6. Vorlesung “Systemtheorie für Informatiker”

6. Vorlesung
“Systemtheorie für Informatiker”
Dr. Christoph Grimm
Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main

Letzte Woche:
Letzte Woche:
1.) Erweiterung von Fourier- zu Laplace-Transformation
2.) Eigenschaften von Laplace-Transformation
3.) Konvergenzverhalten
4.) Stabilität
6. Vorlesung “Systemtheorie” 1

Heute:
Heute:
1.) Zeitdiskrete Fourier-Transformation
2.) z-Transformation
6. Vorlesung “Systemtheorie” 2

Betrachtung zeitdiskreter Systeme
H(jω) bzw. H(s) hat sich als für die Beschreibung von DESS (zeitkontinuierliche,
durch DGL spezifizierte Systeme) als äußerst sinnvoll erwiesen!
Jetzt:
Betrachtung zeitdiskreter Systeme (DTSS).
Grund:
Rechner/digitale Steuerungen arbeiten zeitdiskret.
Signale werden digital gespeichert und verarbeitet.
Zeitbasis: T ∗ = {n T | n ∈ Z, t ∈ R}.
6. Vorlesung “Systemtheorie” 3

Zeitdiskrete Signale und Systeme (DTSS) – Beispiel
Beispiel: Compact Disc (Philips, Sony 1982)
Signale werden als diskrete Folgen modelliert.
CD: 2 Kanäle (rechts, links).
Jeder Kanal mit 44.1kHz abgetastet
⇒ Zeitbasis T ∗ = {n T } mit T = 1
44.1 msec.
Jeder Abtastwert wird mit 16 bit quantisiert in k2-Darstellung gespeichert.
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Zeitdiskrete Signale – komplexe Exponentialfolge
j
e j!nT
!nT
1
1T 2T 3T 4T
t
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Komplexe Exponentialfolge (2)
Komplexe Exponentialfolge:
f[n] = f[nT ] = e jω nT .
ω die Kreisfrequenz der Folge.
n T sind die Stellen, an denen Werte eingegeben/ausgegeben werden
(Zeitbasis).
Komplexe Exponentialfolge nicht bijektiv zu komplexer Exponentialfunktion!!!
Ein- und dieselbe komplexe Exponentialfolge kann durch unterschiedliche
komplexe Exponentialfunktionen “erzeugt” werden!
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Komplexe Exponentialfolge (3)
Spektrum komplexer Exponentialfolge periodisch mit der Periode 2π/T !
¡4¼=T
¡2¼=T
! 0 2¼=T 4¼=T
!
Spektrum einer diskreten Exponentialfolge der Frequenz ω 0 .
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Eingabe: Exponentialfolge, Ausgabe:
Sei zeitdiskretes System mit Impulsantwort h[n] bekannt, und sei die Eingabe:
jω nT
u[n] = ce
So ergibt sich die Ausgabe durch Anwendung der Faltungssumme zu:
y[n] =
∞∑
∞∑
u[n − ν]h[ν] = c e jω(n−ν)T h[ν]
ν=−∞
ν=−∞
Der von ν unabhängige Teil e jω nT kann vor die Summe geschrieben werden:
y[n] = ce jωnT
} {{ }
u[n]
∞∑
e −jνωT h[ν] .
ν=−∞
} {{ }
H(e jωT )
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Zeitdiskrete Übertragungsfunktion – Periodizität
Damit Darstellung der Systemfunktion durch Übertragungsfunktion:
H(e jωT ) = y[n]
∣
u[n]
∣
u[n]=e jnωT
Parameter e jωT wegen Periodizität der Übertragungsfunktion!
Bequem: Nur Betrachtung der Frequenzen |ω| ≤ ω 0 /2 mit ω 0 = 2π/T .
Dann auch Notation:
H(jω) = y[n]
∣
u[n]
∣
u[n]=c e jωnT
= Y (jω)
U(jω)
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Zeitdiskrete Fourier-Transformation
Mit Substitution Ω = ωT und dω = dΩ/T erhalten wir die
zeitdiskrete Fourier-Transformation:
F (e jΩ ) =
∞∑
f[n]e −jnΩ
−∞
f[n] = 1
2π
∫ π
−π
F (e jΩn )e jΩn dΩ
Konvergenz, dann, und nur dann, wenn:
∞∑
|f[n]| < ∞
−∞
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Zeitdiskrete Fourier-Transformation: Beispiel
Gegeben: Zeitdiskretes System mit der Impulsantwort h[n] = s[n](1/2) n .
Mit diskreter Fourier-Transformation erhalten wir H(e jΩ ):
H(e jΩ ) =
Mit Matlab:
=
∞∑
n=0
1
2 n(e−jΩ ) n
∞∑
(0.5e −jΩ ) n =
n=0
1
1 − 0.5e −jΩ
OMEGA=-10:0.01:10
Y=1./(1-0.5*exp(-j*OMEGA)
plot(OMEGA,abs(Y))
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Zeitdiskrete Fourier-Transformation: Beispiel
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
15 10 5 0 5 10 15
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Zeitdiskrete Laplace-Transformation/z-Transformation
Die zeitdiskrete Fourier-Transformierte F (e jΩ ) eines Signals f[n] wurde definiert
als
F (e jΩ ) =
∞∑
n=−∞
f[n]e −jΩn .
Notwendig und hinreichend für die Konvergenz ist die absolute Summierbarkeit
von f[n].
Idee: Multiplikation von f[n] mit geometrischer Reihe. Dann Konvergenz,
wenn:
∞∑
n=−∞
|f[n] r −n | < M < ∞
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z-Transformation
Fourier-Transformation der mit r −n multiplizierten Folge:
∞∑
f[n] r −n ❢
f[n]r −n e −jnΩ
=
n=−∞
∞∑
n=−∞
f[n](r e jΩ ) −n
Wir notieren statt r e jΩ bequemer ein z ∈ C, und definieren die z-
Transformation wie folgt:
F (z) =
∞∑
n=−∞
f[n]z −n
(z-Transformation)
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Inverse z-Transformation
Ohne Herleitung – Inverse z-Transformation, Rücktransformation:
f[n] = 1
2πj
∮
C
F (z)z n−1 dz
(inv. z-Transformation)
Umlaufintegral:
C ist Pfad um Nullpunkt in math. positivem Sinne innerhalb des Konvergenzgebiets.
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Inverse z-Transformation, Residuensatz
Bestimmung der inversen z-Transformation mit Residuensatz:
∮
f(z)dz = 2πj
N∑
Res[f(z ∞,k )]
k=1
mit Res[f(z ∞,k )] = (z − z ∞,k ) f(z) ∣ ∣
z=z∞,k
Entsprechend ergibt sich f[n] aus der Summe der Residuen von F (z)z n−1 .
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z-Transformation, Notation
Wir verwenden für den Zusammenhang zwischen einer Folge f[n] und ihrer
z-Transformierten F (z) die folgende Notation:
f[n]
❢ . ✈
F (z)
Beziehungsweise:
F (z)
✈ . ❢
f[n]
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z-Transformierte als Systemspezifikation
Erinnerung:
Impulsantwort h[n] erlaubt Charakterisierung des Verhaltens von LTI-Systemen.
Analog zur Charakterisierung von kontinuierlichen Systemen durch H(jω)
bzw. H(s):
h[n]
❢ . ✈
H(z) = Y (z)
U(z)
H(z) ist “Übertragungsfunktion” des zeitdiskreten Systems.
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Beispiel
Gesucht ist z-Transformierte der Sprungfolge s[n], Konvergenzbereich.
Einsetzen in z-Transformation ergibt:
F (z) =
∞∑
f[n]z −n =
∞∑
z −n =
∞∑
(z −1 ) n
n=−∞
n=0
n=0
Für |z| > 1 konvergiert diese Summe (geom. Reihe), und wir erhalten:
F (z) =
1
1 − z −1 = z
z − 1 , |z| > 1
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Korrespondenzen der z-Transformation
f[n] F(z) Konvergenz
δ[n]
❢ . ✈
1 z ∈ R
δ[n − m]
❢ . ✈
z −m z ≠ 0 ∀m > 0 oder z ≠ ∞ ∀m < 0
s[n]
❢ . ✈ 1
1−z −1 |z| > 1
s[n] a n ❢ . ✈ 1
1−a z −1
s[n] n a n ❢ . ✈ a z −1
(1−az −1 ) 2
s[n] n 2 a n ❢ . ✈ a z −1 +a 2 z −2
(1−a z −1 ) 3
|z| > |a|
|z| > |a|
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Verschiebung im Zeitbereich
Bekannt: f[n] ❢ .
✈
F (z).
Gesucht: z-Transformierte von f[n − k].
f[n − k]
❢ . ✈
=
∞∑
f(n − k)z −n
n=−∞
∞∑
f(m)z −m−k = z −k
m=−∞
∞
∑
m=−∞
z −m
= z −k F (z)
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Eigenschaften der z-Transformation
. . .
Seien die Korrespondenzen bekannt:
f[n] ❢ ✈
F (z), f 1 [n] ❢ ✈
F 1 (z), f 2 [n] ❢ ✈
F 2 (z)
Dann gelten auch die Korrespondenzen:
k 1 f 1 [n] + k 2 f 2 [n]
❢ ✈
k 1 F 1 (z) + k 2 F 2 (z) (Linearität)
f[n − k]
❢ ✈
F (z) z −k (Zeitverschiebung)
f 1 (t) ∗ f 2 (t)
❢ ✈
F 1 (s) F 2 (s) (Faltung)
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Verschiebung im Zeitbereich – Bedeutung
Besondere Bedeutung:
z −k · F (z)
✈ . ❢
f[n − k]
d. h. eine Multiplikation mit z −1 entspricht einer Verzögerung!
Daraus folgt direkt Realisierung:
Schieberegister (Hardware),
Wait-Statement in Schleife (Software, HDL)
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Zurück zu Beispiel!
Wir hatten die folgende Korrespondenz hergeleitet:
s[n] ❢ .
✈
1
1 − z −1
Damit hat ein System mit der Impulsantwort s[n] die Übertragungsfunktion:
H(z) = Y (z)
U(z) = 1
1 − z −1
⇒ Y (z) =
U(z)
1 − z −1 ⇒ Y (z) − Y (z)z −1 = U(z)
In den Zeitbereich transformiert erhalten wir:
y[n] − y[n − 1] = x[n] ⇒ y[n] = x[n] + y[n − 1] =
∞∑
n=−∞
x[n]
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Zusammenfassung
Heute kennengelernt:
1.) Zeitdiskrete Fourier-Transformation
2.) z-Transformation
3.) Eigenschaften von z-Transformation
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Ausblick
Nächste Woche:
1.) Rationale z-Transformierte, Stabilität
2.) Digitale Filter: FIR, IIR-Filter
Diese diskreten Transformationen entsprechen eher dem, was wir in Rechnern
berechnen können!
6. Vorlesung “Systemtheorie” 26