70

E Z / Z ) soll daran erinnern, dass der Erwartungswert definitionsgemäß von
p ( t´
t
dem verwendeten Wahrscheinlichkeitsmaß abhängt. Die Aussagen (1) bis (5)
gelten für alle zulässigen Wahrscheinlichkeitsmaße auf �*. Aussage (3) besagt,
dass der Nachfolgezustand Zt´ bei gegebenem Ausgangszustand stochastisch
unabhängig von allen anderen Systemvariablen Y : � � �Y ist, da Y bei
gegebenem Ausgangszustand keine relevanten Zusatzinformationen mehr liefern
kann. 37 (4) Aus demselben Grund ist auch der durch Zt und Y bedingte
Erwartungswert von Zt´ fast überall identisch mit dem durch den Ausgangszustand
allein bedingten Erwartungswert (� Steyers „strenge Kausalitätsbedingung“). (5)
Schließlich ist in deterministischen Prozessen der Determinationskoeffizient
2
R Z / Z ) �1
. Auch hier soll der Index p daran erinnern, dass der Wert des
p ( t´
t
Determinationskoeffizienten vom verwendeten Wahrscheinlichkeitsmaß abhängig
ist.
Man beachte, dass aus jeder der Bedingungen (1) bis (6) auch umgekehrt gefolgert
werden kann, dass es sich bei (Zt)t�T um einen deterministischen Prozess handelt.
Allerdings ist dabei die Messbarkeit der Zustandsübergänge im Allgemeinen nicht
garantiert, wie wir früher gesehen haben.
Satz: Seien S, T, Z, �, A, wie oben und Zt(�) = �(t) für alle t � T und alle � � �.
Dann gilt: Wenn (Zt)t�T irgendeine der Bedingungen (1) – (5) aus dem
vorhergehenden Satz erfüllt, dann ist (Zt)t�T ein deterministischer Prozess.
Der Beweis ist wieder mit den „Übersetzungsregeln“ zu führen. �
Determinismus und klassisches Kausalitätsprinzip: Unter dem klassischen
Kausalitätsprinzip verstehen wir die Aussage
(*) Jedes Ereignis hat eine Ursache
Der nachfolgende Satz zeigt, dass das Kausalitätsprinzip für alle deterministischen
Systeme Gültigkeit besitzt – mit zwei kleinen Einschränkungen: Zum einen gilt
die angegebene Aussage nur für „nicht-initiale“ Ereignisse. Darunter verstehen wir
solche Ereignisse, die einen zeitlichen Vorgänger besitzen, d.h. ein Ereignis B ist
nicht-initial genau dann, wenn es ein zeitlich vorgeordnetes Ereignis A < B gibt.
Diese Einschränkung ist notwendig, weil initiale Ereignisse keine zeitlichen
37 Definitionsgemäß gilt X �p Y, wenn die Variablen X und Y stochastisch unabhängig in
Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsmaß p sind. Die Schreibweise X �p Y / Z soll
andeuten, dass eine durch Z bedingte stochastische Unabhängigkeit vorliegt.
71

Vorgänger und deshalb auch keine Ursachen besitzen 38 . Zum anderen muss B in
�* erreichbar 39 , also physikalisch möglich sein ( B � �*
� �),
da sonst ebenfalls
keine Ursache für B existiert 40 (keine Ursache kann einen physikalisch
unmöglichen Effekt verursachen).
Satz: In deterministischen Systemen gilt das klassische Kausalitätsprinzip, d.h.
jedes physikalisch mögliche, nicht-initiale Ereignis hat eine Ursache.
Beweis: Sei S � ( Z, T,
�*)
ein deterministisches System und sei B ein nichtinitiales
Ereignis in S. Wenn E nicht-initial ist, dann gibt es einen Zeitpunkt t* mit
B � A t*
� A(
Zt
/ t � t*)
. Sei nun �0 eine beliebige Trajektorie, auf der das Ereignis
B eintritt, d.h. � B.
Eine solche Trajektorie existiert nach Voraussetzung (B ist
� 0
in �* erreichbar). Ferner sei T*=� t t � ... � t � ... � eine monoton absteigende,
1 � 2 n
nach unten unbeschränkte 41 Folge von Zeitpunkten mit t *
betrachten nun das Ereignis
�
t �T
*
n
�Z � z �
t
n
n
t n � für alle n � N. Wir
A � mit z � � ( t ) für alle n � 1,
2,...
Das Ereignis A tritt also ein, wenn das System zu den angegebenen Zeitpunkten
die Zustände z ,..., z ,...
A� A , also
n
0 n
z 1, 2 n durchläuft. Offensichtlich gilt dann t*
A < B. Sei nun � eine beliebige Trajektorie aus �*. Wir behaupten: Wenn
�( tn ) � �0(
tn
) für alle n � N gilt, dann gilt �( t) � �0(
t)
für alle t � T , also � � �0
.
Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, es gäbe einen Zeitpunkt t mit
� ( t) � �0(
t)
. In diesem Fall gäbe es auch einen Zeitpunkt tn �T * mit tn � t , da T*
voraussetzungsgemäß nach unten unbeschränkt ist. Nun gilt aber
�( tn ) � �0(
tn
) � �( t) � �0(
t)
für alle Zeitpunkte t � tn
, da S ein deterministisches
System ist – im Widerspruch zur Annahme. Folglich gilt �� A � � � �0
und
somit auch �� A � ��
Bfür
alle Trajektorien � � �*, d.h. A � * B.
�
38 Definitionsgemäß ist A Ursache von B genau dann, wenn A < B und A � B überall in
�* gilt. Alle „normalen“ Ereignisse sind natürlich nicht-initial. Es gibt jedoch einige
pathologische Ausnahmen. Definitionsgemäß ist nämlich A < B genau dann, wenn es
einen Zeitpunkt t gibt, so dass A messbar in t ist, aber B nicht, d.h. es gilt A� At
, aber
B � At
. Dabei ist At � A(
Zs / s � t)
die kleinste Ereignisalgebra auf �, in der alle
Zustände Z s mit s � t messbar sind. Insbesondere sind daher � selbst und die leere
Menge initiale Ereignisse, weil � und � in jeder Algebra At enthalten sind.
39 d.h. es existiert mindestens eine Trajektorie �� �*
mit � � B
40 Aufgrund der früher angegebenen „Varianzbedingungen“ in der Definition von

Wir nennen im Folgenden ein System S streng kausal, wenn das
Kausalitätsprinzip in S gültig ist, d h. wenn jedes physikalisch mögliche, nichtinitiale
Ereignis eine Ursache in S besitzt. Das angegebene Theorem besagt also,
dass alle deterministischen Systeme streng kausal sind. Das folgende
Gegenbeispiel zeigt, dass die Umkehrung dieser Aussage nicht allgemeingültig ist,
d.h. es gib streng kausale Prozesse, die nicht deterministisch sind. Der intuitive
Grund dafür liegt in dem Umstand, dass bei deterministischen Prozessen die
Vorgeschichte irrelevant für das Verhalten des Systems ist, sobald man den
Zustand Zt des Systems zur Zeit t kennt. Dagegen kann bei einem strikt kausalen
Prozess das zukünftige Verhalten auch von der Vorgeschichte abhängig sein.
Gegenbeispiel: Wir betrachten ein diskretes System, das sukzessive drei
verschiedene Zustände durchlaufen kann, so dass T = � 1,2,3 � gilt. Insgesamt
gebe es fünf mögliche Zustände Z = � a,b,c,d,e �, aber nur zwei mögliche Pfade
durch den Zustandsraum, nämlich a � c � d und b � c � e. In diesem Fall hat
jedes nicht-initiale Ereignis eine Ursache, d.h. das System ist streng kausal, aber
nicht deterministisch, weil das System aus dem Zustand Z2 = c in Abhängigkeit
von der Vorgeschichte sowohl in Z3 = d als auch in Z3 = e übergehen kann (es gilt
also nicht Z2

Zusammenfassung: Wir wollen hier noch einmal die wichtigsten Konzepte aus
diesem Kapitel übersichtlich zusammenfassen.
Definition: S � ( Z , T,
�*)
ist ein deterministisches System, wenn es für jeden
möglichen Zustand z � Z zur Zeit t und für jeden Zeitpunkt t´ > t genau einen
möglichen Nachfolgezustand z´ � Z gibt, so dass gilt:
Wir unterscheiden
� vorwärts-deterministische,
� rückwärts-deterministische und
� bideterministische Systeme
� � � �*: Zt(�) = z � Zt(�) = z´
Beispiel: Sei S ein klassisches System mit n Freiheitsgraden und sei �* die
Gesamtheit aller Trajektorien im Phasenraum, die die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen erfüllen. Dann ist S ein vorwärts- und rückwärts-, also ein
bideterministisches System.
Übersetzungsregeln: Wenn (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit messbaren
Zustandsübergängen ist, dann können wir die früher abgeleiteten
Übersetzungsregeln anwenden. Insbesondere gilt für die
Übergangswahrscheinlichkeiten
p( Zt
´ t,
t´
t
� f ( z)
/ Z � z)
�1
In deterministischen Systemen gilt das klassische Kausalitätsprinzip, d.h. jedes
physikalisch mögliche, nicht-initiale Ereignis hat eine Ursache.
74

9. Transformationen und Invarianzen
Im Folgenden betrachten wir deterministische Prozesse mit Indexmenge T = R.
Wir haben im letzten Kapitel gesehen, dass es für je zwei Zeitpunkte t, t´ � T mit t
< t´ immer eine Funktion f : Z � Z gibt, so dass Zt´ = f(Zt) überall in �* gilt. Die
Funktion f gibt zu jedem möglichen Anfangszustand zur Zeit t den zugehörigen
Nachfolgezustand zur Zeit t´ an. Die Funktion beschreibt somit die
Zustandsübergänge von t zu t´. Solche Funktionen werden im folgenden auch als
dynamische Transformationen bezeichnet.
Im Allgemeinen können die Funktionswerte f(z) von t und t´ abhängen. Wir
können dies deutlich machen, indem wir f als Funktion der Randpunkte t und t´
betrachten, also als eine Funktion ft,t´ : Z � Z mit den oben angegebenen
Eigenschaften. In vielen Fällen hängt der Nachfolgezustand z´ zu einem
gegebenen Anfangszustand z jedoch nur vom zeitlichen Abstand t´� t zwischen
den zugehörigen Zeitpunkten ab, so dass ft,t´ = fs,s´ für alle Zeitpunkte s, s´ mit
s � s´ = t � t´ gilt. Wir können daher die Funktionen ft,t´ durch eine Funktion
ft�t´ : Z � Z ersetzen, die nur vom Abstand zwischen den betreffenden
Zeitpunkten abhängig ist. Das bedeutet, dass zu jedem Zeitpunkt t � T eine
Funktion ft : Z � Z gehört, so dass für alle s � T die Beziehung Zs+t = ft(Zs) gilt.
Wir bezeichnen solche Prozesse als (zeitlich) translationsinvariante Prozesse:
Definition: Sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit Indexmenge T = R. Dann
gilt: (Zt)t�T ist translationsinvariant in �*, wenn für alle t � T eine Funktion
ft: Z � Z existiert, so dass für alle s � T die Gleichung Zs+t = ft(Zs) überall in �*
gilt.
Satz: Sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit Indexmenge T = R. Dann gilt:
(Zt)t�T ist ein translationsinvarianter Prozess genau dann, wenn für alle Zeitpunkte
s, t � T die Gleichung
fs+t = ft � fs
erfüllt ist. Dabei ist ft diejenige, nach Voraussetzung 42 eindeutig bestimmte
Abbildung ft : Z � Z, die jedem Anfangszustand zur Zeit 0 den Nachfolgezustand
zur Zeit t zuordnet.
Beweis: Nach Voraussetzung ist Zs = fs(Z0) und Zs+t = fs+t(Z0). Folglich gilt Zs+t = ft(Zs)
genau dann, wenn fs+t(Z0) = ft(Zs) = ft (fs(Z0)) = ( ft � fs
)(Z0) ist. �
42 Nach Voraussetzung ist (Zt)t�T ein deterministischer Prozess, d.h. es gilt Zt = ft (Z0)
überall in �*.
75

Beispiel 1: Sei Z = R 2n der klassische Phasenraum für ein System mit n
Freiheitsgraden und sei R � R
n 2
H : die Hamiltonfunktion des Systems. Ferner sei
�* die Gesamtheit aller Trajektorien im Phasenraum, die die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen erfüllen und Zt(�) = �(t) für alle t � T und alle � � �.
Wenn die Hamiltonfunktion keine explizite Zeitabhängigkeit aufweist, dann ist
(Zt)t�T ein translationsinvarianter deterministischer Prozess mit stetigen und
messbaren Zustandsübergängen in �*. Die Translationsinvarianz ergibt sich in
diesem Fall aus dem Umstand, dass die Bewegungsgleichungen die Form
mit
�� ( t) � f ( �(
t))
� �H
�H
�
f ( qi
, pi
) �
�
� , �
�
�
� �pi
�qi
�
aufweisen. Dabei handelt es sich um eine autonome Differentialgleichung erster
Ordnung, weil die rechte Seite der Gleichung keine explizite Zeitabhängigkeit
aufweist. Daraus folgt, dass die Lösungen translationsinvariant sind, d.h. es gilt
für alle Zeitpunkte s, t � T. �
ft� s ( Z0
) � ft
( Zs
) � fs
( Zt
) .
Beispiel 2: Auf analoge Weise lässt sich zeigen, dass auch die Trajektorien im
Zustandsraum eines abgeschlossenen Quantensystems translationsinvariant sind.
Sei dazu Z = L 2 (R 3N ) der Zustandsraum für ein N-Teilchen-Quantensystem und sei
H : Z � Z der (zeitunabhängige) Hamilton-Operator des Systems. Ferner sei Zt(�)
= �(t) für alle Trajektorien 43 � : T � Z.
Wir schreiben � ��
* wenn � die
Schrödinger-Gleichung erfüllt, d.h. wenn
��
i� � H�
�t
Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind translationsinvariant. Die
entsprechenden dynamischen Transformationen sind unitäre Transformationen der
Form
iHt
�(
t ) � e �(
0)
43 Wir verwenden hier den Buchstaben � anstelle von �, um
76

d.h. es gilt Zt � ft
� Z0
für alle Zeitpunkte t. Man kann leicht erkennen, dass die
iH(
t�
s)
Bedingung ft�s � ft
� fs
erfüllt ist, weil e � e �e
iHt
iHs
ist. �
Offenbar gilt der folgende
Satz: Jeder translationsinvariante Prozess ist bideterministisch.
Beweis: Sei (Zt)t�T ein translationsinvarianter deterministischer Prozess in �* und seien t,
t´ beliebige Zeitpunkte mit t´ < t und sei s = t – t´. Nach Voraussetzung gibt es dann eine
Funktion f-s : Z � Z so dass Zt´ = f- s(Zt) überall in �* gilt, d.h. zu jedem möglichen
Zustand des Systems zur Zeit t gibt es einen eindeutig determinierten Vorgänger zur Zeit
t´. Der Prozess ist also vorwärts- und rückwärts-, d.h. bideterministisch. �
Transformationsgruppe: Sei nun (Zt)t�T ein translationsinvarianter Prozess und
seien ft : Z � Z die dynamischen Transformationen, die jedem möglichen
Anfangszustand z0 zur Zeit 0 den entsprechenden Nachfolgezustand zur Zeit t
zuordnen. Die Gesamtheit der dynamischen Transformationen ft mit t � R bildet
dann eine kommutative Gruppe in Bezug auf die Verknüpfung
(*) ft � fs = fs+t
Zum Nachweis der Gruppen-Eigenschaften genügt es zu beachten, dass ft+s = fs+t und
f(t+s)+r = ft+(s+r) gilt, d.h. die Operation � ist kommutativ und assoziativ. Darüber hinaus
gilt ft+0 = f0+t = ft, d.h. f0 ist ein neutrales Element. Schließlich gilt gibt es zu jeder
Funktion ft ein inverses Element, nämlich f�t, weil für alle Zeitpunkte f�t � ft = ft�t = f0 gilt.
Daraus folgt unmittelbar der
Satz: Sei (Zt)t�T ein translationsinvarianter Prozess in �*. Dann bilden die
zugehörigen dynamischen Transformationen eine kommutative Gruppe in Bezug
auf die Verknüpfung ft � fs
� ft�s
. �
Die Translationsinvarianz von physikalischen Prozessen wird auch als
Homogenität der Zeit bezeichnet. Homogenität bedeutet in diesem
Zusammenhang, dass die physikalischen Eigenschaften der Zeit immer gleich, also
unabhängig von der Wahl eines zeitlichen Nullpunkts sind.
Ein charakteristisches Merkmal von translationsinvarianten Prozessen ist die
Existenz von Erhaltungsgrößen. Darunter verstehen wir Funktionen H : Z � R ,
die auf jeder möglichen Trajektorie konstante Werte annehmen. Dazu definieren
wir für jede Trajektorie � � � eine Funktion H � : T � R so, dass für alle
Zeitpunkte t die Gleichung H�( t)
� H(
�(
t))
erfüllt ist. Wir nennen H eine
Erhaltungsgröße des Systems, wenn auf allen Trajektorien ��� * die zeitliche
77

Ableitung dH� / dt � 0ist,
d.h. wenn H� ( t)
� H�
( t´)
für alle Zeitpunkte
t, t´
�T
gilt.
Wir nennen zwei Zustände z, z´ � Z äquivalent und schreiben z � z´, wenn es eine
Trajektorie � � �* und zwei Zeitpunkte t, t´
�T
gibt, so dass z � �(t)
und z´ � �(
t´)
gilt. Mit anderen Worten: Zwei Zustände sind äquivalent, wenn sie auf derselben
Trajektorie liegen. Man kann leicht zeigen, dass � tatsächlich eine
Äquivalenzrelation (d.h. reflexiv, symmetrisch und transitiv) ist. 44 Wir können
daher alle erreichbaren Zustände in disjunkte Äquivalenzklassen einteilen. Sei Z�
= ��z� / z �Z �der zugehörige Quotientenraum und :
~
H Z� � R eine beliebige
Abbildung vom Quotientenraum in die reellen Zahlen. Wir erhalten eine
entsprechende Erhaltungsgröße H : Z � R durch die Vorschrift, dass
~
H( z)
� H(
�z�) für alle Zustände z �Z
gelten soll. Tatsächlich kann man jede
Erhaltungsgröße auf diese Weise definieren, weil für jede Erhaltungsgröße
H : Z � R die Bedingung H( z)
� H(
z´)
erfüllt sein muss, wenn z, z´ äquivalente
Zustände sind.
Beispiel: Sei R � R
n 2
H : die (zeitunabhängige) Hamiltonfunktion für ein
klassisches System mit n Freiheitsgraden und sei �* die Gesamtheit aller
Trajektorien im Phasenraum, die die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
bezüglich H erfüllen. Dann ist H ist eine Erhaltungsgröße des Systems.
Beweis: Nach Voraussetzung (keine explizite Zeitabhängigkeit) ist
dH
dt
�
n
�
i�1
� �H
�H
�
( t)
�
�
� ( �(
t))
� q�
i ( �,
t)
� ( �(
t))
� p�
i ( �,
t)
�
�
� �qi
�pi
�
auf allen Trajektorien � � �*. Aufgrund der Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen folgt daraus unmittelbar
dH
dt
�
( t)
n
� �
i�1
d.h. H ist eine Erhaltungsgröße. �
� �H
�H
�H
�H
�
�
� ( �(
t))
� ( �(
t))
� ( �(
t))
� ( �(
t))
�
� � 0
� �qi
�pi
�pi
�qi
�
44 Reflexivität und Symmetrie sind trivial. Um die Transitivität zu zeigen, nehmen wir an,
dass z1� z 2 und z2 � z 3 ist. In diesem Fall gibt es Trajektorien �, �´� �* gibt, so dass
z z �rng(
�)
und z z �rng(
�´)
gilt. In einem translationsinvarianten Prozess gilt
1,
2
2,
3
aber entweder rng(�) = rng(�´) oder rng(�) � rng(�´) für alle �, �´� �* (Warum?).
Daraus folgt unmittelbar, dass z �rng(
�)
z gilt.
z 1,
3 also z1� 3
78

Sei nun ( Zt ) t�T
ein beliebiger, translationsinvarianter Prozess mit Z = R n . Wir
betrachten zwei Trajektorien �1, �2
��
* mit � 1( t1) � �2(
t2
) � z und � t � t2
�t1
.
Das System nimmt also auf beiden Trajektorien den Zustand z an, allerdings zu
unterschiedlichen Zeitpunkten. Aus der Translationsinvarianz folgt dann, dass
� 2(
t � �t)
� �1(
t)
für alle Zeitpunkte t gilt, d.h. die beiden Trajektorien
unterscheiden sich nur durch eine konstante Translation des zeitlichen Nullpunkts.
Wenn alle Trajektorien in �* stetig und differenzierbar sind, dann gilt für die
zeitlichen Ableitungen die Gleichung �� t) � ��
( t � �t)
. Wir können daher ein
n
n
1(
2
Vektorfeld v : R � R definieren, so dass v( z)
� ��
( t)
für alle Trajektorien
��� * und alle Zeitpunkte t �T mit � ( t) � z gilt. Jede Trajektorie durch z ist also
eine mögliche Lösung der Differentialgleichung
�� ( t) � v(
�(
t))
Die dynamische Transformationsgruppe ( ft ) t�T
repräsentiert dabei den zum
Vektorfeld v gehörigen Fluss, d.h. es gilt ft ( z)
� �(
t)
für jede Lösung � � �* mit
� ( 0)
� z . Das Vektorfeld v gibt dabei die Geschwindigkeit der Zustandsänderung
in jedem Punkt des Zustandsraums an. Die Translationsinvarianz des Systems hat
zur Folge, dass diese Geschwindigkeit unabhängig von der gewählten Trajektorie
ist. Die rechte Seite der Differentialgleichung hängt nur implizit, nicht explizit von
der Variablen t ab. Man spricht in diesem Fall von einer autonomen
Differentialgleichung bzw. von einem autonomen Prozess:
Satz: Sei ( Zt ) t�T
ein beliebiger, translationsinvarianter Prozess mit stetigen und
differenzierbaren Zustandsänderungen im Zustandsraum Z = R n . Dann ist
( Zt ) t�T
ein autonomer Prozess. �
Wir betrachten nun ein zusammenhängendes Gebiet R vom Volumen V im
Zustandsraum. Nach dem Integraltheorem von Gauß ist der (Netto-) Fluss durch
die Oberfläche des Gebiets gleich dem Volumenintegral über die Divergenz des
Vektorfelds v, d.h.es gilt
� v � dA � �
�V
V
div v � dV
Dabei ist dA ein infinitesimaler Vektor, der an jeder Stelle senkrecht zur
Oberfläche des Raumgebiets R orientiert ist und dessen Betrag der Größe eines
infinitesimalen Flächenelements entspricht. Definitionsgemäß ist die Divergenz
79

eines n-dimensionalen Vektorfelds v(z) mit z � ( z1,...,
zn
) gegeben durch den
Ausdruck
div v �
n �vi
�
i�1
�xi
Wenn die Divergenz gleich Null ist, verschwindet auch der Fluss durch die
Oberfläche, d.h. der Abfluss wird durch den Zufluss gerade kompensiert. Systeme
mit dieser Eigenschaft ( div v � 0)
werden im Folgenden als konservative
Systeme bezeichnet, Systeme mit negativer Divergenz werden als dissipative
Systeme bezeichnet. Aus physikalischer Sicht sind konservative Systeme durch
eine konstante Energie charakterisiert, wie aus dem folgenden Beispiel deutlich
wird:
Beispiel: Sei wieder Z = R 2n der klassische Phasenraum für ein System mit n
Freiheitsgraden und sei R � R
n 2
H : die Hamiltonfunktion des Systems. Dann gilt
�H
�H
q�
i ( �,
t)
� ( �,
t)
und p�
i ( �,
t)
� � ( �,
t)
�p
�q
i
für alle Trajektorien � � �*. 45 Wenn die Hamiltonfunktion nicht explizit von der
Zeit abhängt, dann folgt für die Divergenz des (zeitunabhängigen!) Vektorfelds
( q ( �, t),
p ( �,
t))
� ( q�
( �,
t),
p�
( �,
t))
die Gleichung
v i i
i i
n ��q�
� � n
i p�
i � �
div v � ��
� � � ��
i�1 ��qi
�pi
� �1
��q
i
�H
� �H
�
� � � 0
�pi
�pi
�q
�
i i
i
Offenbar ist dann ( Zt ) t�T
ein autonomer Prozess und das zugrundeliegende
physikalische System ist konservativ. �
Anmerkung: In Analogie zur zeitlichen Translationsinvarianz lässt sich für
Prozesse mit Z = R n auch eine räumliche Translationsinvarianz definieren.
Räumliche Translationsinvarianz bedeutet, dass für jede mögliche Verschiebung
(„Translation“) c � R n der Anfangsbedingungen die Gleichung f(Zt + c) = f(Zt) + c
erfüllt ist. Dabei ist f: R n � R n die (im Allgemeinen von t und t´ abhängige)
Funktion, die jeder möglichen Anfangsbedingung zur Zeit t den entsprechenden
45 Dabei ist H( �, t)
� H(
�(
t))
und �* die Gesamtheit aller Trajektorien im Phasenraum,
die die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen bezüglich der angegebenen
Hamiltonfunktion erfüllen.
80

Nachfolgezustand zur Zeit t´ zuordnet und Zt + c ist die Zufallsvariable, die jedem
möglichen Pfad � � � den Wert (Zt + c)(�) = Zt(�) + c zuordnet.
Der Begriff der „räumlichen“ Translationsinvarianz ist hier allerdings mit Vorsicht
zu gebrauchen: Er bezieht sich nämlich auf den Zustandsraum und nicht auf den
gewöhnlichen physikalischen Raum, in dem sich Teilchen oder Felder bewegen.
Im Fall der klassischen Physik ist der Zustandsraum der 2n-dimensionale
Phasenraum der kanonischen Orts- und Impulskoordinaten. Zustandsübergänge im
klassischen Phasenraum sind unter der Annahme von kartesischen Koordinaten
invariant unter Translationen der räumlichen Koordinaten, falls keine äußeren
Kräfte auf das System wirken 46 . Unter dieser Voraussetzung gilt f(Zt + c) = f(Zt) +
c für jede Verschiebung der Form
c = � c1,..., cn, 0,..., 0 �
Dabei bleiben die Impulskoordinaten also unverändert. In der Physik hängt die
räumliche Translationsinvarianz mit dem Impulserhaltungssatz zusammen,
während die zeitliche Translationsinvarianz aus der Energieerhaltung folgt.
In Analogie zur zeitlichen Translationsinvarianz wird die räumliche
Translationsinvarianz auch als Homogenität des Raums bezeichnet. Eine weitere
grundlegende Eigenschaft ist die Isotropie. Isotropie bedeutet, dass alle
Raumrichtungen physikalisch gleichwertig sind. Genauer ausgedrückt: Wenn
A: R n � R n eine orthogonale Transformation (eine räumliche Drehung) des
Bezugssystems repräsentiert, dann gilt (f � A)(Zt) = (A � f)(Zt). Dabei ist f : R n �
R n wieder die Funktion, die jeder möglichen Anfangsbedingung zur Zeit t den
entsprechenden Nachfolgezustand zur Zeit t´ zuordnet. Aus der Isotropie des
Raums ergibt sich ein Erhaltungssatz für den Gesamt-Drehimpuls des Systems 47 .
Die folgende Tabelle fasst noch einmal die wichtigsten Invarianzen und die
entsprechenden Erhaltungssätze zusammen:
46 Damit ist gemeint, dass die potentielle Energie V( r1,..., rN
) nur vom räumlichen
Abstand zwischen den Teilchen abhängt; dieser Abstand bleibt aber bei Translationen
unverändert. In diesem Fall gilt für die Hamiltonfunktion H( rk , pk ) � H(
rk � d, pk
),
weil die kinetische Energie nur von den Impulskoordinaten abhängt. Dabei sind rk, pk der
Orts- bzw. Impulsvektor von Teilchen k und d ist ein (Translations-) Vektor, der den
Betrag und die Richtung der räumlichen Verschiebung angibt.
47 vgl. L. D. Landau, E. M. Lifschitz 1987, Band I, Kapitel II, § 9
81

Invarianzen
Zeitliche Translationen
Räumliche Translationen
Rotationen (= orthogonale
Transformationen)
Raum und Zeit
Homogenität der Zeit
Homogenität des Raums
Isotropie des Raums
Erhaltungssätze
Energieerhaltung
Impulserhaltung
Drehimpulserhaltung
Es gibt noch weitere Invarianzen in der klassischen Physik, zum Beispiel die
Galilei-Invarianz, die mit der Erhaltung des Massenschwerpunkts zusammenhängt.
Nach einem bekannten Theorem von E. Noether hängen alle Invarianzen mit
entsprechenden Erhaltungssätzen zusammen. Eine ausführlichere Behandlung
dieser Thematik muss auf die entsprechende Fachliteratur verwiesen werden.
Periodische Prozesse: Ein deterministischer Prozess mit Indexmenge T = R wird
als periodischer Prozess bezeichnet, wenn es für jeden physikalisch möglichen
Pfad � � �* eine „Periode“ � � R+ gibt, so dass für alle Zeitpunkte t � T die
Gleichung Zt+�(�) = Zt(�) gilt. Mit � �1
/ � bezeichnen wir die entsprechende
Frequenz.
Wir wollen im folgenden einen Pfad � � � als periodischen Pfad bezeichnen,
wenn � die Periodizitätsbedingung Zt+�(�) = Zt(�) für alle t � T erfüllt. Offenbar
ist also (Zt)t�T ein periodischer Prozess, wenn alle physikalisch zulässigen Pfade �
� �* die Periodizitätsbedingung erfüllen. Im Gegensatz dazu nennen wir einen
Pfad wiederholungsfrei, wenn es keine Zeitpunkte t, t´ � T gibt, so dass Zt´(�) =
Zt(�) gilt. Man kann leicht erkennen, dass bei translationsinvarianten Prozessen
nur periodische und wiederholungsfreie Pfade möglich sind, d.h: Wenn in einem
translationsinvarianten Prozess irgendein Zustand z zweimal auftritt, so dass Zt´(�)
= Zt(�) gilt, dann muss derselbe Zustand in periodischen Abständen immer wieder
auftreten:
Satz: Sei (Zt)t�T ein translationsinvarianter deterministischer Prozess in �*. Dann
sind alle Pfade � � �* entweder periodisch oder wiederholungsfrei.
Beweis: Sei � � �* ein physikalisch zulässiger Pfad mit Zt´(�) = Zt(�) und sei � = t´� t >
0 und z0 = Z0(�). Dann muss wegen der Translationsinvarianz für jeden beliebigen
Zeitpunkt s die Periodizitätsbedingung fs�� ( z0
) = ( f� � fs )( z0
) = ( ft��t fs )( z ) � 0 =
( ft� � f�t � fs )( z0
) =( ft � f�t � fs )( z0
) = fs ( z0
) erfüllt sein. Folglich kehrt das System
periodisch (mit der Periode � = t´� t) in seinen jeweiligen Ausgangszustand zurück. �
82

Beispiel: Ein bekanntes Beispiel sind die Lösungen des Zwei-Körper-Problems
in der klassischen Mechanik. Dabei geht es um die Bewegung von zwei Körpern,
die sich nur unter dem Einfluss der gegenseitigen Schwerkraft bewegen (zum
Beispiel ein Doppelstern-System). Als mögliche Bahnen kommen nur
Kegelschnitte in Frage, also Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln. Im gebundenen
Zustand (elliptische Umlaufbahnen) kehrt das System periodisch in seinen
Ausgangszustand zurück. Dagegen sind die Pfade in den beiden anderen Fällen
wiederholungsfrei, d.h. das System kehrt nie wieder in denselben Zustand zurück.
Reversible Prozesse: Ein wesentliches Merkmal der klassischen Physik besteht in
dem Umstand, dass die Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik
zeitreversibel sind. Damit ist gemeint, dass beim Übergang von t zu – t die
Bewegungsgleichungen unverändert bleiben:
„Mit anderen Worten, wenn in einem System irgendeine Bewegung möglich ist, so ist
stets auch die entgegengesetzte Bewegung möglich, d.h. eine solche, bei der das System
dieselben Zustände in umgekehrter Reihenfolge durchläuft. In diesem Sinne sind alle
Bewegungen, die nach den Gesetzen der klassischen Mechanik verlaufen, reversibel.“
(Landau/Lifschitz 1987, S.11)
Diese Behauptung ist aber mit Vorsicht zu betrachten: Tatsächlich sind die
Zustandsübergänge in der klassischen Mechanik nur in Bezug auf die
Ortskoordinaten reversibel, d.h. es gibt einen möglichen Pfad durch den
Zustandsraum, bei dem das System alle räumlichen Konfigurationen der Teilchen
in umgekehrter Reihenfolge durchläuft. Dabei muss aber das Vorzeichen der
Geschwindigkeits- und damit auch der Impulsvektoren umgekehrt werden, weil
die Teilchen sich jetzt in entgegengesetzter Richtung bewegen.
Zum Beweis betrachten wir ein physikalisches System mit der Hamiltonfunktion
H � f ( q1,..., qn, p1 ,..., pn
) . Zu jedem Pfad � � � definieren wir einen inversen Pfad �*
durch die Vorschrift qi( �*, t) � qi( �,
� t)
und pi( �*, t) � �pi ( �,
� t)
. Dann gilt für die
zeitlichen Ableitungen q� i( �*, t) � �q� i(
�,
�t) und p� i( �*, t) � p� i(
�,
� t)
. Wir müssen
zeigen, dass mit � auch �* die Bewegungsgleichungen erfüllt, d.h. dass �* � �* gilt,
wenn � � �* gilt. Definitionsgemäß gilt für die Hamiltonfunktion die Gleichung
H( �*, t) � f ( qi( �*, t), pi( �*, t)) � f ( qi( �, �t), �pi ( �,
� t))
Wenn � die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erfüllt, dann ist
�
� �
H �H
( *, t)
� � ( �, �t) � �q� � �
pi �p i( , �t) � � q� i( *, t)
und
i
83

�
� �
H �H
( *, t)
� ( �, �t) � � p� i( �, �t) � � p� i(
�*,
t)
q �q i i
Die beiden mittleren Gleichungen ergeben sich jeweils aus der Annahme, dass � die
Bewegungsgleichungen erfüllt. Die restlichen Übergänge folgen aus der Definition von
�*. �
Allgemein gilt die folgende
Definition: Ein deterministischer Prozess (Zt)t�T mit Indexmenge T = R wird als
reversibler Prozess in �* bezeichnet, wenn es zu jedem Pfad � � �* einen
„inversen Pfad“ �* � �* gibt, so dass �* ( t) � �(
�t)
für alle t � T gilt.
Man beachte jedoch, dass es sich in diesem Fall nicht um einen Prozess in
kanonischer Form handeln kann, d.h. es kann nicht Zt ( �) � �(
t)
gelten, da sonst
wegen Z0 ( �) � Z0
( �*)
auch Z t ( �) � Zt
( �*)
also �( t) � �*
( t)
für alle Zeitpunkte
t > 0 gelten müsste. Diese Bedingung ist nur erfüllbar, wenn �( t) � �(
�t)
für alle
Zeitpunkte t gilt, d.h. wenn Zt ( �) � const.
auf allen Trajektorien ��� * gilt, so
dass überhaupt keine Zustandsänderung stattfinden kann.
Beispiel: Die vorhergehenden Überlegungen zeigen, dass Zustandsübergänge in
der Hamiltonschen Mechanik nicht im strengen Sinn reversibel sind, weil die
Reversibilität der Zustandsübergänge in der klassischen Mechanik sich nur auf die
Ortskoordinaten bezieht. Dagegen sind Zustandsübergänge in der Lagrange-
Mechanik reversibel, weil die räumlichen Konfigurationen stets auch in
n
umgekehrter Richtung durchlaufen werden können. In diesem Fall ist Z � R ,
aber Zt ( �) � ( �(
t),
��
( t))
� ( qi
( �,
t),
q�
i ( �,
t))
, d.h. ( Zt ) t�T
ist ein deterministischer
Prozess, aber nicht in kanonischer Form. Auf dem inversen Pfad gilt dabei
( �*) � ( �(
�t),
���
( �t))
� ( q ( �,
�t),
�q�
( �,
�t))
. �
Zt i
i
Die Reversibilität von physikalischen Vorgängen wird auch als Isotropie der Zeit
bezeichnet. Damit ist gemeint, dass beide Zeitrichtungen (Vergangenheit und
Zukunft) physikalisch äquivalent sind. Im Gegensatz dazu besteht in der
statistischen Mechanik bzw. Thermodynamik eine Asymmetrie zwischen Zukunft
und Vergangenheit, weil nach dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik die
Entropie eines physikalischen Systems im Zeitablauf nur zunehmen kann 48 .
48 Für eine Diskussion der damit zusammenhängen Fragen aus wissenschaftstheoretischer
Perspektive vgl. G. Ernst: Die Zunahme der Entropie. Eine Fallstudie zum Problem
nomologischer Reduktion, Paderborn 2003
84

Zusammenfassung:
� Dynamische Transformationen ft : Z � Z beschreiben die Zustandsübergänge
eines deterministischen Systems, d.h. es gilt Zt � ft
� Z0
für alle
Zeitpunkte t.
� In translationsinvarianten Systemen gilt ft� s � ft
� fs
für alle Zeitpunkte s
und t. Die dynamischen Transformationen bilden dann eine kommutative
Gruppe.
� Die Eigenschaft der Translationsinvarianz wird auch als Homogenität der
Zeit bezeichnet, weil die physikalischen Eigenschaften der Zeit invariant unter
Verschiebungen (Translationen) der Zeitskala sind.
� Ein charakteristisches Merkmal von translationsinvarianten Systemen ist die
Existenz von Erhaltungsgrößen. Ein prominentes Beispiel ist der
Energieerhaltungssatz in der Physik.
� Die Trajektorien von translationsinvarianten Systemen mit Z = R n sind die
Lösungen von autonomen Differentialgleichungen der Form �� ( t) � v(
�(
t))
.
Dabei ist v : Z � Z ein zeitunabhängiges Vektorfeld, das die Geschwindigkeit
der Zustandsänderung in jedem Punkt des Zustandsraums definiert (�
autonome Systeme).
� Autonome Systeme heißen konservativ, wenn die Divergenz des Vektorfelds
überall gleich Null ist. In diesem Fall verschwindet der (Netto-) Fluss durch
jede geschlossene Oberfläche im Zustandsraum des Systems.
� Translationsinvariante Prozesse sind entweder periodisch oder
wiederholungsfrei, d.h. das System kehrt nie in denselben Zustand zurück.
� Zustandsübergänge eines physikalischen Systems sind reversibel, wenn zu
jedem möglichen Pfad � � �* ein „inverser“ Pfad existiert, bei dem die
Zustände in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen werden. Reversibilität wird
auch als Isotropie der Zeit bezeichnet, weil bei reversiblen Prozessen beide
Zeitrichtungen physikalisch gleichwertig sind.
� Zustandsübergänge in der klassischen Mechanik sind darüberhinaus auch
invariant unter räumlichen Translationen und Rotationen des Bezugssystems
(� Homogenität und Isotropie des Raums).
85

10. Stochastische Prozesse und die Markoff-Eigenschaft
In vielen Fällen hat man es mit deterministischen Prozessen zu tun, deren
Anfangsbedingungen nicht genau bekannt sind. Unter diesen Umständen lassen
sich aus den Bewegungsgleichungen natürlich keine präzisen Vorhersagen über
das zukünftige Verhalten des Systems ableiten. Wenn jedoch eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die möglichen Anfangsbedingungen bekannt ist,
dann kann mithilfe der Bewegungsgleichungen die Wahrscheinlichkeit für alle
nachfolgenden Systemzustände bestimmt werden. In einer solchen Situation
werden wir von „stochastischem Determinismus“ sprechen. Ein stochastischdeterministischer
Prozess ist also nichts anderes als ein deterministischer Prozess
zusammen mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die möglichen
Anfangsbedingungen.
An die Stelle des klassischen Schemas (Bewegungsgleichungen +
Anfangsbedingungen � eindeutige Lösungen) tritt jetzt folgendes Schema:
(1) Bewegungsgleichungen
(2) Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anfangsbedingungen
____________________________________________________
(3) Wahrscheinlichkeitsverteilung für die möglichen Lösungen
Dieses Schema ist von grundlegender Bedeutung für das Verständnis der
statistischen Mechanik, wie wir später noch sehen werden. Wir illustrieren den
Grundgedanken zunächst durch einige einfache Beispiele und analysieren
anschließend die mathematischen Eigenschaften von stochastischdeterministischen
Prozessen in allgemeiner Form.
Beispiel 1: Freies Teilchen mit normalverteilter Startposition. Wir betrachten eine
freies Teilchen, das sich nur in einer Dimension (zum Beispiel parallel zur x-
Achse eines kartesischen Koordinatensystems) bewegen kann. Sei x0 = x(0) die
Startposition des Teilchens zur Zeit t = 0. Mit v0 = �x (0) bezeichnen wir die
Geschwindigkeit des Teilchens zu t = 0. Für ein kräftefreies Teilchen gilt ��x (t) = 0
für alle t > 0, d.h. das Teilchen wird nicht beschleunigt. Somit ist die
Geschwindigkeit �x (t) = v0 = const. und x(t) = x0 + v0 t für alle t > 0, d.h. Position
und Geschwindigkeit des Teilchens zu allen nachfolgenden Zeitpunkten sind
eindeutig und vollständig durch die „Anfangsbedingungen“ x0 und v0 determiniert.
86

Wir wollen nun annehmen, dass nur die
Geschwindigkeit v0 bekannt ist.
Dagegen sei für die Startposition nur
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
gegeben. Wir wollen annehmen, dass
die möglichen Startpositionen
normalverteilt sind mit dem Mittelwert
0 und einer Varianz � 2 , so dass
x0 ~ N(0,� 2 ) gilt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen zum Beispiel in einer Position x0
zwischen a = 1 und b = 2 startet, entspricht dann genau der schraffierten Fläche
unter der Glockenkurve. Unter den angegebenen Voraussetzungen ist x(t) =
x0 + v0 t ~ N(v0 t, � 2 ), d.h. die Position des Teilchens zur Zeit t ist normalverteilt
mit dem (zeitabhängigen)
Erwartungswert v0 t und der
(gleichbleibenden) Varianz � 2 . Wir
können diese Situation anschaulich
darstellen durch eine Gaußsche
Glockenkurve, die sich mit der
konstanten Geschwindigkeit v0 entlang
der x-Achse nach rechts oder links
bewegt ohne dabei ihre Form zu
verändern.
Beispiel 2: Wir wollen nun annehmen, dass anstelle der Geschwindigkeit jetzt die
Startposition x0 = 0 bekannt ist. Dagegen sei für die Startgeschwindigkeit v0 nur
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, z.B. v0 ~ N(0,� 2 ) gegeben. Das bedeutet unter
anderem, dass sich das Teilchen mit 50 % Wahrscheinlichkeit nach links (v0 < 0)
oder nach rechts (v0 > 0) bewegen kann. Unter den angegebenen Voraussetzungen
gilt x(t) = x0 + v0 t ~ N(0, � 2 t 2 ), d.h. die Position des Teilchens zur Zeit t ist
normalverteilt mit dem gleichbleibenden Mittelwert 0 und einer zeitabhängigen
Varianz � 2 t 2 :
87

88
Das bedeutet, dass die Varianz
quadratisch mit der Zeit wächst. Das
entspricht anschaulich einer
Glockenkurve, die immer flacher und
zugleich immer breiter wird (die
Verteilung „zerfließt“. Im Limes t � �
ist das Teilchen mit gleicher
Wahrscheinlichkeit über den ganzen
Raum „verteilt“.)
Der zuletzt beschriebene Effekt ist aus der Quantenphysik als das „Zerfließen des
Wellenpakets“ bekannt. Das vorhergehende Beispiel zeigt, dass derselbe Effekt
auch im Rahmen der klassischen Physik erzeugt werden kann. Das „Zerfließen des
Wellenpakets“ muss also nicht zwangsläufig als Ausdruck eines Welle-Teilchen-
Dualismus gedeutet werden.
Für den Rest dieses Kapitels sei
Z: eine Menge von möglichen Zuständen (der Zustandsraum des Systems)
B: eine �-Algebra auf Z
T: eine linear geordnete Menge von Zeitpunkten;
(Wir schreiben wieder t < t´ für: t ist früher als t´).
� = �t�T Z: die Gesamtheit aller möglichen Pfade durch den Zustandsraum,
A = �t�T B: die kleinste Ereignisalgebra auf �, in der alle Ereignisse EB,t =
� � � � / �(t) � B � mit t � T und B � B enthalten sind.
(Zt)t�T: eine Familie von A-B-messbaren Observablen Zt: � � Z. Im kanonischen
Fall ist Zt(�) = �(t). Wir interpretieren wieder Zt als den Zustand des
Systems zum Zeitpunkt t.
Sei ferner p: A � R ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf (�, A). Dann ist
(�, A, p, (Zt)t�T) ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum (Z, B).
Unser besonderes Interesse gilt im folgenden solchen Situationen, bei denen (Zt)t�T
zugleich ein deterministischer Prozess ist.
Definition: Ein stochastischer Prozess (�, A, p, (Zt)t�T) mit Zustandsraum (Z, B)
besitzt die elementare Markoff-Eigenschaft genau dann, wenn für alle Zeitpunkte
s < t und alle B � B gilt:

p� Zt � B / As � = p� Zt � B / Zs � (p-fast überall)
Dabei ist As := A(Zs : s � t) wieder die kleinste Ereignisalgebra auf �, in der alle
Variablen Zs mit s � t messbar sind. (Zur Erinnerung: Wir interpretieren As als die
Algebra aller Ereignisse, die bis zum Zeitpunkt s einschließlich stattgefunden
haben).
Die elementare Markoff-Eigenschaft besagt, dass die Information über den
Zustand des Systems zur Zeit s gleichwertig ist mit der Information über die
gesamte Vorgeschichte bis einschließlich s: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das
System zu einer Zeit t > s in einem Zustand Zt � B befindet, falls der
Ausgangszustand zur Zeit s gegeben ist, ist genauso groß wie die
Wahrscheinlichkeit für dasselbe Ereignis bei gegebener Vorgeschichte bis zur Zeit
s. Wir können daher auch sagen, dass bei einem Markoff-Prozess die
Übergangswahrscheinlichkeiten unabhängig von der Vorgeschichte sind.
Beispiel: Ein bekanntes Beispiel ist die Brownsche Molekülbewegung. 49 Die
Wahrscheinlichkeit, ein irrfahrendes Teilchen zur Zeit t in einem Bereich B zu finden ist
bei gegebener Startposition unabhängig von der Vorgeschichte, also den vorhergehenden
Teilchenbewegungen.
Der nachfolgende Satz zeigt, dass jeder deterministische Prozess mit messbaren
Zustandsübergängen die elementare Markoff-Eigenschaft besitzt, sofern p ein
zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Das ist intuitiv einleuchtend, weil die
Nachfolgezustände Zt durch die Anfangsbedingung Zs bereits eindeutig festgelegt
sind.
Satz: Sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit messbaren Zustandsübergängen
in �* und p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf A. Dann besitzt
(�, A, p, (Zt)t�T) die elementare Markoff-Eigenschaft.
Beweis: Sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit messbaren Zustandsübergängen in
�* und p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß. Ferner seien s, t � T mit s < t. Nach
Voraussetzung gibt es dann eine messbare Funktion f : Z � Z, so dass Zt = f(Zs) überall
in �* gilt. Unter diesen Annahmen gilt p-fast überall
p� Zt � B / Zs � = E (1�Z t � B� / Zs) nach Definition der Zs-bedingten Wahrscheinlichkeit
= E (1�f(Z s ) � B� / Zs) weil Zt = f(Zs) überall in �* gilt
= 1�f(Z s ) � B� nach Anhang 4.2 (2), weil f(Zs) messbar in A(Zs) ist
= 1�Z t � B� weil Zt = f(Zs) überall in �* gilt
49 vgl. dazu H. Bauer 1978, S. 361 ff.
89

Auf dieselbe Weise zeigt man, dass p� Zt � B / As � = 1�Z t � B� p-fast überall gilt. Somit ist
fast überall p� Zt � B / Zs � = 1�Z t � B� = p� Zt � B / As �, w.z.b.w. �
Als unmittelbare Folgerung aus dem eben bewiesenen Satz ergibt sich
Satz: Sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit messbaren Zustandsübergängen
in �* und p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf A. Dann gilt
p� Zt � B / Zs 1 ,…, Zs n � = p� Zt � B / Zs n � (p-fast überall)
für alle B � B und alle Zeitpunkte s1,…,sn, t � T mit s1 < … < sn < t.
Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem vorhergehenden Satz in Verbindung mit
Bauer, Lemma 65.2.
Im folgenden richten wir unser Augenmerk auf deterministische Prozesse mit
Indexmenge T = R�0. Solche Prozesse besitzen einen ausgezeichneten
Anfangszeitpunkt, nämlich t = 0. Dementsprechend bezeichnen wir Z0 als den
Anfangszustand des Prozesses. Wenn (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit
messbaren Zustandsübergängen ist, dann gibt es für jedes t � R�0 eine messbare
Funktion ft: Z � Z, so dass Zt = ft(Z0) überall in �* gilt. Die Funktion ft ordnet
jedem möglichen Anfangszustand zur Zeit 0 den zugehörigen Nachfolgezustand
zur Zeit t zu. Wir definieren damit eine Familie von Funktionen
Pt: Z � B � R
durch folgende Vorschrift: Für alle z � Z und alle B � B sei
Dann gilt der folgende
P ( z, B)
t
= 1, falls
� ft ( z) �B
�
�0,
falls ft ( z) �B
Satz: Sei T = R�0 und (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit messbaren
Zustandsübergängen ft: Z � Z in �*. Dann ist jede Funktion Pt mit t � R�0 ein
Erwartungskern 50 auf (�, A). Damit ist gemeint, dass für jedes Pt die folgenden
Aussagen gelten:
50 Zum Begriff des Erwartungskerns vgl. H. Bauer 1978, Kap. X § 56
90

(1) Die Funktion z �� Pt(z,B) ist B-messbar (für alle B � B)
(2) Die Funktion B �� Pt(z,B) ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß (für alle z � Z)
Beweis: (1) Sei B � B beliebig. Wir definieren eine Funktion g: Z � R so dass für alle
z � Z gilt: g(z) = Pt(z,B). Um zu zeigen, dass die Funktion g B-messbar ist, müssen wir
nachweisen, dass das Urbild jeder Borelmenge A � B(R) eine messbare Menge in B ist.
Dieser Nachweis lässt sich durch eine einfache Fallunterscheidung führen, da die
Funktion g definitionsgemäß nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann:
1. Fall: Wenn 0 und 1 in A sind, dann ist g -1 (A) = Z � B.
2. Fall:Wenn weder 0 noch 1 in A ist, dann ist g -1 (A) = � � B.
3. Fall: Wenn 1 � A, aber 0 � A ist, dann ist g -1 (A) = � z � Z / g(z) = 1� =
� z � Z / Pt(z,B) = 1� = � z � Z / ft(z) � B � = ft -1 (B) � B.
4. Fall: Wenn 0 � A, aber 1 � A ist, dann ist g -1 (A) = � z � Z / g(z) = 0 � =
� z � Z / Pt(z,B) = 0 � = � z � Z / ft(z) � B � = ft -1 (B*) � B.
(2) Sei nun z � Z beliebig und �: Z � R eine Funktion mit �(B) = Pt(z,B) für alle
B � B. Wir müssen zeigen, dass � ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Z ist, d.h. dass � die
Kolmogoroff-Axiome erfüllt. Offenbar gilt: 0 � �(B) � 1, für alle B � B, da �(B) =
Pt(z,B) nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann. Ebenso gilt �(Z) = 1, da trivialerweise
ft(z) � Z für alle z � Z gilt. Bleibt noch die �-Additivität nachzuweisen: Für jede
abzählbare Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen Bn � B ist definitionsgemäß
�( � B
n n ) = Pt(z, � B
n n ) = 1, falls ft(z) � Bn für irgendein n � 0 gilt. Andernfalls ist
�( � B
n n ) = 0. Da die Mengen paarweise disjunkt sind, gilt �(Bn) = Pt(z, Bn) = 1 für
höchstens ein n. Für alle anderen Bn gilt �(Bn) = 0. Somit ist �n �(Bn) = 1 genau dann,
wenn es ein n � 0 gibt, so dass ft(z) � Bn gilt. Andernfalls ist �n �(Bn) = 0. In beiden
Fällen ist also �( � B
n n ) = �n �(Bn), w.z.b.w. �
Der vorhergehende Satz zeigt, dass die Abbildung B �� Pt(z,B) für alle Zustände z
� Z als Wahrscheinlichkeitsmaß auf (�, A) interpretiert werden kann. Tatsächlich
entspricht Pt(z,B) genau der bedingten Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System
sich zur Zeit t in einem Zustand z´� B befindet, wenn z der Ausgangszustand zur
Zeit t = 0 war:
Satz: Sei T = R�0 und (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit messbaren
Zustandsübergängen in �* und p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann
gilt:
Pt(z,B) = p(Zt � B / Z0 = z) für pZ 0 -fast alle z � Z.
91

Beweis: Nach Voraussetzung gilt
(1) Pt(z,B) = 1, falls ft(z) � B ist, und Pt(z,B) = 0, sonst.
Nach Definition der Z0-bedingten Wahrscheinlichkeit gilt p-fast überall
p(Zt � B/ Z0) = E(1�Z t � B� /Z0) =
= E(1� f t (Z 0 ) � B�/ Z0) weil Zt = f(Z0) überall in �* gilt
= 1� f t (Z 0 ) � B� nach Anhang A 4.2 (2), weil f(Z0) messbar in Z0 ist
Somit gilt p-fast überall in �*
p(Zt � B/ Z0)(�) = 1 � 1� f t (Z 0 ) � B�(�) = 1 � ft(Z0(�)) � B und
p(Zt � B/ Z0)(�) = 0 � ft(Z0(�)) � B.
Daraus folgt unmittelbar, dass
(2) p(Zt � B/ Z0 = z) = 1 � ft(z) � B und p(Zt � B/ Z0 = z) = 0 � ft(z) � B
für pZ 0 -fast alle z � Z gilt. Durch Vergleich von (1) und (2) ergibt sich die Behauptung. �
Translationsinvariante Prozesse: Im folgenden betrachten wir zeitlichtranslationsinvariante
Prozesse mit Indexmenge T = R�0 und messbaren
Zustandsübergängen. Da die Funktion Pt(z,B) für festes z als
Wahrscheinlichkeitsmaß und für festes B als Zufallsvariable aufgefasst werden
kann, können wir die Verknüpfung
Ps o Pt(z,B) := � Pt(z´,B) Ps(z,dz´)
definieren. Dabei wird die Zufallsvariable Pt(z´,B) über dem
Wahrscheinlichkeitsmaß �(dz´) := Ps(z,dz´) integriert.
Der Integrand Pt(z´,B) ist für festes B eine Elementarfunktion, die definitionsgemäß nur
die Werte 0 oder 1 annehmen kann. Sei nun A = � z´ � Z / Pt(z´,B) = 1 � =
� z´ � Z / ft(z´) � B � und die Komplementmenge A* = � z´ � Z/ Pt(z´,B) = 0 � =
� z´ � Z/ ft(z´) � B �. Dann reduziert sich das Integral � Pt(z´,B) �(dz´) auf
d.h.
� Pt(z´,B) �(dz´) = 1��(A) + 0��(A*) = �(A),
� Pt(z´,B) Ps(z,dz´) = Ps(z,A)
Nun gilt aber Ps(z,A) = 1 � fs(z) � A � ft (fs(z)) � B und Ps(z,A) = 0 � fs(z) � A �
ft (fs(z)) � B. Folglich gilt
Ps o Pt(z,B) := � Pt(z´,B) Ps(z,dz´) = 1 � ft(fs(z)) � B
92

Für zeitlich-translationsinvariante Prozesse gilt aber ft(fs(z)) � B � fs+t(z) � B.
Definitionsgemäß ist Ps+t(z,B) = 1 � fs+t(z) � B und Ps+t(z,B) = 0, sonst. Damit erhalten
wir den folgenden
Satz: Sei (Zt)t�T ein zeitlich-translationsinvarianter deterministischer Prozess mit
Indexmenge T = R�0 und messbaren Zustandsübergängen. Dann gilt
Ps o Pt = Ps+t (für alle s, t � 0)
Die angegebenen Gleichungen werden gelegentlich auch als Chapman-
Kolmogoroff-Gleichungen bezeichnet (vgl. Bauer, S. 361). Eine unmittelbare
Folgerung aus den angegebenen Sätzen ist der folgende
Satz: Unter den Voraussetzungen des vorhergehenden Satzes bilden die
Funktionen Pt(z,B), Pt: Z � B � R eine Markoff-Halbgruppe von
Erwartungskernen auf (Z,B).
Beweis: Vgl. Bauer, Definition 64.1, S. 361. Die Erwartungskerne bilden lediglich eine
Halbgruppe, weil es bei Prozessen mit der Indexmenge T = R�0 keine inversen Elemente
P�t gibt. Wir können aber die vorhergehenden Überlegungen leicht auf
translationsinvariante Prozesse mit der Indexmenge T = R ausdehnen. In diesem Fall gibt
es zu jeder Funktion Pt eine inverse Funktion P�t mit der Eigenschaft, dass Pt o P�t = Pt�t
= P0 gilt.
Startverteilungen: Sei nun (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit Indexmenge
T = R�0 und messbaren Zustandsübergängen ft : Z � Z in �* und sei p ein
zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf A. Wir definieren ein
Wahrscheinlichkeitsmaß p0: B � R durch die Vorschrift
p0(B) := p(Z0 � B) (für alle B � B)
p0(B) gibt also die Wahrscheinlichkeit an, dass der Prozess zur Zeit t = 0 in einem
Zustand Z0 � B startet. Wir wollen daher im folgenden p0 als die „Startverteilung“
des Prozesses bezeichnen. Analog dazu definieren wir für jeden nachfolgenden
Zeitpunkt t ein Wahrscheinlichkeitsmaß pt: B � R durch die Vorschrift
pt(B) := p0(ft -1 (B)) (für alle B � B)
Unter den angegebenen Voraussetzungen gilt dann pt(B) = p(Zt � B) für alle
B � B:
93

Beweis: p(Zt � B) = p�� � � / Zt(�) � B � = p�� � � / ft(Z0(�)) � B � =
p�� � � / Z0(�) � ft -1 (B)� = p(Z0 � ft -1 (B)) = p0(ft -1 (B)) = pt(B). �
Zwischen den Verteilungen pt und den oben definierten Erwartungskernen Pt(z,B)
besteht ein einfacher Zusammenhang, der in dem folgenden Satz formuliert wird:
Satz: Sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit Indexmenge T = R�0 und
messbaren Zustandsübergängen ft : Z � Z in �* und sei p ein zulässiges
Wahrscheinlichkeitsmaß auf A. Dann gilt:
pt(B) = � Pt(z,B) p0(dz) (für alle B � B)
Beweis: Pt(z,B) ist definitionsgemäß eine Elementarfunktion, die nur die Werte 0 oder 1
annehmen kann. Dementsprechend ergibt eine Ausführung des Integrals � Pt(z,B) p0(dz)
= p0�z � Z / Pt(z,B) = 1� = p0�z � Z / ft(z) � B� = p0(ft -1 (B)) = pt(B). �
Sei nun J � R�0. Wir definieren eine Funktion fJ: Z � �t�J Z durch die Vorschrift:
fJ(z) := derjenige, eindeutig bestimmte Pfad �: J � Z durch den Zustandsraum
mit �(t) := ft(z) für alle t � 0.
Mit anderen Worten: � = fJ(z) ist derjenige (Teil-) Pfad durch den Zustandsraum,
der durch den Anfangszustand z determiniert wird. Die Abbildung fJ: Z � �t�J Z
ist (B - �t�J B)-messbar, da fJ = �t�J ft ein Produkt von (B-B)-messbaren
Funktionen ist. Ferner definieren wir eine Variable ZJ = �t�J Zt, d.h. ZJ: � � �t�J
Z. Die Variable ZJ gibt den tatsächlichen Pfad des Systems im Zeitraum J � R�0
an. Offenbar gilt dann ZJ = fJ o Z0, d.h. ZJ ist derjenige Pfad durch den
Zustandsraum, der durch den tatsächlichen Anfangszustand Z0 des Systems
determiniert wird. Schließlich definieren wir noch ein Wahrscheinlichkeitsmaß
pJ: �t�J B � R durch die Vorschrift:
pJ(B) := p0(fJ -1 (B)) (für alle B � �t�J B)
Offenbar gilt dann: pJ(B) = p(ZJ � B) für ZJ = �t�J Zt und alle B � �t�J B.
Beweis: p(ZJ � B) = p�� � � / ZJ(�) � B � = p�� � � / fJ(Z0(�)) � B � =
p�� � � / Z0(�) � fJ -1 (B)� = p(Z0 � fJ -1 (B)) = p0(fJ -1 (B)) = pJ(B). �
Die vorhergehenden Überlegungen zeigen, dass durch eine zulässige Verteilung p
auf A und durch die Zustandsübergänge ft in einem deterministischen Prozess für
jeden Zeitpunkt t ein Wahrscheinlichkeitsmaß pt festgelegt wird. Im folgenden
94

Satz wird gezeigt, dass in gewisser Weise auch die Umkehrung dieser Aussage
gilt, d.h. dass durch eine „Startwahrscheinlichkeit“ p0 und durch die
Zustandsübergänge ft eindeutig ein Wahrscheinlichkeitsmaß p auf A induziert
wird:
Satz: Sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit Indexmenge T = R�0 und
messbaren Zustandsübergängen ft: Z � Z in �*. Dann gilt: Zu jeder
Startverteilung p0: B � R gibt es genau ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß p
auf A mit p0(B) = p(Z0 � B) für alle B � B und p = p0 o fT �1 .
Beweis: A = �t�T B ist definitionsgemäß die kleinste Ereignisalgebra auf �t�T Z, in der
alle Projektionen Zt: � � Z messbar sind. Unter diesen Voraussetzungen ist
ZT: � � �t�T Z einfach die Identitätsabbildung, die jeden Pfad � � � auf sich selbst
abbildet, so dass gilt: ZT(�) = � für alle � � � und A = �t�T B = ZT -1 (�t�T B), d.h. jedes
Ereignis A � A hat die Form A = �ZT � B� für irgendein B aus �t�T B. Nun gilt aber
pT(B) = p(ZT � B) für jedes zulässige Wahrscheinlichkeitsmaß p auf A mit p0(B) =
p(Z0 � B) und pT(B) = p0(fT �1 (B)), also p(ZT � B) = p0(fT �1 (B)), d.h. p wird durch die
Startverteilung p0 und die Übergangsfunktionen fT eindeutig festgelegt.
95

11. Der Satz von Liouville
Aus der statistischen Mechanik ist der Satz von Liouville bekannt. Dazu
betrachten wir ein mechanisches System im Phasenraum, das sich zu Beginn der
Bewegung (t = 0) in irgendeinem Zustand aus einem Bereich B0 � R 2n befinden
kann. Zu jedem Startzustand aus B0 gibt es aufgrund der Bewegungsgleichungen
einen eindeutig bestimmten Nachfolgezustand zur Zeit t > 0. Wir bezeichnen die
Gesamtheit dieser Nachfolgezustände mit Bt. Wenn B0 ein zusammenhängendes
Raumgebiet im Phasenraum ist, dann muss es sich bei Bt aufgrund der
Stetigkeitsbedingungen um ein ebensolches Gebiet handeln, d.h. benachbarte
Anfangszustände führen auch zu benachbarten Nachfolgezuständen. Die beiden
Gebiete B0 und Bt werden im Allgemeinen nicht dieselbe geometrische Form
besitzen, aber nach einem bekannten Satz von Poincaré muss das Phasenvolumen
beim Bewegungsablauf unverändert bleiben.
p
�
B0
Wenn wir eine größere Anzahl N von mechanischen Systemen betrachten, die sich
zur Zeit t = 0 in einem infinitesimalen Bereich B0 mit dem Volumen V befinden,
dann muss nach Ablauf der Zeit t dieselbe Anzahl von Systemen in Bt auffindbar
sein, da keines der Systeme aus dem markierten Bereich herauswandern oder von
außen hereinwandern kann. Somit bleibt auch die infinitesimale Anzahl dN von
Systemen in einem sehr kleinen Raumbereich mit dem Phasenvolumen dV
konstant. Das bedeutet, dass die Dichte � = dN / dV der Systempunkte im
Phasenraum konstant bleibt, d.h. dass
d�
= 0
dt
Bt
q
96

gelten muss. Dies ist der Satz von Liouville. Die Begründung dieser Aussage
erfolgt üblicherweise in der angedeuteten Weise über die Poincaréschen
Integralinvarianten, nimmt also auf die speziellen Gesetzmäßigkeiten der
klassischen (Hamilton-) Mechanik Bezug. Tatsächlich kann man aber zeigen, dass
der Satz von Liouville nicht nur in der klassischen Mechanik, sondern darüber
hinaus ganz allgemein für beliebige deterministische Prozesse Gültigkeit besitzt,
sofern gewisse mathematische Vorbedingungen erfüllt sind. Wir wollen diese
Behauptung als den verallgemeinerten Satz von Liouville bezeichnen. Seine
Formulierung und Begründung bilden den Inhalt dieses Kapitels.
Dazu betrachten wir einen (beliebigen!) deterministischen Prozess (Zt)t�T mit
Indexmenge T = R, einem Zustandsraum Z = R n und messbaren
Zustandsübergängen ft: Z � Z in �*. Ferner wollen wir voraussetzen, dass die
Funktionen ft umkehrbar eindeutig und bistetig 51 sind.
Weiterhin sei B0 � B(R n ) eine beliebige Menge von möglichen Startzuständen.
Mit Bt = � ft(z) / z � B0 � bezeichnen wir die zugehörigen Nachfolge-Zustände zur
Zeit t. Wenn das System zu t = 0 in einem Zustand aus B0 startet, wird es sich also
zur Zeit t > 0 in einem Zustand aus Bt befinden. Wenn ft umkehrbar eindeutig ist,
dann ist B0 = ft �1 (Bt). Aus der Bistetigkeit folgt, dass auch die Umkehrfunktionen
gt = ft �1 messbar und stetig sind. Unter diesen Voraussetzungen muss Bt = gt �1 (B0)
eine Borelmenge sein, wenn B0 � B(R n ) ist. Sei nun p ein zulässiges
Wahrscheinlichkeitsmaß auf A = �t�T B(R n ). Unter den genannten
Voraussetzungen gilt die Gleichung
p(Z0 � B0) = p(Zt � Bt)
Zum Beweis genügt die Beobachtung, dass überall in �* die Gleichung Zt = ft(Z0)
gilt. Aus der Zulässigkeit von p folgt dann, dass p(Zt � Bt) = p(ft(Z0) � Bt) =
p(Z0 � ft �1 (Bt)) = p(Z0 � B0). Die intuitive Bedeutung dieser Aussage ist klar:
Wenn ein deterministisches System sich unter den angegebenen Bedingungen zur
Zeit t = 0 mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in einem Startzustand z � B0
befindet, dann muss sich das System zu jedem späteren Zeitpunkt t > 0 mit
derselben Wahrscheinlichkeit in einem der zugehörigen Nachfolgezustände ft(z) �
Bt befinden.
Sei nun p0: B(R n ) � R die Startverteilung für die möglichen Anfangszustände, so
dass p0(B0) = p(Z0 � B0) für alle B0 � B(R n ) gilt. In vielen Fällen ist die
51 Damit ist gemeint, dass sowohl die Funktionen ft als auch die Umkehrfunktionen ft �1
stetig sind. Unter den genannten Annahmen handelt es sich natürlich bei (Zt)t�T um einen
bideterministischen Prozess.
97

Startverteilung aus einer Dichtefunktion abgeleitet. So ist beispielsweise in dem
früher diskutierten Fall eines freien Teilchens mit normalverteilten Startpositionen
die Startverteilung aus der Dichtefunktion der Normalverteilung (Gaußsche
Glockenkurve) abgeleitet. Eine Dichtefunktion ist definitionsgemäß eine
messbare, nicht-negative Abbildung �0: R n �R mit der Eigenschaft
(*) p0(B) = �B �0 d� n (� B � B(R n ))
Dabei ist � n das Lebesguesche Maß auf dem R n , das jedem n-dimensionalen
Intervall der Form I = (a1,b1) ��� (an,bn) das entsprechende Volumen � n (I) =
(b1�a1) ��� (bn�an) zuordnet. Die Dichtefunktion ist durch die Gleichung (*) fast
überall eindeutig bestimmt, d.h. für jede Funktion �´: R n �R mit den
angegebenen Eigenschaften gilt �´ = �0 � n -fast-überall im R n . Wenn die
Dichtefunktionen darüberhinaus auch stetig sind, dann sind sie überall identisch.
Wie verändert sich nun die Dichtefunktion im Zeitablauf? Wenn die
Wahrscheinlichkeitsmaße pt Lebesgue-stetig 52 sind, dann muss es 53 zu jedem
n
pt eine Dichtefunktion �t geben, so dass pt � �t�
gilt. Diese wird im
Allgemeinen nicht identisch sein mit den von den dynamischen Transformationen
�1
erzeugten Dichtefunktionen �0 t f � , weil die Dichte entlang einer Trajektorie �
abnehmen oder zunehmen kann, wenn die benachbarten Trajektorien in einer
kleinen Umgebung von � nach Ablauf der Zeit t ein größeres oder ein kleineres
�1
Volumen im Zustandsraum einnehmen, d h. im Allgemeinen ist � � � f !
�t 0 t
Um die zeitliche Entwicklung der Dichtefunktionen �t zu ermitteln, definieren wir
n
zunächst eine Funktion � : R �T
� R durch die Vorschrift, dass
� ,..., z , t)
� � ( z)
für alle Zeitpunkte t und alle Zustände z � z ,..., z ) � R
( z1 n t
gelten soll. Wir unterstellen im Folgenden stets, dass � stetig und in allen
Argumenten mindestens einmal differenzierbar ist. Wenn alle Trajektorien
�� �*
stetig und nach der Zeit differenzierbar sind, dann gibt es Vektorfelder
n n
n n
v : R �T
� R und j : R �T
� R , so dass gilt: v( z,
t)
� ��
( t)
und
j( z,
t)
� �t
( z)
�v(
z,
t)
. Dabei ist � diejenige, nach Voraussetzung eindeutig
bestimmte Trajektorie in �*, für die � ( t) � z gilt. Nach Voraussetzung ist
52 D.h. wenn jede Teilmenge B vom Lebesgue-Maß � ( B)
� 0
Wahrscheinlichkeit pt ( B)
� 0 besitzt.
53 nach dem Satz von Radon und Nikodym
n
( 1
auch die
n
n
98

�
n
�td�
�1
eine Erhaltungsgröße, daher muss für die Wahrscheinlichkeits-
Stromdichte j ( z,
t)
eine Kontinuitätsgleichung gelten:
Satz: Sei (Zt)t�T ein deterministischer Prozess mit T = R, Zustandsraum Z = R n
und sei p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf A = �t�T B(R n ). Ferner sei
n
n
( � t ) t�T
eine Familie von Dichtefunktionen �t
: R � R mit pt � �t�
für alle
t � T . Wenn alle Trajektorien ��� * stetig und nach t differenzierbar sind, dann
gilt
��
�t
� �div
Dabei ist ( z)
: � j(
z,
t)
� � ( z)
���
( t)
für alle
jt t
Trajektorien ��� * mit � ( t) � z . �
jt
für alle t � T
n
z � R , für alle t �T und alle
Translationsinvariante Systeme: Wir betrachten nun den – für die Physik
besonders bedeutsamen – Fall, dass wir es mit einem translationsinvarianten
Prozess zu tun haben. In diesem Fall gibt es ein zeitunabhängiges Vektorfeld
n n
v : R � R , so dass gilt: v( z)
� ��
( t)
für alle Trajektorien ��� * und alle
Zeitpunkte t mit � ( t) � z . Die Trajektorien ��� * sind also gerade die
Integralkurven des Vektorfelds, d.h. sie repräsentieren die möglichen Lösungen
der (autonomen!) Differentialgleichung �� ( t) � v(
�(
t))
.
Sei nun wieder jt ( z)
: � j(
z,
t)
� �t
( z)
�v(
z)
, d.h. jt : R � R . Dann ergibt sich
für die Divergenz der Wahrscheinlichkeitsstromdichte zu jedem vorgegebenen
Zeitpunkt t der aus der Vektoranalysis bekannte Ausdruck
div � div ( � �v)
� ( grad � ) �v
� � �div
v
jt t
t t
In konservativen Systemen gilt definitionsgemäß div v � 0.
Dementsprechend ist
dort div jt � ( grad �t
) �v
. Wir definieren nun eine neue Funktion
�� : T � R durch die Vorschrift, dass ( t) � �(
�(
t),
t)
für alle Zeitpunkte t und
alle Trajektorien � gelten soll. Mit anderen Worten: � (t)
ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte, die von einem auf der Trajektorie � mitbewegten
Beobachter zur Zeit t gemessen wird. Das totale Differential
� �
n
d�� � � i
i�1 i �
��
��
dz � dt
�z
t
n
�
n
99

Dabei ist �� �zi
die partielle Ableitung der Dichtefunktion �( z1,..., zn
, t)
nach der
i-ten Komponente von � ( t) � ( z1,...,
zn
) . Für die (totale) zeitliche Ableitung von
� ergibt sich somit der Ausdruck
�
d
dt
� �
�
��
( grad �t
) �v
� � div jt
�t
��
�
�t
Berücksichtigt man dabei die Kontinuitätsgleichung div jt � ���
�t
so ergibt sich
unmittelbar die Folgerung, dass
d��
dt
und somit ��( t) � const.
für alle Trajektorien ��� * gelten muss. Dies ist jedoch
gerade der
Satz von Liouville: Sei (Zt)t�T ein konservativer Prozess mit T = R, Zustandsraum
Z = R n und sei p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf A = �t�T B(R n ).
n
n
Ferner sei ( � t ) t�T
eine Familie von Dichtefunktionen �t
: R � R mit pt � �t�
für alle t � T . Dann gilt �� ( t) � const.
für alle Zeitpunkte t und alle Trajektorien
� ��*
. �
Sei S ein translationsinvariantes System und sei ( ft ) t�T
die zugehörige Familie
von dynamischen Transformationen. Aus dem Satz von Liouville folgt
unmittelbar, dass in konservativen Systemen die Gleichungen
� 0
�t = �0 o ft �1 und �0 = �t o ft
für alle t �T gelten muss, wenn die angegebenen Voraussetzungen erfüllt sind.
n
Das bedeutet unter anderem, dass für jede Region B� B(
R )) im Zustandsraum
des Systems nicht nur die Gleichung B ) � p ( B)
für � f ( B)
, sondern
n
n
p0( 0 t
�1
B0 t
auch die Gleichung � ( B0
) � � ( B)
erfüllt sein muss, da die
Wahrscheinlichkeitsdichte � (z)
in jedem Punkt z � B identisch mit der Dichte
t
�1
z0 � t sein muss. 54
�0 ( z0
) in dem korrespondierenden Ausgangspunkt f ( z)
54 Beweis: Sei p ein zulässiges Wahrscheinlichkeitsmaß, α � R>0 eine positive reelle Zahl
und R � R
n
� : eine Wahrscheinlichkeitsdichte mit p
n
� � ( ) �
0
0 � �0 so dass 0 z � für
100

Verfolgt man also die Wahrscheinlichkeitsdichte auf verschiedenen Trajektorien
durch den Zustandsraum, so kann man dies als Strömung einer inkompressiblen
Flüssigkeit betrachten. Die Wahrscheinlichkeitsdichte bleibt auf jeder Trajektorie
konstant, d.h. ein mitbewegter Beobachter würde an seinem Ort stets die gleiche
Dichte messen. Jedes Volumenelement der Flüssigkeit behält dabei seine Größe
und verändert allenfalls seine Form.
Beispiel: Sei Z = R 2n der klassische Phasenraum für ein System mit n
Freiheitsgraden und sei R � R
n 2
H : die Hamiltonfunktion des Systems. Wenn H
nicht explizit von der Zeit abhängt, ist S ein konservatives System.
Dementsprechend gilt hier der Satz von Liouville für jede Familie ( � t ) t�T
von
n
Dichtefunktionen mit pt � �t�
für alle Zeitpunkte t und jedes zulässige
Wahrscheinlichkeitsmaß p. Daraus folgt weiter, dass das Phasenvolumen unter
dynamischen Transformationen unverändert bleibt, wie wir bereits eingangs
erläutert haben. �
Ein wichtiger Spezialfall sind stationäre Verteilungen. Darunter verstehen wir
eine Familie (�t)t�T von Dichtefunktionen mit �t � �0
für alle t � T. Sei dazu
R � R
n
H : eine beliebige Erhaltungsgröße des Systems 55 , so dass dH � / dt � 0
für alle Trajektorien � � �* gilt. Wir sagen, dass die Startverteilung �0 nur von H
abhängt, wenn es eine Funktion � ~
0 : R � R gibt, so dass � z) � ~ � ( H(
z))
für
alle Zustände
0(
0
n
z �R gilt. In diesem Fall ist die Verteilung automatisch stationär:
Satz: Sei (Zt)t�T ein konservativer Prozess mit Zustandsraum Z = R n und sei
R � R
n
H : eine beliebige Erhaltungsgröße des Systems. Unter den
Voraussetzungen des Liouville-Theorems gilt dann �� �t
� 0 , wenn die
Startverteilung �0 nur von H abhängt, d.h. die Verteilung ist dann stationär. �
Stationäre Verteilungen spielen eine wichtige Rolle in der
Gleichgewichtsthermodynamik und statistischen Mechanik. Die wichtigsten
Beispiele sind die mikrokanonische und die kanonische Verteilung:
alle Zustände B0
n n
z � gilt. In diesem Fall ist p0
( B0
) � � �0d� � � � � ( B0
) . Sei ferner
t � �t
B0
n
�1
und � ( z´) � �0
( ft
( z´))
� �
p0 ( B0
) pt
( B
�1
�t � �0
� �t
. Dann ist p � t für alle Zustände z´ � B ,
n
also p ( B)
� � ��
( B)
. Da � ) gelten muss, folgt unmittelbar, dass
t
( 0
55 d.h. für alle ��
*
n
n
� B ) � � ( B)
ist. �
101
� und alle Zeitpunkte t gilt dH � / dt � 0 . Dabei ist H� ( t)
: � H(
�(
t))
.

Beispiel 1: Mikrokanonische Verteilung. Sei R 2n der Phasenraum für ein
abgeschlossenes System von N gleichen Teilchen mit n = 3N Freiheitsgraden und
sei R � R
n 2
H : die (zeitunabhängige) Hamiltonfunktion des Systems. Wir
schreiben im Folgenden abkürzend H( qi
, pi
) anstelle von H( q1,...,
qn,
p1,...,
pn
) um
die Notation zu vereinfachen. Mit �H � E� bzw. �H = E� bezeichnen wir die
Gesamtheit aller Punkte ( q i , pi
) im Phasenraum, für die H( qi
, pi
) � E bzw.
( q , p ) � E gilt, d.h.
H i i
und
2n
qi i
i i
�H � E� = �( , p ) � R / H(
q , p ) � E �
2n
qi i
i i
�H = E� = �( , p ) � R / H(
q , p ) � E �
Für jedes beliebige Energieniveau E sei
Z
E
� �
� dqidp
�H E�
das Volumen des Phasenraums, das von der Hyperfläche �H = E� eingeschlossen
wird. Wir unterstellen im folgenden stets, dass ZE < � ist. Wir betrachten nun ein
beliebig kleines Inkrement �E > 0. Dann ist
�E � E�
�E
Z � Z
das Volumen der „Energie-Schale“, die von den Hyperflächen �H = E�und �H =
E + �E� begrenzt wird. Wenn alle Punkte innerhalb der Schale anfänglich
gleichwahrscheinlich sind, dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte
(Startverteilung):
� 1
� , für E � H ( qi
, pi
) � E � �E
� ( , ) � � �
0 qi
pi
E
�
� 0,
sonst
Im Limes �E � 0 ergibt sich daraus für die Dichtefunktion der Ausdruck
mit
1
� 0 ( qi , pi
) � ��
( E � H(
qi
, pi
))
�
E
i
E
102

� E � ��( E � H(
qi
, pi
)) dqidpi
Die mikrokanonische Verteilung unterscheidet sich von der angegebenen
n
Dichtefunktion allerdings durch einen Faktor 1 / N! h , d.h.
�
1
( qi , pi
) � ��
( E � H(
qi
, p ))
n
N!
h �
MK
0 i
E
Dabei ist h das Plancksche Wirkungsquantum und N! �1� 2���
N ist die Anzahl
der möglichen Permutationen von N Teilchen. Dieser Faktor wird letztlich erst
durch die Quantenphysik verständlich. Dort gilt nämlich das Prinzip der Nicht-
Unterscheidbarkeit von identischen Teilchen. Für die Wahrscheinlichkeitsdichte
ist daher völlig irrelevant, welche Teilchen sich in einem bestimmten Zustand
befinden, sondern nur, wieviele Teilchen in diesem Zustand sind. Wir
unterscheiden also nicht zwischen Zuständen, die durch Vertauschung
(Permutation) von identischen Teilchen auseinander hervorgehen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte in einem vorgegebenen Punkt des Phasenraums
hängt bei den angegebenen Verteilungen offenbar nur von dem zugehörigen Wert
der Hamiltonfunktion ab, d.h. es gibt eine Funktion
~ � ( H)
, so dass
� ( q , p ) � ~ �(
H(
q , p ))
0 i i
i i
überall im Phasenraum gilt. Daraus folgt unmittelbar, dass die Dichtefunktion
stationär ist, d.h. es gilt
für alle Zeitpunkte t > 0. �
� q , p ) � � ( q , p )
t ( i i 0 i i
Beispiel 2: Kanonische Verteilung. Im Gegensatz zur mikrokanonischen
Verteilung betrachten wir nun ein offenes System S, das in ein größeres System S´
eingebettet ist. Das größere System wirkt dabei als „Wärmebad“, das für eine
konstante Temperatur sorgt. Im Unterschied zur mikrokanonischen Verteilung ist
hier also nicht die Energie, sonder die Temperatur des Systems konstant.
Wenn man unterstellt, dass das Gesamtsystem (S + S´) eine mikrokanonische
Verteilung aufweist, dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichte im
Phasenraum des Teilsystem S der Ausdruck
103

K 1 � H(
qi
, pi
) �
� 0 ( qi
, pi
) � exp ��
�
Z � k �T
�
Dabei ist k eine Konstante (die Boltzmann-Konstante) und T repräsentiert die
Temperatur des Systems. 1/ ZT
ist ein Normierungsfaktor, d.h.
Z
T
�
N
T
H(
q , p )
1 � i i �
exp n
! h � ��
�
� k �T
�
dq dp
Wir verzichten hier auf eine Darstellung der (etwas langwierigen) Herleitung, die
man in allen einschlägigen Lehrbüchern der statistischen Mechanik finden kann.
Auch hier ist die Wahrscheinlichkeitsdichte (Startverteilung) nur von dem
Energieniveau der Zustände abhängig. Dementsprechend ist auch die kanonische
Verteilung stationär, d.h. es gilt wieder
für alle Zeitpunkte t > 0. �
K
K
� q , p ) � � ( q , p )
t
( i i 0 i i
i
i
104

Zusammenfassung:
� Sei (Zt)t�T ein (bi-) deterministischer Prozess mit T = R, Zustandsraum Z = R n
und messbaren Zustandsübergängen ft: Z � Z. Ferner sei p ein zulässiges
n
Wahrscheinlichkeitsmaß auf A t�T
B(
R ) � � . Dann gilt
�1
pt 0 t
( B)
� p ( f ( B))
für alle B� B(
R ) und alle t � T .
� Wenn die Funktionen p t Lebesgue-stetig sind, gibt es Dichtefunktionen
n
n
�t
: R � R mit pt � �t�
für alle Zeitpunkte t. Für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
gilt dabei die Kontinuitätsgleichung
��
�t
� �div
Dabei ist jt ( z)
� �t
( z)
���
( t)
für alle Zustände
��� * mit � ( t) � z .
jt
n
für alle t � T
n
z � R und alle Trajektorien
� Für konservative Systeme gilt der Satz von Liouville, d.h. �� ist auf allen
Trajektorien aus �* konstant. Dabei ist �� ( t) : � �(
�(
t))
die
Wahrscheinlichkeitsdichte, die von einem auf der Trajektorie � mitbewegten
Beobachter gemessen wird. Ein wichtiges Beispiel sind konservative Systeme
in der klassischen Mechanik, bei denen die Hamiltonfunktion nicht explizit
von der Zeit abhängt.
� Ein wichtiger Spezialfall sind stationäre Verteilungen ( �� �t
� 0 ).
Prominente Beispiele sind die kanonische und die mikrokanonische
Verteilung in der statistischen Mechanik.
105

12. Zustandsübergänge in der Quantenphysik
Wir haben früher gesehen, dass der Zustand eines physikalischen Systems mit n
Freiheitsgraden in der klassischen Physik vollständig durch die Angabe von n
Ortskoordinaten q1(t),...,qn(t) und der dazu kanonisch konjugierten Impulse
p1(t),...,pn(t) beschrieben wird. Eine solche Zustandsbeschreibung ist in der
Quantenphysik nicht möglich wegen der Heisenbergschen Unschärferelation,
wonach für alle kanonisch konjugierten Koordinaten die Ungleichung
�qi �pi � h/4�
erfüllt sein muss (h = 6,626 . 10 -27 erg�sec ist eine Konstante, das Plancksche
Wirkungsquantum). Dementsprechend kann der Zustand eines
quantenmechanischen Systems nicht beschrieben werden durch seine Position im
klassischen Phasenraum (Z = R 2n ), sondern durch eine sogenannte
„Wellenfunktion“
�t: R n � C
(C = die Menge der komplexen Zahlen). �t ist eine quadratintegrierbare Funktion
mit
�
R
n
�� ψ ( x ,..., x )
t
1
2
Das Amplitudenquadrat �t ( x1 ,..., xn
) = �t ( x1,..., xn
) wird üblicherweise als
Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. �t(x1,...,xn) gibt die gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Ortskoordinaten x1,...,xn. (Wir werden hier
und im folgenden immer von kartesischen Koordinaten ausgehen. Für ein N-
Teilchen-System sind also n = 3�N Ortskoordinaten erforderlich).
n
Dementsprechend ist � �t ( x1,..., xn ) dx die Wahrscheinlichkeit dafür, die Teilchen
B
bei einer Ortsmessung zur Zeit t innerhalb eines Bereichs B � R n zu finden. Die
Wahrscheinlichkeitsdichte für die zugehörigen Impulskoordinaten p1(t),...,pn(t)
F
F
2
wird gegeben durch �t ( p ,..., p ) = �t ( p ,..., p ) . Dabei ist �t F die Fourier-
1 n
1 n
Transformierte von �t. 56 Orts- und Impulskoordinaten werden also in der
Quantentheorie als Zufallsvariablen behandelt. Aus der Wellenfunktion �t lassen
sich mithilfe der angegebenen Gleichungen nur Wahrscheinlichkeiten und
Erwartungswerte für die Ergebnisse von Orts- oder Impulsmessungen ableiten.
�n/
2
�
n
2
dx
n
�1
n
t x1 xn i p1x1 pnxn dx
56
d.h. �t F (p1,...,pn) = ( 2��)
( ,..., ) � exp( � ( �... � ) / �)
�
� .
n
106

Dabei gilt für das Produkt der Standardabweichungen �xi bzw. �pi die oben
angegebene Unschärferelation.
Die Gesamtheit aller quadratintegrierbaren Funktionen �: R n � C mit
n
� �( x1,..., xn ) dx < + � bildet einen Vektorraum H, da quadratintegrierbare
�
n
2
Funktionen addiert und mit Skalaren � � C multipliziert werden können. Die
entsprechenden Definitionen lauten
und
(�1 + �2)(x1,...,xn) = �1(x1,...,xn) + �2(x1,...,xn)
(���)(x1,...,xn) = ���(x1,...,xn).
Ferner existiert ein Nullvektor � = 0, der überall in R n den Wert �(x1,...,xn) = 0
annimmt. Man kann auf diesem Vektorraum ein (Pseudo-) Skalarprodukt
< �1� �2 > definieren durch die Festsetzung
�
< �1� �2 > = � *( x ,..., x ) ��
( x ,..., x ) dx
�
n
� 1 n � 1 n
Die Funktion < ��� >: H � H � C besitzt die folgenden Eigenschaften �� � C
��, �, � � H:
(1) < � � � > = < � � � >*
(2) < � � � + � > = < � � � > + < � � � >
(3) < � � ��� > = � � < � � � >
(4) < � � � > � 0
Ein echtes Skalarprodukt erfüllt darüberhinaus die Bedingung
(5) < � � � > = 0 � � = 0
Diese Bedingung kann im vorliegenden Fall verletzt sein, weil es
Wellenfunktionen � gibt, die nur auf einer Menge N � R n vom Maß �(N) = 0
einen Wert �(x1,...,xn) � 0 annehmen. In diesem Fall ist < � � � > = 0, obwohl � �
0 ist. Man erhält daher ein echtes Skalarprodukt, wenn man H durch den
Quotientenraum ersetzt, der aus allen Äquivalenzklassen von Vektoren besteht, die
sich höchstens auf einer �-Nullmenge N unterscheiden.
n
107

Mithilfe des Skalarprodukts kann man jedem Vektor eine (Pseudo-) Norm
� � � � � � � zuordnen. Darüberhinaus kann man die Orthogonalität zwischen
Vektoren definieren durch die Bedingung � � � � < � � � > = 0.
Der Vektorraum H zusammen mit dem eben definierten Skalarprodukt wird als
Hilbertraum bezeichnet. 57 Der Hilbertraum tritt in der Quantentheorie an die Stelle
des klassischen Phasenraums, d.h. H bildet den Zustandsraum des Systems. Damit
ist gemeint, dass jeder mögliche Zustand des Systems durch einen Einheitsvektor
� � H mit � 2 = < � � � > = 1 repräsentiert werden kann. Aus dem Zustand
lassen sich dann in der oben beschriebenen Weise Wahrscheinlichkeitverteilungen
für die möglichen Ergebnisse von Orts- oder Impulsmessungen am System
ableiten. 58 Die Normierung auf 1 gibt dabei die Gewähr, dass das
Amplitudenquadrat ��(x1,...,xn)� 2 tatsächlich als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet
werden kann.
Für die Analyse von kausalen Zusammenhängen sind natürlich weniger die
Zustände selbst, sondern die möglichen Zustandsübergänge maßgeblich.
Sei daher � = �t�T H die Menge aller möglichen Bahnen (Trajektorien) durch den
Hilbertraum (für irgendein offenes Zeitintervall T � R). Der Zustand des Systems
zur Zeit t ist dann gegeben durch
Zt(�) = �(t)/ �( t ) , für alle � � �
d.h. wir interpretieren Zt als „Zufallsvariable“, die jedem möglichen Pfad � � �
einen Einheitsvektor Zt(�) = �(t)/ �( t ) zuordnet. Definitionsgemäß ist Zt(�) der
Quantenzustand des Systems zur Zeit t, falls sich das System auf dem Pfad �
durch den Hilbertraum bewegt. Für den Fall, dass �(t) selbst schon ein
Einheitsvektor ist, gilt natürlich �( t ) = 1 und somit Zt(�) = �(t). Wir
57 Ein Hilbertraum ist ein komplexer Vektorraum, der bezüglich der Normtopologie
vollständig ist. Damit ist gemeint, dass jede zu jeder konvergenten Folge (�n)n�N von
Vektoren mit lim i, k�� �i � �k � 0 ein Vektor � mit limi�� �i � � in H existiert.
Strenggenommen ist nicht H selbst, sondern der Quotientenraum aller Äquivalenzklassen
��� := � �´ � H � �´ � � � als Hilbertraum anzusehen. Dabei gilt definitionsgemäß �´ � �
genau dann, wenn die Funktionswerte �´(x1,...,xn) und �(x1,...,xn) höchstens auf einer �-
Nullmenge N � R n verschieden sind.
58 Vektoren �, �´, die sich nur durch einen Phasenfaktor unterscheiden, so dass
�´ = � � e i� gilt, sind dabei physikalisch äquivalent: Sie repräsentieren denselben Zustand,
weil sie zu denselben Wahrscheinlichkeitsverteilungen führen.
108

vereinbaren, dass im folgenden stets �t = �(t)/ �( t ) sein soll, falls �(t) nicht
ohnehin schon ein Einheitsvektor ist.
Die Quantentheorie ist bekanntlich eine nicht-deterministische Theorie, weil aus
den Zustandsfunktionen �t nur Wahrscheinlichkeitsaussagen bzw. –vorhersagen
über die Ergebnisse von Orts- oder Impulsmessungen ableitbar sind. Dennoch
enthält auch die Quantenphysik eine wichtige deterministische Komponente, weil
die Zustandsübergänge im Hilbertraum vollständig und eindeutig durch
deterministische Gesetzmäßigkeiten (nämlich durch die sogenannte Schrödinger-
Gleichung) festgelegt sind. Aufgrund der Schrödinger-Gleichung gilt
Dabei ist � = h/2� = 1,0545�10 �27 erg�sec und H : H � H ein linearer Operator,
der sogenannte Hamilton-Operator des Systems. Der Ausdruck < �t � H�t > gibt
den Erwartungswert für die Gesamtenergie des Systems. Die Schrödinger-
Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung in t, die zu
gegebenen Anfangsbedingungen �0 stets eindeutige Lösungen �t für alle t � 0
ergibt. Dementsprechend sind durch den Zustand �0 alle nachfolgenden Zustände
�t des Systems vollständig und eindeutig determiniert. Wir können daher – in
Analogie zum klassischen Fall – die folgende Aussage formulieren:
Satz: Sei � = �t�T H und Zt(�) = �(t)/ �( t ) für alle � � � und alle t � T. Ferner
sei �* � � die Menge aller Pfade durch den Hilbertraum, die die Schrödinger-
Gleichung erfüllen. Dann gilt: (Zt)t�T ist ein deterministischer und
bideterministischer Prozess in �*. 59
Aufgrund unserer früheren Überlegungen können wir daraus unmittelbar die
nachfolgenden Schlüsse ziehen:
Folgerungen:
(1) Für alle Zeitpunkte t � T und alle Zustände � � H gibt es genau einen Pfad
� � �* mit �(t) = � (Satz vom eindeutigen Pfad) und
(2) Für alle t, t´ � T mit t < t´ gilt �t

Die Konzepte und Definitionen, die zu diesen Ergebnissen führen sind weitgehend
analog zu den entsprechenden Konzepten aus der klassischen Mechanik. Um die
Analogie zu verdeutlichen, wollen wir die korrespondierenden Konzepte noch
einmal in tabellarischer Form gegenüberstellen.
Allgemeine Konzepte
Z: mögliche Zustände
T: linear geordnete
Menge von Zeitpunkten
�: mögliche Pfade durch
den Zustandsraum
Zt: Zustand zur Zeit t
Klassische Mechanik
Z = R 2n
T � R
� = �t�T Z
Zt(�) = �(t) (����)
Z = H
T � R
Quantenphysik
� = �t�T H
Zt(�) = �(t) (����)
Trotz dieser Analogie besteht natürlich ein fundamentaler Unterschied zwischen
dem klassischen und dem quantenmechanischen Fall, weil aus den
quantenmechanischen Zuständen nur statistische Vorhersagen über die Ergebnisse
von physikalischen Beobachtungen und Messungen ableitbar sind, während im
Fall der klassischen Physik die Werte der Observablen unmittelbar aus der
Position im Phasenraum ableitbar sind. Das ändert aber nichts an dem Umstand,
dass die Zustandsübergänge selbst einen rein deterministischen Charakter
besitzen.
A. Messiah schreibt dazu in seinem bekannten Lehrbuch:
„Bei Fehlen jedes äußeren Einflusses verläuft die zeitliche Entwicklung des Zustands
eines Systems streng kausal. Der ihn beschreibende Vektor ... führt gemäß der
Schrödinger-Gleichung ... eine stetige Bewegung aus.“ (Quantenmechanik, Band 1,
Berlin 1991, S. 281).
Offenbar versteht Messiah hier unter einer „streng kausalen“ Entwicklung
dasselbe, was wir als hier als einen deterministischen Prozess mit stetigen
Zustandsübergängen bezeichnet haben. Noch deutlicher formuliert E. Nagel
(1961):
„relative to its own form of state description quantum theory is deterministic in the same
sense that classical mechanics is deterministic with respect to the mechanical description
of state.“ (E. Nagel: The Structure of Science, New York 1961, S. 306, zitiert nach J.
Earman 1986, S. 200)
110

Der indeterministische Charakter der Quantenphysik zeigt sich erst dann, wenn ein
System durch äußere Einwirkungen, also beispielsweise durch einen Messvorgang
gestört wird. Jeder Messvorgang erfordert nämlich eine Wechselwirkung zwischen
einem makroskopischen Messgerät und einem mikrophysikalischen
Quantensystem und bewirkt dadurch eine Zustandsveränderung an dem
Quantensystem, die nicht durch dessen Schrödinger-Gleichung vorhersagbar ist. 60
Dazu noch einmal Messiah:
„Kausalität gibt es in voller Strenge nur bei isolierten Systemen. Der dynamische Zustand
eines solchen Systems wird zu einem bestimmten Zeitpunkt durch seine Wellenfunktion
zu diesem Zeitpunkt dargestellt. Es existiert ein kausaler Zusammenhang zwischen der
Wellenfunktion �(t0) zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt und der Wellenfunktion
�(t) zu jedem späteren Zeitpunkt. Dieser Zusammenhang wird durch die Schrödinger-
Gleichung ausgedrückt. Versucht man jedoch, am System eine Messung auszuführen, so
kann die Einwirkung des Messinstruments auf dieses System niemals vernachlässigt
werden. Überdies bleibt diese Einwirkung in einem gewissen Maße unvorhersehbar und
unkontrollierbar, denn es gibt keine klare Trennung zwischen dem beobachteten System
und dem Messinstrument.“ (loc. cit. S. 144)
Nichtsdestoweniger kann man aus den Bewegungsgleichungen und
Anfangsbedingungen �(t0) jederzeit statistische Vorhersagen über die
Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte von möglichen Messergebnissen zur
Zeit t ableiten, wie wir bereits mehrfach festgestellt haben. Auch hier besteht
allerdings ein wichtiger Unterschied zur klassischen statistischen Mechanik,
nämlich in dem Umstand, dass nicht-kommutierende Observablen (z.B. Orte und
Impulse) nicht gleichzeitig messbar sind. Dementsprechend existiert in der
Quantenphysik keine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für solche
Observablen. Wir wollen daher im nächsten Kapitel die statistischen Vorhersagen
der Quantentheorie genauer beleuchten.
60 Darin besteht ein wichtiger Unterschied zur Beschreibung von makroskopischen
Systemen in der klassischen Physik. Dort ist die Rückwirkung des Messvorgang auf das
physikalische System, an dem die Messung durchgeführt wird, in der Regel so gering,
dass sie für praktische Zwecke vernachlässigt werden kann.
111

13. Projektoren und Ereignisverbände
1) Unterräume: Sei H ein beliebiger Hilbert-Raum. Ein abgeschlossener
Unterraum E � H ist eine Menge von Vektoren, die abgeschlossen unter den
Vektorraum-Operationen ist, d.h: Wenn �1,...,�n Vektoren aus dem Unterraum
sind, dann ist auch jede Linearkombination c0 + c1�1 + ... + cn�n mit komplexen
Koeffizienten ci � C im Unterraum enthalten 61 . Zusätzlich wollen wir
voraussetzen, dass E auch topologisch abgeschlossen ist: Wenn eine Folge
�1,...,�n,... von Hilbert-Vektoren aus dem Unterraum E gegen einen Grenzwert �
konvergiert 62 , dann liegt auch der Vektor � in E. Wir schreiben wie üblich E � E´,
wenn der abgeschlossene Unterraum E als Teilmenge in einem anderen Unterraum
E´ enthalten ist. E wird in diesem Fall als Teilraum von E´ bezeichnet. Wichtig für
die weiteren Überlegungen ist der folgende
Satz: Die Gesamtheit C(H) aller abgeschlossenen Unterräume aus einem Hilbert-
Raum H bildet einen vollständigen orthomodularen Verband, der durch die
Inklusionsrelation � partiell geordnet wird.
Der Beweis ergibt sich aus der Feststellung, dass man zu jeder nicht-leeren
Familie U von abgeschlossenen Unterräumen jederzeit ein Infimum und ein
Supremum finden kann. Beim Infimum handelt es sich definitionsgemäß um die
größte untere Schranke, also um den größten abgeschlossenen Unterraum E, der in
allen Unterräumen aus U enthalten ist. Analog dazu ist das Supremum die kleinste
obere Schranke, also der kleinste abgeschlossene Unterraum, der alle Unterräume
aus U enthält. Man kann zeigen, dass inf(E1,E2) = E1 � E2 ist. Dagegen ist
sup(E1,E2) im Allgemeinen eine echte Obermenge von E1 � E2. Der Verband
enthält ein Null-Element 0 und ein Eins-Element 1, so dass 0 � E � 1 für alle
Unterräume E aus H erfüllt ist, nämlich den abgeschlossenen Unterraum, der nur
den Nullvektor als Element enthält und den vollständigen Hilbert-Raum 1 = H
selbst. Ferner gibt es zu jedem abgeschlossenen Unterraum E ein
Orthokomplement E � . Damit bezeichnen wir die Gesamtheit aller Vektoren
�´ � H, die auf allen Vektoren aus dem Unterraum E senkrecht stehen, d.h. E � =
� �´� H / < �´� � > = 0 für � � � E � 63 .
61 Insbesondere ist also der Nullvektor im jedem Unterraum enthalten. Das entspricht
einer Linearkombination, bei der alle Koeffizienten ci = 0 sind.
62 Damit ist gemeint, dass limn�����n � ��� = 0 ist.
63 Ein Orthokomplement ist eine einstellige Operation � mit folgenden Eigenschaften:
(1) inf(E,E � ) = 0, (2) sup(E,E � ) = 1, (3) E = E �� , (4) E1 � E2 � E2 � � E1 � .
112

C(H) unterscheidet sich von einen gewöhnlichen (Booleschen) Mengenverband,
weil das Distributivgesetz in C(H) nicht allgemein gültig ist. Sattdessen erfüllt
C(H) die schwächere Bedingung der Orthomodularität: Das bedeutet, dass für
beliebige Unterräume die Beziehung
E1 � E2 � E1 � (E1 � E2) � = 0
erfüllt ist. Zum Vergleich: In Booleschen Verbänden gilt E1 � E2 genau dann,
wenn E1 � E2 � = 0 ist 64 . Jeder Boolesche Verband ist also orthomodular, aber nicht
jeder orthomodulare Verband ist ein Boolescher Verband, wie man an einfachen
Gegenbeispielen erkennen kann.
2) Projektoren: Jedem abgeschlossenen Unterraum E entspricht umkehrbar
eindeutig ein sogenannter Projektionsoperator PE: H � H. Um die Wirkungsweise
des Operators zu verstehen, muss man beachten, dass sich jeder Hilbert-Vektor �
eindeutig in eine Summe � = �E + �E � zerlegen lässt, wobei �E � U und �E � � E �
ist. Der Operator PE ordnet jedem Hilbert-Vektor � die zugehörige E-Komponente
zu, d.h. PE(�) = �E. Wegen der umkehrbar eindeutigen Korrespondenz mit den
Unterräumen von H bilden auch die Projektionsoperatoren einen vollständigen
orthomodularen Verband, wenn man eine partielle Ordnung auf den Projektoren
durch die Bedingung
PE � PE´ � E � E´
definiert. Dieser Verband wird im folgenden mit P(H) bezeichnet. Jeder
Projektionsoperator ist selbstadjungiert, d.h. es gilt < �1� PE�2 > = < PE�1� �2 >
für alle Vektoren �1, �2 aus dem Hilbert-Raum. Dabei ist PE 2 = PE, d.h. die
Anwendung eines Projektionsoperators auf einen Vektor, der bereits im
Unterraum E liegt, lässt diesen Vektor unverändert. Umgekehrt kann man zeigen,
dass jeder selbstadjungierte Operator P mit P 2 = P ein Projektionsoperator ist.
3) Observablen: Die physikalische Bedeutung des Unterraum-Verbands ergibt
sich aus der folgenden Feststellung: Zu jeder physikalisch messbaren Größe X und
zu jeder Borelmenge B � B(R) von möglichen Messergebnissen existiert ein
eindeutig bestimmter Unterraum EX,B und ein entsprechender Projektionsoperator,
den wir mit PX,B bezeichnen, so dass gilt: Die Größe
X
p� B ( ) = < �� PX,B� >
64 In einem Booleschen Verband ist natürlich das Null-Element 0 = � identisch mit der
leeren Menge.
113

entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung von X zu einem Wert x � B
führt, wenn sich das System im Zustand � befindet. Wenn B ein halboffenes
Intervall der Form B = (��, �� ist, dann schreiben wir auch PX,� anstelle von PX,B.
In diesem Fall ist < �� PX,B� > die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung von X
zu einem Wert x � � führt. Wegen der eindeutigen Korrespondenz von
abgeschlossenen Unterräumen mit möglichen Messergebnissen können wir jeden
abgeschlossenen Unterraum EX,B als ein mögliches Ereignis betrachten, das wir
formal mit EX,B = �X � B� bezeichnen wollen.
Ein wichtiges Grundprinzip der Quantentheorie besagt, dass jeder messbaren
Größe (jeder Observablen) X nacheindeutig ein linearer Operator 65 A: DA � H im
Hilbert-Raum entspricht, so dass A = �R � dPX,� gilt. Diese etwas obskure
Schreibweise dient als Abkürzung für die Feststellung, dass für alle Hilbert-
Vektoren � aus dem Definitionsbereich von A die Beziehung
< � � A� > = �R � dp X � � ( )
erfüllt ist. Dabei ist p X � das eindeutig bestimmte Maß, das jeder Borelmenge B =
X
(��, �� den Wert p� B ( ) = < � � PX,� � > zuordnet. Somit entspricht
� = < � � A� >
dem Erwartungswert von X im Zustand �, d.h. wir haben E�(X) = < � � A� >,
wenn X eine messbare Größe und A der zugehörige Operator im Hilbert-Raum ist.
Für die Varianz von X folgt daraus Var�(X) = E�(X 2 ) � (E�(X)) 2 = � � � 2 .
Die positive Quadratwurzel ��(X) aus der Varianz wird wie üblich als
Standardabweichung bezeichnet. Sie ist ein Maß für die zu erwartende Streuung
der Messwerte, wenn der Messvorgang unter gleichbleibenden
Versuchsbedingungen � sehr oft (n � � ) durchgeführt wird. Der Fall ��(X) = 0
tritt genau dann ein, wenn es eine reelle Zahl � gibt, so dass A� = ��� gilt. � wird
dann als Eigenwert von A bezeichnet und � als ein zugehöriger Eigenvektor. Das
bedeutet, dass die Observable X mit Sicherheit (= mit Wahrscheinlichkeit 1) den
Wert � annimmt, wenn sich das System in einem Eigenzustand � befindet.
Zwei Operatoren A und B, die den Observablen X und Y entsprechen heißen
vertauschbar, wenn die zugehörigen Projektoren kommutieren, d.h. wenn für alle
Borelmengen B, B´ � B(R) und alle � � H die Beziehung
65 Dabei ist der Definitionsbereich DA � H immer ein (nicht unbedingt abgeschlossener)
Unterraum, der dicht in H liegt.
114

PX,B PY,B´� � PY,B´ PX,B � = 0
gilt. Für beschränkte Operatoren, die im ganzen Hilbert-Raum definiert sind, ist
diese Bedingung äquivalent mit der Forderung, dass für alle Hilbert-Vektoren die
Beziehung AB(�) = BA(�) gilt. Der Operator �A,B� = AB � BA wird als
Kommutator bezeichnet. Für vertauschbare Operatoren ist definitionsgemäß �A,B�
= 0. Man kann zeigen, dass für Orts- und Impulsmessungen, die zur selben
Ortskoordinate gehören die zugehörigen Operatoren nicht kommutieren, sondern
die Beziehung �A,B�� = i�� für alle � � D�A,B� erfüllen. Dies ist ein anderer
Ausdruck für die Heisenbergsche Unschärfe-Relation, denn aus der angegebenen
Vertauschungsrelation folgt durch einfache Rechnung, dass für das Produkt der
Standardabweichungen die früher angegebene Beziehung
�qi��pi � �/2
gelten muss. Allgemein gilt folgende wichtige Feststellung: Wenn zwei
Operatoren A und B nicht kommutieren, dann handelt es sich bei den zugehörigen
Observablen X und Y um Größen, die in der Quantenphysik nicht gleichzeitig
messbar sind. Eine Messung von X und eine anschließende Messung von Y führt
daher im Allgemeinen zu anderen Ergebnissen als eine Messung von Y mit einer
anschließenden Messung von X.
Zusammenfassung: Jeder physikalisch messbaren Größen und jeder Gesamtheit
von möglichen Messergebnissen entspricht nacheindeutig ein abgeschlossener
Unterraum von H. Sei dazu
� X: eine messbare Größe und
� B � B(R): eine Menge von möglichen Messergebnissen. Dann ist
� EX,B : der zugehörige Unterraum und
� PX,B: H � EX,B der entsprechende Projektionsoperator. Es gilt:
� p B
X
� ( ) = < �� PX,B� > = die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert x � B
besitzt, wenn sich das System im Zustand � befindet.
Die Gesamtheit der abgeschlossenen Unterräume bildet einen orthomodularen
Verband. Er kann als ein Verband von möglichen Ereignissen (Messergebnissen)
gedeutet werden.
115

14. Quantenlogik und Quantenwahrscheinlichkeit
Wir haben gesehen, dass aus dem Formalismus der Quantentheorie nur statistische
Vorhersagen über die Ergebnisse von physikalischen Beobachtungen und
Messungen ableitbar sind. Damit stellt sich die Frage, ob es – wenigstens im
Prinzip – möglich ist, die Quantentheorie zu einer deterministischen Theorie im
klassischen Sinn zu erweitern, die eindeutige Vorhersagen über alle möglichen
Messergebnisse gestattet. 66 In diesem Fall wäre die Wellenfunktion nur eine
unvollständige Beschreibung der physikalischen Zustände eines Quantensystems
und der statistische Charakter der Quantenphysik ein Ausdruck für die
Unvollständigkeit unseres physikalischen Wissens.
John von Neumann (1932) hat in seinen „Mathematischen Grundlagen der
Quantenmechanik“ versucht zu beweisen, dass es aus mathematischen Gründen
prinzipiell nicht möglich ist, eine vollständige Beschreibung der möglichen
Quantenzustände zu formulieren, in der alle Messergebnisse „streuungsfrei“, also
mit 100 %iger Sicherheit vorhersagbar sind. Von Neumanns Beweis ist aber von
verschiedenen Autoren kritisiert worden 67 , weil er von fragwürdigen
Voraussetzungen Gebrauch macht. Dennoch ist von Neumanns Beweis zum
Ausgangspunkt für eine Reihe von Theoremen geworden, die eine ähnliche
Aussage zum Inhalt haben. Solche Theoreme werden daher häufig als
„Unmöglichkeitstheoreme“ oder auch als „No-go-Theoreme“ bezeichnet.
Das wichtigste Beispiel ist ein Theorem von Kochen und Specker (1967). Dabei
geht es um die Frage, ob es grundsätzlich möglich ist, allen Observablen eines
Quantensystems gleichzeitig scharf definierte Werte zuzuordnen. In der
Quantentheorie entspricht bekanntlich jeder Observablen ein selbstadjungierter
Operator. Zur Vereinfachung der Überlegungen betrachten wir uns im folgenden
nur beschränkte Operatoren, die überall im Hilbertraum definiert sind. 68 Die
Gesamtheit dieser Operatoren sei B(H). Unter einer Kochen-Specker-Funktion
(kurz: KS-Funktion) verstehen wir im folgenden eine Abbildung v: B(H) � R,
die jeder Observablen einen numerischen Wert zuordnet. Wenn die numerischen
Werte v(X) als Aussagen über mögliche Messergebnisse gedeutet werden sollen,
66 Solche Theorien werden gelegentlich auch als VP-Theorien bezeichnet. Die
Abkürzung VP steht für „verborgene Parameter“. Dahinter steht die Vorstellung, dass die
Wellenfunktion der Quantenphysik eine unvollständige Zustandsbeschreibung darstellt,
die durch die Hinzufügung von geeigneten „Parametern“ ergänzt werden kann.
67 insbesondere von J. S. Bell (1966). Im Mittelpunkt der Kritik steht die Annahme, dass
das Linearitätsprinzip auch für die Erwartungswerte von nicht-kommutierenden
Observablen gelten soll, die bekanntlich nicht gleichzeitig (also im Rahmen ein- und
desselben Zufallsexperiments) messbar sind.
68 Dazu gehören insbesondere alle Projektionsoperatoren
116

muss die Zuordnungsvorschrift gewisse Konsistenzbedingungen erfüllen.
Genauer: Für jede Borel-messbare Funktion f : R n � R und jedes n-tupel von
simultan messbaren Observablen X1,..., Xn muss die sogenannte
Funktionsbedingung erfüllt sein, d.h:
v(f(X1,..., Xn)) = f(v(X1),…, v(Xn))
Diese Einschränkung ist sinnvoll, weil im Falle einer simultanen Messung von
X1,..., Xn mit den Ergebnissen v(X1),…, v(Xn) nur f(v(X1),…, v(Xn)) als Messwert
für die Observable Y = f(X1,…, Xn) in Frage kommt. Das bedeutet unter anderem,
dass für kommutierende Observablen X, Y die Summenregel v(X + Y) = v(X) +
v(Y) und die Produktregel v( X �Y) � v( X) � v( Y)
erfüllt sein müssen. Eine KS-
Funktion v : B(H) � R heißt nicht-trivial, wenn v(1) = 1 ist. 69 Der Satz von
Kochen und Specker besagt nun, dass es keine nicht-triviale Zuordnungsvorschrift
v : B(H) � R gibt, die die genannten Bedingungen erfüllt:
Satz von Kochen und Specker: Sei S ein physikalisches System mit einem
mindestens dreidimensionalen Hilbertraum H. Dann gibt es keine nicht-triviale
Abbildung v : B(H) � R, die die Funktionsbedingung erfüllt.
Beweis: Wir beschränken uns auf den Beweis der Aussage in 4 Dimensionen, weil
hier der Beweis besonders einfach geführt werden kann 70 . Dazu sei �1, �2, �3, �4
ein vollständiges Orthonormalsystem in H. Die zugehörigen Projektionsoperatoren
P1, P2, P3, P4 sind durch die Gleichung
Pi (�) = < �i � � > �i (für i = 1,...,4 und alle � � H)
definiert. Da jeder Vektor in der angegebenen Basis dargestellt werden kann gilt
P1 + P2 + P3 + P4 = 1. Sei nun v die gesuchte KS-Funktion. Wegen der
Idempotenzregel Pi Pi = Pi und der Produktregel gilt dann v(Pi) = v(Pi) 2 für i =
1,...4. Daher kann v(Pi) nur gleich 0 oder 1 sein. Wegen der Summenregel muss
4
�
i �1
andererseits v( Pi ) = v(P1 + P2 + P3 + P4) = v(1) = 1 sein. Mithin muss in einer
Hilbertbasis genau ein Basisvektor den KS-Wert 1 erhalten, alle anderen den Wert
0. Betrachten wir nun die folgende Tabelle:
69 Dabei ist 1 = PH der Projektor, der jeden Hilbertvektor auf sich selbst projiziert.
70 vgl. Peres (1995)
117

1000 1000 1000 1000 -1111 -1111 1-111 11-11 01-10 001-1 1010
0100 0100 0010 0001 1-111 11-11 11-11 111-1 100-1 1-100 0101
0010 0011 0101 0110 11-11 1010 0110 0011 1111 1111 11-1-1
0001 001-1 010-1 01-10 111-1 010-1 100-1 1-100 1-1-11 11-1-1 1-1-11
Die 44 Einträge der Tabelle geben die Komponenten von 4-dimensionalen
Vektoren an, die aus einem Satz von insgesamt 20 Vektoren stammen. Jede Spalte
enthält vier paarweise orthogonale Vektoren, wie man leicht nachrechnen kann.
Auf die Normierung wurde dabei bequemlichkeitshalber verzichtet.
Jedem Vektor entspricht nacheindeutig ein zugehöriger Projektionsoperator. In
jeder Spalte muss nun genau ein Vektor markiert werden (zum Beispiel durch eine
Farbe), um die Bewertung des zugehörigen Projektors mit 1 anzudeuten. Die nicht
markierten Vektoren werden mit 0 bewertet. Da 11 Spalten vorhanden sind,
müssen genau 11 Felder markiert werden – eine ungerade Anzahl. Andererseits
kann man leicht nachprüfen, dass jeder der 20 Vektoren entweder zweimal oder
viermal in der Tabelle auftritt. Jedesmal, wenn wir einen Vektor in einer Spalte
markieren, müssen wir denselben Vektor in jeder anderen Spalte markieren, in der
auftritt. Daraus folgt aber, dass die Gesamtzahl der Markierungen eine gerade Zahl
ergeben muss – ein Widerspruch. Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht
möglich ist, eine konsistente KS-Bewertung für alle Operatoren (Projektoren) zu
definieren. �
Das Kochen-Specker-Theorem ist von grundlegender Bedeutung für die sog.
Quantenlogik. Wir haben oben gesehen, dass jedem abgeschlossenen Unterraum
A des Hilbertraums umkehrbar eindeutig eine Aussage über mögliche
Messergebnisse an dem zugrunde liegenden Quantensystem entspricht. Wir
können dabei die Eigenwerte (1 oder 0) des zugehörigen Projektors PA als
Wahrheitswerte (1 = wahr und 0 = falsch) interpretieren, d. h. eine Aussage A ist
wahr in einem Zustand �, wenn � ein Eigenzustand des Projektors PA zum
Eigenwert 1 ist, d.h. wenn � � A ist. Umgekehrt ist A falsch im Zustand �, wenn
� Eigenzustand des Projektors mit dem Eigenwert 0 ist, d.h. wenn � � A � ist. Das
Kochen-Specker-Theorem zeigt nun, dass es prinzipiell nicht möglich ist, allen
Aussagen über ein Quantensystem Wahrheitswerte (1 = wahr und 0 = falsch) im
Einklang mit den Regeln der klassischen, zweiwertigen Logik zuzuordnen:
Satz: Sei S ein Quantensystem mit einem mindestens dreidimensionalen
Hilbertraum H. Dann gibt es keinen Homomorphismus vom Projektorverband
P(H) des Systems in den Booleschen Verband B2 = �0,1�der klassischen
Wahrheitswerte.
118

Beweis: Ein solcher Homomorphismus wäre eine Abbildung v : P(H) � �0,1�mit
folgenden Eigenschaften:
(1) v(PH) = 1
(2) Wenn A � B ist, dann ist v(PA) � v(PB)
(3) v( P �
A ) = 1 gdw v(PA) = 0
Sei nun P1,…,Pn ein n-tupel von paarweise orthogonalen Projektoren. Dann muss
genau einer der Projektoren den Wahrheitswert v(Pi) = 1 erhalten, während v(Pk) =
0 für alle k � i gilt. Wir haben aber beim Beweis des KS-Theorems gesehen, dass
eine solche Zuordnung von Wahrheitswerten zu Projektoren nicht möglich ist. �
Tatsächlich ist das Kochen-Specker-Theorem eine unmittelbare Folgerung aus
einem allgemeineren Prinzip, nämlich aus dem Satz von Gleason. Dieser Satz ist
grundlegend für den Wahrscheinlichkeitsbegriff der Quantentheorie.
Die Überlegungen im vorhergehenden Kapitel zeigen, dass man innerhalb der
Quantenphysik einen verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitsbegriff definieren
kann, den wir im folgenden kurz als „Quantenwahrscheinlichkeit“ bezeichnen
wollen:
Definition: Sei S ein Quantensystem und H der Hilbertraum des Systems. Eine
Abbildung p: C(H) � �0,1� ist ein (Quanten-) Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem
Ereignisverband des Systems, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
W1 0 � p(E) � 1 für alle E � C(H)
W2 p(H) = 1
W3 Für jede Folge (Ei)i�� von möglichen Ereignissen aus C(H) mit Ei � Ej für
� �N
i
alle i � j gilt: p(sup i�N Ei) = p ( E ) .
i
Die Bedingungen W1 bis W3 entsprechen natürlich den Kolmogoroff-Axiomen für
gewöhnliche Wahrscheinlichkeitsmaße. 71 Die dritte Bedingung tritt an die Stelle
der �-Additivität. Anstelle von paarweise disjunkten Ereignissen betrachten wir
hier paarweise orthogonale Unterräume; sie repräsentieren komplementäre
Ereignisse innerhalb der Quantenphysik.
Man kann leicht zeigen, dass jedem möglichen Quantenzustand � � H ein
Quanten-W-Maß entspricht. Dazu definieren wir p� : C(H) � �0,1� durch die
Vorschrift
71 vgl. oben, Abschnitt 5
p�(E) = < � � PE� >
119

Offenbar gilt dann (W1) p�(E) = < � � PE� > � 1 für alle Unterräume E und (W2)
p�(H) = < � � PH� > = 1. Zum Nachweis von (W3) sei Ei, i = 1, 2, 3, ... eine Folge
von paarweise orthogonalen Ereignissen mit den zugehörigen Projektoren Pi.
n
�
i �1
Dann ist Sn= P i
eine monoton nicht-fallende Folge von Projektoren mit den
Unterräumen sup(E1,...,En). Nach einem Theorem der Funktionalanalysis
konvergieren die Projektoren stark gegen einen Projektor P, so dass
lim n�� ( Sn � P)(
�) � 0für alle Hilbertvektoren � gilt. Der zugehörige
Unterraum ist E = sup( Ei / i � 1 ) . Somit gilt für die zugehörigen
Wahrscheinlichkeitsmaße die Gleichung
n
� � �
p ( E) �� � � P� ��� � � lim P � �� lim � � � P � � � p ( E )
� n�� n n�� n
�
i �1
i �1 i �1
wie zu beweisen war. �
Sei nun �1,..., �n,.... eine abzählbare Folge von normierten Hilbertvektoren. Man
kann leicht zeigen, dass mit p� ,..., p
1 � ,...auch jede Linearkombination p =
n
�
i � p
�
�
i �1
i
ein Quanten-Wahrscheinlichkeitsmaß bildet, wenn die Koeffizienten �i
nicht-negative reelle Zahlen sind, so dass �� i � 1 gilt. Die Zahlen �i kann man
i �1
als statistische Gewichte für die Zustände �i deuten, also als die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Ensemble gleichartiger Teilchen der
Zustand �i vorliegt. 72 Man spricht daher auch von einer „konvexen Mischung“ der
entsprechenden Zustände.
Ein bekanntes Theorem von Gleason (1957) zeigt, dass alle Quanten-
Wahrscheinlichkeitsmaße als konvexe Mischungen von reinen Zuständen
darstellbar sind. Sei dazu A ein beschränkter, selbstadjungierter Operator, so dass
< A � � � > � 0 für alle Hilbertvektoren � � H gilt. Ferner sei ��i� i�N eine
�
� A i
i �1
Hilbert-Basis. Wenn � � � � � einen Wert < � besitzt, dann ist Sp(A) =
�
� A i
i �1
i
� � � � � die Spur von A, wobei der numerische Wert unabhängig von der
i
Wahl der Basisvektoren ist. Insbesondere gilt für Projektoren P� auf den
72 Diese Interpretation geht auf John v. Neumann (1932) zurück; vgl. Kap. 4 § 1.
�
n
�
120
i

eindimensionalen Unterraum ��� = � �� � � � C � die Gleichung Sp(P�) = 1.
Ganz allgemein wird ein beschränkter, selbstadjungierter Operator U mit 0 � U als
statistischer Operator bezeichnet, wenn Sp(U) = 1 ist. Wenn beispielsweise U =
�
i � P
�
�
i �1
i
eine Linearkombination von Projektoren mit nicht-negativen
�
Koeffizienten ist, so dass �� i � 1gilt, dann ist Sp(U) = �
i
Sp( P�
) = �
i i =
i �1
1, d.h. U ist ein statistischer Operator.
Satz von Gleason: Sei S ein Quantensystem mit einem mindestens
dreidimensionalen Zustandsraum H. Eine Abbildung p: C(H) � �0,1� ist genau
dann ein Quanten-Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn es einen statistischen Operator
U gibt, so dass für jedes Ereignis E � C(H) gilt:
p(E) = Sp(UPE)
Beweisidee: Der Beweis ist relativ langwierig, daher beschränken wir uns auf eine
kurze Skizze der wichtigsten Beweisschritte: (1) Sei Hn die Gesamtheit aller
Einheitsvektoren im Hilbertraum. Zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß p auf dem
Verband der abgeschlossenen Unterräume gehört eindeutig eine Funktion fp : Hn
� R, die jedem Einheitsvektor eine reelle Zahl zuordnet, so dass fp(�) = p(���)
� i
für alle Vektoren � � Hn und ( ) �1
p
i
�
�
i �1
�
�
i �1
f � für jede Orthonormalbasis � � �
i i�1
121
� gilt.
Dabei ist ��� der vom Einheitsvektor � aufgespannte eindimensionale Unterraum
von H. (2) Man kann zeigen 73 , dass zu jeder Funktion fp ein beschränkter selbstadjungierter
Operator U mit fp(�) = < U� � � > für alle � � Hn existiert. (3) Für
jedes Ereignis E � C(H) gilt dann p(E) = Sp(UPE): Denn sei ��i� eine
Orthonormalbasis, so dass für alle i entweder �i � E oder �i � E gilt. Dann ist
p(E) = � p(
�� i � ) � ��
U�i
�i
�� ��
UPE�
i �i
�� Sp(
UPE
)
� �E
i
� �E
i
Dabei haben wir im vorletzten Schritt den Umstand benutzt, dass PE� i � �i
ist,
falls �i � E ist und P � � 0 , wenn �i � E gilt. �
E
i
Gleasons Theorem besagt, dass jede Quantenwahrscheinlichkeit als konvexe
Mischung aus reinen Hilbertzuständen erzeugt werden kann. Das bedeutet unter
73 Dieser Nachweis ist der anspruchsvolle Teil des Beweises, den wir hier übergehen.
i

anderem, dass es keine „überreinen“ oder „streuungsfreien“ Zustände gibt, die
eine eindeutige Vorhersage über die Werte aller Observablen ermöglichen würden.
Man kann nun leicht erkennen, dass das Kochen-Specker-Theorem eine
unmittelbare Folgerung aus dem Satz von Gleason ist, weil jede nicht-triviale KS-
Funktion ein Quanten-W-Maß erzeugen würde, das nicht als konvexe Mischung
aus reinen Zuständen definiert werden könnte. Denn angenommen, v wäre eine
nicht-triviale KS-Funktion, die die Summen- und Produktregel erfüllt. Wir
definieren ein zugehöriges W-Maß pv: C(H) � �0,1� durch die Vorschrift
pv(E) = v(PE) für alle Ereignisse E � C(H)
Man kann leicht zeigen, dass pv tatsächlich ein Quanten-W-Maß ist, also die
Axiome W1 bis W3 erfüllt. 74 Wir erhalten auf diese Weise ein Quanten-W-Maß,
das nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann – im Widerspruch zu Gleasons
Theorem, wonach jedes Q-Maß eine konvexe Mischung von reinen Zuständen
darstellt, die bekanntlich niemals streuungsfrei sind.
74 Wegen der Idempotenz PEPE = PE und der Produktregel ist nämlich v(PE) = v(PE) 2 ,
d.h. v(PE) muss gleich 0 oder gleich 1 sein. Somit gilt trivialerweise 0 � pv(E) � 1, also
W1. Ferner ist pv(H) = v(1) = 1, wenn v eine nicht-triviale KS-Funktion ist, also gilt auch
W2. Zum Nachweis der �-Additivität sei (Ei)i�N eine abzählbare Folge von möglichen
Ereignissen mit Ei � Ej für alle i � j . Dann gilt wegen der Summenregel
pv(sup i�N Ei) = v(� P E ) =
i �v ( PE
) = p
i v ( Ei
) , also W3.
i
i
� �N
i
122

15. Kausalität und Lokalität: Die Bellsche Ungleichung
In Bearbeitung …
123

Anhang: Einige mathematische Grundlagen
1. Ereignisalgebra
Definition: Sei � eine nicht-leere Menge und A � Pot(�) eine Familie von
Teilmengen aus �. A ist eine �-Algebra auf � genau dann, wenn folgende drei
Bedingungen erfüllt sind:
(1) � � A
(2) Wenn A � A ist, dann ist auch das Komplement A c � A. 75
(3) Wenn (An)n�� eine abzählbare Folge von Teilmengen An � A ist, dann ist auch
die Vereinigung
�
U An n�0
�A
Mit anderen Worten: Eine �-Algebra ist abgeschlossen unter
Komplementbildungen und abzählbaren Vereinigungen.
Beispiel 1: Sei A* = Pot(�) die Familie aller Teilmengen von �. Dann ist A* eine
�-Algebra auf �. Denn (1) ist � � �. (2) Mit jeder Teilmenge A � � ist natürlich
auch A c � �. (3) Wenn (An)n�� eine Folge von Teilmengen mit An � �, für alle n �
0 ist, dann ist auch die Vereinigung der An eine Teilmenge von �.
Beispiel 2: Sei A0 = ��, ��. Dann ist A0 eine �-Algebra auf �, denn (1) ist
definitionsgemäß � � A0. (2) A0 ist abgeschlossen unter Komplementbildung,
denn � c = � und � c = �. (3) A0 ist abgeschlossen unter abzählbaren
Vereinigungen. Denn wenn (An)n�� eine Folge von Teilmengen aus ist, dann gilt
für alle n � 0 entweder An = � oder An = �. Somit gilt auch für die Vereinigung A
= � An entweder A = �, oder A = �. Der erste Fall tritt ein, wenn alle An = �
sind. Der zweite Fall tritt ein, wenn mindestens ein An = � ist.
Beispiel 3: Sei A eine beliebige Teilmenge von �. Dann ist A = � �, A, A c , � �
eine �-Algebra auf �. Der Beweis ist einfach zu überführen und bleibt dem Leser
als Übungsaufgabe überlassen.
75 Das Komplement von A bzgl. � ist definiert als A c = � � � � / � � A �.
124

Die vorhergehenden Beispiele zeigen, dass man im Allgemeinen verschiedene �-
Algebren über ein- und derselben Trägermenge � konstruieren kann. In den
angeführten Beispielen gilt
A0 � A � A*.
Ganz allgemein wird eine Algebra A´ als Verfeinerung von A bezeichnet (und A
als Vergröberung von A´), wenn A � A´ gilt. In jedem Fall ist A* = Pot(�) die
feinste und A0 = ��, �� die gröbste �-Algebra auf �.
Eine �-Algebra ist definitionsgemäß abgeschlossen unter Komplementbildungen
und abzählbaren Vereinigungen. Man kann leicht zeigen, dass die Algebra dann
auch abgeschlossen unter abzählbaren Durchschnitten sein muss:
Satz 1: Sei A � Pot(�) eine beliebige �-Algebra auf �. Dann gilt:
(1) � � A.
(2) Wenn (An)n�� eine abzählbare Folge von Teilmengen mit An � A, für alle n � 0
ist, dann ist auch die Schnittmenge �n�0 An � A.
Beweis: (1) Nach Voraussetzung gilt � � A. Da A abgeschlossen unter
Komplementbildungen ist, muss dann auch � c = � in A sein. (2) Nach den de
Morganschen Regeln in der Mengenlehre ist die Schnittmenge � An = �� (An) c � c . Da die
Algebra abgeschlossen unter Komplementbildungen und abzählbaren Vereinigungen ist,
muss daher auch � An � A sein.
Satz 2: Wenn (Ai)i�J eine Familie von �-Algebren auf � ist, dann ist auch die
Schnittmenge A = � i�J Ai eine �-Algebra auf �.
Beweis: Definitionsgemäß gilt A � A = � i�J Ai genau dann, wenn A � Ai für alle i � J
gilt. Nach Voraussetzung ist jedes Ai eine �-Algebra auf �. Somit gilt (1) � � Ai für alle
i � J. (2) Wenn wenn A � Ai für alle i � J gilt, dann gilt auch A c � Ai für alle i � J. (3)
Wenn An � Ai für alle n � 0 und alle i � J gilt, dann gilt auch A = � An � Ai für alle i �
J.
Definition: Sei E � Pot(�) eine beliebige Familie von Teilmengen aus �. (E
muss dabei keine �-Algebra sein!). Dann ist
A(E) = � � Ai / E � Ai �
125

wieder eine �-Algebra auf �. Sie wird als die von E erzeugte �-Algebra
bezeichnet. Die Menge E selbst wird als Erzeuger von A = A(E) bezeichnet. A(E)
ist die kleinste �-Algebra auf �, die alle Elemente von E enthält.
Borelmengen: Im folgenden sei � = R (R = die Menge der reellen Zahlen). Unter
einem offenen Intervall J = (a,b) mit a, b � R und a < b versteht man die Menge
aller reellen Zahlen zwischen a und b, wobei die „Eckpunkte“ a und b selbst
ausgeschlossen sind, d.h. (a,b) = � x � R / a < x < b �. Dagegen sind beim
abgeschlossenen Intervall �a,b� = � x � R / a � x � b � die Endpunkte mit
eingeschlossen. Entsprechend definiert man die halboffenen Intervalle
(a,b� = � x � R / a < x � b � und �a,b) = � x � R / a � x < b �, sowie die
uneigentlichen Intervalle (-�, b) = � x � R / x < b �, (-�, b� = � x � R / x � b �.
Sei nun B(R) = A(�(-�, b� / b � R �) die kleinste �-Algebra auf R, die alle
halboffenen Intervalle (-�, b� mit b � R enthält. B(R) wird auch als die Familie
aller Borelmengen in R bezeichnet. Man kann zeigen, dass alle offenen und
abgeschlossenen Intervalle (a,b) bzw. �a,b� in B(R) enthalten sind. Darüberhinaus
sind auch die halboffenen Intervalle �a,b) und (a,b�, sowie die uneigentlichen
Intervalle (-�, a), (- �, a�, �a, +�), (a, +�) sowie alle Einermengen � x � mit x �
R in B(R) enthalten.
Den Beweis dieser Behauptungen überlassen wir dem Leser als Übungaufgabe.
Auf analoge Weise kann man eine �-Algebra B(R n ) auf R n für alle n � 1
definieren, indem man als Ausgangspunkt die halboffenen „Intervalle“ der Form
(-�, b1� ��� (-�, bn� wählt. Die Elemente B � B(R n ) werden ebenfalls als
Borelmengen bezeichnet.
Definition: Unter einem (endlichen) Maß � auf einem Messraum (�, A) versteht
man eine Abbildung �: A � R mit folgenden Eigenschaften:
(1) �(�) = 0.
(2) �(A) � 0 für alle A � A.
(3) Wenn (An)n�� eine abzählbare Folge von paarweise disjunkten Teilmengen An
� A ist, dann ist
�
U
�( An ) � � �(
An
)
n�0
n�0
Die letzte Eigenschaft wird auch als �-Additivität bezeichnet. Ein geordnetes Paar
(�, A), das aus einer Trägermenge � und einer �-Algebra auf � besteht, wird als
Messraum bezeichnet. Ein geordnetes Tripel (�, A, �), das zusätzlich noch ein
�
126

Maß �: A � R enthält, wird als Maßraum bezeichnet. Wichtige Anwendungen
für den Maßbegriff sind
� Längenmaße,
� Flächenmaße und
� Volumenmaße in der Geometrie, sowie
� Wahrscheinlichkeitsmaße
Beispiel: Sei R wieder die Menge der reellen Zahlen und B(R) die Familie aller
Borelmengen auf R. Man kann zeigen, dass es genau ein Maß �: B(R) � R gibt,
das jedem offenen Intervall J = (a,b) die Länge �(J) = b – a zuordnet. � wird als
Lebesgue-Maß auf B(R) bezeichnet. Es kann anschaulich als Längenmaß
interpretiert werden, weil der Abstand b – a gerade der Länge des offenen
Intervalls (a,b) entspricht. Auf analoge Weise kann man Flächenmaße und
Volumenmaße � n : B(R n ) � R für n � 2 definieren, die ebenfalls als Lebesgue-
Maße bezeichnet werden.
2. Messbare Abbildungen
Definition: Im folgenden seien zwei Meßräume (�, A) und (�´, A´) gegeben.
Eine Abbildung X: � � �´ heißt A-A´-messbar genau dann, wenn das Urbild
X -1 (A´) = � � � � / X(�) � A´� einer messbaren Menge A´� A´ stets eine
messbare Menge in A ist, d.h. wenn für alle A´� A´ gilt: X -1 (A´) � A. Wir
verwenden gelegentlich auch die Schreibweise
X: (�, A) � (�´, A´),
um anzudeuten, dass X eine A-A´-messbare Abbildung von � in �´ ist.
Anmerkung 1: Im Kontext der Wahrscheinlichkeitstheorie interpretieren wir
inhaltlich � als die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
und A als Menge aller möglichen Ereignisse, die bei dem Experiment eintreten
können. Der Wertebereich �´ gibt dann die Menge aller möglichen Werte, die die
Variable X annehmen kann.
Anmerkung 2: Ein wichtiger Spezialfall sind reellwertige Variablen X: � � R.
Wenn �´ = R und A´ = B(R) ist, dann wird X auch kurz als A-messbare
Abbildung bezeichnet, sofern X -1 (A´) � A für alle Borelmengen A´� B(R) gilt.
Falls darüberhinaus auch � = R und A = B(R) ist, dann wird X als Borel-messbare
Funktion bezeichnet. Alle stetigen Funktionen f: R � R sind Borel-messbar.
127

Wir verwenden die Schreibweise � X < a � als Abkürzung für die Menge
� � � � / X (�) < a �. Auf analoge Weise definieren wir die Abkürzungen
� X � a �, � X > a �, � X � a �, � X = a �, usw. Man kann zeigen, dass eine
reellwertige Funktion X: � � R genau dann A-messbar ist, wenn die Bedingung
� X < a � � A für alle a � R erfüllt ist. Wenn X und Y messbare reellwertige
Funktionen sind, dann sind auch die Funktionen X + Y, X – Y, X�Y sowie aX Amessbare
Funktionen.
Indikatorvariablen: Sei (�, A) ein beliebiger Messraum. Für jede Teilmenge A �
A definieren wir eine Indikatorvariable 1A: � � R durch die Vorschrift
1A(�) = 1, falls � � A ist und 1A(�) = 0, sonst.
1A ist offensichtlich eine A-messbare Abbildung. Im Kontext der
Wahrscheinlichkeitstheorie deuten wir 1A als Zufallsvariable, die den Wert 1
genau dann annimmt, wenn das Ereignis A eintritt und sonst den Wert 0.
Verknüpfung von messbaren Funktionen: Wenn X eine A1-A2-messbare
Abbildung X: (�1, A1) � (�2, A2) und Y eine A2-A3-messbare Abbildung
Y: (�2, A2) � (�3, A3) ist, dann ist die Verknüpfung Z = Y o X eine A1-A3messbare
Abbildung Z: (�1, A1) � (�3, A3). (Warum?)
Bildmaße: Sei �: A � R ein Maß auf dem Messraum (�, A) und sei X: (�, A) �
(�´, A´) eine A-A´-messbare Abbildung von � in �´. Dann wird durch die
Abbildung X eindeutig ein Maß �X: A´ � R auf dem Messraum (�´, A´) induziert,
das definiert ist durch die Bedingung
�X(A´) = �(X -1 (A´)) = �� X � A´�
für alle A´ � A´. �X wird auch als das von � und X erzeugte Bildmaß auf (�´, A´)
bezeichnet. Man beachte, dass �X wohldefiniert ist, weil wegen der Messbarkeit
von X das Urbild X -1 (A´) für jede messbare Menge A´ � A´ selbst wieder eine
messbare Menge X -1 (A´) � A ist.
Seien X und Y beliebige Funktionen, die auf ganz � definiert sind und �: A � R
ein beliebiges Maß auf dem Messraum (�, A). Wir sagen, dass X und Y �-fast
überall identisch sind (X =�-f.ü. Y), wenn die Gleichung X(�) = Y(�) für alle � � �
bis auf eine Menge N � � vom Maß �(N) = 0 erfüllt ist. Allgemein sei � eine
beliebige Aussage, so dass für alle � � � definiert ist, ob � für � gültig ist oder
nicht. Wir sagen, dass � �-fast überall in � gültig ist, wenn die Aussage für alle �
� � bis auf eine Menge N vom Maß �(N) = 0 gültig ist. Beispielsweise ist eine
128

Funktion f: R � R �-fast überall stetig in � = R, wenn �: B(R) � R das
Lebesgue-Maß auf B(R) ist und wenn f nur endlich viele Unstetigkeitsstellen
besitzt.
3. Erwartungswerte und Lebesgue-Integrale
Aus der elementaren Analysis ist das Riemann-Integral für reellwertige
Funktionen f: R � R bekannt. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie benötigen wir
einen allgemeineren Integralbegriff, der auf beliebige messbare Funktionen X: �
� R anwendbar ist.
Im folgenden sei daher X: (�, A) � (R, B(R)) eine A-messbare reellwertige
Funktion und p: A � R ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Messraum (�, A).
Wir definieren im folgenden das Integral
Die Definition erfolgt in drei Schritten.
E(X) = � X dp
1. Schritt: Im ersten Schritt betrachten wir nur solche Funktionen X: � � R, die
nur endlich viele verschiedene Werte x1,...,xn mit xi � 0 annehmen können. Solche
Funktionen werden auch als Elementarfunktionen (oder: als Treppenfunktionen)
bezeichnet. Wir definieren dann den Erwartungswert E(X) durch die Bedingung
E( X ) = � X dp = xi � p( X� xi
)
Man erkennt unschwer, dass dies der üblichen Definition des Erwartungswerts für
diskrete Variablen entspricht, die nur endlich viele mögliche Werte annehmen
können.
2. Schritt: Sei nun (Xn)n�0 eine isotone Folge von Elementarfunktionen und sei X
= sup(Xn). Wir definieren nun den Erwartungswert von X durch die Bedingung
Dieser Ausdruck ist wohldefiniert, da das Supremum der Integrale unabhängig von
der Wahl der Funktionenfolge Xn ist. Man kann nämlich zeigen, dass für jede
isotone Folge (X´n)n�0 von Elementarfunktionen mit sup(X´n) = sup(Xn) = X gilt,
dass
n
�
i�1
� �
E( X ) = X dp = sup X dp
n
129

sup � Xn dp = sup � X´n dp
Darüberhinaus kann man zeigen, dass jede beliebige messbare, nicht-negative
Funktion X: � � R als Supremum einer isotonen Folge von Elementarfunktionen
dargestellt werden kann, d.h. für jede messbare, nicht-negative Abbildung X: � �
R gibt es eine isotone Folge (Xn)n�0 von Elementarfunktionen mit X = sup(Xn).
Somit können wir die oben angegebene Definition von E(X) auf beliebige
messbare Funktionen anwenden, solange X keine negativen Werte x < 0 annimmt.
3. Schritt: Im letzten Schritt wollen wir den Erwartungswert für beliebige
messbare Funktionen definieren. Sei dazu X eine beliebige messbare Abbildung X:
� � R. Wir zerlegen zunächst X gedanklich in einen Positivteil X + und in einen
Negativteil X � , die folgendermaßen definiert sind: Für alle � � � sei X + (�) =
X(�), falls X(�) � 0 ist, und X + (�) = 0, sonst. Ebenso definieren wir X � (�) =
� X(�), falls X(�) < 0, und X � (�) = 0, sonst. Offenbar gilt dann X + � 0 und X � � 0,
und X = X + � X � . Wir definieren nun den Erwartungswert
E(X) = � X dp = � X + dp � � X � dp
Somit ist nun das Integral für beliebige messbare Funktionen definiert.
Bei den bisherigen Definitionen haben wir immer über den ganzen
Möglichkeitsraum � integriert. Statt dessen können wir die Integration aber auch
nur über eine messbare Teilmenge A � � ausführen. Sei dazu
X: (�, A) � (R, B(R)) eine A-messbare reellwertige Funktion und und A � A.
Wir definieren das auf A beschränkte Integral durch die Vorschrift:
� X dp =
A
� X �1
A dp
Wenn insbesondere � = R, A = B(R) und A = (a,b) irgendein offenes Zahlenintervall mit
b
a, b �R und a < b ist, dann schreiben wir dafür auch X dp .
Lebesgue-Integral und Riemann-Integral: Lebesgue-Integrale können nicht nur
für Wahrscheinlichkeitsmaße definiert werden, sondern für beliebige Maße
�: A � R auf der zugrundeliegenden �-Algebra. Dazu müssen wir nur das
Symbol p in den vorhergehenden Definitionen und Gleichungen überall durch �
ersetzen. Wir schreiben dann beispielsweise � X d� anstelle von � X dp und können
ansonsten alle Aussagen unverändert übernehmen. Wir erhalten das gewöhnliche
�
a
130

Riemann-Integral als Spezialfall, wenn wir � = R, A = B(R) und � = � wählen (�
= das Lebesgue-Maß auf den Borelmengen). Sei nämlich f: R � R eine Borelmessbare
und Riemann-integrierbare Funktion. Dann gilt der Satz
Man sieht also, dass im Spezialfall � = � und � = R das Lebesgue-Integral mit
dem Riemann-Integral übereinstimmt.
Dichtefunktionen: Sei (�, A, �) ein Messraum und f: � � R eine A-messbare,
nicht-negative Funktion (f � 0). Wir definieren eine Abbildung �: A � R durch
die Festsetzung
�(A) = �A f d�
für alle A � A. Man kann leicht sehen, dass durch diese Abbildung wieder ein
Maß auf (�, A) definiert wird. Unter den angegebenen Voraussetzungen wird f als
Dichtefunktion für � bezüglich � bezeichnet. Die Dichtefunktion ist �-fast überall
eindeutig bestimmt, d.h. wenn f´: � � R eine A-messbare, nicht-negative
Funktion ist, die die Gleichung �(A) = �A f´ d� für alle für alle A � A erfüllt, dann
gilt f = f´ �-fast überall in �. Ein Maß � heißt �-stetig, wenn jede �-Nullmenge
auch eine �-Nullmenge ist, d.h. wenn �(A) = 0 � �(A) = 0 für alle A � A gilt.
Ohne Beweis führen wir den folgenden wichtigen Satz an:
Satz von Radon-Nikodym: Wenn � und � Maße auf (�, A) sind (wobei � �endlich
ist), dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) � besitzt eine Dichte bezüglich �.
(2) � ist �-stetig.
4. Bedingte Erwartungen
b
�
a
f ( x) dx = f d�
Satz 1: Sei Y: � � R eine reellwertige Zufallsvariable auf (�, A), die nichtnegativ
oder integrierbar ist. Dann gibt es zu jeder Unteralgebra A0 � A eine
nicht-negative bzw. integrierbare Zufallsvariable Y0: � � R, die A0–messbar ist
und folgende Bedingung erfüllt:
b
�
a
131

� �
Y dp =
Y dp
0
A A
für alle Ereignisse A � A0. Die Existenz der Variablen folgt aus dem Satz von
Radon und Nikodym. Y0 ist fast überall eindeutig bestimmt, d.h. jede Variable Y´0,
die die angegebene Gleichung für alle A � A0 erfüllt, ist p-fast überall identisch
mit Y0. Jede Variable Y0 mit den angegebenen Eigenschaften wird als bedingte
Erwartung von Y unter der Hypothese A0 bezeichnet. Wir schreiben dafür
E(Y/A0) = Y0
Die bedingte Erwartung ist somit nur p-fast sicher eindeutig bestimmt. Man
spricht daher von verschiedenen, aber fast überall identischen Versionen der
bedingten Erwartung.
Wenn insbesondere A0 = A(X1,...,Xn) die kleinste Algebra ist, in der die Variablen
X1,...,Xn messbar sind (Xi: � � �i), dann schreiben wir auch
E(Y/ X1,...,Xn) = E(Y/A0)
Die Variable E(Y/ X1,...,Xn) wird auch als Regression von Y auf X1,...,Xn
bezeichnet. Die Variablen X1,...,Xn werden als Regressoren, Y als Regressand
bezeichnet. Der folgende Satz hält einige wichtige Eigenschaften der bedingten
Erwartung fest:
Satz 2: Sei E(Y/A0) eine Version der bedingten Erwartung von Y in bezug auf A0.
Dann gilt:
(1) E(E(Y/A0)) = E(Y)
(2) Wenn Y A0–messbar ist, dann gilt p-fast überall E(Y/A0) = Y. 76
(3) Wenn X = Y p-fast überall gilt, dann ist auch E(X/A0) = E(Y/A0) p-fast überall.
(4) Linearität: E(aX + bY/ A0) = a E(X/A0) + b E(Y/A0) p-fast überall.
(5) Glättung: Wenn X und Y nicht-negative Zufallsvariablen und X A0–messbar
ist, dann gilt: E(X�Y/ A0) = X�E(Y/A0) p-fast überall.
In Analogie zur A0–bedingten Erwartung führen wir nun den Begiff der A0–
bedingten Wahrscheinlichkeit ein durch die Gleichung
p(A/ A0) = E(1A/A0) für alle A � A
76 Insbesondere gilt dann p-fast überall E(Y/X) = Y, falls Y messbar in X ist.
132

Definitionsgemäß ist p(A/ A0) eine Zufallsvariable (keine Zahl!). Die wichtigsten
Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit sind in dem folgenden Satz
zusammengefasst:
Satz 3: Sei A � A und p(A/ A0) die A0–bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter
der Hypothese A0. Dann gilt:
(1) 0 � p(A/ A0) � 1 p-fast überall.
(2) p(� / A0) = 0 und p(� / A0) = 1 p-fast überall.
(3) Für jede abzählbare Folge (An)n�0 von paarweise disjunkten Ereignissen An �
A gilt p-fast überall
p( An / A0 ) � � p( An
/ A0
)
n�0
Daraus folgt nicht, dass die Funktion A �� p(A/ A0)(�) fast überall ein
Wahrscheinlichkeitsmaß ist, da die angegebenen Eigenschaften (1)-(3) nicht
garantieren, dass es eine p-Nullmenge N � � gibt, so dass die Bedingungen (1)-
(3) für alle � � N simultan erfüllbar sind.
5. Faktorisierung der bedingten Erwartung
Das folgende Resultat wird in den nachfolgenden Überlegungen häufig verwendet.
n�0
Satz (Faktorisierungslemma): Sei Y: � � R eine reellwertige Zufallsvariable
auf (�, A), die nicht-negativ oder integrierbar ist, und sei X: (�, A) � (�´, A´)
eine A-A´-messbare Abbildung von � in �´. Dann existiert eine messbare
Funktion
f: �´ � R, so dass gilt
(*) E(Y/X) = f(X)
�
U
Dabei gilt : Jede Funktion f´: �´ � R, die die Bedingung (*) erfüllt, genügt der
Gleichheit
�
� �
f dpX �
Y dp
� �
A� X �A� 133

für alle A´ � A´. Somit ist f pX-fast überall eindeutig bestimmt. Sei nun x � �X ein
beliebiger Wert der Variablen X. Dann wird die Zahl
E(Y/X=x) = f(x)
als bedingter Erwartungswert von Y unter der Bedingung X=x bezeichnet. Ganz
analog definieren wir die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A/X=x) als den X=xbedingten
Erwartungswert der Indikatorvariablen 1A, d.h.
p(A/X=x) = E(1A /X=x)
Der springende Punkt bei dieser Konstruktion ist folgender: Wenn p(X=x) > 0 ist,
dann entspricht die bedingte Erwartung p(A/X=x) = E(1A /X=x) genau der
gewöhnlichen bedingten Wahrscheinlichkeit p(A/X=x) in der elementaren
Wahrscheinlichkeitstheorie. Daher verwenden wir dieselben Symbole für beide
Begriffe. Ebenso entspricht der Wert E(Y/X=x) dem bedingten Erwartungswert in
der elementaren Theorie. Im Unterschied zur elementaren Definition besitzt die
bedingte Erwartung E(Y/X=x) bzw. p(A/X=x) = E(1A /X=x) auch dann noch einen
wohldefinierten Wert E(Y/X=x) = f(x) bzw. p(A/X=x) = g(x), wenn p(X=x) = 0 ist.
Damit werden wir in die Lage versetzt, auch dann noch über bedingte
Wahrscheinlichkeiten und bedingte Erwartungswerte zu reden, wenn zum Beispiel
X eine (Lebesgue-) stetige Variable ist, so dass p(X=x) = 0 für alle möglichen
Werte x � �X gilt.
134

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