Musterlösung der Übungsklausur zur Spieltheorie-Vorlesung von A ...

Musterlösung der Übungsklausur zur Spieltheorie-Vorlesung von A. Diekmann,
FS 2011
1.
a)
Spieler 1
b) Eine Strategie des Spielers 2 besteht aus der Festlegung einer Antwort auf jeden möglichen
Spielzug des Spiels 1. Auf jeden möglichen Zug von Spieler 1 (a, b oder c) kann Spieler 2
seinerseits mit je drei möglichen Zügen antworten. Die Kombination dieser möglichen
Antworten ergibt 3 3 = 27 Strategien für Spieler 2
2. a) Es gibt drei Nash-Gleichgewichte für folgende Strategienprofile:
s*(1) = (a, cab)
s*(2) = (b, cab)
s*(3) = (c, cab)
b) Alle drei Nash-Gleichgewichte sind auch teilspielperfekt.
a
b
c
Spieler 2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
0,0
1, -1
-1, 1
-1, 1
0, 0
1, -1
1, -1
-1, 1
0,0

3. a) „B, C wählen“
4.
b) („A wählen“, „B, C wählen“) und („B, C wählen“, „A wählen“)
c) Indifferenzmethode: Spieler 2 wählt mit Wahrscheinlichkeit p die Strategie „B, C wählen“ und
mit Wahrscheinlichkeit 1 – p die Strategie „A wählen“. Ein Nash-Gleichgewicht besteht dann,
wenn p so gewählt ist, dass Spieler 1 bezüglich der Wahl seiner zwei möglichen Strategien
indifferent ist, also für Spieler 1 die Auszahlung für „B, C wählen“ gleich gross ist wie für „A
wählen“:
p∙3 + (1 – p)∙3 = p∙4 + (1 – p)∙2 → p* = ½
Das Spiel ist symmetrisch, darum ist die gemischte Gleichgewichtsstrategie für beide Spieler
s* = (½, ½), also je mit Wahrscheinlichkeit ½ „B, C wählen“ bzw. „A wählen“.
d) für beide Spieler ist der Erwartungswert:
E = ¼(3 + 3 + 4 + 2) = 3
Die Auszahlung ist nicht Pareto-optimal, denn im Gleichgewicht in reinen Strategien gewänne
ein Akteur, ohne dass der andere schlechter gestellt wird.
a) 80; Angebote ≥ 50
annehmen, sonst ablehnen
b) 80; Angebote ≥ 80
annehmen, sonst ablehnen
c) 10; Angebote ≥ 10
annehmen, sonst ablehnen
d) 50; Angebote ≥ 50
annehmen, sonst ablehnen
e) 1 Rappen; Angebote > 0
annehmen, sonst ablehnen
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
Nash-Gleichgewicht Pareto-optimal teilspielperfekt
�
X
X
�
X
�
X
�
X
�
X
�
X
�
X
�
X
�
X
�
�
X
�
X
�
X
�
X
X
�

5. a) Extensivform
10, 10
Treugeber
D
0, 40
b).Gesucht: Schwellenwert α*
α∙50 + (1 – α)∙0 = 10 → α* = 0,2
6. a) u(F, F) = R + wR + w 2 R + w 3 R + … (unendliche geometrische Reihe, 0 ≤ w < 1)
→ u(F, F) = R/(1 – w)
b) u(D, TFT) = T + wP + w 2 P + … = T + wP/(1 – w)
D
ehrlich unehrlich
C
Treuhänder
C
50, 50
Natur
(Nebenbemerkung: Aus u(F, F) ≥ u(D, TFT) erhält man den Schwellenwert für den
Diskontparameter w*. Notwendige Bedingung dafür, dass Kooperation im unendlich oft
wiederholten Spiel entstehen kann, ist w ≥ w*.)
7. a) Die Nash-Gleichgewichtsstrategie lautet: „Wähle Null“. (Wählen alle „Null“, ist 2/3 des
Mittelwerts Null und die Auszahlung = Preis/Anzahl Spieler. Kein Spieler hat einen Anreiz, seine
Strategie einseitig zu ändern. „Null“ ist die einzige Nash-Gleichgewichtsstrategie. Sie ist aber
keine dominierende Strategie. Wenn die anderen Spieler nicht die Gleichgewichtsstrategie
wählen, kann es vorteilhaft sein, ebenfalls von der Gleichgewichtsstrategie abzuweichen.)
c
D
10, 10
D
Treugeber
C
Treuhänder
C
0, 100 50, 50

) Für N = 2 ist „Null“ zwar ebenfalls die einzige Gleichgewichtsstrategie. Die strategische
Situation ist aber anders, denn jetzt ist die Gleichgewichtsstrategie dominierende Strategie. Egal
was der Mitspieler wählt, „Null“ wählen ist immer besser oder mindestens genau so gut wie
jede andere Alternative.
8. Die ESS-Bedingung lautet: (i) E(I, I) > E(J, I) oder (ii) E(I, I) = E(J, I) und E(I, J) > E(J, J). I = TFT ist die
einheimische Strategie, J = “Immer C” eine Mutante. Zu prüfen ist, ob „Immer C“ TFT
unterwandern kann:
Es gilt: E(TFT, TFT) = E(„Immer C“, TFT).
Es gilt aber nicht: E(TFT, „Immer C“) > E(„Immer C“, „Immer C“).
TFT ist demnach nicht evolutionär stabil.
9. a) Nein. Ein Spieler wird maximal 50 % abgeben; der genaue Wert hängt vom β-Parameter ab.
Gibt er mehr als 50 % ab, verringert er die materielle Auszahlung und vergrössert gleichzeitig die
Ungleichheit zu seinen Ungunsten (d.h. für xj > xi ist αi max(xj – xi, 0) > 0).
b) Ja. Es ist:
ui(T) = T – βi(T – S)
ui(R) = R
Falls ui(R) ≥ ui(T) besteht kein Anreiz zu Defektion und es entsteht Kooperation, d.h. falls
R ≥ T – βi(T – S)
Damit dies der Fall ist, muss βi ≥ (T – R)/(T – S) sein für beide Spieler i = 1, 2.
10. Es existieren zahlreiche Nash-Gleichgewichte (bei 90 % Verlustrisiko sind dies alle Strategien, bei
denen sich nach 10 Runden exakt 120 € im Topf befinden und jeder Spieler mindestens 4 € für
sich behält.)
Wir betrachten nur symmetrische Strategien, wobei jeder Spieler in jeder Runde gleich viel in
den Topf einzahlt.
a) Bei 90 % Risiko zahlt jeder Spieler in jeder Runde 2 € in den Topf. Die Auszahlung an jeden
Spieler beträgt 20 €.
b) Bei 50 % Risiko zahlt jeder Spieler in jeder Runde 2 € in den Topf. Die Auszahlung an jeden
Spieler beträgt 20 €. Ein Spieler, der nichts beiträgt, hat einen Erwartungswert von 20 €. (Bei
wechselseitiger Wahl der Strategie „in jeder Runde 2 € einzahlen“, hat kein Spieler einen Anreiz,
die Strategie zu ändern.)
c) Bei 10 % Verlustrisiko lautet die Nash-Gleichgewichtsstrategie: „Nichts in den Fonds
einzahlen“. Der Erwartungswert der Auszahlung an einen Spieler beträgt 36 €.