Prof. Dr. F. Marohn ¨Ubungen zur Statistik für Studierende der ...

Prof. Dr. F. Marohn
Übungen zur Statistik für Studierende der
Naturwissenschaften und Biomedizin
Wintersemester 2010/2011
Blatt 6
Hinweis: Aufgaben 1, 2 und 5 sind ,,Verständnisaufgaben”, keine ,,Rechenaufgaben”.
Aufgabe 1: Es gelten die Annahmen (1) und (2) aus Abschnitt 8.2 der
Vorlesung.
(i) Nach Vorlesung ist die Standardnormalverteilung N(0, 1) die Stichprobenverteilung
von (¯x n − µ)/(σ/ √ n). Welche Stichprobenverteilung
besitzt ∑ n
i=1 x i − n · µ
√ n · σ
Hinweis: Dividieren Sie Zähler und Nenner durch n.
(ii) Wie lautet die Stichprobenverteilung von ∑ n
i=1 x i (= n · ¯x)
Aufgabe 2: Formulieren Sie die Antworten zu Aufgabe 1, wenn keine Normalverteilung
zugrunde liegt und der Stichprobenumfang n hinreichend groß
ist.
Aufgabe 3: Sei X ein 0, 1–kodiertes binäres Merkmal.
(i) Sei N die Anzahl der Merkmalsträger einer dichotomen Grundgesamtheit
und bezeichnen y 1 bis y N die Ausprägungen der von 1 bis N durchnummerierten
Merkmalsträger. Die Populationsvarianz ist dann
σ 2 = 1 N∑
(y j − π) 2
N
j=1
Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage:
σ 2 = π · (1 − π)
(ii) Sei x 1 , . . . , x n eine Stichprobe. Aufgrund der Aussage (i) ist dann
¯x·(1− ¯x) ein naheliegender Schätzwert für σ 2 . Zeigen Sie die Gültigkeit
der folgenden Aussage:
s 2 =
n · ¯x · (1 − ¯x)
n − 1
Dabei bezeichnet s 2 = ∑ n
i=1 (x i − ¯x) 2 /(n − 1) die Stichprobenvarianz.
Hinweis: Zur Erinnerung: Die Ausprägungen y 1 , . . . , y N bzw. x 1 , . . . , x n
können nur die Werte 0 und 1 annehmen.
1

Aufgabe 4:
(i)
Von einer dichotomen Grundgesamtheit mit N = 30000 Merkmalsträgern
sei bekannt, dass 8000 Merkmalsträger den Ausprägungswert 1
haben. Bestimmen Sie den Anteilswert π und die Populationsvarianz
σ 2 .
(ii) In einer Stichprobe vom Umfang n = 100 wurde 30–mal der Ausprägungswert
1 beobachtet. Bestimmen Sie den Stichprobenmittelwert ¯x
und die Stichprobenvarianz s 2 .
Aufgabe 5: Formulieren Sie Ihre Antworten zu Aufgabe 2 speziell für ein
0, 1–kodiertes binäres Merkmal. (In diesem Fall ist ∑ n
i=1 x i die Anzahl der
,,Treffer”, also die Trefferhäufigkeit in der Stichprobe.)
2