Potenzrechnung

Potenzrechnung
Definition:
n
a heißt Potenz und bedeutet, dass die Basis a n-mal mit sich selbst
multipliziert wird. n heißt Exponent.
a
1 :
= a a 0 : = 1
n 1
a − : =
n
a
Das Zeichen := bedeutet: „wird definiert als“. Dass diese Definitionen
sinnvoll sind, ergibt sich aus den Beispielen zu 2. .
0
Beispiele: 5 1
=
2
1 1
3
− = =
2
3 9
Regel: Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung!
1. Addition und Subtraktion von Potenzen
Es können nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten addiert bzw.
subtrahiert werden.
2 2 2
Beispiele: 5a + 3a = 8a
p ⋅ a n + q⋅ a n = ( p + q)
⋅ a
n
2. Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis
m n m n
a ⋅ a = a + 1. Potenzgesetz
3 5 3+
5 8
Beispiel: x ⋅ x = x = x
m
a m n
n
= a −
2. Potenzgesetz
a
5
3
x 5 3 2 x
Beispiele: x − −
= = x
3 5
= x
x
x
s. Def .
3 5 −2
= x
=
1
2
x
x
x
3
s. Def .
3−3 0
= x = x = 1
3
3. Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten
n n n
a ⋅ b = ( a⋅ b)
3. Potenzgesetz
3 3 3 3
Beispiel: 2 ⋅ 5 = (2⋅ 5) = 10 = 1000
n n
a ⎛ a ⎞
n ⎜ ⎟
b
= 4. Potenzgesetz
⎝ b ⎠
Beispiele:
3
3
4 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞
=
3 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
8 ⎝ 8 ⎠ ⎝ 2 ⎠
4. Potenzieren von Potenzen
m
( ) n m⋅n n
a a ( a )
Beispiel: ( ) 4
m
= = 5. Potenzgesetz
10 = 10 = 10
3 3⋅4
12
3
−3 s. Def .
3 3
⎛ 2 ⎞ 1 1 3 ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ = = = 1⋅ =
3 3 3 ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎛ 2 ⎞ 2 2 ⎝ 2 ⎠
⎜ ⎟ 3
⎝ 3 ⎠ 3
= 1000 000 000 000

Übungsaufgaben
Berechnen Sie!
2
3
−3
−2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
3
1) ⎜ ⎟ 2) ⎜ ⎟ 3) 0 4) 10 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞
1 5) ⎜ ⎟ 6) ⎜ ⎟
⎝10
⎠ ⎝ 4 ⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝10
⎠
10
7) 1 − 6
6
8) ( − 2) 9) − 2
6
10) −( − 2)
6
11) ( − 2) −
6
12) −( − 2) −
5 5
13) 4x
+ 3x
3 2
14) 3x
+ 3x
m m
15) x − 2x
3 3
3 5
n
3 5
16) 5( a + b) + 3( a + b)
17) x ⋅ x 18) a ⋅ a 19) x ⋅ x −
n−3 3−n
2 4
20) a ⋅ a 21) 4a
⋅ 5a
n+
1
a
22)
n− 1
a
3 6
−4
2 2 4
x ⋅ y
2
4 4 15 ( a − b ) (2 a)n
24) 4⋅ 3 25) 2 ⋅ 5 26) 27)
28)
7
− 4
4
n
x ⋅ y
5
( a − b)
a
29)
35)
n
n
a −
⎛ 3a
⎞ ⎛ 9 ⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
4 + x 1
x
− 36)
x
8 6
3
30) ( 2 ) 2
3
31) (( − 2) ) 2
3
32) −( ( − 2) ) 2
2
33) ( − 2 ) 3
2
34) ( − 2 ) −3
2
1− a 1+
a 1
+ − 37)
a a a
6 4 3
a
0
38)
2
a −
0
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⋅ 4
⎝ 3 ⎠
0 3
39) 4 ⋅ 4 −
Lösungen (Teilweise sind mehrere Lösungswege möglich)
1)
6)
2 2
⎛ 1 ⎞ 1 1
⎜ ⎟ = =
⎝ ⎠
2
10 10 100
−2 2
⎛ 1 ⎞ ⎛10
⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 100
⎝10
⎠ ⎝ 1 ⎠
− 1 1
( 2)
6
2 64
2)
3
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠
−10
7)
6
6
11) − = = 12)
27
64
(Addition nicht möglich) 15) 2
3 5 3 5 8
17) x x x + x
3
3) 0 = 0 4) 1 10 = 1 5)
−3 s Bsp zu PG
3
. . 4.
⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 64
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 27
1
6
6
6
1 = = 1 8) ( − 2) = 64 9) − 2 = − 64 10) −( − 2) = − 64
10
1
− 1 1
5 5 5
3 2
−( − 2) = − = − 13) 4x + 3x = 7x
14) 3x
+ 3x
6
2 64
m m m
3 3 3
x − x = − x 16) 5( a + b) + 3( a + b) = 8( a + b)
1
⋅ = = 18) n n
a ⋅ a = a +
3 5 2
19) x x − −
n−3 3 −n ( n− 3) + (3 −n) 0
⋅ = x 20) a a a a
2 4 6
21) 4a 5a 20a
⋅ = 22)
2
4 4 4 4
24) 4⋅ 3 = 36 25)
27)
29)
a
a
n+
1
= ( n+ 1) −( n− 1) n 1 n 1 2
a = + − +
a = a 23) 3 6 2
=
n− 1
7
15
2 ⋅ 5 = (2⋅ 5) = 10 = 10.000 26)
5
2 2 4 2 2
4 4
Binom!
( a − b ) ⎛ a − b ⎞ ⎛ ( a + b)( a − b)
⎞
= ( a b)
4 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = +
( a − b)
⎝ a − b ⎠ ⎝ a − b ⎠
n −n n n n n n
⎛ 3a ⎞ ⎛ 9a ⎞ ⎛ 3a ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3a
2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⋅ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 9a
⎠ ⎝ 4 9a
⎠ ⎝ 2⋅3 ⎠ ⎝ 6 ⎠
4
⋅ = = = 1
x ⋅ y x oder x
2 y
−1
x ⋅ y y
−4
−4
⎛ ⎞ −4
3
−4 4
15 1 1
= ⎜ ⎟ = = =
⎝ 5 ⎠ 3 81
28) (2 ) n
a ⎛ 2 a ⎞
= 2
n ⎜ ⎟ =
a ⎝ a ⎠
30) ( ) 2
3
31) ( ) 2 3⋅2
3
( − 2) = ( − 2) = 64 32) ( ) 2
3⋅2
− ( − 2) = −( − 2) = − 64 33) ( ) 3
Exponent 2 gilt nicht für das Minuszeichen!) 34) ( ) 3
35)
36)
37)
2 ! 2 2 2 2
4 + x 1 Erweitern 4 + x 1⋅ x 4 + x x 4
− = − = − =
8 6 8 6 2 8 8 8
x x x x ⋅ x x x x
2 2 2 3 2 2 3 3
1− a 1+ a 1 1 − a (1 + a) ⋅ a 1⋅a 1− a a + a a 1
+ − = + − = + − =
6 4 3 6 4 2 3 3 6 6 6 6
a a a a a ⋅a a ⋅ a a a a a
a
a
0
0 −( −2) 2
= a = a 38)
− 2
0
s. Def .
⎛ 1 ⎞ ⋅ = ⋅ =
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
4 1 4 4
0 −3
39)
n
3 3⋅2 6
2 = 2 = 2 = 64
2 3
− 2 = ( − 4) = − 64 (der
2 −
− 1 1 1
− 2 = ( − 4)
3 = = = −
1 1
4 ⋅ 4 = 1⋅ = 4
3 64
n
3
( −4) −64 64
C. Herweg