Quicksort
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Laufzeit von QUICKSORT<br />
C n<br />
n + 1 = 2<br />
n + 1 +C n−1<br />
n<br />
=. . .= 2<br />
n + 1 +2 n +· · ·+2 4 +C 2<br />
3<br />
⇒ C n = 2+2(n+1)( 1 n +· · ·+1 4 +1 2 ) (C 2 = 3)<br />
⇒ C n = 2+2(n+1)(H n − 4 3 ) (H n =<br />
⇒ C n ≤ 2+2(n+1)(ln n− 1 3 )<br />
⇒ C n = 2nln n−O(n)<br />
⇒ C n ≈ 1.387 nlog n−O(n)<br />
n∑<br />
k=1<br />
1<br />
k )<br />
(ln n < H n ≤ ln n+1)<br />
Es folgt direkt, dass die erwartete Laufzeit<br />
von QUICK-SORT (mit den genannten Annahmen)<br />
Θ(nlog n) ist.<br />
Bemerkung: Wir haben die Tatsache benutzt,<br />
dass die Teilprobleme wieder zufällig sind (Übungsaufgabe).<br />
Der Sachverhalt wird einfacher, wenn<br />
man die randomisierte Variante von <strong>Quicksort</strong><br />
(wie nachfolgend beschrieben) benutzt.<br />
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