KAPITEL 5 Der Erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz - Fakultät für ...

KAPITEL 5 

Der Erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz 

Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit 

Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 5: Unvollständigkeit 1 / 128

Übersicht 

1 Der 1. Gödelsche Unvollständigkeitssatz: 

Informelle Formulierung und Beweisidee 

2 Formalisierung des Berechnungsbegriffs: 

Primitiv rekursive und partiell rekursive Funktionen 

3 Arithmetische Relationen und Repräsentierbarkeit rekursiver 

Relationen 

4 Gödelisierung und die formale Fassung des Unvollständigkeitssatzes 

5 Beweis des 1. Unvollständigkeitssatzes 

6 Der 2. Unvollständigkeitssatz und Unentscheidbarkeit in der 

Prädikatenlogik 


5.1 Überblick 

Der 1. Gödelsche Unvollständigkeitssatz: 

Informelle Formulierung und Beweisidee 


Vorläufige Formulierung des UVS 

Sei L = L(

Bemerkungen (1) 

Die Formulierungen von UVS und UVS’ sind vorläufig, da diese den 

intuitiven Begriff der Entscheidbarkeit enthalten. 

Um die Aussagen zu präzisieren, müssen wir daher diesen Begriff 

formalisieren (mathematisieren). Hierzu werden wir in Kapitel 5.2 den 

formalen Begriff der rekursiven Menge (natürlicher Zahlen) definieren, 

von dem man allgemein annimmt, dass er den Begriff der entscheidbaren 

Menge präzisiert (Church-Turing-These). 

Ordnet man dann jeder L-Formel σ effektiv eine Codenummer, die 

Gödelnummer σ von σ zu, so kann man argumentieren, dass eine Theorie 

T genau dann entscheidbar ist, wenn die Menge der Gödelnummern der 

Sätze in T rekursiv ist. 



Man kann die semantische Version UVS’ des Unvollständigkeitssatzes so 

interpretieren, dass es keinen Kalkül K (über der Sprache L) gibt, in dem 

genau die Sätze beweisbar sind, die in N gelten. 

Dies folgt aus der Adäquatheit des Shoenfield-Kalküls: 

Würde 

gelten, so auch 

⊢ K σ ⇔ N σ 

T ⊢ σ ⇔ N σ, 

wobei T die Menge ist, die die Axiome von K und die den Regeln von K 

entsprechenden Axiome enthält. Da die Menge der Axiome und Regeln eines 

Kalküls entscheidbar ist, wäre dann aber auch T entscheidbar (im Wdspr. zu 

UVS’). 



Wir werden hier aus Zeitgründen nur die semantische Version UVS’ des 

Unvollständigkeitssatzes beweisen. Der Beweis der allgemeineren 

syntaktischen Version ist jedoch ähnlich (s. Skript). 

In UVS’ kann man wegen der Adäquatheit des Shoenfieldkalküls (∗) durch 

ersetzen, da T σ ⇔ T ⊢ σ. 

(∗∗) T σ ⇔ N σ 

Den Unvollständigkeitssatz kann man auch rein berechenbarkeitstheoretisch 

formulieren (s. Kapitel 5.2). UVS’ ist äquivalent zu: 

Die Theorie Th(N ) ist unentscheidbar. D.h. es gibt keinen Algorithmus, der 

für beliebige L-Sätze σ feststellt, ob diese in N gelten. 


Beweisidee von UVS (und UVS’): Kern des Beweises (1) 

Wir skizzieren nun den Beweis von UVS’ und isolieren dabei die erforderlichen 

technischen Resultate und Begriffe, die dann in den folgenden Abschnitten 

nachgeliefert werden. 

Sei T eine entscheidbare Theorie mit T ⊆ Th(N ). Zu zeigen ist dann, dass 

Th(N ) ⊈ C ⊢ (T ) gilt, d.h. dass es einen Satz σ ∈ Th(N ) gibt mit T ⊬ σ. 

Gödel gibt hierzu einen (von T abhängenden) in N geltenden L-Satz σ an, der 

intuitiv und korrekterweise von sich behauptet 

“Ich bin nicht aus T beweisbar!” 

Der Satz σ gilt dann in N aber - wegen der Korrektheit von σ - ist σ nicht aus T 

beweisbar, d.h. σ ∈ Th(N ) \ C(T ). 

BEMERKUNG. Ein entsprechender Satz “Ich bin nicht wahr!” (vgl. Paradoxie des 

Lügners) ist dagegen paradox. 



ABER wie kann ein L-Satz σ von sich sagen “Ich bin nicht aus T 

beweisbar!” 

L-Sätze machen Aussagen über Zahlen und nicht über Theorien, Sätze, 

Beweisbarkeit etc.! 

LÖSUNG: Gödel kodiert ( “gödelisiert”) Formeln ϕ durch Zahlen, nämlich 

deren “Gödelnummern” ϕ, und endliche Zahlfolgen durch einzelne Zahlen. 

Der Satz σ besagt dann genauer “Es gibt keine Zahl x, die eine Folge 

x 1 , . . . , x m von Zahlen kodiert, sodass diese Gödelnummern von Formeln 

ϕ 1 , . . . , ϕ m sind, die einen T -Beweis der Formel mit Gödelnummer n bilden.” 

Durch ein Diagonalargument ist dabei die Zahl n so gewählt, dass diese 

Gödelnummer einer Formel τ ist, die T -beweisbar zu σ äquivalent ist (d.h. 

T ⊢ τ ↔ σ). 

Aus der T -Unbeweisbarkeit von τ folgt also die T -Unbeweisbarkeit von σ, 

weshalb der Satz σ gedeutet werden kann, dass er (implizit) sagt “Ich bin 

nicht aus T beweisbar!” 



Der aufwändigste Schritt im Beweis von UVS bzw. UVS’ ist zu zeigen, dass 

sich das (gödelisierte) Beweisprädikat durch eine Formel in der Sprache L 

der Arithmetik beschreiben lässt. 

Das gödelisierte Wahrheitsprädikat “n ist die Gödelnummer eines Satzes, der 

in N gilt” ist dagegen nicht durch einen L-Satz beschreibbar. Der Satz “Ich 

bin nicht wahr!” lässt sich also ebenfalls nicht durch einen L-Satz 

beschreiben. Hier können daher im Gegensatz zum Gödelsatz die 

Sprachebenen nicht “vermengt” werden: Der Satz “Ich bin nicht wahr!” 

lässt sich nicht via Gödelisierung durch einen Satz der Arithmetik 

umschreiben, ist also in seiner Vermischung der Sprachebenen sinnlos. 


Beweisidee von UVS’: Erläuterung der einzelnen 

Beweisschritte 

Im Folgenden werden wir die einzelnen Schritte des gerade skizzierten Beweises 

etwas näher erläutern. 

Hierbei werden wir uns allerdings auf den Beweis von UVS’ beschränken. 

Dies führt zu folgender Vereinfachung: Es genügt den oben beschriebenen Satz σ 

so zu konstruieren, dass dieser (wie oben) für einen Satz τ besagt “τ ist nicht 

T -beweisbar”, wobei aber nun lediglich N τ ↔ σ (und nicht notwendigerweise 

T ⊢ τ ↔ σ) gelten muss. 

Man kann dann folgern, dass der Satz τ nicht aus T -beweisbar ist, aber in N 

wahr ist, also für diesen Satz τ ∈ Th(N ) \ C ⊢ (T ) gilt. Dies beweist aber gerade 

die schwache Version UVS’ des Unvollständigkeitssatzes. 


Beweisidee von UVS’: Schritt 1 - Gödelisierung 

Durch Induktion ordnen wir jedem (L-)Term t und jeder (L-)Formel ϕ eine 

Gödelnummer t bzw. ϕ zu. 

Dies geschieht effektiv, sodass wir aus der Formel ϕ die Gödelnummer ϕ 

berechnen können und umgekehrt für eine Zahl n entscheiden können, ob 

diese Gödelnummer einer Formel ist und gegebenenfalls diese berechnen 

können (und entsprechend für Terme). 

Weiter ordnen wir jeder endlichen Folge n 0 , . . . , n k von Zahlen eine Zahl 

〈n 0 , . . . , n k 〉 zu. (Wegen der eindeutigen Zerlegbarkeit von Zahlen in deren 

Primfaktoren können wir z.B. definieren 

wobei p m die m-te Primzahl ist.) 

〈n 0 , . . . , n k 〉 := p n0+1 

0 · · · · · p n k +1 

k 

, 

Wichtig ist hierbei wiederum, dass Kodierung und Dekodierung effektiv 

durchführbar sind. 


Beweisidee von UVS’: Schritt 2 - Das gödelisierte 

Beweisprädikat Bew 

Definiere die 2-st. Relation Bew ⊆ N × N durch 

(q, r) ∈ Bew ⇔ q ist die Gödelnummer einer Zahlenfolge 

q = 〈m 1 , . . . , m n 〉, wobei m n = r und 

m 1 , . . . m n Gödelnummern von Formeln 

ϕ 1 , . . . , ϕ n sind und ϕ 1 , . . . , ϕ n ein T -Beweis ist 

Es gilt dann 

ϕ n , . . . , ϕ n T -Beweis von ϕ ⇔ (〈ϕ 1 , . . . ϕ n 〉, ϕ) ∈ Bew (1) 

D.h. die 2-stellige Relation Bew auf N beschreibt das Beweisprädikat 

(modulo Gödelisierung). 


Beweisidee von UVS’: Schritt 3 - Repräsentation von Bew 

in L 

Zeige, dass es eine L-Formel β ≡ β(v 1 , v 2 ) gibt mit 

(q, r) ∈ Bew ⇔ N β[q/v 1 , r/v 2 ] (2) 

Hierbei ist die Ziffer n die kanonische Darstellung der Zahl n als 

geschlossener L-Term: 0 + 1 + · · · + 1. 

} {{ } 

n-mal 

Hierzu werden wir 1) beobachten, dass wegen der Entscheidbarkeit von T auch das Beweisprädikat Bew entscheidbar 

ist, und 2) zeigen, dass jede entscheidbare Relation durch eine L-Formel repräsentierbar ist. (NB Hierbei werden wir mit 

der mathematischen Präzisierung des Entscheidbarkeitsbegriffs arbeiten.) 

NB: Da (für jeden L-Satz τ) T ⊢ τ genau dann gilt, wenn es einen 

T -Beweis von τ gibt, folgt aus (1) und (2): 

T ⊢ τ ⇔ N ∃v 1 β[τ/v 2 ] (3) 


Beweisidee von UVS’: Schritt 4 - Diagonalisierungslemma 

Im nächsten Beweisschritt zeigen wir dann (durch eine trickreiche 

Diagonalisierung): 

DIAGONALISIERUNGSLEMMA Zu jeder Formel ϕ ≡ ϕ(v 2 ) (in der nur die 

Variable v 2 frei vorkommt) gibt es einen Satz τ mit 

N τ ↔ ϕ[τ/v 2 ] (4) 


Beweisidee von UVS’: Schritt 5 - Der nichtbeweisbare aber 

wahre Satz τ 

Schließlich wenden wir das Diagonalisierungslemma auf die Formel ϕ :≡ ¬∃v 1 β 

an. Für den aus (9) erhaltenen Satz τ gilt dann: 

Setze nun (für diesen Satz τ): σ :≡ ¬∃v 1 β[τ/v 2 ]. 

N τ ↔ ¬∃v 1 β[τ/v 2 ] (5) 

Dann besagt σ gerade “Es gibt keinen T -Beweis des Satzes τ”, und wegen (5) ist 

in N der Satz σ zu dem Satz τ äquivalent. 

Dass hieraus folgt, dass der Satz τ die gewünschten Eigenschaften hat, d.h. dass 

T ⊬ τ aber N τ gilt, zeigt man wie folgt: 


Beweisidee von UVS’: Schritt 5 - Der nichtbeweisbare aber 

wahre Satz τ (Fortsetzung) 

1. T ⊬ τ: Indirekter Beweis: 

T ⊢ τ ⇒ N ∃v 1 β[τ/v 2 ] (nach (3)) 

⇒ N ̸ ¬∃v 1 β[τ/v 2 ] (nach Definition von ) 

⇒ N ̸ τ (nach (5)) 

⇒ T ̸ τ (da T ⊆ Th(N )) 

⇒ T ⊬ τ (Korrektheitssatz) 

Widerspruch (da T wegen T ⊆ Th(N ) konsistent ist)! 

2. N τ: Dies ergibt sich aus T ⊬ τ wie folgt: 

T ⊬ τ ⇒ N ̸ ∃v 1 β[τ/v 2 ] (nach (3)) 

⇒ N ¬∃v 1 β[τ/v 2 ] (nach Definition von ) 

⇒ N τ (nach (5)) 

Damit ist die Beweisskizze abgeschlossen. 


In den folgenden Abschnitten werden wir die Begriffe und Ergebnisse 

bereitstellen, die zur Ausführung des Beweises von UVS’ erforderlich sind: 

Formalisierung des Berechnungsbegriffs durch den Begriff der 

Rekursiven Funktion (Kapitel 5.2) 

Repräsentierbarkeit rekursiver und rekursiv aufzählbarer Mengen 

(Kapitel 5.3) 

Gödelisierung (Kapitel 5.4) 

Das Diagonalisierungslemma (Kapitel 5.5) 

Der 1. Gödelsche Unvollständigkeitssatz (Kapitel 5.6) 

In Kapitel 5.7 werden wir kurz auf den 2. Gödelschen Unvollständigkeitssatz 

eingehen und auf Unentscheidbarkeit in der Logik. 


5.2 Grundlagen der Berechenbarkeitstheorie 

1 Die intuitiven Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie 

2 Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit in der Logik 

3 Formalisierung des Berechenbarkeitsbegriffs 

4 Primitiv rekursive Funktionen 

5 Beispiele primitiv rekursiver Funktionen 

6 Rekursive Funktionen und rekursiv aufzählbare Mengen 


5.2.1 

Die intuitiven Grundbegriffe der 

Berechenbarkeitstheorie 

Hier werden im Wesentlichen die bereits im Teil zur Aussagenlogik vorgestellten 

Konzepte der Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit nochmals 

eingeführt (Wiederholung). 

Neu ist lediglich das Projektionslemma. 


Algorithmen und deren Aufgabenstellung 

Ein Algorithmus (Rechenvorschrift) ist eine Vorschrift zur Lösung eines 

Problems. 

Aufgrund der Aufgabenstellung unterscheiden wir verschiedene Typen von 

Algorithmen. 

Typen von Problemen / Algorithmen: 

Entscheidungsprobleme / Entscheidungsverfahren 

Aufzählungsprobleme / Aufzählungsverfahren 

Berechnungsprobleme / Berechnungsverfahren 

Bei der Diskussion dieser Konzepte beschränken wir uns auf den Fall, dass Ein- 

(und Ausgabe-)daten (einzelne) natürliche Zahlen sind. (Die Verallgemeinerung 

auf andere Daten und auf den mehrstelligen Fall ist eine einfache Übung.) 


Entscheidbarkeit 

Entscheidungsproblem: Stelle fest, ob eine natürliche Zahl eine gewisse 

Eigenschaft E hat. 

Solch ein Problem kann durch eine Menge M beschrieben werden: 

M = {x ∈ N : E(x)} 

Entscheidungsverfahren (EV): Algorithmus zur Lösung eines 

Entscheidungsproblems M = {x ∈ N : E(x)} 

• Eingabe: x ∈ N 

• Ausgabe: JA (oder 1), falls E(x) und NEIN (oder 0), falls ¬E(x) 

M ist entscheidbar, wenn es ein Entscheidungsverfahren für M gibt. 


Aufzählbarkeit 

Aufzählungsproblem: Liste alle Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft E 

auf (in beliebiger Reihenfolge; Wiederholungen zugelassen). 

Solch ein Problem kann (wie ein Entscheidungsproblem) durch eine Menge 

M beschrieben werden: M = {x ∈ N : E(x)} 

Aufzählungsverfahren (AV): Algorithmus zur Lösung eines 

Aufzählungsproblems M = {x ∈ N : E(x)} 

• Eingabe: keine 

• Ausgabe: Alle Zahlen mit Eigenschaft E, aufgelistet in 

beliebiger Reihenfolge (und evtl. mit Wiederholungen). 

M ist aufzählbar, wenn es ein Aufzählungsverfahren für M gibt. 


Berechenbarkeit 

Berechnungsproblem: Ordne einer Zahl n eine andere Zahl (mit einer i.a. 

von n abhängenden Eigenschaft) zu. 

Solch ein Problem kann durch eine Funktion beschrieben werden: 

f : N → N 

Berechnungsverfahren (BV): Algorithmus zur Lösung eines 

Berechnungsproblems f : N → N 

• Eingabe: x ∈ N 

• Ausgabe: f (x) 

f ist berechenbar, wenn es ein Berechnungsverfahren für f gibt. 

Nachdem wir die Grundbegriffe der Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit und 

Aufzählbarkeit eingeführt haben, diskutieren wir kurz die Beziehungen 

zwischen diesen Konzepten. 


Entscheidbarkeit vs. Aufzählbarkeit 

M entscheidbar ⇒ M aufzählbar. 

(Die Umkehrung gilt i.a. nicht!) 

M entscheidbar ⇔ M monoton aufzählbar. 

M, M ′ entscheidbar ⇒ M, M ∩ M ′ , M ∪ M ′ entscheidbar. 

M, M ′ aufzählbar ⇒ M ∩ M ′ , M ∪ M ′ (aber i.a. nicht M) aufzählbar. 

M entscheidbar ⇔ M und M aufzählbar. 

(KOMPLEMENTLEMMA) 


Berechenbarkeit vs. Entscheidbarkeit/Aufzählbarkeit 

M entscheidbar ⇔ c M berechenbar. 

Hierbei ist c M : N → N die charakteristische Funktion von M: 

{ 

1 falls x ∈ M 

c M (x) = 

0 falls x ∉ M 

M aufzählbar ⇔ M = ∅ oder M ist der Wertebereich einer 

berechenbaren Funktion f . 

f ist berechenbar ⇔ G f entscheidbar ⇔ G f aufzählbar. 

Hierbei ist G f der Graph von f : 

G f = Graph(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ N} 


Aufzählbarkeit und Suchprobleme 

PROJEKTIONSLEMMA Eine Menge A ist genau dann aufzählbar, wenn 

sie Projektion einer (2-dim.) entscheidbaren Menge B ist, d.h. 

gilt. 

x ∈ A ⇔ ∃y[(x, y) ∈ B] 

BEWEISIDEE. O.B.d.A. A ≠ ∅, also etwa x 0 ∈ A. 

“⇒” Ist A Wertebereich der berechenbaren Funktion, so setze 

B = {(f (x), x) : x ≥ 0}. 

“⇒” Ist A Projektion der entscheidbaren Menge B, so ist A Wertebereich der 

folgenden berechenbaren Funktion f : 

{ 

x falls z = 2 x · 3 y und (x, y) ∈ B 

f (z) = 

sonst 

x 0 


5.2.2 

Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit 

in der Logik 


Beweise und Beweisbarkeit 

Der Beweisbegriff ist entscheidbar. D.h. man kann effektiv feststellen, ob 

eine Formelfolge ϕ 1 , . . . ϕ n ein Beweis (im Shoenfield-Kalkül) ist. 

Allgemeiner: Ist T eine entscheidbare Theorie, so ist auch die Menge der 

Beweise aus T entscheidbar. 

Der Beweisbarkeitsbegriff ist aufzählbar: Da eine Formel ϕ genau dann 

beweisbar ist, wenn es einen Beweis ϕ 1 , . . . ϕ n von ϕ gibt, folgt dies aus (i) 

mit dem Projektionslemma. Allgemeiner gilt dies wiederum für die 

Beweisbarkeit aus einer entscheidbaren Theorie T : 

AUFZÄHLBARKEITSLEMMA. Ist eine Theorie T entscheidbar, so ist der 

deduktive Abschluss C ⊢ (T ) = {σ : T ⊢ σ} aufzählbar. Insbesondere ist die Menge 

C ⊢ (∅) = {σ : ⊢ σ} aufzählbar. 

BEWEIS. Ist T entscheidbar, so ist auch die Menge der T -Beweise, d.h. 

B = {(ϕ, ⃗ ψ) : ⃗ ψ ist Beweis von ϕ aus T } 

entscheidbar, und C ⊢ (T ) ist die Projektion von B. 


Umgekehrt lässt sich jede aufzählbare Theorie T effektiv axiomatisieren: 

AXIOMATISIERBARKEITSLEMMA. Sei T eine aufzählbare Theorie. 

Dann gibt es eine entscheidbare Theorie T ′ mit T ⊆ C ⊢ (T ′ ). 

BEWEISIDEE. Ist T endlich, so ist T entscheidbar und man kann 

T ′ := T setzen. Für unendliches T sei σ 1 , σ 2 , . . . eine Aufzählung von T . 

Sei nun τ n die n-fache Konjunktion von σ n . Dann gilt τ n äq σ n , weshalb 

für T ′ := {τ n : n ≥ 1} gilt: T ⊆ C ⊢ (T ′ ). T ′ ist aber entscheidbar, da ein 

Satz σ der Länge n genau dann in T ′ ist, wenn σ mit einem der Sätze 

τ 1 , . . . , τ n übereinstimmt. 


Folgerungen aus dem Aufzählbarkeitslemma (1) 

WAHRHEITSLEMMA. Die Menge {σ : σ} der allgemeingültigen Sätze 

ist aufzählbar. 

BEWEIS. Nach dem Aufzählbarkeitslemma ist 

C(∅) = {σ : ⊢ σ} 

aufzählbar und nach dem Adäquatheitssatz gilt 

{σ : ⊢ σ} = {σ : σ}. 

BEMERKUNG. Da nach dem Adäquatsheitssatz ⊢ und übereinstimmen, also 

C(T ) = {σ : T σ} und C ⊢ (T ) = {σ : T ⊢ σ} übereinstimmen, schreiben wir 

im Folgenden meist kurz C(T ) statt C ⊢ (T ). 



KOROLLAR. Ist T vollständig und entscheidbar, so ist auch C(T ) entscheidbar. 

BEWEIS. O.B.d.A. ist T konsistent (sonst ist C(T ) trivialerweise entscheidbar). 

Nach dem Aufzählbarkeitslemma ist C(T ) aufzählbar. Offensichtlich ist dann auch 

A = {¬σ : σ ∈ C(T )} ∪ {σ : ¬σ ∈ C(T )} 

aufzählbar. Wegen der Vollständigkeit und Konsistenz von T gilt aber A = C(T ). 

Die Behauptung folgt mit dem Komplementlemma. 

Mit dem Axiomatisierbarkeitslemma folgt hieraus: 

LEMMA ÜBER DIE ENTSCHEIDBARKEIT VOLLSTÄNDIGER THEORIEN. Für 

eine vollständige Theorie T sind folgende Aussagen äquivalent: 

C(T ) ist aufzählbar. 

C(T ) ist entscheidbar. 

Es gibt eine entscheidbare Theorie T ′ mit T = C(T ′ ). 



Da für eine Struktur A, Th(A) vollständig ist und C(Th(A)) = Th(A) 

gilt, folgt insbesondere: 

LEMMA ÜBER DIE ENTSCHEIDBARKEIT DER THEORIEN VON 

STRUKTUREN. Für eine Struktur A sind folgende Aussagen äquivalent: 

Th(A) ist aufzählbar. 

Th(A) ist entscheidbar. 

Es gibt eine entscheidbare Theorie T mit C(T ) = Th(A). 

Die semantische Version UVS’ des Unvollständigkeitssatzes (in der 

vorläufigen Fassung) ist also (wie bereits früher erwähnt) äquivalent zu der 

Aussage, dass Th(N ) nicht entscheidbar ist. 


5.2.3 

Formalisierung des Berechenbarkeitsbegriffs 


Formalisierungen des Berechenbarkeitsbegriffs 

Der Begriff der berechenbaren Funktion wurde auf zahlreiche 

unterschiedliche Arten formalisiert (s. Vorlesung “Theoretische 

Informatik”). Beispiele: 

Turing-Maschinen 

Register-Maschinen 

Rekursive Funktionen 

Markov-Algorithmen 

Es wurde gezeigt, dass alle diese Konzepte äquivalent sind. Dies hat zu 

folgender Überzeugung geführt: 

CHURCH-TURING-THESE Eine Funktion ist genau dann im intuitiven 

Sinn berechenbar, wenn diese im Sinne eines der obigen formalen 

Konzepte berechnet werden kann. 


Rekursive und primitiv rekursive Funktionen 

Hier werden wir das formale Konzept der rekursiven Funktion einführen. 

Zunächst betrachten wir die primitiv rekursiven Funktionen, die von Gödel 

eingeführt wurden. Diese erfassen noch nicht alle berechenbaren 

Funktionen (aber die typischen, in der Praxis verwendeten berechenbaren 

Funktionen sind primitiv rekursiv). 

Später werden wir dann das Konzept der primitiv rekursiven Funktion zu 

dem Begriff der rekursiven Funktion erweitern, der nach der 

Church-Turing-These den intuitiven Berechenbarkeitsbegriff erfasst. 


5.2.4 

Primitiv rekursive Funktionen 


Definition der primitiv rekursiven Funktionen: Idee 

Definiere eine Klasse von berechenbaren Funktionen über N induktiv durch 

Festlegung 

einer Ausgangsmenge einfacher berechenbarer Funktion 

von Operatoren, die berechenbare Funktionen in berechenbare 

Funktionen überführen. 


Definition der primitiv rekursiven Funktionen: 

Ausgangsfunktionen 

Ausgangsfunktionen 

S(x) = x + 1 

U n i (x 1, . . . , x n ) = x i 

C n 

i 

(x 1 , . . . , x n ) = i 

Nachfolger 

n-stellige Projektion auf die 

i-te Komponente 

(n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) 

n-stellige konstante Funktion 

mit Wert i 

(n, i ≥ 0) 


Definition der primitiv rekursiven Funktionen: 

Abschlussoperationen 

Abschlussoperationen 

Simultane Substitution (Explizite Definitionen) 

Primitive Rekursion (Einfache Implizite Definitionen) 


Definition der primitiv rekursiven Funktionen: Substitution 

Simultane Substitution 

Seien g : N m → N und h 1 , . . . , h m : N n → N m- bzw. n-stellige 

Funktionen. Die aus g durch simultane Substitution von h 1 , . . . , h m 

entstehende n-stellige Funktion 

ist definiert durch 

f = g(h 1 , . . . , h m ) 

∀⃗x ∈ N n (f (⃗x) = g(h 1 (⃗x), . . . , h m (⃗x))) 

NB: g, h 1 , . . . , h m berechenbar ⇒ g(h 1 , . . . , h m ) berechenbar 


Definition der primitiv rekursiven Funktionen: Primitive 

Rekursion 

Primitive Rekursion 

Seien g : N n → N und h : N n+2 → N Funktionen. Die durch primitive 

Rekursion über g und h definierte Funktion 


f (n+1) = PR(g, h) 

∀⃗x ∈ N n (f (⃗x, 0) = g(⃗x)) 

∀⃗x ∈ N n ∀y ∈ N (f (⃗x, y + 1) = h(⃗x, y, f (⃗x, y))) 

NB: g, h berechenbar ⇒ f = PR(g, h) berechenbar. 


Beispiele von primitiven Rekursionen (1) 

BEISPIEL 1: Addition f + (x, y) = x + y 

Rekursionsgleichungen: 

x + 0 = x (d.h. f + (x, 0) = x) 

x + (y + 1) = (x + y) + 1 (d.h. f + (x, y + 1) = f + (x, y) + 1 = S(f + (x, y))) 

Es gilt also f (2) 

+ = PR(g (1) , h (3) ) für 

g(x) = x, d.h. g = U 1 1 

h(x, y, z) = z + 1, d.h. h = S(U 3 3 ) 

Es gilt also: + = f + = PR(U 1 1 , S(U3 3 )) 

Die Addition lässt sich also mit Hilfe der primitiven Rekursion und simultaner 

Substitution aus den Ausgangsfunktionen gewinnen! 


Beispiele von primitiven Rekursionen (2) 

BEISPIEL 2: Multiplikation f·(x, y) = x · y 

Rekursionsgleichungen: 

x · 0 = 0 (d.h. f·(x, 0) = 0) 

x · (y + 1) = (x · y) + x (d.h. f·(x, y + 1) = f·(x, y) + x) 

Es gilt also f (2) 

· = PR(g (1) , h (3) ) für 

g(x) = 0, d.h. g = C 1 0 

h(x, y, z) = z + x, d.h. h = f + (U 3 3 , U3 1 ) 

Es gilt also: · = f· = PR(C 1 0 , f +(U 3 3 , U3 1 )) 

Die Multiplikation lässt sich also mit Hilfe der primitiven Rekursion und 

simultaner Substitution aus den Ausgangsfunktionen und der Addition gewinnen! 


Definition der primitiv rekursiven Funktionen 

DEFINITION. Die Klasse PRIM der primitiv rekursiven Funktionen ist die 

kleinste Funktionsklasse, die 

die Ausgangsfunktionen S, Ui 

n und Ci 

n enthält und 

gegen simultane Substitution und primitive Rekursion abgeschlossen 

ist. 

Weiter legen wir fest: 

DEFINITION Eine Relation R ⊆ N n ist primitiv rekursiv, falls die 

charakteristische Funktion c R von R primitiv rekursiv ist. 

NB: Primitiv rekursive Funktionen sind berechenbar und primitiv rekursive 

Relationen und Mengen sind entscheidbar. 


5.2.5 

Beispiele primitiv rekursiver Funktionen 

Hier geben wir 

Beispiele primitiv rekursiver Funktionen 

weitere Abschlusseigenschaften von PRIM 

an, die wir im Folgenden benötigen werden. 


Einfache Beispiele primitiv rekursiver Funktionen 

SATZ 1. Die folgenden Funktionen sind primitiv rekursiv: 

f 1 (x, y) = x + y (Summe) 

f 3 (x, y) = x y (Potenz) 

f 5 (x, y) = x ˙−y (Differenz auf N) 

f 7 (x, y) = max(x, y) (Maximum) 

f 9 (x) = sg(x) (Signum/Vorz.) 

f 2 (x, y) = x · y (Produkt) 

f 4 (x, y) = x ˙−1 (Vorgänger) 

f 6 (x, y) = |x − y| (Absolute Differenz) 

f 8 (x, y) = min(x, y) (Minimum) 

f 10 (x) = sg(x) (Antisignum/neg.Vorz.)) 

BEWEIS: f 1 , f 2 

Siehe Beispiele 1 und 2 im Abschnitt 5.2.4 


Einfache Beispiele primitiv rekursiver Funktionen (Forts.) 


f 1 (x, y) = x + y (Summe) 










BEWEIS: f 3 

f 3 (x, 0) = x 0 = 1 ⇒ g(x) = C 1 1 (x) = 1 

f 3 (x, y + 1) = x y+1 = x y · x = f 2 (f 3 (x, y), x) 

⇒ h(x, y, z) = f 2 (U 3 1 , U1 1 )(x, y, z) = f 2(z, x) 

Also: f 3 = PR(C 1 1 , f 2(U 3 1 , U1 1 )) 




f 1 (x, y) = x + y (Summe) 










BEWEIS: f 4 (x) = x ˙−1 = 

{ 

x − 1 x > 0 

0 sonst. 

f 4 (0) = 0 ˙−1 = 0 ⇒ g() = C 0 0 (0) = 0 

f 4 (y + 1) = y ⇒ h(y, z) = U1 1 (y, z) = y 

Also: f 4 = PR(C 0 0 , U1 1 ) 




f 1 (x, y) = x + y (Summe) 










BEWEIS: f 5 (x) = x ˙−y = 

{ 

x − y 

x ≥ y 

0 sonst. 

f 5 (x, 0) = x ˙−0 = x ⇒ g(x) = U 1 1 (x) = x 

f 5 (x, y + 1) = (x ˙−y)˙1 = f 4 (f 5 (x, y)) 

⇒ h(x, y, z) = f 4 (U3 3)(x, y, z) = z ˙−1 

Also: f 5 = PR(U 1 1 , f 4(U 3 3 )) 




f 1 (x, y) = x + y (Summe) 










f 6 (x, y) = |x − y| 

= (x ˙−y) + (y ˙−x) 

= f 1 (f 5 (x, y), f 5 (y, x)) 

= f 1 (f 5 , f 5 (U2 2, U2 1 ))(x, y) 

Also: f 6 = f 1 (f 5 , f 5 (U 2 2 , U2 1 )) 




f 1 (x, y) = x + y (Summe) 










f 7 (x, y) = max(x, y) 

= x + |x − y| 

= f 1 (x, f 6 (x, y)) 

= f 1 (U1 2, f 6)(x, y) 

Also: f 7 = f 1 (U 2 1 , f 6) 




f 1 (x, y) = x + y (Summe) 










f 8 (x, y) = min(x, y) 

= x − |x − y| 

= x ˙−|x − y| 

= f 5 (x, f 6 (x, y)) 

= f 5 (U1 2, f 6)(x, y) 

Also: f 8 = f 5 (U 2 1 , f 6) 




f 1 (x, y) = x + y (Summe) 





BEWEIS: f 9 (x) = 

{ 

0 falls x = 0 

1 sonst 






und f 10 (x) = 

{ 

1 falls x = 0 

0 sonst 

f 10 (x) = 1 ˙−x 

= f 5 (1, x) 

= f 5 (C1 1, U1 1 )(x) Also: f 10 = f 5 (C1 1, U1 1 ) 

f 9 (x) = 1 ˙−f 10 (x) 

= f 5 (1, f 10 (x)) 

= f 5 (C1 1, f 10)(x) Also: f 9 = f 5 (C1 1, f 10) 


Abschlusseigenschaften von PRIM 

SATZ 2. Die Klasse PRIM der primitiv rekursiven Funktionen ist 

abgeschlossen gegen 

(endliche) Fallunterscheidungen 

Beschränkte Summation 

Beschränkter µ-Operator 


Abschluss von PRIM gegen Fallunterscheidungen 

Abschluss gegen Fallunterscheidungen: Sind g (n) , f (n) 

0 

, . . . , f (n) 

k 

rekursiv, so auch 

⎧ 

f 0 (⃗x) falls g(⃗x) = 0 

⎪⎨ 

f (n) . . . 

(⃗x) = 

f k−1 (⃗x) falls g(⃗x) = k − 1 

⎪⎩ 

f k (⃗x) falls g(⃗x) ≥ k. 

primitiv 

BEWEIS: 

f (⃗x) = f 0 (⃗x) · sg(|g(⃗x) − C0 n(⃗x)|) 

+ f 1 (⃗x) · sg(|g(⃗x) − C1 n(⃗x)|) 

+ . . . 

+ f k−1 (⃗x) · sg(|g(⃗x) − Ck−1 n (⃗x)|) 

+ f k (⃗x) · sg(g(⃗x) ˙−C 

k−1 n (⃗x)) 


Abschluss von PRIM gegen beschränkte Summation 

Abschluss gegen beschränkte Summation: Ist g (n+1) primitiv rekursiv, so 

auch 

f (n+1) (⃗x, y) = ∑ z

Abschluss von PRIM gegen den beschränkten µ-Operator 

Abschluss gegen den beschränkten µ-Operator (beschr. Minimalisierungsoperator): 

Ist g (n+1) primitiv rekursiv, so auch 

wobei 

µz < y(R(⃗x, z)) := 

f (n+1) (⃗x, y) = µz < y(g(⃗x, z) = 0) 

{ 

kleinstes z < y mit (⃗x, y) ∈ R falls solch ein z ex. 

0 sonst. 

BEWEISIDEE: Man zeigt zunächst, dass die 0-1-wertige Funktion g ′ mit 

g ′ (⃗x, y) = 1 ⇔ g(⃗x, y) = 0 & ∀ z < y (g(⃗x, z) ≠ 0) 

primitiv rekursiv ist. Dann ist auch f (n+1) (⃗x, y) primitiv rekursiv, da 

f (n+1) (⃗x, y) = ∑ z · g ′ (⃗x, z). 

z

Nachweis der primitiven Rekursivität von 

g ′ (⃗x, y) = 1 ⇔ g(⃗x, y) = 0 & ∀ z < y (g(⃗x, z) ≠ 0) 

Für die 0-1-wertige primitiv rekursive Funktion 

g 0 (⃗x, y) = sg(y ˙− ∑ y

5.2.6 

Rekursive Funktionen und rekursiv aufzählbare 

Mengen 


Obwohl die primitiv rekursiven Funktionen die gängigen berechenbaren 

Funktionen umfassen, hat man Beispiele von berechenbaren Funktionen 

angegeben, die nicht primitiv rekursiv sind (z.B. die Ackermann-Funktion). 

Wir erweitern daher die induktive Definition der primitiv rekursiven 

Funktionen um eine weitere Abschlusseigenschaft nämlich um den 

(unbeschränkten) µ-Operator, den man auch als den (unbeschränkten) 

Minimalisierungsoperator bezeichnet. 

Der µ-Operator berechnet die kleinste Nullstelle einer Funktion. Im 

Gegensatz zu dem beschränkten µ-Operator (gegen den, wie wir gezeigt 

haben, die primitiv rekursiven Funktionen abgeschlossen sind), ist hier die 

Suche nach der Nullstelle jedoch unbeschränkt. 

Gibt es die gesuchte Nullstelle nicht, so ist die durch Anwendung des 

µ-Operators bestimmte Funktion an der entsprechenden Stelle undefiniert. 

Die Anwendung des µ-Operators auf eine totale Funktion kann daher zu 

einer partiellen Funktion führen. 


Die Ackermann-Funktion 

Die Ackermann-Funktion α : N 2 → N ist durch folgende geschachtelte Rekursion 

definiert: 

• α(0, y) = y + 1 

• α(x + 1, 0) = α(x, 1) 

• α(x + 1, y + 1) = α(x, α(x + 1, y)) 

Während bei einer primitiven Rekursion, die letzte Variable die Rekursionsvariable 

ist, sind hier beide Variablen x und y Rekursionsvariablen. 

Durch Hauptinduktion nach x und Nebeninduktion nach y zeigt man, dass die 

Ackermann-Funktion wohldefiniert, total und berechenbar ist. Weiter kann man 

leicht (durch Induktion nach x) zeigen, dass jeder Zweig α x (y) := α(x, y) von α 

primitiv rekursiv ist. Um zu zeigen, dass jedoch α selbst nicht primitiv rekursiv ist, 

zeigt man, dass die Diagonale ˆα(x) := α(x, x) schneller anwächst als alle primitiv 

rekursiven Funktionen. 


Der Minimalisierungsoperator (µ-Operator) 

Sei g : N n+1 → N eine (möglicherweise partielle) Funktion. Die aus g 

durch Anwendung des µ- Operators entstehende partielle Funktion 


f (n) = µ(g) 

∀⃗x ∈ N n (f (⃗x) = µy [g(⃗x, y) = 0 & ∀z < y(g(⃗x, z)↓]) 

wobei min ∅ ≡↑. 

= min{y : g(⃗x, y) = 0 & ∀z < y [g(⃗x, z)↓]}), 

Der µ-Operator wird auch (wie bereits erwähnt) Minimalisierungs-Operator 

genannt. Man spricht auch von einem Suchoperator, da ja die kleinste Nullstelle 

gesucht wird. 

Man beachte, dass für (totales) berechenbares g, das für jedes ⃗x eine Nullstelle 

(⃗x, y) besitzt, die Funktion f = µ(g) wiederum total und berechenbar ist. 


Definition der (partiell) rekursiven Funktionen 

DEFINITION Die Klasse PREK der partiell rekursiven Funktionen ist die 

kleinste Klasse (möglicherweise partieller) Funktionen, die 

die Ausgangsfunktionen S, Ui 

n und Ci 

n enthält und 

gegen simultane Substitution,primitive Rekursion und Minimalisierung 

abgeschlossen ist. 

Weiter legen wir fest: 

DEFINITION Eine totale Funktion ist rekursiv, falls diese partiell rekursiv 

ist. (Die Klasse der rekursiven Funktionen bezeichnen wir mit REK.) 

NB: Rekursive Funktionen sind berechenbar. 


Abschlusseigenschaften der rekursiven Funktionen 

Da jede primitiv rekursive Funktion insbesondere rekursiv ist, kann man 

wie im Falle der Klasse PRIM der primitiv rekursiven Funktionen folgende 

Abschlusseigenschaften der Klasse REK der rekursiven Funktionen zeigen. 

SATZ 3. Die Klasse REK der rekursiven Funktionen ist abgeschlossen 

gegen 

(endliche) Fallunterscheidungen 

Beschränkte Summation 

Beschränkter µ-Operator 


Die Church-Turing-These 

Die Church-Turing-These besagt, dass die rekursiven Funktionen gerade 

die berechenbaren Funktionen sind. 

BEMERKUNGEN: 

Die Church-Turing-These ist kein mathematischer Satz sondern eine 

Hypothese. Sie ist nicht beweisbar, da hier ein intuitives (nicht formal 

mathematisch definiertes) Konzept - nämlich die Berechenbarkeit - 

einem formalen, mathematischen Konzept - nämlich der Rekursivität - 

gegenübergestellt wird. 

Die meisten Mathematiker akzeptieren diese These. 

Mehr hierzu: Vorlesung “Theoretische Informatik” 


Rekursive und rekursiv aufzählbare Relationen 

DEFINITION Eine Relation R ist rekursiv, falls deren charakteristische 

Funktion c R rekursiv ist. 

NB: Nach der Church-Turing-These sind die rekursiven Relationen gerade 

die entscheidbaren Relationen. (Hierzu erinnere man sich, dass eine 

Relation genau dann entscheidbar ist, wenn deren charakteristische 

Funktion berechenbar ist.) 

DEFINITION Eine Relation R ist rekursiv aufzählbar (r.a.), falls R die 

Projektion einer rekursive Relation ist. 

NB: Nach der Church-Turing-These sind die r.a. Relationen gerade die 

aufzählbaren Relationen. (Hierzu erinnere man sich, dass nach dem 

Projektionslemma eine Relation genau dann aufzählbar ist, wenn diese 

Projektion einer entscheidbaren Relation ist.) 


Eine Abschlusseigenschaft der Klasse der (primitiv) 

rekursiven Relationen 

Im Folgenden bezeichnen wir die Klasse der (primitiv) rekursiven Relationen (wie 

zuvor schon die Klasse der (primitiv) rekursiven Funktionen) mit REK (PRIM). 

(Da es aus dem Kontext klar sein wird, ob wir Funktionen oder Relationen 

betrachten, sollte diese Mehrdeutigkeit in der Notation keine Verwirrung stiften.) 

SATZ 4. Die Klasse REK (PRIM) der (primitiv) rekursiven Relationen ist 

abgeschlossen gegen die Einsetzung (primitiv) rekursiver Funktionen. D.h. ist 

R(y,⃗z) eine (primitiv) rekursive Relation und f (⃗x) eine (primitiv) rekursive 

Funktion, so ist die Relation 

ebenfalls (primitiv) rekursiv. 

R ′ (⃗x,⃗z) :⇔ R(f (⃗x),⃗z) 

BEWEIS. Für ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) und ⃗z = (z 1 , . . . , z m ) gilt: 

c R ′ 

= c R (f (U1 n+m , . . . , Un 

n+m ), Un+1 n+m , . . . , Un+m 

) 


5.3 Repräsentierbarkeit 


In diesem Abschnitt führen wir zunächst eine Hierarchie der 

L-Formeln ein, nämlich die arithmetische Hierarchie. Diese besteht 

aus den Formelklassen Σ 1 ⊂ Σ 2 ⊂ Σ 3 ⊂ . . . . 

Dies führt zu einer entsprechenden arithmetischen Hierarchie für 

Relationen und Funktionen über N. Hierzu legt man fest, dass eine 

Relation R (bzw. Funktion f ) einer gegebenen Stufe Σ n dieser 

Hierarchie angehört, wenn diese Relation R (bzw. der Graph dieser 

Funktion f ) durch eine Formel der entsprechenden Klasse Σ n von 

Formeln definiert werden kann. 

Wir zeigen dann, dass die rekursiv aufzähbaren Mengen genau die 

Mengen der ersten Stufe Σ 1 dieser Hierarchie sind. 

Insbesondere folgt hieraus, dass rekursive Funktionen und rekursive 

und rekursiv aufzählbare Relationen in der Sprache L der Arithmetik 

durch Formeln definierbar sind (Repräsentierbarkeitslemma). 


5.3.1 Die arithmetische Hierarchie 


Beschränkte Quantoren und die Formelklasse ∆ 0 

Die beschränkten Quantoren sind definiert durch: 

∃ x < t ϕ :≡ ∃ x (x < t ∧ ϕ) 

∀ x < t ϕ :≡ ¬ ∃ x < t ¬ϕ äq ∀ x (x < t → ϕ 

DEFINITION Eine L-Formel ϕ, in der alle Quantoren beschränkt sind, ist 

eine ∆ 0 -Formel. 


Σ n - und Π n -Formeln 

Σ n - und Π n -Formeln werden durch Ind(n) definiert: 

ϕ ist eine Σ 0 - und Π 0 -Formel, wenn ϕ eine ∆ 0 -Formel ist. 

ϕ ist eine Σ n+1 -Formel, wenn ϕ ≡ ∃ x 1 . . . ∃ x m ψ, wobei ψ eine 

Π n -Formel ist. 

ϕ ist eine Π n+1 -Formel, wenn ϕ ≡ ∀ x 1 . . . ∀ x m ψ, wobei ψ eine 

Σ n -Formel ist. 

Eine Σ 1 -Formel ϕ hat also die Gestalt 

∃ x 1 . . . ∃ x m ψ 

wobei ψ eine ∆ 0 -Formel ist, und eine Π 1 -Formel ϕ hat die Gestalt 

∀ x 1 . . . ∀ x m ψ 

wobei ψ wiederum eine ∆ 0 -Formel ist. 


Die arithmetische Hierarchie 

Wir erweitern die Definition der oben eingeführten Formelklassen, 

indem wir eine Formel auch dann eine ∆ 0 - (Σ n -, Π n -)Formel nennen, 

wenn diese äquivalent zu einer ∆ 0 - (Σ n -, Π n -)Formel (im obigen 

engen Sinne) ist. Weiter bezeichnen wir mit ∆ 0 (Σ n , Π n ) auch die 

Klasse aller ∆ 0 - (Σ n -, Π n -)Formeln (im weiten Sinne). 

Da nach dem Satz über die Pränexnormalform jede Formel ϕ 

äquivalent ist zu einer Σ n -Formel und einer Π n -Formel (für geeignetes 

n), gehört also jede Formel einer der Klassen Σ n und einer der 

Klassen Π n an. 

Es gilt also Σ 0 ⊂ Σ 1 ⊂ Σ 2 ⊂ . . . und Π 0 ⊂ Π 1 ⊂ Π 2 ⊂ . . . und 

⋃ 

n≥0 Σ n = ⋃ n≥0 Π n ist die Menge aller Formeln in der Sprache L der 

Arithmetik. 

Man nennt diese Hierarchie daher auch die arithmetische Hierarchie. 


Die arithmetische Hierarchie (2) 

Wie man leicht einsieht, gelten folgende Beziehungen zwischen den Klassen der 

arithmetischen Hierarchie: 

ϕ ∈ Σ n ⇔ ¬ϕ ∈ Π n 

∆ 0 ⊂ Σ 1 ∩ Π 1 

Σ n ∪ Π n ⊂ Σ n+1 ∩ Π n+1 

Im Folgenden werden wir nur die Formelklassen ∆ 0 , Σ 1 und Π 1 benötigen und 

uns daher auf diese Klassen beschränken. Für diese beobachten wir folgende 

Abschlusseigenschaften: 

Die Klasse ∆ 0 ist gegen beschränkte Quantoren und alle Junktoren 

abgeschlossen. 

Die Klasse Σ 1 ist gegen den Existenzquantor und gegen die Junktoren ∨ und 

∧ abgeschlossen (aber nicht gegen den Allquantor und die Negation). 

Die Klasse Π 1 ist gegen den Allquantor und gegen die Junktoren ∨ und ∧ 

abgeschlossen (aber nicht gegen den Existenzquantor und die Negation). 


∆ 0 -, Σ 1 - und Π 1 -Funktionen 

Die Stufen der arithmetischen Formelhierarchie lassen sich auf die Relationen über 

N übertragen, indem man festlegt, dass eine Relation R eine ∆ 0 -Relation (etc.) 

ist, wenn diese durch eine ∆ 0 -Formel (etc.) in N definiert wird. 

DEFINITION Eine n-stellige Relation ist eine ∆ 0 (Σ n , Π n ) - Relation, wenn es eine 

∆ 0 (Σ n , Π n ) - Formel ϕ ≡ ϕ(x 1 , . . . , x n ) gibt, sodass für alle a 1 , . . . , a n ∈ N gilt 

(a 1 , . . . , a n ) ∈ R ⇔ N ϕ[a 1 , . . . , a n ] ( ⇔ N ϕ[a 1 /x 1 , . . . , a n /x n ]) 

Eine Funktion ist eine ∆ 0 (Σ n , Π n ) - Funktion, wenn deren Graph eine ∆ 0 (Σ n , 

Π n ) - Relation ist. 

R ist arithmetisch, wenn R durch irgendeine Formel definiert wird. 

NB Da es nur abzählbare viele L-Formeln aber überabzählbar viele Relationen 

gibt, gibt es nicht-arithmetische Relationen. 


5.3.2 ∆ 0 -Relationen sind primitiv rekursiv 


Satz über die primitive Rekursivität von ∆ 0 -Relationen 

SATZ 5. Sei R ⊆ N n eine ∆ 0 -Relation. Dann ist R primitiv rekursiv. 

Zum Beweis des Satzes zeigen wir zunächst, dass die von L-Termen 

definierten Funktionen primitiv rekursiv sind. 

HILFSSATZ Sei t ≡ t(x 1 , . . . , x n ) ein L-Term (in dem höchstens die 

Variablen x 1 , . . . , x n vorkommen). Dann ist die von t und ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) 

in N definierte Funktion f = f t,⃗x , d.h. 

primitiv rekursiv. 

f (⃗a) = t N [⃗a] 


Beweis des Hilfssatzes durch Ind(t) 

1 t ≡ x i (1 ≤ i ≤ n): Dann gilt f (⃗a) = a i , d.h. f = U n i 

∈ PRIM. 

2 t ≡ i (i = 0, 1): Dann gilt f (⃗a) = i, d.h. f = C n 

i 

3 t ≡ t 1 ∗ t 2 (∗ = +, ·): Dann gilt 

f (⃗a) = f t1 ,⃗x(⃗a) ∗ f t1 ,⃗x(⃗a). 

∈ PRIM. 

Also f = ∗(f t1 ,⃗x, f t2 ,⃗x). Da, wie früher gezeigt, ∗ ∈ PRIM und da nach 

I.V. f t1 ,⃗x, f t2 ,⃗x ∈ PRIM, folgt mit dem Abschluss von PRIM gegen 

simultane Substitution, dass auch f ∈ PRIM. 


Beweis des Satzes 

Gegeben eine ∆ 0 -Formel ϕ ≡ ϕ(⃗x) (⃗x = (x 1 , . . . , x n )) genügt es zu zeigen, 

dass die von ϕ(⃗x) in N definierte Relation R = R ϕ,⃗x , d.h. deren 

charakteristische Funktion c R , primitiv rekursiv ist. Wir zeigen dies durch 

Induktion nach dem Aufbau von ϕ: 

1. ϕ ≡ t 1 = t 2 : Dann gilt 

Es ist also 

⃗a ∈ R ⇔ N t 1 = t 2 [⃗a] (Definition von R ϕ,⃗x ) 

⇔ t1 N [⃗a] = tN 2 [⃗a] (Definition von ) 

⇔ f t1 ,⃗x(⃗a) = f t2 ,⃗x(⃗a) (Definition von f ti ,⃗x) 

⇔ |f t1 ,⃗x(⃗a) − f t2 ,⃗x(⃗a)| = 0 

c R = sg(f | − | (f t1 ,⃗x, f t2 ,⃗x)). 

Da - wie früher gezeigt - sg und f | − | primitiv rekursiv sind und f t1,⃗x und 

f t2,⃗x nach dem Hilfssatz ebenfalls primitiv rekursiv sind, folgt die primitive 

Rekursivität von c R aus dem Abschluss von PRIM gegen Substitution. 


Beweis des Satzes (Fortsetzung) 

2. ϕ ≡ t 1 < t 2 : Dies zeigt man ähnlich zum Fall 1, wobei man statt der 

absoluten Differenz | − | nun die Differenz ˙− verwendet. 

3. ϕ ≡ ¬ψ: Dann gilt 

Also: 

⃗a ∈ R ⇔ ⃗a ∉ R ψ,⃗x . 

c R = sg(c Rψ,⃗x ). 

Da - wie früher gezeigt - sg und - nach I.V. - c Rψ,⃗x primitiv rekursiv 

sind, folgt c R ∈ PRIM wiederum aus dem Abschluss von PRIM 

gegen Substitutiton. 

4. ϕ ≡ ψ 1 ∨ ψ 2 : Dann gilt 

c R = max(c Rψ1 ,⃗x , c R ψ2 ,⃗x ) 

Da max ∈ PRIM, folgt die Behauptung wie zuvor aus der I.V. 


Beweis des Satzes (Abschluss) 

5. ϕ ≡ ∃ y < t ψ: Dann gilt 

⃗a ∈ R ⇔ ∃ b < f t (⃗a)((⃗a, b) ∈ R ψ,⃗x ) 

Hieraus erhält man 

c R (⃗a) = sg( ∑ 

b

Abschlusseigenschaften der Klassen der primitiv rekursiven 

und rekursiven Relationen 

Bevor wir uns Anwendungsbeispiele von Satz 5 ansehen, bemerken wir, dass die 

den Definitionsklauseln der ∆ 0 -Relationen entsprechenden Abschlusseigenschaften 

auch für die Klassen der primitiv rekursiven und rekursiven Relationen gelten. 

Dies ergibt sich aus einfachen Modifizierungen der entsprechenden Schritte im 

Beweis von Satz 4. 

SATZ 6. Die Klasse REK (PRIM) der (primitiv) rekursiven Relationen ist 

abgeschlossen gegen 

die Junktoren ¬ und ∨ (und damit gegen alle Junktoren) 

den beschränkten Existenzquantor (und damit wegen 

∀x < y R(y,⃗z) ⇔ ¬(∃x < y(¬R(y,⃗z))) 

auch gegen den beschränkten Allquantor) 


Beispiele 1: Teilbarkeit und Primzahlen 

Die Teilbarkeitsrelation “a|b ⇔ a teilt b” wird durch folgende 

∆ 0 -Formel ϕ | (x 1 , x 2 ) definiert (ist also primitiv rekursiv): 

ϕ | :≡ x 1 ≠ 0 ∧ ∃ y < x 2 + 1 (x 1 · y = x 2 ) 

Der Graph der Restfunktion bei der ganzzahligen Division 

rest(a, b) := Rest(a : b) wird durch die ∆ 0 -Formel 

ϕ rest (x, y, z) :≡ ∃ u < x + 1 (x = u · y + z) 

beschrieben. D.h. rest ist eine ∆ 0 -Funktion und der Graph G rest von 

rest ist primitiv rekursiv. Damit ist aber auch die Funktion rest 

primitiv rekursiv, da rest(a, b) = µ x < a (c Grest (a, b, x) = 1). 

Die Menge PZ der Primzahlen wird durch folgende ∆ 0 -Formel 

ϕ PZ (x 2 ) definiert (ist also primitiv rekursiv): 

ϕ PZ :≡ 1 < x 2 ∧ ∀z < x 2 + 1 (ϕ | [z/x 1 ] → z = 1 ∨ z = x 2 ) 


Beispiele 2: Kodierung von Zahlenpaaren 

Als weiteres Anwendungsbeispiel zeigen wir, dass es Bijektionen N n → N (für alle 

n ≥ 1) gibt, die ∆ 0 und primitiv rekursiv sind. 

Man erhält eine bijektive Abbildung τ : N × N → N, d.h. eine Nummerierung der 

Zahlenpaare, indem man – anschaulich gesprochen – den rechten oberen 

Quadranten der (diskreten) Zahlenebene vollständig durchläuft, wobei man alle 

Nebendiagonalen der Reihe nach jeweils von (rechts) unten nach (links) oben 

durchläuft (Diagramm: s. Tafel). 

Diese Bijektion τ lässt sich wie folgt explizit definieren (Übung!): 

τ(a, b) = 

(a + b)(a + b + 1) 

2 

Mit Hilfe dieser Darstellung können wir zeigen, dass der Graph von τ eine 

∆ 0 -Relation ist, und hiermit dann weiter zeigen, dass τ primitiv rekursiv ist. 

+ b 


Beispiele 2: Kodierung von Zahlenpaaren (Forts.) 

LEMMA. (a) Die Funktion 

τ(a, b) = 

(a + b)(a + b + 1) 

2 

+ b 

ist eine ∆ 0 -Funktion, weshalb der Graph von τ primitiv rekursiv ist. 

(b) Die Funktion τ ist primitiv rekursiv. 

(c) Die Umkehrfunktionen von τ, d.h. die Funktionen π i : N → N mit 

π i (τ(a 1 , a 2 )) = a i (i=1,2) sind ∆ 0 und primitiv rekursiv. 

BEWEIS (a) Es gilt 

τ(a, b) = c ⇔ ∃ d (2 · d = (a + b) · (a + b + 1) & c = b + d) 

wobei d < (a + b) · (a + b + 1) + 1 gilt. Der Graph G τ von τ wird also durch 

folgende ∆ 0 -Formel definiert: 

∃ u < (x + y) · (x + y + 1) + 1 (2 · u = (x + y) · (x + y + 1) ∧ z = y + u) 


Beispiele 2: Kodierung von Zahlenpaaren (Forts.) 

LEMMA. (a) Die Funktion 

τ(a, b) = 

(a + b)(a + b + 1) 

2 

+ b 

ist eine ∆ 0 -Funktion, weshalb der Graph von τ primitiv rekursiv ist. 

(b) Die Funktion τ ist primitiv rekursiv. 

(c) Die Umkehrfunktionen von τ, d.h. die Funktionen π i : N → N mit 

π i (τ(a 1 , a 2 )) = a i (i=1,2) sind ∆ 0 und primitiv rekursiv. 

BEWEIS (b) Da τ(a, b) = µz [(a, b, z) ∈ G τ ] und da PRIM gegen den 

beschränkten µ-Operator abgeschlossen ist, genügt es eine prim. rek. Fkt. f 

anzugeben, sodass z durch f (a, b) beschränkt werden kann. Offensichtlich hat 

f (a, b) = (a + b) · (a + b + 1) + 1 + b diese Eigenschaft. 

(c) Da der Graph von τ ∆ 0 ist, folgt der 2. Teil von (c) mit zuvor gezeigten 

Abschlusseigenschaften von PRIM aus folgender Charaktersierung von π 1 (für π 2 

analog): π 1 (c) = µ z < c + 1 (∃ u < c + 1 (τ(z, u) = c)) 

Beweis des 1. Teiles analog (mit ∃z < . . . statt µ z < . . . ). 


Beispiele 3: Prim. rek. Kodierung von Zahlentupeln fester 

Länge 

SATZ. (a) Die durch 

τ 1 (a 1 ) := a 1 

τ 2 (a 1 , a 2 ) := τ(a 1 , a 2 ) 

τ n+1 (a 1 , . . . , a n+1 ) = τ(a 1 , τ n (a 2 , . . . , a n+1 )) (n ≥ 2) 

definierten Funktionen τ n : N n → N (n ≥ 1) sind bijektiv und primitiv 

rekursiv. 

(b) Die Umkehrfunktionen π n,i von τ n mit π n,i (τ n (a 1 , . . . , a n )) = a i sind 

ebenfalls primitiv rekursiv (1 ≤ i ≤ n). 

BEWEISIDEE (a) Dies folgt durch eine einfache Induktion nach n aus 

Bijektivität und primitiver Rekursivität von τ. (b) zeigt man, wie die 

entsprechende Aussage für τ. 


∆ 0 vs. primitive Rekursivität 

Als Randbemerkung sei angefügt (wir werden das im Folgenden nicht 

benötigen), dass ∆ 0 -Funktionen i.a. nicht primitiv rekursiv sind. Es gibt 

Funktionen, deren Graph primitiv rekursiv (und ∆ 0 ) ist, die aber nicht 

primitiv rekursiv sind (Die Ackermann-Funktion ist hierfür eine Beispiel). 

Aus dem Satz über die primitive Rekursivität von ∆ 0 -Relationen können 

wir jedoch mit Hilfe der primitiv rekursiven Bijektionen τ n : N n → N 

schließen, dass (partielle) Σ 1 -Funktionen (partiell) rekursiv und 

Σ 1 -Relationen rekursiv aufzählbar sind. 


Satz über die Rekursivität von Σ 1 -Funktionen 

SATZ 7. Sei f eine (partielle) Σ 1 -Funktion. Dann ist f (partiell) rekursiv. 

BEWEIS. Nach Annahme ist der Graph von f : N n → N eine Σ 1 -Relation. Es gibt 

also für geeignetes m ≥ 1 eine ∆ 0 -Formel ϕ ≡ ϕ(x 1 , . . . , x n , y, z 1 , . . . , z m ) sodass 

f (a 1 , . . . , a n ) = b ⇔ N ∃ z 1 . . . ∃ z m ϕ[a 1 , . . . , a n , b] 

Ist nun R die von ϕ definierte primitiv rekursive Relation, so gilt 

f (a 1 , . . . , a n ) = µ b [∃ z 1 . . . ∃ z m ((a 1 , . . . , a n , b, z 1 , . . . , z m ) ∈ R)] 

Kodieren wir die Zeugen z 1 , . . . , z m und b mit Hilfe von τ m+1 durch eine Zahl z, 

so folgt: f (a 1 , . . . , a n ) = 

= π m+1,m+1 (µ z [(a 1 , . . . , a n , π m+1,m+1 (z), π m+1,1 (z), . . . , π m+1,m (z)) ∈ R]) 

= π m+1,m+1 (µ z sg(c R (a 1 , . . . , a n , π m+1,m+1 (z), π m+1,1 (z), . . . , π m+1,m (z)))) 


Satz über die rekursive Aufzählbarkeit von Σ 1 -Relationen 

SATZ 8. Sei R ⊆ N n eine Σ 1 -Relation. Dann ist R rekursiv aufzählbar. 

BEWEISIDEE. Nach dem Satz über die primitive Rekursivität der 

∆ 0 -Relationen ist R die mehrfache Projektion einer primitiv rekursiven 

Relation P: 

(a 1 , . . . , a n ) ∈ R ⇔ ∃x 1 . . . ∃x m [(a 1 , . . . , a n , x 1 , . . . , x m ) ∈ P] 

Diese Projektionen kann man mit Hilfe der primitiv rekursiven Funktion τ m 

in eine einfache Projektion über eine (primitiv) rekursive Relation P ′ 

zusammenfassen: 

(a 1 , . . . , a n ) ∈ R ⇔ ∃x [(a 1 , . . . , a n , π m,1 (x), . . . , π m,m (x)) ∈ P] 

R ist daher r.a. 


Im den ersten beiden Teilen des Abschnitts 5.3 haben wir die arithmetische 

Hierarchie von Formeln bzw. Relationen und Funktionen eingeführt und 

haben gezeigt: 

∆ 0 -Relationen sind primitiv rekursiv. 

Σ 1 -Relationen sind rekursiv aufzählbar. 

Σ 1 -Funktionen (und damit auch ∆ 0 -Funktionen) sind rekursiv. 

In den beiden weiteren Teilen des Abschnitts 5.3 wollen wir nun zeigen, 

dass für die beiden letzten Aussagen auch die Umkehrung gilt. Es lassen 

sich also alle (primitiv) rekursiven Funktionen und alle rekursiv 

aufzählbaren (und daher auch alle (primitiv) rekursiven) Mengen durch 

(Σ 1 -)Formeln der Sprache L definieren. 

Um dies zu zeigen benötigen wir zunächst die Beobachtung, dass sich 

endliche Zahlenfolgen mit Hilfe einer ∆ 0 -Formel beschreiben lassen. 


5.3.3 Das Gödelsche Lemma 


Das Gödelsche Lemma 

LEMMA Es gibt eine ∆ 0 -Funktion π : N 2 → N mit der folgenden 

Eigenschaft: Für jedes k ≥ 1 und für jede Folge a 0 , . . . , a k−1 von k 

natürlichen Zahlen gibt es eine Zahl b ≥ k, sodass 

∀ i < k (π(b, i) = a i ). 

Zum Beweis greifen wir auf die ∆ 0 -Paarfunktion τ und deren 

∆ 0 -Umkehrfunktionen π i zurück. Weiter verwenden wir den Chinesischen 

Restsatz aus der Zahlentheorie, den wir hier ohne Beweis vorstellen. 

CHINESISCHER RESTSATZ. Seien a i , d i (i < k) natürliche Zahlen mit 

a i < d i , wobei d 0 , . . . , d k−1 teilerfremd seien. Dann gibt es eine Zahl a, 

sodass für i < k 

gilt. 

rest(a, d i ) = a i (d.h. a ≡ a i mod d i ) 


Beweisidee 

Gesucht ist eine ∆ 0 -Funktion π, die aus dem geeignet gewählten Code b einer 

beliebigen, gegebenen endlichen Folge a 0 , . . . , a k−1 die einzelnen Folgenglieder 

berechnet: π(b, i) = a i . 

Setze c := max(k, a 0 , . . . , a k−1 ) und m := c!. 

Dann sind m + 1, 2m + 1, . . . , km + 1 paarweise teilerfremd. 

Der Chinesische Restsatz (angewandt auf die Folgenglieder a i und 

d i := (i + 1)m + 1) zeigt die Existenz einer Zahl a mit 

a ≡ a i mod(i + 1)m + 1. 

Für b := τ(a, m) gilt dann a i = rest(π 1 (b), (i + 1)π 2 (b) + 1). 

Also hat π(b, i) := rest(π 1 (b), (i + 1)π 2 (b) + 1) die gewünschte Eigenschaft. 

Es bleibt zu zeigen, dass der Graph von π eine ∆ 0 -Relation ist! 


Beweisidee (Fortsetzung und Abschluss) 

Es bleibt zu zeigen, dass der Graph von 

π(b, i) := rest(π 1 (b), (i + 1)π 2 (b) + 1) 

eine ∆ 0 -Relation ist: Seien ϕ rest (x,y,z), ϕ π1 (x, y) und ϕ π2 (x, y) ∆ 0 -Formeln, die 

die Graphen von rest, π 1 und π 2 beschreiben. Dann wird der Graph von π durch 

die Formel 

ϕ(x, y, z) :≡ ∃ x 1 < x + 1 ∃ x 2 < x + 1 ∃ u < (y + 1) · x + 1 + 1 

(ϕ π1 (x, x 1 ) ∧ ϕ π2 (x, x 2 ) ∧ u = (y + 1) · x 2 + 1 ∧ ϕ rest (x 1 , u, z))) 

beschrieben. 


5.3.4 

Repräsentierbarkeit von rekursiven Relationen und 

Funktionen 


Repräsentierbarkeitssatz für die rekursiven Funktionen 

SATZ 9. Sei f : N n → N (partiell) rekursiv. Dann ist f eine Σ 1 -Funktion 

(d.h. der Graph von f durch eine Σ 1 -Formel definierbar). 

BEWEIS. Es genügt zu zeigen, dass 

1 die primitiv rekursiven Ausgangsfunktionen S, U n i 

und C n 

i 

Σ 1 -Funktionen sind und 

2 die Klasse der Σ 1 -Funktionen gegen Substitution, primitive Rekursion 

und den µ-Operator abgeschlossen ist. 

Der erste Teil der Behauptung ist trivial: 

ϕ S (x, y) :≡ y = x + 1 

ϕ U n 

i 

(x 1 , . . . , x n , y) :≡ y = x i 

ϕ C n 

i 

(x 1 , . . . , x n , y) :≡ y = i 


Beweis (Fortsetzung und Abschluss) 

Von den nachzuweisenden Abschlusseigenschaften der Σ 1 -Funktionen zeigen wir 

nur den Abschluss gegen primitive Rekursion, der am interessantesten ist. 

Seien g (n) und h (n+2) Σ 1 -Funktionen und entstehe f (n+1) aus g und h durch 

primitive Rekursion: f (⃗x, 0) = g(⃗x) & f (⃗x, y + 1) = h(⃗x, y, f (⃗x, y)) 

Nach dem Gödelschen Lemma gibt es dann zu gegebenem ⃗x und y eine Zahl v 

mit f (⃗x, 0), . . . , f (⃗x, y) = π(v, 0), . . . , π(v, y) 

Diese Zahl v lässt sich durch folgende Relation R beschreiben: 

(⃗x, y, v) ∈ R :⇔ π(v, 0) = g(⃗x) ∧ ∀ z < y + 1 [π(v, z + 1) = h(⃗x, z, π(v, z))] 

Also: f (⃗x, y) = z ⇔ ∃ v (R(⃗x, y, v) ∧ π(v, y) = z) 

Überführt man diese Beschreibung des Graphen von f mit Hilfe der ∆ 0 -Formel für 

den Graphen von π und der Σ 1 -Formeln für die Graphen von g und h in eine 

Formel, so ist diese Σ 1 . 


Repräsentierbarkeitssatz für die r.a. Relationen 

KOROLLAR 1. Sei R ⊆ N n r.a. Dann ist R eine Σ 1 -Relation. 

BEWEIS 

Sei R die Projektion der rekursiven Relation R ′ . 

Nach Definition ist dann die charakteristische Funktion c R ′ von R ′ ebenfalls 

rekursiv. 

Nach dem Repräsentierbarkeitssatz für rekursive Funktionen gibt es also eine 

Σ 1 -Formel ϕ mit 

(⃗x, y) ∈ R ′ ⇔ c R ′(⃗x, y) = 1 ⇔ N ϕ[⃗x, y, 1] 

Für die Projektion R von R ′ folgt: 

⃗x ∈ R ⇔ ∃ y : (⃗x, y) ∈ R ′ ⇔ ∃ y : c R ′(⃗x, y) = 1 ⇔ N ∃ y ϕ[⃗x, y, 1] 


Zusammenfassung Repräsentierbarkeitssatz 

Die früheren Ergebnisse, dass (partielle) Σ 1 -Funktionen (partiell) rekursiv 

sind (Satz 7) und dass Σ 1 -Relationen r.a. sind (Satz 8), ergeben 

zusammen mit den Repräsentierbarkeitssätzen (Satz 9 und Korollar 1): 

SATZ 10 (CHARAKTERISIERUNGSSATZ) 

(i) Eine (partielle) Funktion f ist genau dann (partiell) rekursiv, wenn f 

eine (partielle) Σ 1 -Funktion ist. 

(ii) Eine Relation R ist genau dann rekursiv aufzählbar, wenn R eine 

Σ 1 -Relation ist. 


5.4 

Gödelisierung und die Präzisierung des 1. 

Gödelschen Unvollständigkeitssatzes 


Gödelnummern von Termen und Formeln 

Wir ordnen nun induktiv jedem L-Term t und jeder L-Formel ϕ eine 

Gödelnummer t bzw. ϕ zu: 

0 := 3 0 = 1 

1 := 3 1 = 3 

v i := 3 2 · 5 i 

s + t := 3 3 · 5 s · 7 t 

s · t := 3 4 · 5 s · 7 t 

s = t := 2 · 3 0 · 5 s · 7 t 

s < t := 2 · 3 1 · 5 s · 7 t 

¬ϕ := 2 · 3 2 · 5 ϕ 

ϕ ∨ ψ := 2 · 3 3 · 5 ϕ · 7 ψ 

∃ v i ϕ := 2 · 3 4 · 5 i · 7 ϕ 


Primitiv rekursive Relationen auf den Gödelnummern 

Wie die Gödelnummern definiert werden ist weitgehend belanglos. Wichtig ist, 

dass die Gödelsierung effektiv und (natürlich) eindeutig ist. Entscheidbare 

Relationen und Funktionen auf den Termen und Formeln werden dann (primitiv) 

rekursive Relationen und Funktionen auf den Gödelnummern. 

So kann man z.B. leicht zeigen: 

LEMMA. Folgende Relationen und Funktionen sind primitiv rekursiv: 

T = {t : t Term} 

F = {ϕ : ϕ Formel} 

F x = {ϕ : ϕ Formel mit FV (ϕ) = {x}} 

num(n) = n 

sub mit sub(ϕ, n) = ϕ[n/v 0 ], falls v 0 ∈ FV (ϕ) 


Formale Fassung von UVS’ 

Wir können nun die Aussage der semantischen Version des 1. 

Unvollständigkeitssatzes präzisieren: 

ERSTER UNVOLLSTÄNDIGKEITSSATZ (GÖDEL) Die Theorie Th(N ) 

der natürlichen Zahlen ist nicht rekursiv axiomatisierbar. 

DEFINITION Eine Theorie T ist rekursiv, wenn die Menge 

ˆT := {σ : σ ∈ T } 

der Gödelnummern der Sätze aus T rekursiv ist. Eine Theorie T heißt 

rekursiv axiomatisierbar, wenn es eine rekursive Theorie T ′ mit C(T ′ ) = T 

gibt. 


5.5 

Der Beweis des 

1. Gödelschen Unvollständigkeitssatzes 


Das gödelisierte Beweisprädikat: Vorbemerkungen 

Wir haben nun alle erforderlichen Hilfsmittel bereitgestellt, um den - bereits in 

Abschnitt 5.1. skizzierten - Beweis des Unvollständigkeitssatzes auszuführen. 

Wir betrachten zuerst das gödelisierte Beweisprädikat Bew. Hierzu beobachten 

wir zunächst, dass man mit Hilfe der von uns gezeigten Abschlusseigenschaften 

der primitiv rekursiven Funktionen und Relationen leicht zeigen kann, dass die 

gödelierten Axiomenmenge und Regelrelation für den Shoenfieldkalkül primitiv 

rekursiv sind (Übung): 

HILFSSATZ. Folgende Mengen und Relationen sind primitiv rekursiv: 

A = {ϕ : ϕ Axiom} 

R 1 = {(ψ, ϕ) : ϕ folgt mit einer Regel (mit 1 Prämisse) aus ψ} 

R 2 = {(ψ 1 , ψ 2 , ϕ) : ϕ folgt mit einer Regel (mit 2 Prämissen) 

aus ψ 1 und ψ 2 } 


Das gödelisierte Beweisprädikat: Definition 

Mit Hilfe der π-Funktion aus dem Gödelschen Lemma und von A, R 1 , R 2 und ˆT 

definiert man die 2-st. gödelisierte Beweisrelation Bew ⊆ N 2 durch 

Bew(y, x) :⇔ ∃k < y [π(y, k) = x∧ 

∀ i < k + 1 (π(y, i) ∈ A ∨ π(y, i) ∈ ˆT ∨ 

∃ i ′ 

∃ i ′ , i ′′ 

Hierfür gilt offensichtlich: 

Also: 

(q, r) ∈ Bew ⇔ q ist die Gödelnummer einer Zahlenfolge 

m 1 , . . . , m n , wobei m n = r und 

m 1 , . . . , m n Gödelnummern von Formeln 

ϕ 1 , . . . , ϕ n sind und ϕ 1 , . . . , ϕ n ein T -Beweis ist 

ϕ n , . . . , ϕ n T -Beweis von ϕ ⇔ (〈ϕ 1 , . . . ϕ n 〉, ϕ) ∈ Bew (6) 


Das gödelisierte Beweisprädikat: Rekursivität 

LEMMA. Das gödelisierte Beweisprädikat 

ist rekursiv. 

Bew(y, x) :⇔ ∃k < y [π(y, k) = x∧ 

∀ i < k + 1 (π(y, i) ∈ A ∨ π(y, i) ∈ ˆT ∨ 

∃ i ′ 

∃ i ′ , i ′′ 

BEWEIS. Da die π-Funktion nach dem Gödelschen Lemma ∆ 0 ist und die 

Gleichheitsrelation trivialerweise diese Eigenschaft hat, sind nach Satz 5 π und = 

(primitiv) rekursiv. Weiter sind nach dem Hilfssatz A, R 1 , R 2 ebenfalls (primitiv) 

rekursiv und nach Annahme ist ˆT rekursiv. Da die rekursiven Relationen gegen 

Einsetzung rekursiver Funktionen, gegen Junktoren und gegen beschränkte 

Quantoren abgeschlossen sind (Satz 4 und 6), folgt hieraus die Behauptung. 


Das gödelisierte Beweisprädikat: Repräsentierbarkeit 

Da - wie gerade gezeigt - das Beweisprädikat Bew rekursiv, also 

insbesondere rekursiv aufzählbar ist, folgt mit dem Repräsentierbarkeitssatz 

(Satz 10), dass es eine Σ 1 -Formel β ≡ β(v 1 , v 2 ) gibt mit 

(q, r) ∈ Bew ⇔ N β[q/v 1 , r/v 2 ] (7) 

Man beachte, dass aus (6) und (7) 

folgt. Nämlich: 

T ⊢ τ ⇔ N ∃v 1 β[τ/v 2 ] (8) 

T ⊢ τ ⇔ Es gibt einen T -Beweis ϕ 1 , . . . , ϕ n von τ (Def. ⊢) 

⇔ Es gibt eine Zahl q mit Bew(q, τ) ((6)) 

⇔ Es gibt eine Zahl q mit N β[q/v 1 , τ/v 2 ] ((7)) 

⇔ N ∃v 1 β[τ/v 2 ] (Def. ) 


Das Diagonalisierungslemma 

Als nächstes zeigen wir das Diagonalisierungslemma: 

LEMMA Sei ϕ eine (Π 1 -)Formel der Sprache L mit FV (ϕ) = {v 2 }. Dann 

gibt es einen (Π 1 -)Satz τ aus L, sodass gilt: 

N τ ↔ ϕ[τ/v 2 ] (9) 

Zum Beweis benötigen wir folgenden Hilfssatz (Beweis: Übung!): 

HILFSSATZ Die durch 

⎧ 

⎪⎨ ∀y(y = n → ψ[y/v 2 ]) falls n = ψ für eine L-Formel 

d(n) = 

ψ mit FV (ψ) = {v 2 }, 

⎪⎩ 

0 sonst 

definierte (Diagonal-)Funktion d : N → N ist (primitiv) rekursiv, also eine 

Σ 1 -Funktion. Hierbei wird die Variable y so gewählt, dass y ∉ V (ϕ) (für die 

Formel ϕ aus dem Diagonalisierungslemma). 


Beweis des Diagonalisierungslemmas 

Sei ϕ d ≡ ϕ d (x, y) eine Σ 1 -Formel, die den Graphen von d definiert 

(wobei o.B.d.A. x, y ∉ V (ϕ)). 

Definiere: 

ψ ≡ ψ(v 2 ) :≡ ∀y(ϕ d [v 2 /x, y/y] → ϕ[y/v 2 ]) 

n := ψ 

τ :≡ ∀y(y = n → ψ[y/v 2 ]) NB τ ist Π 1 -Satz, falls ϕ Π 1 -Satz. 

Nach Definition von d und Wahl von ϕ d gilt dann, dass 

τ = d(ψ) = d(n) und daher (da ϕ d (x, y) den Graphen von d 

beschreibt) 

(∗) N ϕ d [n/x, τ/y]. 

Es folgt 

N τ ↔ ψ[n/v 2 ] (nach Def. von τ) 

⇒ N τ ↔ ∀y(ϕ d [n/x, y/y] → ϕ[y/v 2 ]) (nach Def. von ψ) 

⇒ N τ ↔ ∀y(y = τ → ϕ[y/v 2 ]) (wegen (∗)) 

⇒ N τ ↔ ϕ[τ/v 2 ] (da äquivalent) 


Der nichtbeweisbare aber wahre Satz τ 

Wir wenden nun das Diagonalisierungslemma auf die Formel 

ϕ(v 2 ) :≡ ¬∃v 1 β(v 1 , v 2 ) 

an (wobei β die Σ 1 -Formel ist, die das gödelisierte Beweisprädikat Bew 

repräsentiert). Dies liefert uns einen Satz τ mit der Eigenschaft 

N τ ↔ ¬∃v 1 β[τ/v 2 ] (10) 

Weiter ist τ ein Π 1 -Satz, da ¬∃v 1 β(v 1 , v 2 ) eine Π 1 -Formel ist. 

Es bleibt zu zeigen, dass τ nicht aus T beweisbar aber wahr ist: 


Korrektheit der Wahl von τ 

1. T ⊬ τ: Indirekter Beweis: 

T ⊢ τ ⇒ N ∃v 1 β[τ/v 2 ] (nach (8)) 

⇒ N ̸ ¬∃v 1 β[τ/v 2 ] (nach Definition von ) 

⇒ N ̸ τ (nach (10)) 

⇒ T ̸ τ (da T ⊆ Th(N )) 

⇒ T ⊬ τ (Korrektheitssatz) 

Widerspruch (da T wegen T ⊆ Th(N ) konsistent ist)! 

2. N τ: Dies ergibt sich aus T ⊬ τ wie folgt: 

T ⊬ τ ⇒ N ̸ ∃v 1 β[τ/v 2 ] (nach (8)) 

⇒ N ¬∃v 1 β[τ/v 2 ] (nach Definition von ) 

⇒ N τ (nach (10)) 

Damit ist der Unvollständigkeitssatz bewiesen! 


Anmerkungen zum Unvollständigkeitssatz: 

Peano-Arithmetik (1) 

Das wohl am häufigsten benutzte rekursive Axiomensystem der Arithmetik ist die 

Peano Arithmetik PA. 

Die Axiome von PA beschreiben die grundlegenden Eigenschaften der 

Nachfolgerfunktion +1 (P1 - P2), die Rekursionsgleichungen der Additon + und 

Multiplikation · (P3 - P6) sowie das Induktionsprinzip, soweit sich dieses in der 

ersten Stufe ausdrücken lässt (IND = Schema): 

P1 x + 1 ≠ 0 

P2 x + 1 = y + 1 → x = y 

P3 x + 0 = x 

P4 x + (y + 1) = (x + y) + 1 

P5 x · 0 = 0 

P6 x · (y + 1) = (x · y) + x 

IND ϕ[0/x] ∧ ∀x(ϕ → ϕ[x + 1/x]) → ∀xϕ (für jede Formel ϕ ≡ ϕ(x)) 



Peano-Arithmetik (2) 

Das endlich axiomatisierte Fragment PA − der Peano-Arithmetik PA enthält die 

folgenden Axiome, die die grundlegenden algebraischen Eigenschaften von + und 

· (A1 - A7), die Ordnungsaxiome für < (A8 - A10), sowie die Verträglichkeit von 

< mit + und · (A11 - A12) beschreiben. Weiter wird sichergestellt, dass 0 die 

kleinste Zahl (A15) und 1 der Nachfolger von 0 bzgl. < (A14) ist und dass jede 

Zahl mit Hilfe von + von jeder kleineren Zahl erreichbar ist (A13): 

A1 (x + y) + z = x + (y + z) A2 (x · y) · z = x · (y · z) 

A3 x + y = y + x A4 x · y = y · x 

A5 x · (y + z) = (x · y) + (x · z) A6 x + 0 = x ∧ x · 0 = 0 

A7 x · 1 = 1 A8 ¬x < x 

A9 x < y ∧ y < z → x < z A10 x < y ∨ x = y ∨ y < x 

A11 x < y → x + z < y + z A12 0 < z ∧ x < y → x · z < y · z 

A13 x < y → ∃z(x + z = y) A14 0 < 1 ∧ ∀x(0 < x → 1 = x ∨ 1 < x) 

A15 ∀x(0 = x ∨ 0 < x) 

BEMERKUNG. Man zeigt leicht, dass PA ⊢ PA − gilt. PA − ist eine echte 

Teiltheorie von PA (dh. Th(PA − ) ⊂ Th(PA)). Es gilt sogar, dass PA generell 

nicht endlich axiomatisierbar ist. 


Anmerkungen zum Unvollständigkeitssatz: Syntaktische 

Formulierung 

Die syntaktische Form des Unvollständigkeitssatzes lässt sich mit Hilfe von 

PA − wie folgt formulieren: 

ERSTER UNVOLLSTÄNDIGKEITSSATZ (GÖDEL; syntaktische Form) 

Sei T eine rekursiv axiomatisierbare konsistente Erweiterung von PA − . 

Dann ist T unvollständig. (Insbesondere ist PA unvollständig.) 


Anmerkungen zum Unvollständigkeitssatz: Syntaktische 

Formulierung: Beweisidee 

Der wesentliche Unterschied zum Beweis der von uns bewiesenen semantischen Version des UVS ist, dass man hier den Begriff 

der Repräsentierbarkeit verschärft muss. So reicht es nun zur Repräsentation einer Relation R(a 1 , . . . , a n) nicht mehr aus, eine 

Formel ϕ(x 1 , . . . , x n) mit 

(a 1 , . . . , a n) ∈ R ⇔ N ϕ[a 1 /x 1 , . . . , a n/x n] 

anzugeben, sondern man benötigt nun 

(a 1 , . . . , a n) ∈ R ⇔ PA − ⊢ ϕ[a 1 /x 1 , . . . , a n/x n]. 

Hierdurch wird der Beweis des entsprechend verschärften Repräsentierbarkeitssatzes - der nun besagt, dass jede r.a. Relation auf 

die beschriebene Art in PA − repräsentierbar ist - komplizierter. Da die Diagonalfunktion primitiv rekursiv, also deren Graph r.a. 

ist, kann man dann im Diagonalisierungslemma Wahrheit in N durch Beweisbarkeit aus PA − ersetzen, d.h. erhält zu der Formel 

ϕ nun einen Satz τ mit 

PA − ⊢ τ ↔ ϕ[τ/v 2 ] 

Hiermit kann man dann im Wesentlichen wie im Beweis der semantischen Version argumentieren (s. auch Beweiskizze in 5.1). 



Π 1 -Unvollständigkeit 

Wir wir gesehen haben, gibt es zu jeder rekursiv axiomatisierbaren 

L-Theorie T , in der nur wahre Sätze über N beweisbar sind, einen 

Π 1 -Satz τ, der aus T nicht beweisbar ist (wir sagen auch: T is 

Π 1 -unvollständig). 

Dagegen lässt sich jeder in N wahre Σ 1 -Satz aus PA − beweisen. D.h. 

die rekursiven Theorien PA − und PA sind Σ 1 -vollständig. 

Insbesondere gibt es also eine Allaussage ∀xϕ, sodass für jede Zahl n 

ϕ[n/x] aus PA beweisbar ist aber nicht ∀xϕ. (Dies lässt sich so 

erklären, dass es keinen einheitlichen Beweis gibt, der auf jede Zahl n 

angewendet werden kann.) 


5.6 

Der 2. Unvollständigkeitssatz, der Satz von Tarski 

und die Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik 


Der 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz: Idee 

Gödel hat nicht nur gezeigt, dass es keinen Kalkül gibt, in dem gerade die wahren 

Sätze aus N beweisbar sind (1. Unvollständigkeitssatz), sondern auch, dass für 

jeden hinreichend beweisstarken widerspruchsfreien Kalkül K der Arithmetik die 

Widerspruchsfreiheit nicht mit Mitteln des Kalküls allein gezeigt werden kann (2. 

Unvollständigkeitssatz). 

Zur Rechtfertigung eines solchen Kalküls müssen daher Methoden verwendet 

werden, die über die von dem Kalkül bereitgestellten Methoden hinausgehen, 

deren Rechtfertigung also noch schwieriger ist. 

Man kann dies so interpretieren, dass das Hilbertsche Programm nicht ausführbar 

ist. Dessen Idee war, immer mächtigere Kalküle der Mathematik einzuführen und 

deren Konsistenz wie folgt zu rechtfertigen. Für den ersten Kalkül sollte die 

Konsistenz evident sein, da dieser nur sehr einfache, unproblematische (finitäre) 

Methoden bereitstellt. Die Konsistenz des nächsten Kalküls sollte dann allein mit 

Methoden des ersten Kalküls beweisbar sein, usw. 

Zur Formalisierung der Aussage des 2. Unvollständigkeitssatzes definieren wir 

zunächst die Konsistenzformel. 


Der 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz: die 

Konsistenzformel (1) 

In der endlich axiomatisierten Theorie PA − der Arithmetik lässt sich jeder 

Satz σ aus 0 = 1 herleiten: PA − ∪ {0 = 1} ⊢ σ. 

Eine hinreichend starke Theorie T der Arithmetik (d.h. eine Theorie T mit 

PA − ⊆ C(T )) ist also genau dann konsistent, wenn der Satz 0 = 1 nicht aus 

T beweisbar ist: T konsistent ⇔ T ⊬ 0 = 1. 

Für rekursives T können wir nun die Aussage T ⊬ 0 = 1 mit Hilfe des im 

Beweises des 1. UVS eingeführten gödelisierten Beweisprädikats Bew für T 

durch ¬∃y Bew(y, 0 = 1) ausdrücken. 

Da wir das Prädikat Bew durch die Formel β repräsentieren können, folgt 

¬∃y Bew(y, 0 = 1) ⇔ N ¬∃v 1 β[0 = 1/v 2 ] 

Für eine rekursiv axiomatisierte Erweiterung T von PA − gilt daher: 

T konsistent ⇔ N ¬∃v 1 β[0 = 1/v 2 ] 


Der 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz: die 

Konsistenzformel (2) 

Wie wir gesehen haben, gilt für eine rekursiv axiomatisierte Erweiterung T 

von PA − : 

T konsistent ⇔ N ¬∃v 1 β[0 = 1/v 2 ] 

Die Formel 

Con T :≡ ¬∃v 1 β[0 = 1/v 2 ] 

drückt daher die Konsistenz von T aus, weshalb wir diese als 

Konsistenzformel (für T ) bezeichnen. 

(Wir sehen also, dass für rekursives T nicht nur die Beweisbarkeit aus T 

durch eine L-Formel beschrieben werden kann sondern auch die Konsistenz 

von T . Die metamathematische Aussage der Konsistenz lässt sich also 

wiederum durch ein mathematische Aussage ersetzen, d.h. eine Aussage 

über das System der Arithmetik durch eine Aussage innerhalb des Systems 

ersetzen.) 

Mit Hilfe der Konsistenzformel lässt sich der 2. UVS wie folgt präzisieren: 


Der 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz: präzise 

Formulierung 

2. UNVOLLSTÄNDIGKEITSSATZ VON GÖDEL. Sei T eine konsistente 

rekursive Theorie der Arithmetik mit PA ⊆ C(T ). Dann gilt T ⊬ Cons T . 

Wir verzichten auf den Beweis hier. Eine Beweisskizze findet sich im Skript 

von Herrn Gloede. 


Der Satz von Tarski 

Die Beweise der beiden Gödelschen Unvollständigkeitssätze basieren auf der 

Beobachtung, dass sich der (gödelisierte) Beweisbarkeitsbegriff für eine rekursive 

Theorie T der Arithmetik durch eine Formel der Arithmetik repräsentieren lässt: 

T ⊢ σ ⇔ ∃x Bew(x, σ) ⇔ ∃v 1 β[σ/v 2 ] 

Tarski hat dagegen gezeigt, dass der Wahrheitsbegriff der Arithmetik sich nicht 

derart darstellen lässt: 

SATZ VON TARSKI Es gibt keine L-Formel γ ≡ γ(x), sodass für alle L-Sätze σ 

gilt: 

N σ ⇔ N γ[σ/x] 

Der Satz von Tarski besagt gerade, dass die Menge Th(N ) = {σ : N σ} der 

wahren Sätze der Arithmetik nicht arithmetisch ist. Da (nach dem 

Repräsentierbarkeitssatz) jede r.a. Menge arithmetisch ist, bedeutet dies 

insbesondere, dass Th(N ) nicht r.a. ist. Da andererseits, für eine rekursive Theorie 

T die Menge C(T ) = {σ : T ⊢ σ} r.a. ist, folgt, dass es keine rekursive Theorie 

T mit C(T ) = Th(N ) gibt. Der Satz von Tarski ist daher eine Verschärfung der 

semantischen Version des 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatzes. 


Der Satz von Tarski: Beweis 

Der Beweis ist indirekt. Wir gehen von der Widerspruchsannahme aus, dass für 

die Formel γ ≡ γ(x) 

(i) N σ ⇔ N γ[σ/x] 

für alle L-Sätze gilt. 

Nach dem Diagonalisierungslemma (für v 2 ≡ x und ϕ ≡ ¬γ ) gibt es dann einen 

Satz τ mit 

N τ ↔ ¬γ[τ/x] 

d.h. 

(ii) 

N τ ⇔ N ¬γ[τ/x] 

Setzt man nun τ für σ in (i) ein, so folgt mit (ii) 

N γ[τ/x] ⇔ N ¬γ[τ/x] 

Dies aber widerspricht der Definition von . 


Unentscheidbarkeit der Allgemeingültigkeit in der PL 

Als letzte Anwendung der Beweisideen, die den Beweisen der 

Unvollständigkeitssätze zugrundeliegen, zeigen wir dass (für die Sprache L) der 

Arithmetik die Frage, ob ein Satz σ allgemeingültig (d.h. logisch wahr ist) 

unentscheidbar ist. Da ein Satz σ genau dann allgemeingültig ist, wenn ¬σ nicht 

erfüllbar ist, folgt hieraus auch die Unentscheidbarkeit der Erfüllbarkeitsproblems, 

d.h. der Frage, ob ein Satz σ ein Modell besitzt. 

SATZ VON CHURCH. Die Menge {σ : σ L-Satz & σ} ist unentscheidbar. 

Church hat dies ursprünglich für eine andere Sprache als L gezeigt. Trachtenbrot 

hat gezeigt, dass es genügt Sprachen zu betrachten, die ein 2-stelliges 

Relationszeichen enthalten (also L(

Unentscheidbarkeit der Allgemeingültigkeit in der PL: 

Beweisidee des Satzes von Church 

Für L folgt der Satz von Church aus den oben kurz erwähnten syntaktischen 

Verschärfungen des Repräsentierbarkeitssatzes und des Diagonalisierungslemma, 

in denen N durch PA − ⊢ ersetzt werden (und die im Beweis der syntaktischen 

Version des 1. UVS benötigt werden). 

Wir zeigen zunächst, dass die Menge der aus PA − beweisbaren Sätze nicht entscheidbar ist. 

Andernfalls wäre - wegen des Abschlusses der entscheidbaren Mengen gegen Komplement - auch die Menge der nicht 

aus PA − beweisbaren Sätze entscheidbar und damit nach der C-T-These die Menge deren Gödelnummern 

G = {σ : PA − ⊬ σ} rekursiv und damit durch eine Formel ϕ in PA − repräsentierbar: 

(∗) PA − ⊬ σ ⇔ PA − ⊢ ϕ[σ/v 2 ] 

Die Anwendung der syntaktischen Version des Diagonalisierungslemmas liefert dann einen Satz τ mit 

PA − ⊢ τ ↔ ϕ[τ/v 2 ] 

Setzt man aber τ in (∗) sein, so kann man folgern, dass - im Widerspruch zur Konsistenz von PA − - PA − ⊬ τ genau 

dann gilt, wenn PA − ⊢ τ gilt. 

Die Unentscheidbarkeit der Menge {σ : σ} ergibt sich hieraus wiederum indirekt. 

Nehmen wir an, dass {σ : σ} entscheidbar ist, so ist auch die Menge 

G = {σ : PA − ⊬ σ} = {σ : ⊬ α → σ} = {σ : ̸ α → σ} 

entscheidbar (wg. Adäquatheitssatz und Abschluss entscheidbarer Mengen gegen Komplement), wobei α die 

Konjunktion der (endlich vielen!) Axiome von PA − ist.

KAPITEL 5 Der Erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz - Fakultät für ...

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