4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen

4. Folgen und Grenzwerte 4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Einfache Rechenregeln
Aus Satz 4.11 folgt
Satz 4.30
∑
1 Aus ∞ ∑
a k = a und ∞ b k = b folgt
k=0
2 Falls ∞ ∑
k=0
k=0
a k = a und λ ∈ C, so ist
∞∑
(a k + b k ) = a + b.
k=0
∞∑
(λa k ) = λa.
k=0
Vorsicht! Im Allgemeinen ist
∞∑
k=0
a k b k ≠
(
∑ ∞
)(
∑ ∞
a k b k
)!
k=0 k=0
Cornelia Kaiser
Mathematik für Chemiker
4. Folgen und Grenzwerte 4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Absolute Konvergenz
Definition 4.31
∑
Die unendliche Reihe ∞ a k heißt absolut konvergent, wenn
die Reihe ∞ ∑
k=0
k=0
|a k | konvergent ist.
Beispiel 4.32
∑
Die geometrische Reihe ∞ q k ist für alle q ∈ C mit |q| < 1
absolut konvergent.
k=0
Cornelia Kaiser
Mathematik für Chemiker

4. Folgen und Grenzwerte 4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Das Cauchy-Produkt
Satz 4.33
Wenn ∞ ∑
k=0
a k und ∞ ∑
k=0
(
∑ ∞ )(
∑ ∞ )
a k b k =
k=0
k=0
b k absolut konvergieren, dann gilt
∞∑
n=0( n∑
k=0
a k b n−k
)
(Cauchy-Produkt).
Beispiel 4.34
Für |q| < 1 gilt
1
(1 − q) 2 = ( ∞ ∑
k=0
) 2
q k ∑
= ∞ (
∑ n
)
q k q n−k
n=0
k=0
∑
= ∞ (n + 1)q n .
n=0
Cornelia Kaiser
Mathematik für Chemiker
4. Folgen und Grenzwerte 4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Kriterien für absolute Konvergenz
Satz 4.35
Die Reihe ∞ ∑
k=0
Bedingungen erfüllt ist.
a k ist absolut konvergent, falls eine der folgenden
1 Majorantenkriterium:
|a k | ≤ b k (für k ≥ k 0 ) und ∞ ∑
k=k 0
b k ist konvergent.
2 Wurzelkriterium: Es gibt eine reelle Zahl q < 1 mit
√
k |ak | ≤ q für k ≥ k 0 .
3 Quotientenkriterium: Es gibt eine reelle Zahl q < 1 mit
∣ a k+1 ∣∣∣
∣ ≤ q für k ≥ k 0 .
a k
Cornelia Kaiser
Mathematik für Chemiker

4. Folgen und Grenzwerte 4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Zur Anwendung der Kriterien
Im Wurzel- bzw. Quotientenkriterium verwendet man praktisch
oft die stärkere Bedingung
lim
k→∞
∣ ∣
√
k
∣∣∣ a k+1 ∣∣∣
|ak | < 1 bzw. lim < 1.
k→∞ a k
Beispiele 4.36
∞∑ 1
1
k=1 k p mit p ≥ 2.
∞∑ 1
2
k=1 k k
∞∑ 1
3
k=0 k! . Cornelia Kaiser Mathematik für Chemiker
Potenzreihen
4. Folgen und Grenzwerte 4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Die Reihe ∞ ∑
k=0
a k (z − z 0 ) k heißt Potenzreihe mit
Entwicklungspunkt z 0 ∈ C. Häufig ist z 0 = 0.
Beispiele 4.37
∞∑ z k
1 konvergiert für alle z ∈ C (Quotientenkrit.) und
k=0 k! ∞∑ z k
k! = ez , z ∈ C.
2
∞∑
k=0
z k = 1
1 − z
k=0
konvergiert für |z| < 1 (geom. Reihe) und
∞∑
z k = 1 , |z| < 1.
1 − z
k=0
Cornelia Kaiser
Mathematik für Chemiker

4. Folgen und Grenzwerte 4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Weitere Beispiele für Potenzreihen
Beispiele 4.38
∑
1 sin(x) = ∞ (−1) k x 2k+1
für x ∈ R.
(2k + 1)!
k=0
∑
2 cos(x) = ∞ (−1) k x 2k
(2k)!
k=0
3 sinh(x) = ∞ ∑
k=0
4 cosh(x) = ∞ ∑
k=0
x 2k+1
(2k + 1)!
x 2k
(2k)!
für x ∈ R.
für x ∈ R.
für x ∈ R.
∑
5 ln(1 + x) = ∞ (−1) k+1 x k
k
k=1
für |x| < 1.
Cornelia Kaiser
Mathematik für Chemiker
4. Folgen und Grenzwerte 4.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Das Leibniz-Kriterium
∑
Eine Reihe der Form ∞ (−1) k a k mit a k ≥ 0 für alle k ∈ N 0
heißt alternierend.
k=0
Satz 4.39 (Leibniz-Kriterium)
∑
Die alternierende Reihe ∞ (−1) k a k ist konvergent, falls (a k )
k=0
eine monoton fallende Nullfolge ist.
Beispiel 4.40
∞∑
(−1) k+1 1 k
k=1
ist konvergent (mit dem Wert ln 2).
Beispiel 4.40 zeigt, dass es konvergente Reihen gibt, die nicht
absolut konvergieren.
Cornelia Kaiser
Mathematik für Chemiker